ee的x次方-1的等价无穷小小是什么?


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展开全部一般情况下,等价无穷小(大)代换只能在求积或商的极限时使用,也就是若 f(x)\sim h(x)(x\to x_0) 则 \lim_{x\to x_0}f(x)g(x)=\lim_{x\to x_0}h(x)g(x) , \lim_{x\to x_0}\frac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{h(x)}{g(x)} , \lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{f(x)}=\lim_{x\to x_0}\frac{g(x)}{h(x)} 。而 f(x)\sim g(x)(x\to x_0) 不能推出 \lim_{x\to x_0}\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}=1 。举个例子: f(x)=\frac1x+1 , g(x)=\frac1x ,显然 \lim_{x\to0}\frac{f(x)}{g(x)}=1 ,但是 \lim_{x\to0}\frac{e^{f(x)}}{e^{g(x)}}=e 。回到题主的问题,从 \lim_{x\to+\infty}e^{x^2\ln(1+\frac1x)-x} 这一步开始推导。不妨先求 \lim_{x\to+\infty}[x^2\ln(1+\frac1x)-x] 。将 \ln(1+\frac1x) 泰勒展开得 \frac1x-\frac1{2x^2}+o(\frac1{x^2}) ,于是:\lim_{x\to+\infty}[x^2\ln(1+\frac1x)-x]=\lim_{x\to+\infty}[x-\frac12-o(1)-x]=-\frac12于是原式等于 e^{-\frac12} 。已赞过已踩过你对这个回答的评价是?评论
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