求 f=(sinx)^2的麦克劳林级数展开式_百度知道
求 f=(sinx)^2的麦克劳林级数展开式
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.!-(2x)^4&#47!-;2;4.;6...!+;2[1-1+(2x)²4;&#47.!+;/4;-2^3x^4&#47!-(2x)^4&#47.]=x&#178.]=1&#47.;2;2=1&#47!+2^5x^6/2[(2x)&#178f(x)=(1-cos2x)&#47
写成∑形式可好
∑(-1)^(n-1)*2^(2n-1)*x^(2n)/(2n)!
为什么之前的1/2没有了？
乘进去约掉了
之前不有个1么
哦，没看到！O(∩_∩)O
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f″(0)=2;x^4&#47，f(&#8319f(x)=sin²2;)(x)=2^(n-1)sin[2x+(n-1)π/4，f′(0)=0!-2³n，f(4)(0)=-8!+……+2^(n-1)sin[(n-1)π&#47，……;5;&#47，f(³x;2]x&#8319，先求它在x=0处的各阶导数;&#47。所以f(0)=0!+2^5x^5/2];7!-2^7x^7/)(0)=0;2]所以展开后为f(x)=2x²)(0)=2^(n-1)sin[(n-1)π&#47。因为f(&#8319
如果是f(x)=sinx²，那根据sinx=x-x³/3!+x^5/5!-....得：sinx²=x²-x^6/3!+x^10/5!-....如果是f(x)=(sinx)²=(1-cos2x)/2, 那根据cosx=1-x²/2!+x^4/4!-..., 得：(sinx)²=1/2[2²x²/2!-2^4x^4/4!+....]=x²-2³x^4/4!+2^5x^6/6!-.....
麦克劳林的相关知识
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淘豆网网友近日为您收集整理了关于泰勒公式与导数的应用.的文档，希望对您的工作和学习有所帮助。以下是文档介绍：1泰勒公式与导数的应用名称主要内容泰勒公式泰勒中值定理:如果)(xf 在含有 0x 的某个开区间)(a,b 内具有 1n 阶的导数,则对任一)(a,bx
,有 2 00//00/0 )(!2)())(()()( xxxfxxxfxfxf)()(!)(0 0)(xRxxnxfnnn ,此公式称为 n 阶泰勒公式;其中1 0)1()()!1()()(
nnn xxnfxR(
介于 0x 于 x 之间),称为拉格朗日型余项;或])[()( 0nn xxoxR
,称为皮亚诺型余项。n 阶麦克劳林公式:)(!)0(!2)0()0()0()()(2///xRxnfxfxffxf nnn 其中1)1()!1()()(
nnn xnxfxR( 10
)或)()( nn xoxR
。常用的初等函数的麦克劳林公式:1) )(!!2 12nnxxonxxxe
2) )()!12()1(!5!3sin 22 1253 nnnxonxxxxx 3) )()!2()1(!6!4!2 1cos 12 2642 nnnxonxxxxx 4) )(1)1(32)1ln( 1 132 nnnxonxxxxx 5) )(1 11 2 nnxoxxxx6) )(!)1()1(!2)1(1)1( 2 nnmxoxnnmmmxmmmxx 2巩固练习★1.按)1( x 的幂展开多项式 43)( 24 xxxf 。知识点:泰勒公式。思路:直接展开法。求)(xf 按)( 0xx
的幂展开的 n 阶泰勒公式,则依次求)(xf 直到 1n 阶的导数在 0xx
处的值,然后带代入公式即可。解:3( ) 4 6f x x x
, (1) 102( ) 12 6f x x
, f (1) 18( ) 24f x x
, (1) 24 24)()4( 24)1()4( 0)()5(将以上结果代入泰勒公式,得(4)2 3 4(1) (1) (1) (1)( ) (1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1! 2! 3! 4!f f f ff x f x x x x
432)1()1(4)1(9)1(108
xxxx 。★★2.求函数 xxf )( 按)4( x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。知识点:泰勒公式。思路:同 1。解:1( )2f xx
,1(4)43 21( )4f x x
,1(4)325 23( )8f x x
,3(4)256 2 74 1615)( xxf )(;将以上结果代入泰勒公式,得(4)2 3 4(4) (4) (4) ( )( ) (4) ( 4) ( 4) ( 4) ( 4)1! 2! 3! 4!f f f f ξf x f x x x x
4 27 32)4(128 5)4(512 1)4(64 1)4(4 12
xξxxx ,( ξ介于 x 与 4 之间)。★★★3.把 2 21 1)(xxxxxf 在 0x 点展开到含4x 项,并求)0()3(f 。知识点:麦克劳林公式。思路:间接展开法。)(xf 为有理分式时通常利用已知的结论)(1 11 2 nnxoxxxx 。解: 322 22 21 1)1(21 12 11 211 1)(xxxxxxxxxxxxxxxxf)(2221))(1)(1(21 442333又由泰勒公式知3x 前的系数(0)0 3!f
,从而(0) 0f
。★★4.求函数 xxf ln)(
按)2( x 的幂展开的带有皮亚诺型余项的 n 阶泰勒公式。知识点:泰勒公式。思路:直接展开法,解法同 1;或者间接展开法, )(xf 为对数函数时,通常利用已知的结论xx
)1ln( )(1)1(32 1132 nnnxonxxx 。方法一:(直接展开)1( )f xx
,1(2)2 2 1( )f xx
,1(2)43 2( )f xx
,1(2)4 nnnxnx,f)!1()1()( 1)(
, nnn nf2)!1()1()2( 1)(将以上结果代入泰勒公式,得(4)2 3 4(2) (2) (2) (2)ln (2) ( 2) ( 2) ( 2) ( 2)1 2! 3! 4!f f f fx f x x x x!
n(n)xnf)2(!)2( ))2(( nxo
2 3)2(2 1)2(2 12ln
3 3)2(23 1x))2(()2(2 1)1( 1 nnnnxoxn 。方法二:2)2 2(2 12 22ln)2 21ln(2ln)22ln(ln)(xxxxxxf2 313)2(2 1)2(2 12ln))2 2(()2 2(1)1()2 2(3 1 xxxoxnx nnn))2(()2(2 1)1()2(23 1 13 3nnnnxoxnx
。★★5.求函数xxf1)(
按)1( x 的幂展开的带有拉格朗日型余项的 n 阶泰勒公式。知识点:泰勒公式。思路: 直接展开法, 解法同 1 ; 或者间接展开法, )(xf 为有理分式时通常利用已知的结论2 1 21 1 11 (1 )n nnx x x xx
。方法一: 2 1( )f xx
, ( 1) 1 3 2( )f xx
, ( 1) 2 4 6( )f xx
1)( !)1()(
nnnxnx,f , !)1(!)1()1( 1)(将以上结果代入泰勒公式,得4 2 31 ( 1) ( 1) ( 1)( 1) ( 1) ( 1) ( 1)1! 2! 3!f f ff x x xx
nnxnf)1(!)1()( 1)1()1()!1()(
nnxnξf nxxxx )1()1()1()1(1 32
1 21)1()1(
nnnxξ( ξ介于 x 与 1 之间)。方法二:nxxxxxx)1()1()1()1(1[)1(1 11 32 ])1()1( 1 21 nnnxξ n32)1()1()1()1(1
1 21)1()1(
nnnxξ( ξ介于 x 与 1 之间)。★★6.求函数xxey
的带有皮亚诺型余项的 n 阶麦克劳林展开式。知识点:麦克劳林公式。思路:直接展开法,解法同 1;间接展开法。)(xf 中含有xe 时,通常利用已知结论)(2 12nnxxon!x!xxe
。方法一: ( 1) xy x e
, (0) 1 ( 2) xy x e
, (0) 2x(n)enx,y )(
,ny n)0()(,将以上结果代入麦克劳林公式,得2 3(0) (0) (0) (0)(0) ( )1! 2! 3! !(n)x n nf f f fxe f x x x x o xn
!2 32 xxx)!1( nxn)( nxo 。方法二:
!2))()!1(!2 1(3 2112xxxxonxxxxxe nnx)!1( nxn)( nxo 。★★7.验证当2 10
x 时,按公式62 132xxxex 计算xe 的近似值时,所产生的误差小于010. ,并求 e 的近似值,使误差小于 010. 。5知识点:泰勒公式的应用。思路:利用泰勒公式估计误差,就是估计拉格朗日余项的范围。解: 010
2!4!4)( 4 42 14 3 .xexexRξ;
。★★8.用泰勒公式取 5n ,求 21ln . 的近似值,并估计其误差。知识点:泰勒公式的应用。解:设)1ln()( xxf
,则(5)2 5(0) (0) (0)( ) (0)1! 2! 5!f f ff x f x x x
2 2xx 5 5x ,从而 0 320 220 20)20(21ln5432.......f.其误差为: )1(6 1)(6 665 ..xξxR
。★★★9.利用函数的泰勒展开式求下列极限:(1) )3(lim 23 3 (2)2 220sin)(cos1 21 1lim 2xexxxxx。知识点:泰勒展开式的应用。思路:间接展开法。利用已知的结论将函数展开到适当的形式,然后利用极限的运算性质得到结果。解:(1) ])1 1()3 1([lim)3(lim 2 13 12 23 3xxxxxxxxxx))]1(1 2)1 21(2 1)1(2 11())]1(o3 31 1([lim 2222xoxxxxxxx2 1))1(8 92 1(lim
xoxx。(2)2 21 )(cos)1(2 11limsin)cos(1 21 1lim 22xexxxxexxxxxxx12 1)(2 3)(8 1lim)))(1()(2 1()(2)1 21(2 12 11(2 11lim4 444
0xoxxoxxxoxxoxxo)xxxxx。★★10.设 0x ,证明: )1ln(2 2xxx
。6知识点:泰勒公式。思路:用泰勒公式证明不等式是常用的一种方法。特别是不等式的一边为某个函数,另一边为其幂级数展开的一部分时,可考虑用泰勒公式。解: 3 32)1(32)1ln(ξxxxx ( ξ介于 0 与 x 之间),∵ 0x ,∴ 0)1(3 3 3 ξx,从而2)1(32)1ln(2 332xxξxxxx
,结论成立。(也可用§3.4 函数单调性的判定定理证明之)★★11.证明函数)(xf 是 n 次多项式的充要条件是 0)()1(xf n。知识点:麦克劳林公式。思路:将)(xf 按照麦克劳林公式形式展开,根据已知条件,得结论。解:必要性。易知,若)(xf 是 n 次多项式,则有 0)()1(xf n。充分性。∵ 0)()1(xf n,∴)(xf 的 n 阶麦克劳林公式为:2(0)( ) (0) (0)2!f xf x f f x
3 ( ) ( 1) 1(0) (0) ( )3! ! ( 1)!n n n nf x f x f ξ xn n
2(0)(0) (0)2!f xf f x 3(0)3!f x!)0()(nxf nn ,即)(xf 是 n 次多项式,结论成立。★★★12.若)(xf 在][a,b 上有 n 阶导数,且( 1)( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0nf a f b f b f b f b
证明在)(a,b 内至少存在一点ξ,使)(0)()(bξaξf n 。知识点:泰勒中值定理、拉格朗日中值定理。思路:证明)(0)()(bξaξf n ,可连续使用拉格朗日中值定理,验证)()1(xf n在][a,b 上满足罗尔中值定理;或者利用泰勒中值定理,根据)(xf 在 bx
处的泰勒展开式及已知条件得结论。方法一:∵)(xf 在][a,b 上可导,且)()( bfaf
,∴由罗尔中值定理知,在)(a,b 内至少存在一点 1ξ,使得 1( ) 0f ξ ;∵( )f x 在][][ 1 a,b,bξ 上可导,且( ) 0f b
,∴由罗尔中值定理知,在)()( 1 a,b,bξ 内至少存在一点 2ξ,使得 2( ) 0f ξ ;依次类推可知, )()1(xf n在][ 1,bξn ][a,b 上可导,且 0)()( )1(1)1( bfξf nnn,7∴由罗尔中值定理知,在)()( 1 a,b,bξn
内至少存在一点ξ,使得 0)()(ξf n。方法二:根据已知条件, )(xf 在 bx
处的泰勒展开式为:( 1) ( )2 1( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )2! ( 1)! !n nn nf b f b f ξf x f b f b x b x b x b x bn n
nnbxnξf)(!)()( )( bξx
,∴)(af 0)(!)()( nnbanξf,从而得 0)()(ξf n,结论成立。内容概要名称主要内容函数的单调性与曲线的凹凸性函数单调性的判别法:设)(xfy
在][a,b 上连续,在)(a,b 内可导,则(1)若在)(a,b 内( ) 0f x
在][a,b 上单调增加;(2)若在)(a,b 内( ) 0f x
在][a,b 上单调减少。1) 曲线凹凸性的概念:设)(xf 在区间 I 内连续,如果对 I 上任意两点 21 , xx ,恒有2)()()2( 2121 xfxfxxf,则称)(xf 在 I 上的图形是凹的;如果恒有2)()()2( 2121 xfxfxxf,则称)(xf 在 I 上的图形是凸的。2)拐点的概念:连续曲线上凹弧与凸弧的分界点成为曲线的拐点。曲线凹凸性的判别法:设)(xf 在][a,b 上连续,在)(a,b 内具有一阶和二阶导数,则(1)若在)(a,b 内( ) 0f x
在][a,b 上的图形是凹的;(2)若在)(a,b 内( ) 0f x
在][a,b 上的图形是凸的。巩固练习★1.证明函数)1ln( 2xxy
单调增加。知识点:导数的应用。思路:利用一阶导数符号判断函数的单调性是常用的方法。在某个区间 I 上, ( ) 0f x
( ( ) 0f x
),则)(xf 在 I 单调增加(减少)。8证明:∵2 2 2 2 (1 )1 0 1 1x xyx x
(仅在 1x 处 0y
),∴)1ln( 2xxy
在)( , 内是单调增加的。★2.判定函数)20(sin)( πxxxxf
的单调性。解:∵( ) 1 cos 0f x x
处( ) 0f x
),∴)20(sin)( πxxxxf
是单调增加的。★★3.求下列函数的单调区间:(1) 13 31 23 (2) )0(8 2 (3)3 2 32(4) )1ln( 2 (5) xxy )1( (6) xxy ln2 2 。知识点:导数的应用。思路:利用一阶导数符号判断函数的单调性。求函数的单调区间,用导数为零的点及不可导点,将定义域划分成若干个区间,然后在每个区间上判断函数的单调性;如果划分定义域的点有两个或以上,可列表讨论,使得思路更清晰一些。解:(1) 13 31 23 xxxy 的定义域为)( , ;令2 2 3 0y x x
,得 11 x , 32 x 。列表讨论如下:x)1( ,1)31( ,3)3( ,( )f x 0 - 0 )(xf↗↘↗由上表可知, 13 31 23 xxxy 在)1( , 、)3( , 内严格单增,而在)31( , 内严格单减。(2) 在)0( , 内,令 2 82 0yx
,得 2当)20( ,x
时,有 0当)2(
,x 时,有 0∴)0(8 2
xxxy 在)20( , 内严格单增,在)2( , 内严格单减。(3)3 2 32xxy
的定义域为)( , ;令1 3 33 2 2 2( 1)0 3 3 3xy xx
,得 1 0x 为不可导点。列表讨论如下:9x)0( ,0)10( ,1)1( ,( )f x 0 - 0 )(xf↗↘↗由上表可知,3 2 32xxy
在)0( , 、)1( , 内严格单增,而在)10( , 内严格单减。(4) )1ln( 2xxy
的定义域为)( , ,2 2 2 1 1(1 )1 1 1xyx x x x
0 ,∴)1ln( 2xxy
在)( , 内严格单增。(5) xxy )1(
的定义域为)0[ , ,∵3 23( ) 1 0 2y x x x
,∴ xxy )1(
在)0[ , 上严格单增。(6) xxy ln2 2 的定义域为)0( , ,令2 1 4 1 4 0xy xx x
,得2 1当)2 10( ,x
时, 0当)2 1(
,x 时, 0∴ xxy ln2 2 在)2 10( , 内严格单增,在)2 1( , 内严格单减。★★4.证明下列不等式:(1) 当 0x 时, xx
1 21 1 ; (2)当 4x 时,2 2(3)当 0x 时, xxx arctan)1ln()1( (4)2 0πx
时,3 31tan xxx
。知识点:导数的应用或者泰勒公式的应用。思路:利用泰勒公式可以证明一些不等式(见习题 3-3 第 10 题),利用函数单调性也是证明不等式常用的方法。解:(1)方法一:令 xxxf
1 21 1)( ,则当 0x 时,1 1( )2 2 1f xx
)1 11(2 1x 0 ,∴ xxxf
1 21 1)( 在)0[ , 上严格单增;从而 0)0()(
fxf ,即 xx
1 21 1 ,结论成立。10方法二:由泰勒公式,得2 32 23 2)1(8))1(8 21 1(2 111 21 1)(ξxξxxxxxxf ( xξ 0 ),∴ 0)1(8)(2 32ξxxf ,从而得 xx
1 21 1 ,结论成立。(2)方法一:令2 2)( xxf x ,则当 4x 时, ( ) 2 ln 2 2xf x x
,2 2 2 2 2 2( ) 2 ln 2 2 (4) 16ln 2 2 (ln 4 ) 2 (ln ) 2 0xf x f e
,∴( ) 2 ln 2 2xf x x
在)4( , 内严格单增,从而( ) 2 ln 2 2 (4) 16ln 2 4 4(ln16 1) 0xf x x f
,∴2 2)( xxf x 在)4( , 内严格单增,在)4( , 内 08)4(2)( 2 fxxf x,∴2 2 xx ,结论成立。注:利用( )f x 的符号判断( )f x 的单调性,利用( )f x 的单调性判断其在某区间上的符号,从而得出)(xf 在某区间上的单调性,也是常用的一种方法。方法二:令 xxxf ln22ln)(
,当 4x 时, 0 21 4ln2 12 12ln2 2ln)(/xxf ,∴ xxxf ln22ln)(
在)4( , 内严格单增,∴ 04ln22ln4)4(ln22ln)(
fxxxf ,从而有, xx ln22ln
,∴xxee ln22ln ,即2 2 xx ,结论成立。(3)令 xxxxf arctan)1ln()1()(
,则当 0x 时有 2 1( ) ln(1 ) 1 0 1f x xx
(仅在 0x 时, ( ) 0f x
),∴)(xf 在)0[ , 上严格单增,从而有 0)0()(
fxf ,即 xxx arctan)1ln()1(
,结论成立。(4)令 xxxg
tan)( ,则当2 0πx
时,有2 2( ) sec 1 tan 0g x x x播放器加载中，请稍候...
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1泰勒公式与导数的应用名称主要内容泰勒公式泰勒中值定理:如果)(xf 在含有 0x 的某个开区间)(a,b 内具有 1n 阶的导数,则对任一)(a,bx
,有 2 00//00/0 )(!2)())(()()( xxxfxxxfxfxf)()(!)(0 0)(xRxxnxfnnn ,此公式称为 n 阶泰勒公式;其中1 0)1()()!1()()(
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f(x)=tanx,所以f '(x)=1/cos²x,f "(x)= 2cosx*sinx / (cosx)^4 = 2sinx /(cosx)^3f "'(x)= [2cosx*(cosx)^3 - 2sinx*3cos²x* (-sinx) ]/ (cosx)^6于是当x=0时,f(0)=0,f '(0)=1,f "(0)=0,f "'(0)=2故f(x)=tanx带皮亚诺余项的三阶麦克劳林公式是,f(x)=f(0) f'(0)x f''(0)/2!·x^2, f'''(0)/3!·x^3
2/3! ·x^3
o(x^n) 其中o(x^n)为公式的皮亚诺(Peano)余项应用matlab求解一元或多元泰勒展开
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