教师讲解错误
错误详细描述：
如图，已知正方形ABCD中，M是AB的中点，E是AB延长线上的一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于N．（1）求证：MD＝NM．（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”，其余条件不变，结论“MD＝NM”还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
【思路分析】
（1）取AD的中点H，连接HM，则BM=HD，由已知可推出∠DHM=∠MBN，∠BMN=∠HDM，从而利用ASA判定△DHM≌△MBN，从而得到DM=MN；（2）在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM，同理可证：△DHM≌△MBN，所以DM=MN；
【解析过程】
证明：（1）取AD的中点H，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，∴BM=HD=AM=AH，∴△AMH为等腰直角三角形，∴∠DHM=135°，而BN是∠CBE的平分线．∴∠MBN=135°，∴∠DHM=∠MBN，又∵DM⊥MN，∴∠NMB+∠AMD=90°，又∵∠HDM+∠AMD=90°，∴∠BMN=∠HDM，∠HDM＝∠BMN，DH＝MB，∠DHM＝∠MBN，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM=MN；（2）DM=MN仍成立．如图1，在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，∴∠MBN=135°，∵AH=AM，∴∠AHM=45°∴∠DHM=135°，∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90°，∴∠BMN=∠HDM，∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN．如图2，若点M在AB的延长线上，则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，∴∠DMA+∠NME=90°，又∵∠DMA+∠ADM=90°，∴∠NME=∠ADM，∴∠MDH=∠NMB（等角的邻补角相等），又∵BN为∠CBE的平分线，且∠CBE=90°，∴∠NBM=45°，∵AD=AB，DH=BM，∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴∠MHD=45°，∴∠MHD=∠NBM，又∵DH=BM，∠MDH=∠NMB，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM=MN．
证明：（1）取AD的中点H，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，M为AB的中点，∴BM=HD=AM=AH，∴△AMH为等腰直角三角形，∴∠DHM=135°，而BN是∠CBE的平分线．∴∠MBN=135°，∴∠DHM=∠MBN，又∵DM⊥MN，∴∠NMB+∠AMD=90°，又∵∠HDM+∠AMD=90°，∴∠BMN=∠HDM，∠HDM＝∠BMN，DH＝MB，∠DHM＝∠MBN，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM=MN；（2）DM=MN仍成立．如图1，在AD上取一点H，使DH=MB，连接HM，∵四边形ABCD是正方形，BN平分∠CBE，DM⊥MN，∴∠MBN=135°，∵AH=AM，∴∠AHM=45°∴∠DHM=135°，∠BMN+∠AMD=90°，∠HDM+∠AMD=90°，∴∠BMN=∠HDM，∴△DHM≌△MBN，∴DM=MN．如图2，若点M在AB的延长线上，则在AD延长线上取点H，使DH=BM，连接HM．∵DM⊥MN，即∠DMN=90°，∴∠DMA+∠NME=90°，又∵∠DMA+∠ADM=90°，∴∠NME=∠ADM，∴∠MDH=∠NMB（等角的邻补角相等），又∵BN为∠CBE的平分线，且∠CBE=90°，∴∠NBM=45°，∵AD=AB，DH=BM，∴AD+DH=AB+BM，即AH=AM，且∠A=90°，∴△AMH为等腰直角三角形，∴∠MHD=45°，∴∠MHD=∠NBM，又∵DH=BM，∠MDH=∠NMB，∴△DHM≌△MBN（ASA），∴DM=MN．
此题主要考查了学生对角平分线的性质，正方形的性质及全等三角形的判定等知识点的综合运用．
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京ICP备号 京公网安备已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,NM垂直DM,且交角CBE的平分线于点N如图a所示.（1）求证DM=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意点”其他条件不变,如图b_作业帮
已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,NM垂直DM,且交角CBE的平分线于点N如图a所示.（1）求证DM=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意点”其他条件不变,如图b
已知正方形ABCD中,M是AB的中点,E是AB延长线上的一点,NM垂直DM,且交角CBE的平分线于点N如图a所示.（1）求证DM=MN（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上任意点”其他条件不变,如图b所示,则结论DM=MN还成立吗?说明理由.
（1）过点N做NF垂直于AB于点F,易证BF=NF,所以,MF=AD所以三角形DAM≌三角形MFN∴DM=MN （2）在线段AD上截取AF=AM ,∴BM=DF∵∠DFM=∠MBN=135度易证∠FDA=∠BMN∴三角形DFM≌三角形NBF∴DM=MN分析：（1）由△ABC是正三角形与AN=BM，易证得△ABN≌△BCM（SAS），由全等三角形的对应角相等，即可得∠ANB=∠BMC，又由∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，由三角形的内角和定理，即可证得∠NOC=60°．（2）由四边形ABCD是正方形与AM=BN，易证得△DAM≌△ABN（SAS），然后根据全等三角形的性质，求得AN=DM，∠AMD=∠BNA，又由∠BAN+∠BNA=90°，即可得∠DON=90°．解答：解：（1）证明：∵△ABC是正三角形，∴∠A=∠ABC=60°，AB=BC，∵AN=BM，∴△ABN≌△BCM（SAS），∴BN=CM，∠ANB=∠BMC，∵∠ANB+∠ABN=180°-∠A=120°，∴∠BMO+∠ABN=120°，∴∠BOM=60°，∴∠NOC=∠BOM=60°；（2）∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=∠B=90°，AD=BD，∵AM=BN，∴△DAM≌△ABN（SAS），∴AN=DM，∠AMD=∠BNA，∵∠BAN+∠BNA=90°，∴∠BAN+∠AMD=90°，∴∠AOM=90°，∴∠DON=∠AOM=90°．故答案为：DM，90．点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正三角形与正方形的性质．题目综合性较强，难度适中，解题的关键是注意数形结合思想的应用．
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科目：初中数学
（2010?邢台一模）如图所示，一圆柱高AB为5cm，BC是底面直径，设底面半径长度为acm，求点P从A点出发沿圆柱表面移动到点C的最短路线．方案设计某班数学兴趣小组设计了两种方案：图1是方案一的示意图，该方案中的移动路线的长度为l1，则l1=5+2a（cm）；图2是方案二的示意图，设l2是把圆柱沿AB侧面展开的线段AC的长度，则l2=25+π2a22a2cm（保留π）．计算探究①当a=3时，比较大小：l1＞&l2（填“＞”“=”或“＜”）；②当a=4时，比较大小：l1＜&l2（填“＞”“=”或“＜”）；延伸拓展在一般情况下，设圆柱的底面半径为rcm．高为hcm．①若l12=l22，求h与r之间的关系；②假定r取定值，那么h取何值时，l1＜l2？③假定r取定值，那么h取何值时，l1＞l2？
科目：初中数学
在一平直河岸l同侧有A，B两个村庄，A，B到l的距离分别是3km和2km，AB=akm（a＞1）．现计划在河岸l上建一抽水站P，用输水管向两个村庄供水．方案设计：某班数学兴趣小组设计了两种铺设管道方案：图1是方案一的示意图，设该方案中管道长度为d1，且d1=PB+BA（km）（其中BP⊥l于点p）；图2是方案二的示意图，设该方案中管道长度为d2，且d2=PA+PB（km）（其中点A'与点A关于I对称，A′B与l交于点P．观察计算：（1）在方案一中，d1=km（用含a的式子表示）；（2）在方案二中，组长小宇为了计算d2的长，作了如图3所示的辅助线，请你按小宇同学的思路计算，d2=km（用含a的式子表示）．探索归纳（1）①当a=4时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；②当a=6时，比较大小：d1（）d2（填“＞”、“=”或“＜”）；（2）请你参考右边方框中的方法指导，就a（当a＞1时）的所有取值情况进行分析，要使铺设的管道长度较短，应选择方案一还是方案二？
科目：初中数学
题型：解答题
某班数学兴趣小组在一次学习研讨中，兴奋地发现一个真命题，内容如下：如图（1），正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM，那么BN=CM，且∠NOC=60°．（1）请证明上述真命题．（2）请你运用类比的思想，大胆猜测，在横线上填写适当内容，得到一个类似的真命题：如图（2），正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM，那么AN=______，且∠DON=______度（不要求证明）．
科目：初中数学
来源：2007年四川省成都市双流县中考数学试卷（解析版）
题型：解答题
某班数学兴趣小组在一次学习研讨中，兴奋地发现一个真命题，内容如下：如图（1），正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM，那么BN=CM，且∠NOC=60&．（1）请证明上述真命题．（2）请你运用类比的思想，大胆猜测，在横线上填写适当内容，得到一个类似的真命题：如图（2），正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM，那么AN=______，且∠DON=______度（不要求证明）．已知正方形ABCD中,M为AB的中点,E为AB延长线上一点,MN垂直于DM交角CBE的平分线于N.（1）证明：MD=MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”,其他条件不变,则结论MD=MN成_作业帮
已知正方形ABCD中,M为AB的中点,E为AB延长线上一点,MN垂直于DM交角CBE的平分线于N.（1）证明：MD=MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”,其他条件不变,则结论MD=MN成
已知正方形ABCD中,M为AB的中点,E为AB延长线上一点,MN垂直于DM交角CBE的平分线于N.（1）证明：MD=MN.（2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M是AB上的任意一点”,其他条件不变,则结论MD=MN成立吗?请说明理由.
1.取AD的中点G,连接GM因为 正方形ABCD所以 AB=AD,角A=90度因为 M为AB的中点,G为AD的中点所以 DG=GA=AM=MB因为 角A=90度,GA=AM所以 角MGA=45度因为 BN是角CBE的平分线所以 角NBE=45度所以 角DGM=角MBN=180-45=135度因为 MN垂直DM,角A=90度所以 角DMA+角MDG=角DMA+角NMB所以 角MDG=角NMB因为 角DGM=角MBN,DG=MB所以 三角形DGM全等于三角形MBN所以 MD=MN2.成立在AD上取点G,使AG=AM,连接GM因为 正方形ABCD所以 AB=AD,角A=90度因为 AG=AM所以 DG=MB因为 角A=90度,AG=AM所以 角MGA=45度因为 BN是角CBE的平分线所以 角NBE=45度所以 角DGM=角MBN=180-45=135度因为 MN垂直DM,角A=90度所以 角DMA+角MDG=角DMA+角NMB所以 角MDG=角NMB因为 角DGM=角MBN,DG=MB所以 三角形DGM全等于三角形MBN所以 MD=MN
一楼回答的好
就是看起来累！
1.取AD的中点G，连接GM , 因为M是AB中点，故DG=BM,AG=AM,<AGM=45°，<DGM=135°=<NBM,<NMB+<DMA=90°=<GDM+<DMA,所以<GDM=<NMB,所以三角形DGM全等于三角形MBN 所以 MD=MN 2，不成立。既然“M是AB上的任意一点”，那么M点可以与B点重复，MN(即BN)就是角CBE的平分线，MN垂直于DM与角CBE的平分线不存...三角形ABC中,AD是中线,点M,N分别在AB,AC上,且角MON=90度,若BM的平方+C N的平方 =DM平方+DN平方 证AD平方=4分之1(AB平方+AC平方）_作业帮
三角形ABC中,AD是中线,点M,N分别在AB,AC上,且角MON=90度,若BM的平方+C N的平方 =DM平方+DN平方 证AD平方=4分之1(AB平方+AC平方）
三角形ABC中,AD是中线,点M,N分别在AB,AC上,且角MON=90度,若BM的平方+C N的平方 =DM平方+DN平方 证AD平方=4分之1(AB平方+AC平方）
如图作辅助线.CE=BM;EN=MN;所以：CE^2+CN^2=DM^2+DN^2=MN^2=EN^2;角ECN=90度.易证角BAC=90度.易证AD^2=1/4(AB^2+AC^2).有几步略了.你应该能证出来.&图看不见自己画个.MD延至E,使DE=MD.}