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评论 - 437【图文】第三章序列自相关_百度文库
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第三章序列自相关
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& 2017年高考数学（理）一轮复习讲练测：专题11.3 变量间的相关性（讲）（解析版）
2017年高考数学（理）一轮复习讲练测：专题11.3 变量间的相关性（讲）（解析版）
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资料概述与简介
【课前小测摸底细】
1.【课本典型习题】观察下列关于两个变量和的三个散点图，它们从左到右的对应关系依次为（
A．正相关、负相关、不相关
B．负相关、不相关、正相关
C．负相关、正相关、不相关
D．正相关、不相关、负相关
2.【2016全国丙卷文18】下图是我国年至年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图.
注：年份代码分别对应年份.
（1）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的回归方程（系数精确到），预测年我国生活垃圾无害化处理量.
参考数据：，，，.
参考公式：相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
【答案】（1）；（2）亿吨
故可用线性回归模型拟合变量与的关系.
（2），，所以,
,所以线性回归方程为
当时.因此，我们可以预测年我国生活垃圾无害化处理亿吨
3.【2017届黑龙江双鸭山宝清高级中学高三文适应性考试数学试卷】某单位为了了解办公楼用电量（度）与气温（℃）之间的关系，随机统计了四个工作日的用电量与当天平均气温，并制作了对照表：
气温（℃） 18 13 10 -1
用电量（度） 24 34 38 64
由表中数据得到线性回归方程，当气温为时，预测用电量约为（
4.（吨）与相应的生产能耗(吨)的几组对应数据：
若根据上表提供的数据用最小二乘法可求得对的回归直线方程是，则表中的值为（
试题分析：由题意，因为对x的回归直线方程是
5.【改编自2013年福建高考】已知x与y之间的几组数据如下表：
x 1 2 3 4 5 6
y 0 2 1 3 3 4
假设根据上表数据所得线性回归直线方程为＝x＋.若某同学根据上表中的前两组数据(1,0)和(2,2)求得的直线方程为y＝b′x＋a′，则的大小关系分别是
【考点深度剖析】
1．以考查线性回归系数为主，同时可考查利用散点图判断两个变量间的相关关系．
2．以实际生活为背景，重在考查回归方程的求法．
【经典例题精析】
相关关系的判断
【1-1】观察下列各图形．
其中两个变量x、y具有相关关系的图是(　　)
A．(1)(2)　　　　　 B．(1)(4)
【1-2】【2017届湖南益阳市高三9月调研数学】某公司年的年利润（单位：百万元）与年广告支出（单位：百万元）的统计资料如下表所示：
根据统计资料，则
A．利润中位数是16，与有正线性相关关系
B．利润中位数是17，与有正线性相关关系
C．利润中位数是17，与有负线性相关关系
D．利润中位数是18，与有负线性相关关系
试题分析：6个数中间两个为16,18，平均数为17，即为中位数，又增加时，也跟着增加，因此是正相关．故选B．
1．变量间的相关关系
(1)常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是相关关系；与函数关系不同，相关关系是一种非确定性关系．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为正相关，点分布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为负相关．
2．相关系数的计算公式
若，则两变量相关性很强.若，则两变量相关性一般，否则即说无相关性.
【方法规律技巧】
相关关系与函数关系的异同点：
(1)相同点：两者均是指两个变量的关系．
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系．
②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系．
【变式探究】x，y有观测数据(xi，yi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(1)；对变量u，v有观测数据(ui，vi)(i＝1,2，…，10)，得散点图(2)．由这两个散点图可以判断(　　)
A．变量x与y正相关，u与v正相关
B．变量x与y正相关，u与v负相关
C．变量x与y负相关，u与v正相关
D．变量x与y负相关，u与v负相关
【解析】由正、负相关的定义知，x与y负相关；
u与v正相关，
【变式二】【2016年内蒙古包头市高三学业水平测试与评估（二）数学】对某两名高三学生在连续9次数学测试中的成绩（单位：分）进行统计得到如下折线图。下面关于这两位同学的数学成绩的分析中，正确的共有（
①甲同学的成绩折线图具有较好的对称性，与正态曲线相近，故而平均成绩为130分；
②根据甲同学成绩折线图提供的数据进行统计，估计该同学平均成绩在区间内；
③乙同学的数学成绩与考试次号具有比较明显的线性相关性，且为正相关；
④乙同学在这连续九次测验中的最高分与最低分的差超过40分。
，…，是变量和的个样本点，直线是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是（
（A）和的相关系数为直线的斜率
（B）和的相关系数在0到1之间
（C）当为偶数时，分布在两侧的样本点的个数一定相同
（D）直线过点
【解析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数，线性回归方程的意义等进行判断．
选项 具体分析 结论
A 相关系数用来衡量两个变量之间的相关程度，直线的斜率表示直线的倾斜程度；它们的计算公式也不相同 不正确
B 相关系数的值有正有负，还可以是0；当相关系数在0到1之间时，两个变量为正相关，在到0之间时，两个变量负相关 不正确
C 两侧的样本点的个数分布与的奇偶性无关，也不一定是平均分布 不正确
D 回归直线一定过样本点中心；由回归直线方程的计算公式可知直线必过点 正确
【2-2】改革开放以来，我国高等教育事业有了突飞猛进的发展，有人记录了某村年五年间每年考入大学的人数，为了方便计算，2001年编号为1,2002年编号为2，……，2005年编号为5，数据如下：
年份（x） 1 2 3 4 5
人数（y） 3 5 8 11 13
（1）从这5年中随机抽取两年，求考入大学的人数至少有年多于10人的概率.
（2）根据这年的数据，利用最小二乘法求出关于的回归方程，并计算第年的估计值。
参考:用最小二乘法求线性回归方程系数公式
【答案】（1）；（2）．
【课本回眸】
1.线性相关关系与回归直线
如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．
2.回归方程
①最小二乘法：求回归直线使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小的方法叫做最小二乘法．
②回归方程：方程是两个具有线性相关关系的变量的一组数据的回归方程，其中是待定系数.
3.回归分析
①定义：对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法．
②样本点的中心：在具有线性相关关系的数据中，，称为样本点的中心.
③相关系数
a．计算公式：
b．当r>0时，表明两个变量正相关；
当r<0时，表明两个变量负相关．
r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强．r的绝对值越接近于0，表明两个变量之间相关性越弱．通常|r|大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．
【方法规律技巧】
1.用最小二乘法求回归直线方程的步骤
2. 回归方程的应用
利用回归方程可以对总体进行预测估计,回归方程将部分观测值所反映的规律进行延伸,使我们对有线性相关关系的两个变量进行分析和控制,依据自变量的取值估计和预报因变量的值,在现实生活中有广泛的应用.
【变式探究】位学生参加期末考试，某班位学生的语文成绩，数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示，甲、乙、丙为该班三位学生．
从这次考试成绩看，
①在甲、乙两人中，其语文成绩名次比其总成绩名次靠前的学生是
②在语文和数学两个科目中，丙同学的成绩名次更靠前的科目是
【答案】乙；数学
【变式二】【2016届山西省高考考前质量检测三】某公司为了解广告投入对销售收益的影响，在若干地区各投入万元广告费用，并将各地的销售收益绘制成频率分布直方图（如图所示）.由于工作人员操作失误，横轴的数据丢失，但可以确定横轴是从开始计数的.
（Ⅰ）根据频率分布直方图计算图中各小长方形的宽度；
（Ⅱ）估计该公司投入万元广告费用之后，对应销售收益的平均值（以各组的区间中点值代表该组的取值）；
（Ⅲ）该公司按照类似的研究方法，测得另外一些数据，并整理得到下表：
表中的数据显示，与之间存在线性相关关系，请将（Ⅱ）的结果填入空白栏，并计算关于的回归方程.
回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为.
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ），.
年份 09 12 2013
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（Ⅰ）求y关于t的线性回归方程；
（Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：
易错分析：本题的易错点是第（Ⅰ）问计算错误，第（Ⅱ）问在年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，不知道如何回答.
正确解析：（Ⅰ）由题意知，，，所以=，
所以==，所以线性回归方程为.
温馨提醒：这部分内容，主要考查学生的数据处理能力、分析问题解决问题的能力、回归分析的思想方法.除了要熟练掌握基本的方法、步骤，更重要的是计算要细心，在平时的学习中，要克服对计算器的依赖，逐步认真计算，不断培养提高自身的运算能力.
四、学科素养提升之思想方法篇
求线性回归方程的方法技巧
【典例】某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：
需求量/万吨 236 246 257 276 286
利用所给数据求年需求量与年份之间的线性回归方程＝x＋；
(2)利用(1)中所求出的线性回归方程预测该地2016年的粮食需求量．
满分心得　求线性回归方程时，重点考查的是计算能力．若本题用一般法去解，计算更繁琐(如年份、需求量，不做如上处理)，所以平时训练时遇到数据较大的题目时，要考虑有没有更简便的方法解决．
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