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二次量子化理论
第四章 二次量子化理论§1 全同粒子体系 1． 微观粒子全同性原理 2． 两个全同粒子体系 3． 交换作用 §2 二次量子化方法 1． 粒子数表象 2． 波色子系统之一 3． 波色子系统之二 4． 费米子系统 5． Schwinger 作用量原理与场量子化 6． Klien－Gordan 标量场量子化 7． Dirac 场量子化 §3 几个简单的应用 1． 弱相互耦合的全同粒子体系跃迁几率计算 2． 费－狄统计和玻－爱统计分布律的推导 3． 光被原子吸收和原子的受激辐射与自发辐射 4． 光子和原子的相互作用能 H I 的表示式――电磁场的量子化§1 全同粒子体系 1． 微观粒子全同性原理 a） 现在研究几个全同粒子（比如电子） 。从经典和量子力学两种角度看，它们彼此都 不可分辨。然而，这两种情况有原则上的区别。在经典力学中，虽然它们彼此全同，但并未 失去它们各自的“个别性” ， “可分辨性”――在某一时刻设想予以定位编号后，在原则上可 以追踪鉴别；但在量子力学中，由于测不准原理的存在，电子轨道概念必须予以放弃，即使 设想在某一时刻予以定位编号， 在无限接近的随后时空， 它的坐标也不再具有定值， 就是说， 某时刻的定位对追踪毫无帮助，也就是说，原则上不能追踪鉴别，也就是说，在原则上都失 去了“个别性” “可分辨性” 。这导致同类微观粒子的原则上的完全的不可分辨性（而不是技 术上的不能分辨）这就是微观粒子的全同性原理。这是微观世界运动所特有的规律。 由全同性原理，立刻导致两个结论：第一，一切力学量（可观察） ，包括系统的哈密顿 量，相对于任何一对粒子编号的交换是对称的；第二，体系所有可观察的几率，相对于任何 一对粒子编号的交换也必须是对称的。 这时因为， 全同粒子体系的任何编号都是人为加给这 个微观体系的，因而不同的编号不应当导致任何可观察的不同的物理效应。关于第二点，我 们再略为仔细考察一下。 由于给出的任何几率都必须对称， 所以系统的状态波函数相对于任 何一对粒子编号的变换，只能改变一个相因子，即y (x1 ,L , x j ,L, x k ,Lx N ) = e jk y (x1 ,L , x k ,L , x j ,Lx N )这里 x 1 代表第一编号粒子的三个坐标和一个自旋投影力学变量的集合。接着再交换一次得ideid kj，还是根据全同性原理，应有 d jk = d kj ，由于这样接连两次的交换已全部还原，故e \ e2 id jk= +1 = ±1id jk还是由于全同性原理，这相因子与 j , k 等编号无关，即：y (x1 ,L, x j ,L , x k ,Lx N ) = ±y (x1 ,L , x k ,L , x j ,Lx N )总之，从全同性原理可得如下两个重要结论： i） 全同粒子体系的全部可观察力学量算符相对粒子间的交换是完全对称的； ii） 全同粒子体系的全部可能状态波函数相对粒子间的交换不是完全对称的就是 完全反对称的，中间既不对称又不反对称的状态是不会实现的。 b） 进一步研究体系波函数的对称反对称问题 根据上面所说，我们有根据假定交换系统中某一对粒子 j , k 的置换算符 Pjk ，即定义Pjky (L , x j , L , x k , L) = y (L , x k , L, x j , L) ，则由于 H 对此置换为对称，故有 [ H , Pjk ] = 0于是 Pjk 是守恒量，就是说，如系统的波函数在初始时刻是对称的（ Pjk 本征值 + 1 ） ，则其 后任何时刻为反对称的（ Pjk = -1 ） ，则总是反对称的。就是说：全同粒子体系状态波函数的对称性质是不随时间变化的。 全同粒子系统，其波函数究竟是对称的还是反对称的，取决于该类粒子的本质，这种 探讨在 QED 中进行，但现在都可以证明：由反对称波函数描述的粒子遵循费米－狄拉克统 计，简称费米子（如电子、质子、中子等） ；由对称波函数描述的粒子遵循玻色－爱因斯坦 统计，简称玻色子（如光子、各类介子） 。 相对论是量子力学证明：粒子体系波函数是对称反对称（或粒子所遵循的统计法则） 与其自旋具有单值关系――自旋为半整数的粒子都是费米子，自旋为整数的粒子都是玻色 子。 （不论单粒子或复合粒子） c） N 个全同粒子体系的波函数描述 &费米子体系&y i (x )}，就是说，它们都是单个费米子所可能占据的 任选一套单粒子态的正交归一完备组 {定态，对应的完全力学量组变数为 x 。一个特殊的基本反对称态可以写为y n1 (x1 ) y n1 (x 2 ) y n2 (x1 ) y n2 (x 2 ) 1 L = det ( , , ) y nA x x x L , n , , n 1 2 N 1 2 N M M N! y nN (x1 ) y nN (x 2 )= 1L y n1 (x N ) L y n2 (x N ) L M L y nN (x N )? (- 1) N!P[P ]Py n1 (x1 )y n2 (x 2 ) Ly nN (x N ) ? Ay n1 (x1 )y n2 (x 2 ) Ly nN (x N )这里， P 代表对 N 个粒子编号进行置换， [P ] 是置换 P 相对于某种基本顺序而言经过置换 次数的 奇偶 性 ， 求 和 对所有可 能的 置 换 进行 ， n1 , n 2 , L, n N 为 N 个 不 同的 态 的 编号 。A?1? (- 1) N!P[P ]P 反对称化算符。而一般的反对称态可表示为上面基本反对称态的叠加：y A (x1 , x 2 ,Lx N ) =n1 , n2 ,L, nk ,L? C (n , n12, L, n k , L)y nA (x1 , x 2 , Lx N ) （ ? nk = N ） 1 , n2 ,L, nk ,Lk由y nA 表达式得到一个重要结论：如果在 n1 , n 2 , L 中有任何两个数值相同，系统的 1 , n2 ,L 反对称波函数将为零，只当它们全部都不同时，系统的反对称的波函数才不为零，由此，费 米子系统中，不可能有两个（或更多个）粒子在同一时刻处于同一态上，这就是“泡利不相 容原理（1925） ” 。 &玻色子体系& 与费米子体系不同，玻色子体系是由对称波函数描述的，于是不存在泡利不相容原理 那样的现象，所以同一个单粒子态上可以被不止一个粒子所占据，就是说， n1 , n 2 , L 中有 些是相同的（就它们是态编号来说） ，或 n1 , n 2 , L 可以大于 1（就它们是粒子数来说） 。 一个特殊的基本的对称态可表为S yn (x1 , x 2 , Lx N ) = 1 , n2 ,L1 ? Py P1 (x1 )y P2 (x 2 )Ly PN (x N ) N !n1!L nk ! P n1 !n2 !L nk ! P'y P1 (x1 )y P2 (x 2 )Ly PN (x N ) ? N! P'=这里， P1 , L PN 分别为 1, L N 号粒子所占据的单粒子态的编号，它们之中有相同的，于是 记 n1 为 1 号态上占据的粒子数， n2 为 2 号态上所占据的粒子数等等。 这里 n1 + n2 + L+ nk = N 。 一般地对称态可表示为上面基本的对称态的线性叠加：y S (x1 , x 2 ,Lx N ) =【令 S ?n1 , n2 ,L? C (n , n ,L)y1 2S n1 , n2 ,L(x1 , x 2 , Lx N ) （ ? ni = N ）1 N!? P 为对称化算符，则PS yn (x1 ,x2 ,Lx N ) = 1 , n2 ,L1 n1!Lnk !y PN (x N ) 】 Sy P1 (x1 )y P2 (x2 )L2． 两个全同粒子体系 a） 设这个系统由费米在组成，所以它的总波函数必定相对于两粒子交换为反对称的， 即，如交换坐标是对称的，则交换自旋就必定是反称的，反之亦然。如果忽略一些小的相对 论效应， 则系统的哈密顿可分解为空间部分与自旋部分之积， 这样系统的波函数就可以写成 一个空间部分和一个自旋部分的乘积――可分离自旋变量，那么自旋部分波函数被合成为空间间波函数必为对称，0 反称组合（自旋为 0） c 0 =由于双粒子交换于双粒对 1 ì1 1 1 1 ü í ,- - - , ? ? 2 2 ? 连线中点的反演，导致l 2?2 2 不能为能为奇数ì 1 1 1 ? c1 = 2 , 2 ? 空间间波函数必为反称， 1 ì1 1 1 1 ü ? 1 对称组合（自旋为 1） í c 0 = í ,- + - , ? ? 2 2 ? l 必须须为奇数 2?2 2 ? 1 1 ? 1 ? c -1 = - 2 ,- 2 ?即双费米子自旋单重态的轨道量子数必为偶（包括 0） ，自旋三重态的轨道量子数必为奇。 具体例子： H 2 的基态，双电子的 l 为零（基态―― S 态）故 H 2 的基态为单重态，总角动 量 为零。还 比如 p - p 双 质子系统，就不可能有 奇 l 的但重态 和偶 l 的三重态。 可是氘核 （ p - n 系统）由于不是全同粒子系统，就不受上述分析的限制。 b） 一般地考虑两个全同粒子系统，设每个粒子自旋为 s ，系统合自旋为 S 。给以人为 的编号 s1 , m s1 ; s 2 , ms2 。按角动量分解规律有s1 s 2 SM = =m1 ,m 2?s1 s 2 m1 m 2 s1 s 2 SM s1 m1 s 2 m2s1 + s2 - S（ m1 + m2 = M ）m1 , m2? (- 1)s 2 s1 m 2 m1 s 2 s1 SM s1 m1 s 2 m 2= (- 1) 1s + s2 - Ss 2 s1 SM2 s- S就是说，这时交换两粒子，使系统自旋波函数多出 (- 1)。可是，另一方面，根据自旋与对 称 性的 关系的相对论量子力学 结论，这 全同双 粒子系统的 总波 函 数在粒子交换时 应出(- 1)2 s （ s 为整数时 + 1 ，半整数时 - 1 ，前者对应玻色子系统对称波函数，后者对应费米子系统反对称波函数） 。于是，由于上面两方面，可得自旋为 s 合成为 S 的全同双粒子系统， 其空间坐标波函数的对称性由 (- 1) 决定，只和 S 有关。即总自旋为偶数时，空间坐标波函S数为对称的（ l 为偶数） ；总自旋为奇数时，空间坐标波函数为反称的（ l 为奇数） 。 3． 交换作用 a） 由上面叙述知， 由全同性原理导致状态的对称反对称的限制， 而这种状态的限制又 和自旋有单一的关系，这就是说自旋对可实现的状态有很大的影响。显然，这也必定影响能 量本征值。于是即使系统的哈密顿 H 中不考虑自旋效应，全同粒子（如多电子系统）系统 的允许的能量也仍然依赖于系统的总自旋。 这种能量与自旋的依赖关系， 可以等效地 “看成” 是粒子间的一种“交换作用”的结果。这种作用基于全同性原理和自旋之上，所以纯粹是一 种量子效应。 b） 引入交换算符P12 = Px PsPx 交换粒子的空间坐标编号 Ps 交换粒子的自旋坐标编号很易证明，对 s =1 粒子 2 Ps =1 v v (1 + s 1 × s 2 ) 2 1 v v s 1 是 1 号粒子的自旋矢量算符，s 2 是 2 号粒子的。由于 s = 是费米子， P12 s 的本征值为 2 - 1 ，所以 Px = -( Ps ) -1 = - Ps利用自旋交换算符，可以把上面所说的“交换作用”表示为简明的形式，并将之加到系统的 哈密顿中去。下面，我们从两个电子的最简单情况出发来阐述。 c） 双电子系统，不考虑它们之间与自旋有关的作用，只考虑它们之间的电作用，并将 这种作用看成是微扰：v v V = V ( r2 - r1 )上述的“交换作用”将按如下方式表现出来：设电子分别处于 j1 ( r ) 和态上，它们的对称乘v积和反对称乘积就分别对应于系统总自旋和的情形。1 v v v v v j (r ) = [j1 (r1 )j 2 (r2 ) ± j1 (r2 )j 2 (r1 )] 2而粒子间相互作用算符 V ( r2 - r1 ) 在这两种态中的平均值为vvjVj =1 v v v v v v v v j1 (r1 )j 2 (r2 ) ± j1 (r2 )j 2 (r1 ) V j1 (r1 )j 2 (r2 ) ± j1 (r2 )j 2 (r1 ) 2 1 1 v v v v v v v v = j1 (r1 )j 2 (r2 ) V j1 (r1 )j 2 (r2 ) + j1 (r2 )j 2 (r1 ) V j1 (r2 )j 2 (r1 ) 2 2 1 1 v v v v v v v v ± j1 (r1 )j 2 (r2 ) V j1 (r2 )j 2 (r1 ) ± j1 (r2 )j 2 (r1 ) V j1 (r1 )j 2 (r2 ) 2 2 v v v v v v v v = j1 (r1 )j 2 (r2 ) V j1 (r1 )j 2 (r2 ) ± j1 (r2 )j 2 (r1 ) V j1 (r1 )j 2 (r2 ) v 2 v 2 v v v v v v v v = ò V j1 (r1 ) j 2 (r2 ) dr1dr2 ± ò Vj1 * (r2 )j 2 * (r1 )j1 (r1 )j 2 (r2 )dr1dr2j V j = A± J于是，能级的交换分裂为 DE ( S = 0) = A + J - A = J ， DE ( S = 1) = A - J - A = - J 。这 个能级分裂与总自旋有关这一事实可用上面的自旋交换算符很好的表示， 即上面的这两个值DE0 , DE1 是下面算符的本征值： 1 v v Ve = - JPS = - J (1 + 4 s1 × s 2 ) 22 这是因为 4s1 × s 2 = 2( S 2 - s12 - s 2 ) = -3( S = 0)、 1( S = 1) 。 于是就这样， 从对坐标波函数作v v v用的算符 V ( r2 - r1 ) 而等价地改变为作用于系统自旋波函数的算符 Ve 。 d） 三电子系统的交换作用 这时“成对作用”的交换算符可写为vVe = -1 v v J ij (1 + 4 s i × s j ) = - ? J ij Pij ? 2 i& j i& j 3 1 、 的 S 及 M S 退化，由欠期方程求其 2 2按有退化的微扰论，对这三电子系统，总自旋 S = 能级的分裂。 对MS =1 1 1 1 1 1 1 1 1 3 ，态为 , , ， DE 3 / 2 = , , Ve , , = -( J 12 + J 13 + J 23 ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ，态有三， - , , 、 ,- , 、 , ,2 2 2 2 2 2 2 2 2 2对MS =矩阵元 V11 = 方程1 1 1 1 1 1 , , - J 12 P12 - J 13 P13 - J 23 P23Ve - , , = - J 23 等等，得三阶欠期 2 2 2 2 2 2 J 23 + DE1 / 2 J 12 J 13 J 12 J 13 + DE1 / 2 J 23 J 13 J 23 =0 J 12 + DE1 / 22 2 2 DE13/ 2 + ( J 12 + J 13 + J 23 )DE12/ 2 + ( J 12 J 13 + J 13 J 23 + J 12 J 23 - J 12 - J 13 - J 23 )DE1 / 2 3 3 3 + [3 J 12 J 13 J 23 - ( J 12 + J 13 + J 23 )] = 0得三个根，一个等于 DE 3 / 2 ，另两个（即 S =1 态的两个能级） ： 22 2 2 DE1 / 2 = ± J 12 + J 13 + J 23 - J 12 J 13 - J 13 J 23 - J 12 J 23共分裂为三个能级。这里，由于三个状态可能不同，所以各个 J 之间不定相等。 §2 二次量子化方法 在描述大量全同粒子所组成的系统时，二次量子化方法是一种广泛使用的极为方便的 方法。在这种方法中，玻色子系统的波函数的对称性、费米子系统波函数的反对称性，都在 事先已经考虑了， 并且粒子数目可以当力学变数来处理。 特别是由于后来这个方法在相对论 量子力学中尤为需要，在那里述及的是粒子数可变的系统。 在非相对论性量子力学中，只研究总粒子数守恒的现象，采用二次量子化方法，也就 是采用一类特别的表象――粒子数表象来考虑问题， 其他表象这时虽然不够便利， 但原则上 并非不能应用。但在相对论性量子力学中，要研究粒子的产生和湮灭有关的现象，因此必须 要把粒子数目当作力学变数来对待， 这就需要结合狭义相对论理论， 按照二次量子化方法的 框架，对场实行量子化，这将导致全新的理论。 本节讲述的二次量子化方法属于非相对论范围。结尾部分述及场的量子化，大致仍属 于非相对论范围，但包括一些相对论场的量子化。 1． 占有数表象 a） 由于粒子全同、不可辨认、不可追踪，也就无法对粒子进行编号（如要编号，那也属于 人为强加的外来东西） ，势必要采用只管几个粒子（或没有一个粒子）占有某个态，而不去 问是哪几个粒子（或哪个粒子）占有该状态，于是，决定系统的一个状态也就是决定“占有 数的分布情况” （一种占有数的分布，或数种占有数分布及几率等） 。这就是占有数表象的核 心问题。 由于由于粒子数目虽多， 但是全同的， 所以系统的总波函数可以用一个单粒子的 “任何”y i (x )}代表这样一组完备的正交归一的单粒子的定态的波 一组完备的波函数组来构成。设 {函数， x 同时代表例如空间坐标及自旋变数， i 则代表它们的相应的一组量子数。为方便， 下面假定 i 的数值为分立的，并以1, 2,3, L 编号。这组单粒子态可以是一组处于任选外场中 的粒子态，但通常简单地取为一组平面波，即一组具有确定 P、S 3 的自由粒子波函数。为 使它们分立，可以考虑粒子在一个很大但有限的区域内运动，这样，它的动量分量的本征值v将是分立谱， 而本征值相邻的间距将和该区域的线度成反比， 并随区域线度的增大而趋于零。 在一个自由粒子系统中， 每个粒子的动量分别守恒， 因此， “态的占有数” ，亦即处于y i 态中的粒子数 ni 也不变，即“粒子数的分布” {ni } 不变。在粒子间有相互作用的粒子系统 中，每个粒子的动量并不守恒，因此占有数及占有数分布也不固定。对这样的系统，我们能 考虑的只是占有数及其分布具有各种值和方式的几率分布。 下面建立一种描述方法， 其中以占有数和其分布作为独立变量， 而不是像通常以坐标和 自旋为独立变量。 b） 此时系统的态用所谓占有数空间的波函数来描写，记作 C ( n1 , n 2 , L; t ) ，以区别于通常 的坐标波函数y (x 1 , x 2 , L; t ) ，模平方 C 表示有 n1 个粒子（不问是谁，也不问在哪）在y 1 态， n2 个粒子在y 2 态，…（ t 时刻）的几率。就是说，这时我们只注意区分各态上的粒子 数目，而不去区分粒子的号码，也不去问粒子在空间的具体位置。 根据前面全同性原理中的相应叙述知，对总粒子数守恒（即2?nii= N 不变）的无论是玻 色 子 系 统 还 是 费 米 子 系 统 处 在 某 一 种 分 配 ( n1 , n2 , L) 上 的 几 率 波 函 数 为y n1 , n2 ,L (x1 , x 2 , Lx N )（定态） ，并且处于不同分配方式 ( n1 ' , n2 ' , L) ， ( n1 ' ' , n 2 ' ' , L) 上的系统态的波函数正交，即y n1 ',n2 ',L (x1 , x 2 ,Lx N ) y n1 '', n2 '',L (x1 , x 2 ,Lx N ) = ò L òy *n1 ',n2 ',L y n1 '',n2 '',L dx1 L dx N= d n1 'n1 ''d n2 'n2 '' Ld nk 'nk '' L因此， 满足总数为 N 的一切 ( n1 , n2 , L) 序列的y n1 , n2 ,L (x 1 , x 2 , Lx N ) 它所对应的态矢序列将 构成 N 粒子体系的一组完备正交归一基矢，因之，可以用来建立一种“占有数表象” 。 于是， 坐标表象的波函数y (x 1 , x 2 , Lx N ; t ) 和粒子数表象的波函数 C ( n1 , n 2 , L; t ) 之间 有如下关系：y (x1 , x 2 , Lx N ; t ) =n1 + n2 +L= N? C (n , n ,L; t )y1 2n1 ,n2 ,L(x1 , x 2 , Lx N )这个变换式也充分说明了 C ( n1 , n 2 , L; t ) 的物理含义，比如，若取y (x 1 , x 2 , Lx N ; t ) 为某个y n1 ',n2 ',L (x1 , x 2 ,Lx N ) ，则 C (n1 ' , n2 ' ,L; t ) = 1 ，因为展式只剩下一项。而两个态的内积就表示为：yA yB =A n1 + n2 +L= N?C* (n1 , n2 ,L; t )C B (n1 , n2 ,L; t ) ? C A C B这样，y 1 (x )、y 2 (x )、 L 上的粒子数目 n1、n 2、 L 就处于力学变数的地位。应当指出，这种做法是以玻色子系统的波函数为对称，费米子系统的波函数为反对称 的前提，建立起来的。因此，在引用这种展开式、或引用这种变数时，就自动意味着自己预 先剔除了不满足对称性（或反对称性）要求的状态。 对于玻色子系统，由于y n1 , n2 ,L (x 1 , x 2 , Lx N ) 相对 x i 为对称的，使得它相对自己的脚标n1、n 2、 L 置换是不变的（这只意味着将粒子态的编号顺序改变，并不意味着实际上的占有数分配方式变化） ，从而玻色子系统的 C ( n1 , n 2 , L; t ) 中的 n1、n 2、 L 交换不改变 C。对于费 米子系统，C 宗量 ni 的交换可能引起 C 的变号，因为这种交换意味着态编号改变，这等效 于粒子编号的改变，即等效于粒子的交换。 c） 记占有数表象的基矢为 n1 n2 L ，坐标表象的基矢为 x 1x 2 Lx N 。任一 N 个全同粒子 系统的 P 态矢在这两个表象中的波函数定义为：ì x1x 2 Lx N P ? y (x1 , x 2 , L , x N ; t ) í n1 n2 L P ? C (n1 , n 2 , L; t ) ?再记占有数表象的基矢 n1 n2 L 在坐标表象的波函数：x1 , x 2 ,Lx N n1n 2 L ? y n1 ,n2 ,L (x1 , x 2 ,Lx N )于是前面关于波函数变换关系式用态矢符号表示为：x1 , x 2 ,Lx N P =? i? x ,x1 ni = N2, Lx N n1 n2 L n1 n 2 L P而且 n1 n 2 L P =òn1n2 L x1 , x 2 ,Lx N dx1 L dx N x1 , x 2 ,Lx N P或 C ( n1 n 2 L; t ) = dx1 L dx Ny *n1n2 L (x 1 , x 2 , Lx N )y n1n2 L (x 1 , x 2 , Lx N ) 而这就导致òn1 ' n 2 'L n1 ' ' n 2 ' 'L = d n1 'n1 ''d n2 'n2 '' L这个“内积” （及正交性）虽然可以理解为含 = d ni ''ni d ni ''ni 对变量 ni 求和，但更准确的理解 是返回去对y n1 ',n2 ',L (x1 , x 2 , Lx N ) 、y n1 '', n2 '',L (x1 , x 2 , Lx N ) 正交内积的理解。也可以把后 者的正交性定义为前者的正交性： 就是说， 占有数表象中不同基矢之间的正交性被定义为它 们在坐标表象中的波函数的正交性。 【前面已说过，对于满足?nii= N 的全部 {ni }序列，它们所对应的一组 n1 n2 L 对 N 体系统来说，显然具有完备性，就是说，这系统任一右矢总可展开为这些基右矢的线性组合， 于是，完备性方程成立：? ni = Ni?nn1 2L n1n2 L = 1】于是对于 N 体系统，我们借助单粒子的波函数完备组（其实是任一完全力学量的本征 矢量序列） ，构造出了一个适用于这个体系的具有正交归一完备基矢的占有数表象，对玻色 子，基矢对 ni 的置换无关；对费米子，则可能改变符号。 d） 进一步， n1、n 2、 L 作为力学变数的另一个极其重要之点是，可以借助此把量子力学的 描述方法扩充为与粒子数无关的形式。因为，对一定类型的粒子及一定的 { y i }而言，无论 粒子总数 N 为多少， 这里使用的都只是同一组自变数 n1、n 2、 L ，因此虽然对某一特定的系 统，N 是固定的，但却可以认为粒子数表象中的波函数 C ( n1 , n 2 , L; t ) 对于各个 ni 的“遍及 一切正整数及零”时都有意义，只是当?nii? N 时，其值为零而已。于是：ì dx1 L dx Ny *n n L (x1 , x 2 ,Lx N )y n n L (x1 , x 2 ,Lx N ) 1 2 1 2 ?ò C (n1 n 2 L; t ) = í 0 ? ?当? ni = N 当? ni ? Ni i现在我们（对一定类型的粒子）同时考虑具有各种 N 的系统，属于一定 N 值的每一个 状态都有一个由上式定义的波函数 C ( n1 , n 2 , L; t ) 。 假定属于不同 N 值的状态可以实行 “叠 加”而给出一个新的“状态” ，它的波函数等于原来的波函数的相应的叠加。再假定，任何 两个状态 A , B 的内积都定义为 C A * ( n1 , n2 , L; t )C B ( n1 , n2 , L; t ) 。这样，由一切 N 值的 系统的一切可能状态以及它们的叠加所给出的状态集合，就构成一个广泛的“态空间” ，而 且，不同 N 值所对应的子空间是相互正交的。 在非相对论的限度内，不必想像总粒子数为零的情况，但为了便利和完整，下面也使 用空态（Vacuum State） 、基态（Ground State）的概念，即认为 0,0, L 代表没有粒子的归 一的态。 它在坐标表象的波函数由y i (x ) 的基态按对称或反对称要求组合而成， 基态即对应 于本征值为零（对振子 n = 0 ，只剩零点能，对平面波本征态， Pi = 0 等）的态，按厄米算 符本征态正交定理，单粒子基态和单粒子的其他所有态均正交。由此，N 粒子的基态概念是 有物理根据的，并可指望它与别的态（ N ? 0 ）正交。 这样，前面对 N 粒子的正交归一完备性质仍然可以移用于任何 N 同时存在的广泛态空 间：vn1 ' n 2 'L n1 ' ' n 2 ' 'L = d n1 'n1 ''d n2 'n2 '' L当?n ' ? ?ni i jj' ' 则以空态填替，使y n1 ',n2 ',L (x1 , x 2 , Lx N ) 、y n1 '', n2 '',L (x1 , x 2 ,Lx N ) 均由相同多y i 构成；若?n ' = ?ni i j ? ni = Nij' ' 则还原前面。 L n1n2 L = 1?nn1 2对 N 固定系统（指一特定系统） ，附加条件?nii= N 即可还原到前面情况。而对任一态 y ，在占有数表象中的波函数为：C (n1 , n 2 ,L) = n1 , n2 , L y： 而当 y 为基矢之一时，即 y = n1 ' , n2 ' ,L 其波函数（占有数表象）C (n1 , n 2 ,L) = n1 , n2 ,L n1 ' , n 2 ' , L = d n1n1 'd n2 n2 ' L最后指出一点的是： 对玻色子，系统的占有数表象 n1 L ni -1 ni ni +1 L = ni n1 L ni -1 ni +1 L ； 对费米子，系统的占有数表象 n1 L ni -1 ni ni +1 L = ( -1) 2． 玻色子系统――之一 a） 玻色子的湮灭算符、产生算符及其对易关系 引入玻色子的湮灭算符 ai 和产生算符 ai+ ，它在二次量子化方法中起着基本的作用；这 两个算符不是作用在坐标及自旋变量上，而是作用在占有数 ni 等变量上。就是说，算符是 定义在占有数表象的广泛态空间中的，作用在空间中的态矢里的 ni 上。 定义 ai 、 ai+ ：ni?nj =1i -1jni n1 L ni -1 ni +1 Lì ? a i n1 , n2 , L , ni , L ? ni n1 , n 2 , L, ni - 1, L í + ? ?ai n1 , n2 , L , ni , L ? ni + 1 n1 , n 2 , L, ni + 1, L于是 ai 使第 i 个（单粒子）态的占有数减少一个， ai+ 使第 i 个（单粒子）态的占有数增加一 个，前者称为玻色子的湮灭算符，后者称为玻色子的产生算符。 利用 n1 n2 L 的完备性，显然可将它们表达为基本算符 n1 n2 L n1 n2 L 的叠加形式：ì ai = ? ni n1 , n2 , L , ni - 1, L n1 , n2 , L , ni , L ? n1 ,n2 ,L í + ?ai = ? ni + 1 n1 , n2 , L , ni + 1, L n1 , n 2 , L, ni , L n1 ,n2 ,L ?根据 ai 、 ai+ 的定义，很容易得到它们之间的对易关系。算符乘积 ai+ ai 作用在后面波 函数（占有数表象）上， ai 使 ni 减少一，但 ai+ 又使 ni 回到原值，从而总的并不改变 ni 值，+ 只是使该函数乘一常数， ai ai+ 情况也如此。此外，若 i, k 不同则 ai , a k （及 ai+ , a k 以及它们之间的组合）作用在不同的变量（ ni , nk ）上，是对易的，因此总的有：ì[ai , a + j ] = d ij ? í [a i , a j ] = 0 ? [a + , a + ] = 0 ? i j这组对易关系不仅决定了 ai 、 ai+ 的全部量子化特性，而且也完全决定了玻色子系统的量子 化特性，被称作 The Jordan Klein axioms of quantization。 上面 ai+ 是作为 ai 的厄米共轭算子提出来的，它们之间的厄米共轭关系还可由它们的矩 阵证实： 按 ai 定义，它的非零的矩阵元只有n1 , n 2 ,L, ni - 1,L ai n1 , n 2 , L, ni , L = ni显然，它的厄米算符的非零矩阵元可这样计算：将上面矩阵元共轭，按算符矩阵元转置它的 厄米算符的矩阵元的定义得：n1 , n2 , L, ni - 1,L ai n1 , n 2 , L, ni , L * = n1 , n2 ,L, ni , L a i+ n1 , n 2 , L, ni - 1, L = ni显然，后面的等式与上面关于 ai+ 的定义相一致，就是说， ai 的厄米算符的确是使 ni 增加一 后并乘以 ni + 1 因子的，也就是说上面那样定义（主要指“＋”号）是没有内在矛盾的， 即玻色子第 i 态的湮灭算符的厄米算符，就是第 i 态的产生算符。 b） 粒子数算符、总粒子数算符及有关的对易关系 构造下面的厄米算符N k ? a k+ a k可以证明，它的本征值不仅不会为负，而且就是后面所乘的态矢中，第 k 个（单粒子）态上 的玻色子数目 n' k 。 它的本征值非负是因为：设 j 为它的本征态，本征值为 n' k ，即N k j = n' k j标积以 j ，得2(j , N k j ) = n' k (j , j ) = n' k j= n' k2(j , a k+ a k j ) = (a k j , a k j ) = a k j进一步，以态矢 n'1 L n' k L 右乘 N k ：?0N k n'1 L n' k L ? a k+ a k n'1 L n' k L = n' k n'1 L n' k L+ 这就是 N k ? a k a k 被称作玻色子的第 k 态的粒子数算符的由来。由于厄米算子 N k 的本征值最小值为有限，最大值趋于无穷，所以根据厄米算子本征函 数完备性定理知， N k 的全部本征值（ 0,1, 2, L ）所对应的全部本征函数构成完备正交系。 这里，当然针对第 k 态说的。N k ? a k+ a k 的矩阵元为 m'1 L m' k L a k+ a k n'1 L n' k L = n' k d m '1 n '1 Ld m 'k n 'k L接着，我们引入总粒子数算符 N：N ? ? N k ? ? a k+ a kk k它对后面态矢的作用及其称为总粒子数算符的名称由来是很清楚的。 最后，再给出一些有关的对易关系。[ N k , N j ] = 0 将 两 项 各 四 个算 符 乘积 的 中 间 两个算符，按对易关系对易即可。 于是任何两个或几个（单粒子）态上所占据的粒子数目都可以同时被测量。这样，用完全的 最大序列 N k 的共同本征矢来撑开希伯特空间是十分方便的，而这，已在粒子数表象中进行 了。于是可用 N k 的本征值 n' k 标志态矢：f (n'1 n' 2 L n' k L) = n'1 n' 2 L n' k L而最一般的态矢可表示为这些态矢的线性叠加。ì [ N k , a l+ ] = d kl a k+ í ?[ N k , al ] = -d kl a kì [ N , al+ ] = al+ í ?[ N , a l ] = - a l[ N , ai+ a j ] = 0利用基本的对易关系这些对易关系都很容易证明。 c） 具有确定的粒子分配方式的态――占有数表象的基矢用产生算符和基态来表示+ 利用 a k 的定义和空态的概念，可以把占有数表象的基矢表示为+ n '2 (a1+ ) n'1 (a 2 ) (a k+ ) n 'k × n'1 n' 2 L n' k L = L L 0,0,L n'1 n' 2 n' k=+ 这是因为按 a k 定义有1 + n '2 (a1+ ) n '1 (a 2 ) L (a k+ ) n 'k L 0,0,L n'1 !n' 2 !L n' k !La k+ n' kn'1 L n' k -1L = n'1 L n' k L对每一个单粒子态均分别逐次作用即得。由于 ai+ 和 a + 因此基矢对变数的交换 j 之间可交换， 不变，这和前面的结论是一致的。 d） 按照独立变量的这一选法，各种物理量（包括系统的哈密顿量）的算符必须以作用在占 有数函数（或占有数表象的态矢）上的形式表述出来。具体途径是将各类算符通过湮灭和产 生算符来表述。 首先，需要指出的是，对全同粒子作用的任何算符，必须对全同粒子中任何两个粒子 编号的交换是对称的（注意不能为不对称或反对称的！ ）因为粒子是全同的，编号是人强加 给系统的，编号不应带来任何可观察的物理效应，比如，不会因编号的不同给力学量带来负 号的后果（详见前面全同原理叙述） 。 &单体算符&F = ? frr =1N（ r －粒子编号）这里 f r 只涉及第 r 号粒子的变数，各个 f r 对所属粒子的变数的依赖（作用）关系完全相同， 易证：F = ? i f k ai+ a k = ? f ik ai+ a ki,k i,kf ik = ò dxy i * (x ) fy k (x ) 与 r 无关！这里 i, k 是态的编号！证明分三步。先考虑 f 是厄米的，而且y k 是 f 的本征态，即 fy k = f ' k y k ，这种最简单 的情况，这时， F n'1 n' 2 L = ( n'1 f '1 + n' 2 f ' 2 + L) n'1 n' 2 L = 以F =? f'kkn' k n'1 n' 2 L ，所? f'kka k+ a k ，这是特例。再考虑y k 不是 f 的本征态，但仍假定 f 是厄米的，因之，总存在一个正交归一完备组 j j ，它们是 f 的本征态，使得 fj j = f ' ' j j j ，于是，以次完备 组 j j 为基础去构造一个粒子数表象，设 b j , b + j 为该粒子数表象的湮灭（ j j 态上的一个玻色 子）算符和产生（ j j 态上的一个玻色子）算符。从而可得 F =? f ''jjb+ j b j ，下面即将证明，从这个粒子数表象（以 j j 为单位粒子态）过渡到所考虑的粒子数表象（以y k 为单粒子数态）时，有? f ''jj+ b+ j b j = ? f ' k a k a k 。最后，如果 f 不是厄米的，总可以看成两个厄 k米算符的线性组合。于是单体算符的上述表达式得到了普遍的证明。 现在，我们已经把作用在坐标函数上的一个普通算符（单体算符）表示为作用于新变 量――占有数 ni 的态矢上的一个算符。若原先这个算符 f 会引起粒子状态的改变，则对 N 守恒的情况，f 使某个态中粒子数减少一个而在另一态中的粒子数必相应地增加一个。f 只 有对这前后的态的矩阵元才不为零，而这种情况现在的表达式表述得更为明朗了。 &两体算符&G = ? g (a, b) =a &bN1 N ? g ( a, b) 2 a ?b这里， g ( a, b) 只依赖于第 a 号第 b 号粒子的变数， g ( a, b) = g (b, a ) 而且各个 g 对所属粒 子的变数的依赖（作用）关系完全相同，易证：G=1 ? ik g lm ai+a k+ al am 2 i ,k ,l , mik g lm = òòy i * (x1 )y k * (x 2 ) gy l (x 2 )y m (x1 )dx1 dx 2证明如下。设想把 g ( a, b) 中的粒子号码 a, b 分离开来，令g (a, b) = ? ( Pt (a)Qt (b) + Pt (b)Qt (a )) （ t 不一定为 N）tN N N ~ ~ ~ G = ? ? Pt (a) × ? Qt (b) - ?? Pt (a)Qt (a) = ? Pt × Qt - ? Rtta =1a =1ta =1tt现在，这三组算符 Pt ， Qt ， Rt 都是单体算符，可以应用上面的结果~~~~~ Pt Qt = =+ 由于 al a k = a k+ al + d kl ，所以ik ,lm?iPtl ai+ a l k Qt m a k+ a mik ,lm?i Pt l k Qt m a i+ a l a k+ a m~~ Pt Qt =ik ,lm?iPimtl k Qt m ai+ {d kl + a k+ al }a m= ? i Pt Qt m ai+ a m + ~ + 而 - Rt = - ? i Pt Qt m ai a m 它恰与上式第一项相消imik ,lm?iPtl k Qt m ai+ a k+ al a m\G=ik ,lm t??i Pt l k Qt m a i+ a k+ al a m+ 现将 i 与 k 交换， l 与 m 交换，得到 G 的另一表达式，注意 ai+ , a k 可交换， al , a m 可交换，即得（相加除以 2）G=1 ì ü + + í? [ i Pt l k Qt m + k Pt m i Qt l ]?ai a k al a m ? 2 ik ,lm ? t ? 1 ik g ml ai+ a k+ a m al ? 2 ik ,lm=&“ n 体”算符&设 w( a1 , a 2 , L , a n ) 是依赖于第 a1 号粒子， 第 a 2 号粒子， …及第 a n 号粒子的变数的算符 （注 意n ? N ） ，而且对这 n 个号码的任何位置都具有对称性，并令 n 体算符为W =则按上面叙述推演得a1 & a2 &L& an? w(a , a1N2, L, a n )W =1 ? i1i2 Lin w i'1 i' 2 Li'n ai+1 ai+2 L ai+n ai 'n L ai '2 ai '1 n! i1i2Lini '1 i '2 Li 'n由上面的几个表达式知，普通算符过渡到用湮灭、产生算符表示时，表达式与系统粒子总数 无关，这是由于湮灭、产生算符本身也是（和原来算符一样）不依赖 N 的，事实上它们是 借助广泛的态空间而建立起来的。 在这些公式中， 每项所包含的产生与湮灭算符的个数都相 等。这也自然，因为，在非相对论性量子力学中，任何力学量算符作用于系统的任何状态的 结果，都仍属于原来系统的态空间，因此决不能使粒子总数目增加或减少。因此，任何力学 量算符在粒子数表象中的表示式和粒子总数算符可对易。换句话说，非相对论量子力学中， 与总粒子数算符相应的存在一个“超级选择定则” 。 &粒子数表象中的哈密顿算符表示式& 利用上面对算符的表示式，可以把薛定谔方程和其他形式的方程过渡到粒子数表象中， 表示成对任何数目的粒子的系统都适用的形式：设 T 代表单粒子的动能算符， U 代表单粒 子的位能算符， W 代表两粒子的相互作用位能算符，并设多体作用不存在，则总哈密顿算 符可写为H = ? i T + U i' ai+ ai ' +ii '1 ik W k ' i ' a i+ a k+ a k ' ai ' ? 2 ik ,i 'k 'e） 于是，在占有数表象中态矢的运动方程为ih而平均值公式为? n'1 n' 2 L; t ?t1= H n'1 n' 2 L; t （或 ih?P ?t=H P ）n '1 + n '2 +L= N? C * ( n'n' 2 L)WC (n'1 n' 2 L) = W于是任一状态 P 都可以看作“占有数本征态”的叠加，占有数表象的波函数与通常一样的几率解释，状态的变化由这个薛定谔方程（ H 由 ai , ai+ 表示）决定。总粒子数不同的系统 的差别可以完全归结为状态的差别（在非相对论范围内，所有力学量的算符均与 N 对易， 因之不能引起属于不同总粒子数的状态之间的跃迁） 。同时，与普通形式下粒子遵守玻色统 计的事实 （波函数对称性） 不能从方程式的求解中得出， 必须作为附加的独立条件处理不同， 但这里已被对易关系所保证，自然地内含于理论之中。在这两点上，二次量子化方程扩充了 量子力学的数字形式。二次量子化扼要步骤：…。任选一组单体正交归一完备组 { y i }，将 一切算符过渡到用 ai , a + ，同时要求 ai , a + j 表示（即只需算 出矩阵元） j 满足对易关系；这样ai , ai+ 就代表处在y i 上的 ni ，而 ai , a + j 代表…；遵守玻色统计事 实已由对易关系所保 证；任何一个状态y 都可看作“占有数本征态”的叠加；占有数表象波函数仍是波恩诠释；态 变化由 H 的薛表示。 f） 当然也可以采用粒子数表象的波函数 C ( n1 , n 2 , L) 及对它的运算的算符来表达二次量+ 子化方法。状态 P 由 C 波函数表达，湮灭产生 Ai , Ai 对 C 的宗变量 ni 作用，定义为n1 , n 2 , L ai+ P ? Ai+ n1 , n 2 , L P Ai 类似，所以+ ì ? Ai C (n1 ,L, ni ,L) = ni C (n1 ,L , (ni - 1),L) í ? ? Ai C (n1 ,L, ni ,L) = ni + 1C (n1 ,L , (ni + 1),L)【 这 用 本 征 态 即 好 理 解 ， 设 C 为 本 征 态 ， ni 对 应 的 本 征 值 为 n'i ， 现 经 Ai+ ，ni - 1 = n'i ? ni = n'i +1 ，前面系数亦为 n' i +1 ，或记为 C n '1 ,L,n 'i ,L (n1 ,L, ni - 1,L) = C n '1 ,L, n 'i +1,L (n1 ,L , ni ,L) 】于是 Ai C n '1 ,L,n 'i ,L ( n1 , L, ni - 1, L) =+n'i +1C n '1 ,L,n 'i +1,L (n1 , L , ni , L)Ai C n '1 ,L,n 'i ,L (n1 , L , ni - 1, L) = n'i C n '1 ,L,n 'i -1,L (n1 , L , ni , L)为过渡到这种运算，只需将前面单、双、多体算符中的 ai , ai+ 换以 Ai , Ai+ （ Ai , Ai+ 的对易?= 关系显然与 ai , ai+ 相同，并且如向量场算符过渡可直接从y ih ?C = HC (n1 n2 L; t ) ?t? Ayi ii过去）薛定谔方程为H 的表达式用 e 中但将 ai , ai+ 代以 Ai , Ai+ 。3． 玻色子系统――之二? (x ) 及y ? + (x ) 算符的引入及其对易关系 a） y前面所叙述的全部结果是在某一特定的单粒子态的完备正交归一组 { y i (x )}下得到的， 换另一套完备正交归一组 { j i (x )}得到的结果在形式上不变，但湮灭算符及产生算符变了， 现在它们是按下式定义的：它们分别使 j i (x ) 态上（而不是y i (x ) 态上）的粒子产生一个或 使 j i (x ) 态上减少一个。于是，以上的叙述虽然在形式上与单粒子态完备组的选择无关，在 实质上却是有关的。? (x ) 及y ? + (x ) ，则不但能等价等效的将前面所有结果表达得 但是，如果按下式引入y更为精练， 而且可以证明这两个算符与单粒子态的完备组的选择无关， 并且它们本身以及由 它们所组成的一些算符具有鲜明深刻的物理意义。 令场算符：? (x , t ) ? ? a ? k (t )y k (x ) yk? + (x , t ) ? ? a ? k+ (t )y k * (x ) yk + 当然，和前面一样， a k , a k 对后面的y k ,y k * 是不作用的（它们是普通函数，不是量子化算 + 符 ak , a k 作用的对象） ，作用对象是粒子数表象中的态矢，是这种态矢中对应的粒子数 n' k 。这里 x 是参量。+ ? ,y ? + 的对易关系。 根据 a k , a k 的对易关系和y k (x ) 的完备性，很容易决定y? (x , t ),y ? + (x ' , t )] = ? [a k , al+ ]y k (x )y l * (x ' ) [yk ,l= ? d kly k (x )y l * (x ' ) = ?y k (x )y k * (x ' ) = d (x - x ' )k ,l k类似 [y ,y ] ， [y + ,y + ] 。于是： （略去∧符号）[y (x , t ),y + (x ' , t )] = d (x - x ' ) [y (x , t ),y (x ' , t )] = 0 [y + (x , t ),y + (x ' , t )] = 0这就是它们之间的对易关系，这组对易关系式在非相对论场量子化中也处于基本重要的地 位。 b） y + (x , t ) 及y (x , t ) 的物理意义y + (x , t ) 及y (x , t ) 分别是在 t 时刻在 x 处产生一个和湮灭一个粒子的算符。 现分三步证明这一点：第一、第二步在这里讲，第三步在 Gordan Baym，Lectures Quantum Mechanics P.417-417 中讲。 （封背页） 首先，证明y + (x , t ) 作用到粒子数表象任何态矢上，所构成的新态（由y + 定义知是个 叠加态） ，其粒子总数比原先多一个。N (y + (x , t ) n'1 n' 2 L ) = ? N ky + (x , t ) n'1 n' 2 Lk + = ?y l * (x ) N k al+ n'1 n' 2 L = ?y l * {d kl a k + a l+ N k } n'1 n' 2 L k ,l k ,lì ü = í? al+y l * + ? al+y l *? N k ? n'1 n' 2 L l k ? l ? = y + (x , t ) + y + (x , t ) N ' n'1 n' 2 L = ( N '+1)(y + (x , t ) n'1 n' 2 L )其次，证明y + (x ' , t ) 作用到 0,0, L 态上所得到的态在 x 表象的波函数为 d (x - x ' ) 。{}y + (x ' , t ) 0 = ?y k * (x ' )a k+ 0k + + 根据 a k 的物理含义（它增加处于y k (x ) 态上一个粒子） ，知道态矢 a k 0 在 x 表象中的波函 + + 数为y k (x ) （注意 x 0 是参量且不包含在 a k 0 内） ，于是求和后的这个y 0 在 x 表象中的波函数为?ykk* (x )y k (x ) = d (x - x ' )这里，等式是根据 { y k }的完备性。这正好说明y + (x ' , t ) 作用到 0 态上时，物理作用 是在 t 时刻在 x ' 处产生一个粒子。 关于y (x , t ) 的作用的论证类似，它使后面的态矢中的总粒子数减少一。 根据y + (x , t ) 、y (x , t ) 的上述物理意义，我们知道它将和完备组 { y i }的选择无关，这 是使用y ,y + 的一个明显的理论上的优点之一。根据它们与完备组无关，我们就可以得到变 换单体完备组时，湮灭及产生算符如何变化。 设从另一个正交归一完备组 y j (x ) 出发，得到的湮灭和产生算符为 b + j , b j ，由于{}?j bj jj= ?y i aii以 j j * (x ) 乘等式两边，对 x 中的坐标变数积分对自旋变数求和，即得ì b j = ? j j y i ai ? i í + + b = ? j ? yi jj aj i ?这就是当完备组变换时，湮灭算符和产生算符变换的关系式。? + (x , t ) 、y ? (x , t ) 来表示及“y 场”量子化的观点。 c） 各种算符用y单体算符 F = 两体算符 G =?ii,kf k ai+ a k = òy + (x , t ) fy (x , t )dx1 y + (x1 , t )y + (x 2 , t ) g (1,2)y (x 2 , t )y (x1 , t )dx1 dx 2 2 òò 1 n 体算符 W = ò L òy + (x1 , t ) Ly + (x n , t ) w(1,2L n)y (x n , t ) Ly (x1 , t )dx1 L dx n n!到两体作用为正的哈密顿1 y + (x1 , t )y + (x 2 , t ) w(1,2)y (x 2 , t )y (x1 , t ) dx1 dx 2 2 òò 这些算符的这些表达式，只要把其中用它们的定义代入，即还原为前面的相应公式。于是这 些算符均表示成了与单粒子态的完备组选择无关的形式。 H = òy + (x , t )(T + U )y (x , t ) dx +d） 此外，还可以把总粒子数算符及所谓“定域粒子数算符”写为y ,y + 的形式。N ? ? a k+ a k ? òy + (x , t )y (x , t )dxkNn ? òy + (x , t )y (x , t )dxny i }的正交归一性，将y ,y + 定义代入即知； Nn 的公式，其物理意义是 N 的公式只要利用 {它的本征值为在 x 空间的n 体积中，找到体系里的粒子的总数目。显然，当n 扩展到系统的 全定义域时， Nn 即变为 N 。显然，对粒子数守恒的系统，当 N 可以和一切力学量算符对 易的时候， Nn 情况并不如此，这从物理上是可以预期的，只要该力学量使系统的波函数发 生畸变， Nn 与它就不会是可对易的。 L 不是指对有限个状态，而是指整个状态完全集合： 只要 W 改变其中一个，则 W 和 Nn 均不对易，和 Nn 对易的只有常数 C 。 作为 N 、 Nn 定义的基础，也作为y (x , t ) 量子化的直接推论，显然r (x , t ) ? y + (x , t )y (x , t )是这个全同粒子场的在 t 时刻在 x 处的“粒子数密度算符” 。随着下面叙述，这些算符的含义将还不断的被揭示。 首先我们证明如下对易关系，取空间某一体积n ，构造 Nn ，é + v v v + v ù v + v v + v ê òy (r ' , t )y (r ' , t )dr ',y (r , t )ú = ò dr ' y (r ' , t )y (r ' , t ),y (r , t ) ?n ? n v v v v v v v = ò dr ' y + (r ' , t ) y (r ' , t ),y + (r , t ) + y + (r ' , t ),y + (r , t ) y (r ' , t )[]{ { {[ [] [ ]}]}v v v v = ò dr ' y + (r ' , t ) y (r ' , t ),y + (r , t ) v v v v = ò dr ' y + (r ' , t )d (r '- r )n nn}v ì y + (r , t ) =í 0 ?v r ?n v r ?n v v这个结果的物理意义，考虑到y + ( r , t ) 及 Nn 的含义，则很明显，就是说，如果y + ( r , t ) 所 产生的一个粒子，若处在 Nn 的n 中，则应计入 Nn 的本征值，使本征值多一个（即n 中由 于y + 的作用而多出一个粒子） ，若 r 不处在n 中，则y ( r , t ) 与 Nn 无关，可交换（因y + 产+vv生的那个粒子不在 Nn 计数之列） 。 e） N 个全同粒子体系在坐标表象中基矢的表示 可以证明1 v v v v v v r1 , r2 , L rN ; t ? y + (r1 , t )y + (r2 , t )Ly + (rN , t ) 0 N!代表在 t 时刻完全定域于位置 r1 , r2 , L rN 的 N 个粒子的态，由于全同，当然不计是哪儿粒子 在哪号位置。于是，这组态矢就构成了全同粒子体系的很方便、概念十分鲜明的基矢，因为v vvv ri 交换对称性已被自动考虑在内了。下面利用算符 Nn 的性质对此给以证明。 首先我们假定上面态矢中，ri 各不相同，于是可分别构造 Nn 1 , Nn 2 , L , Nn N ，使每个n i 包含也只包含在内，于是，对每个 Nn i 的作用，它只与对应的 ri 在交换时出一个y + ( ri , t ) ， 与其他可交换，直至 Nn 0 = 0 。这样，每个 Nn i 作用的结果发现这个态是它的本征值为 1 的本征态，于是通过 Nn i 的检查的确发现这个态的 N 个粒子分别（但不区分粒子的编号）处 在 ri 处。vvvv如果 ri 中有相重的，例如 rk ， rl 这两个位置相重，则 Nn k 和其他的y + 均可交换，直到 这两个y + ( rk , t ) 、y + ( rl , t ) 之前，与它们交换分别出现一个y + ( rk , t ) 、y + ( rl , t ) ，总起来， 这个态对 Nn k 是本征值为 2 的本征态，等等。 于是我们利用 Nn 证明了体系在坐标表象中的基矢可以用y + 算符表示如上。 另外，我们来看看这组基是正交归一的。vvvvvvv1 0 v v v v v v f y (rN , t )Ly (r2 , t )y (r1 , t ) y + (r1 ' , t )y + (r2 ' , t ) Ly + (rN ' , t )f 0 N! 1 0 v v + + 0 = f y N Ly 2 d (r1 - r1 ' ) + y 1+'y 1 y 2 ' Ly N 'f N! 1 0 + + + + + + 0 = f y N Ly 2 d 11'y 2 ' + d 12 'y 1' + y 1'y 2 'y 1 y 3' Ly N 'f N! 1 0 + + + + + + + + 0 = f y N Ly 2 d 11'y 2 ' Ly N ' + d 12 'y 1' y 3' Ly N ' + L + d 1N 'y 1'y 2 ' Ly ( N -1)' f N! v v v v v v = d (r1 - r1 ' )d (r2 - r2 ' ) Ld (rN - rN ' ){ { {}}}这最后一步等式是由于粒子全同，坐标对称，因此各个 d 函数 ri 和 ri ' 在自己的编号内可以 互换（即不带撇可换任何不带撇，带撇的可换任何带撇的） 。 最后，从这个基矢表示式中，还可以看出如下等式：vvv v v v v v v v y + (r , t ) r1 , r2 ,L rN ; t = N + 1 r1 , r2 ,L rN , tf） 几率幅的表达式 我们已经走了比较多的路了，目前二次量子化的理论和我们原先多粒子的薛定谔方程 理论是否一致呢？需要再检验一下，以便使我们再次确信，对 N 守恒的全同粒子体系，我 们目前的理论实质就是多粒子（N 粒子）的薛定谔方程，只是换了一种等价的说法而已。 为此，先找出粒子数表象中一般态矢 n'1 n' 2 L 的波函数，即几率幅。根据物理考虑， 显然应当有y n '1 n '2L (x '1 , x ' 2 ,L , x ' N ; t ) = x '1 , x ' 2 , L, x ' N ; t n'1 n' 2 L就是说，粒子数表象中本征基矢 n'1 n' 2 L 的波函数就是它在坐标表象的基矢上的投影。而y n '1 n '2L (x '1 , x ' 2 ,L , x ' N ; t ) 就是我们以前的对称化的 N 粒子波函数。现用现在的语言来证明这一点。x '1 , x ' 2 ,L, x ' N ; t n'1 n' 2 L ==1 f 0y N Ly 1 N!1 (a1+ ) n1 ' L (a k+ ) nk ' f 0 n1 !n 2 !L1 f 0y (x N , t ) Ly (x1 , t )(a1+ ) n1 ' L (a k+ ) nk ' f 0 N !n1 !n 2 !L=1 y i1 (x1 )y i2 (x 2 ) Ly iN (x N ) f 0 aiN L ai1 (a1+ ) n1 ' L (a k+ ) nk ' f 0 ? N !n1 !n2 !L i1i2 Li N这里小括号里 a 和 a + 的个数都是 N，但 a + 的脚标是固定的，共有 k 个不同的固定的，而 a 的脚标各自都是可以独立的取任何值（代表态的编号，因为它们各自都是相应的y (x , t ) 的 展开）由于 a 和 a + 的对易关系可知若 i1 , i2 , L i N 中，有任何一个（只要一个就足够了）脚标 号与 a + 的 k 个编号不同， 则该 a 可以与所有 a + 对易， 而导致相应项为零 （注意 ai f0= 0） 。+ 于是， N 重求和的全部项中， 只剩下那些项， 它们对应的 ai1 , ai2 , L ai N 的脚标与 a1+ , L , a k 的脚标完全相同，而排列顺序（ ai 的）取所有可能的方式（因为原先的 i1 , i2 , L i N 是各自独立 变化各自取所有值的） ――但不包括相同脚标之间的置换！ 只是包括所有在不同脚标之间的 置换。根据 ai , ai+ 的对易关系，[a , (a ) ] = n (ai + i ni i+ i) ni -1于是 考 虑到 ai f0= 0 即可 得 ni 个 ai 和 ni 个 ai+ 的 兑 换 产生 一个 因 子 ni ! 。 其 余 脚 标的是公因子而且此公a j , a+ j 情况类似由于 a i 之间可交换，故求和号内各项中，包含算符的因子为 n'1 ! n' 2 !L n' k ! ，而恰好将前面的 N 重求和只剩下对不同（N.B.!）脚标之间的置换， 就是说共有 N ! / n'1 ! n' 2 !L n' k ! 项，现乘以此公因子恰为 N ! 项，于是可有x '1 , x ' 2 ,L, x ' N ; t n'1 n' 2 L =1 ? Py i1 (x1 )Ly iN (x N ) N !n'1 !L n' k ! P在上面证明了几率幅的表达式之后， 再次地证明了二次量子化方法的描述与通常多体薛 定谔方程的等价性。 总之，我们得到对几率幅 x '1 , x ' 2 , L , x ' N ; t n'1 n' 2 L 要遵从的多粒子薛定谔方程ih? ? ? x '1 , x ' 2 ,L , x ' N n'1 n' 2 L; t = ? ? H R ÷ x '1 , x ' 2 ,L , x ' N n'1 n' 2 L; t ?t è R ?即 ihN ? (N ) v v v ù (N ) v v é 1 2 y n'1 n'2 L (r1 L rN , t ) = ? ê ? k + V (rk )úy n '1 n '2 L ( r1 L rN , t ) ?t ? k =1 ? 2 m(N ) 显然， 交换任何一对点 ri , r j 时y n （原因是 x '1 , x ' 2 , L , x ' N ; t 中 '1 n '2 L ( r 1 L rN , t ) 都是对称的v vvv的y 之间 i, j 可交换） 。这样便又一次证明，二次量子化理论处理和 n 个 Bose－Einstein 粒子集合的标准的非相 对论量子力学在实质上是等价的。 4． 费米子系统 【参阅 J.Callaway, “Quantum Theory of the Solid State”, standard edition, 3 (1976). p. 364. Apendix D】 【最初建立费米子系统的二次量子化方法的是 P.Jordan and E.Wigner, Zs. f. phys. 47. 631(1928)】 a） 产生湮灭算符及粒子数算符 为了得到费米―狄拉克统计，需要一个包括修改基本对易关系的新出发点。我们知道， N 个 F－D 粒子集合的波函数在交换任意两个粒子的位置下完全反对称化， 这导致泡利不相 容原理，即不可能有多于一个粒子占据一个给定的单粒子态。因此，粒子数算符的本征值n1 , n 2 ,L ，只能取 0 和 1。y i }的标号按1,2,L 编号 n1 , n 2 ,L n N 就是 N 个不同的号码，于是粒子 同前面一样，把 {数表象中的基矢 n1 , n2 , L n N 在坐标表象的波函数（基本波函数）x '1 , L, x ' N n1 n2 L ? y n1n2 L (x '1 ,L, x ' N )? ? 1(- 1)[ ] Py ? N!P Pn1(x '1 )y n2 (x ' 2 ) L (x '1 )y i2 (x ' 2 ) Ly iN (x ' N )1(- 1)[ ] Py ? N!P Pi1【第一个表达式中， ni 是第 i 号态上的占有数为零，故一直延至 ? ； 第二个表达式中， i1 L iN 是 N 个态编号。每个态上一个粒子。这前 N 个态上占有数均为 1。 并应强调：由于最初排列的偶然性，故费米子体系的波函数？？的不确定性。 】 P 代表对 N 个粒子号码实行置换的算符， [P]代表置换 P 的奇偶性， P 奇时[P]取奇， P 偶时[P] 取偶。 现在，引一数组（ n1 , n 2 , L ni , L ）来标记上面的波函数，这些 ni 中，允许在任何位置 有任意数目的 0。 （不像上面 N 个 ni 均不为零，态上都有粒子）当 ni = 0 ，y ni 态上无粒子；nj =1，y n j 上有一个。当y n j 位置如有变动，就可能引起符号的变动。并定义前 N 个 ni 均为 1，后面继以 0，即y n1n2 LnN nN +1L (x '1 ,L, x ' N ) = (- 1) i ? nly ni n1n2 Lni -1ni +1L (x '1 ,L , x ' N )n l =1i -1【这样做的一个标记是只要写明 N 个角标－N 个态的标号；不这样做（即中间有的占有数 可能为零）的标记，是角标一直沿L 下去】 满足?nii= N 的一切可能（ n1 , n 2 , L ）值所相应的y n1n2 L (x1 , L , x N ) 构成 N 体费米子系统的一个正交归一完备组，可用来构成粒子数表象。 于是，接下去和前面叙述的完全一样，前面第一（粒子数表象一节） ，叙述可用于 B－ E、F－D 两种粒子系集。 接着，我们定义产生算符和湮灭算符如下：ì + ? n 'l ?bi n'1 n' 2 L n'i -1 0 i n'i +1 L = (- 1) l =1 n'1 n' 2 L n'i -11i n'i +1 L + ? ?bi n'1 n' 2 L1i L = 0 i -1 í n 'l ? bi n'1 n' 2 L n' i -11i n'i +1 L = (- 1)? n'1 n' 2 L n'i -1 0 i n'i +1 L l =1 ? ? ? bi n'1 n' 2 L 0 i L = 0i -1这里只不过反映了泡利不相容原理而已。 如同上一本第 19 页， bi , bi+ 也可以表示成 n1 , n2 , L 的投影算符和的形式。并由此得 它们之间的厄米共轭关系。 由上面的 bi , bi+ 定义，可直接推得ì bi , b + j = d ij ? í {bi , b j } = 0 ? b+ ,b+ = 0 ? i j[]{}这里要注意，属于不同 i 的算符是反对易的，而不是对易。 【例： bi 作用的结果不仅与 ni 本 身有关，还与该态之前的所有占据数有关。因此，各个算符？？的作用不能认为是彼此独立 】 的。还可以？？下面的 bi 、 b j 或 bi+ 、 b + j 之间（当 i ? j ）的反对易（而不是对易）关系。 【[习题]：根据上面 bi+ 、 b j 的定义证明这个对易关系。 】而且 bi( )+ 2= 0 ， (bi ) = 0 。2考虑粒子数算符 N k = bk+ bk ，发现它是个投影算符（projection operator） 【？？】 ，因为N k2 = bk+ bk bk+ bk = bk+ (1 - bk+ bk )bk = bk+ bk = N k于是按照 Dirac P.31，既然 N k2 - N k = 0 则 N k 的本征值 N ' k 取 0 或 1（对所有 k ） 。就是说， 每个态 k ，粒子的占有数只可能是 0 或 1，于是反过来上面的反对易关系自动保证了泡利不 相容原理。 可以很容易证明 N k 和 N l 再一次又是对易的。+ + 【 [ N k , Nl ] = 0 ， é 】 ? N k , bl ù ? = bl d kl ， [ N k , bl ] = -bl d kl ，与波色子相同。【[习题] 1. Kramers 对的产生算子是时间反演不变的。 （Avery: “ Creation and Annihilation Operator”, P. 79.） 2. 证明推广的 Koopman 定理（Avery, P. 38） 。 】 于是基矢再次可以取成粒子数算符 N k 的共同本征态。而基态仍同以前（归一 f f0 0= 1；v N k f 0 = 0 对所有 k ； bk f 0 = 0 对所有 k ；y (r , t ) f 0 = 0 ）性质，基矢可以写成 n1 , n2 ,L = b1+( ) (b )n1+ n2 2L f0b） 场算符y + (x , t ) 、y (x , t ) 的引入及其有关的关系式，按下式引入场算符y (x , t ) 及其厄 米算符y + (x , t ) ：y (x , t ) = ?y i (x )biiy + (x , t ) = ?y i * (x )bi+i同玻色子一样， 它们与完备组的选择无关， 分别代表吸收和产生一个处在 x 处的粒子的算符。 而y + (x , t ) y (x , t ) 代表 x 点的数密度算符。相应的对易关系ì y (x , t ),y + (x ' , t ) = d (x - x ' ) ? y (x , t ),y (x ' , t )} = 0 í{ ? y + (x , t ),y + (x ' , t ) = 0 ?{}{}这里，y + (x , t ) 、y (x , t ) 的物理意义和玻色子情况相同（比如第 5 本 P.29 Ny+n'1 L 的证明，由于 N 和 bl+ 的对易关系与玻色子一样，那里的证明就可以全部移过来） 。 N 个全同费米子体系在坐标表象中的基矢（？？空间基矢）1 v v v v v v r1 , r2 ,L , rN ; t = y + (rN , t )y + (rN -1 , t )Ly + (r1 , t ) 0 N!注意，这里算符y + 的次序是重要的。 可以证明，这个基矢是正交归一的（类似第 5 本 P.34，但要注意现在y ,y + 之间是反对 易的，而且 d 函数的 ri 对易也要变号） 【v1 1 + + + + 0 y 1y 2y 2 y 1? 0 = 0 y 1 {d 22? -y 2 ? ?y 2 }y 1? 0 2! 2 1 + + + = 0 {d 22?d11? -y 1y 2 y2 y 1?y 2 } 0 ?d 21? + y 1 ? 2 1 = 0 {d 22?d11? - d12?d 21? } 0 2 1 = 0 {d 22?d11? + d 22?d11? } 0 2（简略记号） （N.B. 不论带撇号之间还是不带撇号之间的交换均变号） （三粒子已检验。 ） 】 ，同时，它被总粒子算符 N 作用的本征值为 N：1 v v v v v v N r1 , r2 ,L, rN ; t = Ny + (rN , t )y + (rN -1 , t ) Ly + (r1 , t ) 0 N! = 1òy N!+v v v v v v (r , t )y (r , t )y + (rN , t )y + (rN -1 , t )Ly + (r1 , t ) 0 dr+=1ò dr y N!vv v v v v v v (r , t ) d (r - rN ) - y + (rN , t )y (r , t ) y + (rN -1 , t )Ly + (r1 , t ) 0{}=1N! v Ly + (r1 , t ) 0v v v v v v v v v v { N! r1 L rN ; t - ò dr y + (r , t )y + (rN , t ) d (r - rN -1 ) - y + (rN -1 , t )y (r , t )y + (rN - 2 , t ) L[]v v = N r1 L rN , t最后，可以证明在 N 个费米子体系的一个态 n1 , n2 , L 中，找到它们处于（不分粒子 编号） r1 , r2 ,L, rN 的几率幅为n n 1 v v v v v 0 y (r1 , t )Ly (rN , t ) b1+ 1 b2+ 2 L 0 = y n1n2L (r1 , r2 , L , rN ; t ) 14 4 244 3 N! + + +v vv( )( )(b bi 1 i 2 LbiN)?1? (- 1) N!PPv v Py n1 (r1 ) Ly n N (rN )【前面的 n1n2 L ，是按态的标号顺序而排列的占有数，中间有些是定的；这里的 i1 L , iN 是 其中 N 个不定（即 ni1 = ni2 = L = niN = 1 ）的态编号。参见前面 P. 3 注。 】 c） 各类算符用产生湮灭算符表示 &单体算符&F = ? f ( P)P =1NF = ? i f k bi+ bkikF = ò dxy + (x ) fy (x )&两体算符&Ni f k = ò dxy i * fy kG = ? g ( p, q ) =p &q1 N ? g ( p, q ) 2 p?q（ g ( p, q ) = g ( q, p ) ）=1 ik g lm b i+bk+ bl bm ? 2 i ,k ,l ,m=1 dx1 dx 2y + (x1 , t )y + (x 2 , t ) g (1,2)y (x 2 , t )y (x1 , t ) 2 òò式中 ik g lm =òò dx dx y1 2i* (x1 )y k * (x 2 ) g (1, 2)y l (x 2 )y m (x1 )所有通常的算符过渡到 bi+ , bi 表示后，均不再依赖 N，而且与 d） 薛定谔方程?bi+ i ib 对易。可将薛定谔方程过渡到对于含任何数目的粒子的系统都适用的形式。 设 T ――单动，U ――单位， W ――两位，若多体作用不存在，则总哈密顿算符 【A. L. Fetter and J. L. Walecka, Quantum Theory of Many-Particles Systems, Mc Graw-Hill, Inc. (1971). P.P. 18-19. 注意两个湮灭算子的次序。当然，这和矩阵元 ik W i?k ? 的记法有关， 要相配合。 （例如. 曾. 下. P. 557 即是一种】H = ? i T + U i ' bi+ bi ' +ii '1 ik W k ' i ' bi+ bk+ bk ' bi ' ? 2 ik ,i 'k '1 dx 1 dx 2y + (x 1 )y + (x 2 ) w(1,2)y (x 2 )y (x 1 ) òò 2= ò dxy + (x )(T + U )y (x ) +ih? n1 n2 L; t ?t= H n1 n2 L; t在研究一个特定的系统时， n1 n2 L; t 就被限制为总粒子数目为一定 N 的状态。 现在把费米子系统二次量子化方法扼要叙述如下：任选一个 { y i }，使一切算符过渡到+ + 用 bi , b + j 表述，这里 bi , b j 遵守反对易规则，这样 bi bi 的本征值就代表处在y i 态上的粒子数目，bi+ , bi 分别是吸收、 放出一个处于y i 态上的粒子的算符。 任何一个态均可看作 “粒子数” 本征态的叠加， “粒子数表象波函数”的意义同通常的几率解释。状态的变化由上面薛定谔 方程（及相应的 H ）决定。 当然，也可以采用粒子数表象的波函数及对这种波函数运算的算符来表达二次量子化 方法。状态由相应的波函数 C ( n1 n 2 L) 表达，这时，产生湮灭算符也是对 C ( n1 n 2 L) 作用， 用 B 及 B 代表。其定义为+ì n1 n2 L bi+ P = Bi+ n1 n2 L P í ? n1 n 2 L bi P = Bi n1 n2 L P即i -1 ì ì ? nl C (n n L n - 1L) ? + ( ) 1 l =1 ?Bi C (n1n 2 L ni L) = í 1 2 i ? ? 0 ? ? í i -1 ì nl ? ?(- 1)? C (n1 n2 L ni + 1L) l =1 B C n n L n L ( ) = í 1 2 i ? i ? 0 ? ? ?当n i = 1 当n i = 0 当ni = 0 当n i = 1【以 Bi+ 式为例：注意上面的 Bi+ 定义式， P 中的 i 态必须无占据，即下面的 C 的本征值ni? = 0 才 不 为 零 ； 再 注 意 此 式 两 边 C 的 本 征 值 分 布 是 相 同 的 （ 同 一 波 函 数 ） ? ni = ni? (= 0), ni = 1 】应当注意，当 bi+ , bi 是作用在态矢的占有数――本征值上的时候， Bi+ , Bi 却是作用在波函数 的自变量――占有数力学量上的。波函数受 Bi+ 作用后，其宗量 ni 减少 1，受湮灭算符 Bi 作 用后，ni 将增加 1。 为将这点看得更明白， 可将上式用到特殊的波函数――本征态的波函数， 可知，宗量减少 1 等价于本征值增加 1，反之亦是：ì + nl C n '1 n '2 L1'i L (n1n 2 L ni L) ?Bi C n '1 n '2L0 'i L (n1n 2 L ni L) = (- 1)? l =1 i -1 í nl ? Bi C n ' n ' L1' L (n1n 2 L ni L) = (- 1)? C n '1 n '2 L0'i L (n1n2 L ni L) l =1 1 2 i ?i -1为 了使各 种算 符 过 渡 到 对 波 函 数 C ( n1 n 2 L) 实行 运 算 ， 只 需 在算 符 表 达 式 把 bi , b + j 换成Bi , B + j ，对易关系不变。现在，薛定谔方程为ih?C (n1 n2 L; t ) = HC (n1 n2 L; t ) ?t 1 ik W k ' i' Bi+ Bk+ Bk ' Bi ' ? 2 ik ,i 'k '其中， H =?ii 'i T + U i' Bi+ Bi ' +5． Schwinger 作用量原理与场量子化 a） schwinger 提出的场量子化方法中，由单一的量子作用量原理出发，从中同时给出场方 程和对易关系。下面的最简单的中性标量场为例来说明当系统是场时，它的量子化的步骤。 我们先从薛定谔方程所代表的某种物质波场的量子化开始。 将薛定谔方程看成是某一种物质波在普遍空间中传播：v h ?y ( r , t ) h 2 v v v Dy (r , t ) + V (r , t )y (r , t ) = 0 ?t i 2m当然，这里的y ( r , t ) 并不是我们物理空间中的真正的波幅，而是希伯特空间的抽象的态矢v在特殊坐标表象中的一个分量，但作为等效后果，我们可以坚持这种虚构的看法。于是，上 面方程就是“物质场的一个场方程” 。可以从作用量原理导出这个“场方程” 。为此，我们必 须认为：场的自由度由所有可能的点 r 的y 值代表，即 r ~ i,y ( r ) ~ qi ， r 连续编号。量vvvvv v v v y (r1 ) 和y (r2 ) 是场的不同的正则变量。通常关于自由度 qi 的求和必须代以y (r ) 关于 r 的积分。y * －场的广义坐标（generalized field coodinales 9-K.B.Berastotskil et.al, Relativistic Q-T. 【y .part I. P.31】 取作用量积分：& , t )dt W = ò L(y , ?y ,yt1t2v v v v & (r , t ))dr L = ò L(y (r , t ), ?y (r , t ),y这里 L 是拉格朗日，L 是拉格朗日密度， dr = dxdydz ――积分扩展到全部三维空间。泛 函 L 是这样的：W 对y （保持 r 和 t 不变）在边条件 dy = 0 （对 t1 , t 2 ）下的变分给出的尤 拉－拉格朗日方程是场方程（上面） 。对 W 中的y ? y + dy ，当 dW = 0 时导致vv?L ?L ? ?L - div =0 & ?y ?grady ?t ?y【只要 dy |t1 ,t2 = 0 ，W 变分 dy 的尤拉方程就必为此种形式；于是，不同场就相当于不同的 L，经此种变分（ dy |t1 ,t2 = 0 ） ，就得出该场得场方程。这就成为由作用量原理导出场方程 的一种固定格式。 （注意，指 dy |t1 ,t2 = 0作用量原理? “场方程” ） 。 】é ù ê ?L ? ú ê dy + Lú 分部积分得） （第二项由 ê ? ?y ? ?x ú ÷ ê ?? ú ? è ?x ? ?如果取&L = ihy *yh2 grady * × grady - Vy *y 2m代入上面尤－拉方程， 立即得出这个物质场――薛定谔场方程的共轭方程， 当然它是等价于 上面的（薛定谔物质）场方程的。对y * 的变分就直接给出薛定谔物质场方程。 b） 现在， 我们来决定对这个物质场进行量子化： 认为这个场方程同存在在微观尺度上的某 种波相联系， 必须将之按量子理论规则予以处理。 由于这个物质场方程已经是量子理论的结果（只是按现在实用等效的目的予以了重新的“解释” ） ，因此对薛定谔波场进行的量子化就 被称为二次量子化。整个思想是建立在多粒子体系和光子体系的模拟上。类似，我们用“物 质场方程”来描述粒子体系的总体行为，而借助对这个场的量子化来引出量子特性。 任何体系的量子化可以很方便的沿用“正则框架”来实现。这就必须找出场变量y ( r ) 的正则共轭对，由 Roman P.6 知正则共轭量vv P(r , t ) =?L v v = i hy * ( r , t ) & (r , t ) ?y【由于y * 是另一正则变量（与y 共轭） ，由此返上去，可以理解变分 dy 中y * 不变的缘 故。 】 类似的类比，可得这个物质场的哈密顿量为v v v & (r , t )dr - L H = ò P (r , t )y h2 v = ò( ?y * ×?y + Vy *y )dr 2m = -ò ( v v ih i v ?P × ?y + VP y )dr 2m h一旦用正则方法描述了物质场之后，就可以实行量子化了。这总是意味着：基本的正则 变量y ( r ) 和 P ( r ) 必须重新考虑作为作用在某个希伯特空间元素上的算符。 【实际上，上面 结果已是无相互作用（无两体作用）的二次量子化后的系统的哈密顿算符。而考虑到相互作 用的情况，亦可顺此路线而得：写出相互作用的粒子的“经典”薛方程，找出能导出它的 L， 利用 H = p y dr - L 即可得 H－考虑到两体算符的系统的哈密顿。 （Roman. P.81-82） 。 】而òv v y (r ) 、 P (r ) 的量子特性（以及通过它们物质场的全部物理观察量的量子特性）都由为y 、 P 指定的对易关系所决定。当然，不一定能照搬海森堡对易关系， （事实上，规定可观察量量子特性的对易关系的具体形式，对不同的系统类型是不同的） 。于是，分玻色子、费米子 两种情况，规定这一对正则变量的对易关系，从而导出产生湮灭算符，推出前面全部二次量 子化公式。 c） 最后，我们从普遍的 schwinger 量子作用量原理出发将场方程、哈密顿量、对易规则一 并导出，实现玻色子场和费米子场的统一理论。 由于y ( r1 ) 和y (r2 ) 是不同的自由度，场的任意的一般的变分意味着函数形式的变化和 “标号” r 的变化这两种变化。即理解为：vvvv v v v v v dy = y ' (r + dr , t ) - y (r , t ) @ y ' (r , t ) - y (r , t ) + ?y × dr v = d 0y + ?y × dr （变分过程中，不必将 dy 如此明确的写出。 ）\ dW =t 2 + dt 2t 2 + dt 2t1 + dt1ò L(y + dy , ?y + d?y ,y& + dy& , t + dt )d (t + dt ) - ò L(y , ?y ,y& , t )dtt1 tt2=ì ?L ?L ?L ?L ü v 2 & + + ? + + L t d ( t t ) d r dy d y d y d + d - ò Ldt í ? ò ò & ? ?? ? ? t y y y ? ? t1 + dt1 t1t t t2 2 2 ì ?L ?L ?L ?L ü v 2 & + dt ?dtdr - ò Ldt = ò Ldt + L (dt 2 - dt1 ) + ò Ld (dt ) + ò ò í dy + d ?y + dy & ?y ??y ?y ?t ? t1 t1 t1 ? t1t2 ?L ì ?L ?L ? ?L ?L ü v ?L v &+ = L (dt 2 - dt1 ) - ò dtdt + ò ò í dy - ? d?y dy dt ?dtdr + ò dydr & & ?t ?y ??y ?t ?y ?t ? ?y t1 t1 ? t1t2tt2é ? ?L ?L ?L ? ?L ? v vù ÷ = ò ò? dy dr dt + ê Ldt + ò dy dr ú ? ?y - div ?grady - ?t ?y ÷ &? & ?y ? ? t1 t1 è2 ? ?L ?L ? ?L ? v ÷ = òò? ? ?y - div ?grady - ?t ?y ÷dy dr dt + & ? t1 èt2t2t{ò [p?y - (py& - L)dt ]drv}t2 t1这里?y 代表y 在端点 t1 , t 2 的完全改变v v v &dt ?y = y ' (r + dr , t + dt ) - y (r , t ) = dy + y于是，由哈密顿原理意义上的条件变分，得第一项内被积函数为零，这导致场方程。 于是剩下v v & - L )dr dt dW = ò p?ydr - ò (py也可以把上面的式子写为[]t2 t1dW = F (t 2 ) - F (t1 )v v v & - L )dr = ò py &dr - L ） F (t ) = ò p?ydr - Hdt （ H = ò (py可以“证明” （应该说认为） F (t ) 是一个幺正变换的生成元，这个幺正变换不但引起场作用 量的 dW 变化， 而且引起系统的一切力学量的变化。 关于这一点的 “证明” 可见 Roman.P.87-88 （证明了经典情况下， 它是正则变换――对场的生成元， 然后利用许温格量子作用量原理将 之“认为”是相应的幺正变换的生成元，这当然本质上是个假设，是从经典到量子的公设， 可是一承认这个过渡，则立刻将导致海森堡运动方程等等） 。 于是和经典类比（或和单粒子情况类比）得知： P ,y 是对正则共轭量，H 和 - t 是另一对正则共轭量，从而得到场的哈密顿量，这就 是前面引用的 H 的。如果再进一步采用（假设）前面给出的 L 的表达式，就导致薛定谔物 质波场的哈密顿量表示式，这已在前面叙述过了。 还有，由于 F 是幺正变换的生成元，则场的任何可观察力学量，在这个幺正变换下的 变化为dW =i [F , W] h i ( FW - WF ) ，N.B.F 的量纲为 h ） h（ W' = (1 + ieG )W(1 - ieG ) ，W'- W = ie (GW - WG ) =作 为 特 例 ， 我 们 取 W 为 场算 符 y ( r , t ) ，而 变 化 是由于时 间 平 移 dt / h ，这时， 生 成 元vF = - Hdt / h ，代入得 1 v v & (r , t ) = [ y y (r , t ), H ] ih如果 H 是薛定谔场的哈密顿量，则这个方程就是场算符y 在海森堡表象中的运动方程。 就是说，如果取薛定谔场的哈密顿ü vì - h 2 H = ò dr í y * Dy + Vy *y ? ? 2m ?我们就会导出场算符y 的 schrodinger 方程：? - h2 ih y = Dy + Vy ?t 2m & = dr ' êy (r , t ), 【实际上 ihy ?òvév- h2 v v v v v ù y * (r ' , t )D'y (r ' , t ) + V (r ' , t )y * (r ' , t )y (r ' , t )ú 2m ?- h2 - h2 v ìé v v ù v v v v y * (r ' , t )ú D'y (r ' , t ) y * (r ' , t )[ y (r , t ), D'y (r ' , t )] = ò dr 'íêy (r , t ), 2m 2m ? ?? v v v v v v v v + V (r ' , t )[ y (r , t ),y * (r ' , t )] y (r ' , t ) + V (r ' , t )y * (r ' , t )[ y (r , t ),y (r ' , t )]} v ì v v ? - h2 v ? v v v v ü ÷ y d y = ò dr ' íd (r - r ' )? D ' ( r ' , t ) ( r r ' ) V ( r ' , t ) ( r ' , t )? + ? 2m ÷ è ? ? ? = - h2 v v v Dy (r , t ) + V (r , t )y (r , t ) 】 2m最后，还可以从许温格量子作用量原理导出场算符的对易关系。就是说 Jordan-Klein 量子化公设可从这个原理引出。 为此，考虑如下变分：dt = 0 ， dy = 任意，于是，对应这种变分的幺正变换的生成元 （此幺正变换引起y ( r ' , t ) 有 dy ( r ' , t ) 变化， r 任意点） ：vvvv v v F = ò P (r , t )dy (r , t )dr （注意? 由于 dt = 0 而为 d ）于是i v v v v v dy (r ' , t ) = ò [P (r , t )dy (r , t ),y (r ' , t )]dr h v 类似的，对另一正则共轭场算符 P ( r , t ) 而言，由这个生成元 F（它引起y 的 dy 变化）决定的幺正变换不会引起它的变化。 原因是现在只是假设实施着这样的幺正变换， 它使得场的 代表（粒子或点的） qi 自由度的场算符y ( r , t ) 发生变化，这不应使 P ( r , t ) 变化。这从经典 或粒子量子力学均可得知，于是就像 dy 的变化公式是类比移植过来的一样，我们也有vvi v v v v v dP (r ' , t ) = ò [P (r , t )dy (r , t ), P (r ' , t )]dr = 0 h因为解肯定不是唯一的， 我们只去找最简单的解： 现在来找上面第一个 dy 关系式的简单解，i v v v v v v v v dy (r ' , t ) = ò {[P (r , t ),y (r ' , t )]dy (r , t ) + P (r , t )[dy (r , t ),y (r ' , t )]}dr h满足这个方程的最简单的解为h v v v ì v ?[P (r , t ),y (r ' , t )] = d (r - r ' ) í v v i ? [ y y ( r , t ), ( r ' , t )] = 0 ?也可以找到它的最简单的解， 这只要注意到方程为零是对任意 dy ( r , t ) 类似， 对 dP 的方程， 成立的，我们当然也可以取 dy ( r , t ) = e 为很小的常数，而这，就导致最简单的解为：vvv v [P(r , t ), P (r ' , t )] = 0这就是三个关于玻色子的场算符的对易关系，本来，是作为由外面附加的条件，现在就像用 一种变分可以导出运动方程一样，可以用另一种变分将它们“导出” 。接下去，若将yy * 按 某个完备系展开， 就能由y 的上面对易关系导出 ai , ai+ 的对易关系。 前者更好的表达了量子 化的本质内涵，而后者更丰于图象性。 规定费米子场的 Jordan-Wingner 量子化公设也可以从 Schwinger 量子作用量原理得 到。为此，利用恒等式（对易子用反对易子表示）[AB, C ] = A{C , B} - {C , A}B （ [AB, C ] = A{B, C} - {A, C}B 好记忆）得 dy ( r ' , t ) =vi v v v v v v v {P(r , t )[ y (r ' , t ), dy (r , t )] - { y (r ' , t ), P (r ' , t )}dy (r , t )}dr ò h h v v v v ì ?{P (r , t ),y (r ' , t )} = - d (r - r ' ) í v v i ? { y ( r , t ), y ( r ' , t )} = 0 ?满足这个等式的最简单的解显然为类似地，将上面恒等式用到 dP 等式上，就得到v v {P (r , t ), P (r ' , t )} = 0最后，应当指出的是，其一，这个原理当然没有给我们这种线索或启示，即在什么情况 下应当用对易子在什么情况下应当按纳反对易子；其二，除此最简单的解之外，其他的解也是存在的，它们相应于既非 Bose-Einstein 统计又非 Fermi-Dirac 统计，但是众所周知的是自 然界实现的仅仅是这两种解，就如同我们前面讲全同粒子时，由可观察量等价性（或不可分 性）得到的波函数只能是对称或反对称两种紧密相关；其三，以上量子化规则所涉及的都是 等时对易规则，即场算符y , P 的时间宗量是相等的，为得到非等时的对易关系，必须解场 方程，然后例如，将y ( r ' , t ' ) 用y ( r ' , t ) 表示后，代入 [P ( r , t ),y ( r ' , t ' ) ] 中求得。其四，既 然 F 是引起场系统变化的幺正变换的生成元，那么按第二章所说，只要系统存在对称变换， 相应的生成元便是守恒量，是个厄米（已排除 i ）的可观察力学量。 d） 标量 Klein－Gordon 场量子化 在薛定谔场量子化过程中，没有基本的根据用于选择是用对易子还是用反对易子来引 进量子化，必须依据实验从外部选择。这是由于薛定谔方程是非相对论的，一旦涉及的是相 对论性的场方程，就会发现，两种量子化模式的选择是由基本原则确定了的。这里以不涉及 相互作用的相对论性的标量 K－G 场为例说明这个观点。 标量 K－G 方程vvvv(O 2 - c 2 )f = 0这是由拉格朗日密度? h 2 ? mn L = - m0 c 2f * f - ? ?m ÷ ÷ g f *m fn è 0?导出的，这里 fm ??f ，能量密度为 ?x m2 h2 é 1 ?f ù ? = m0 c f + ê(?f *) × (?f ) + 2 ú m0 ? c ?t ú ê ? 2 2是正定的。v 与时 如其使用通常的空间指数展开 f ，用时－空指数展开 f 更好，这时展开式系数 a k间 t 无关，于是? m0 c 2 f= ? ? 2hw V kv ? è 1? ÷ ÷ ?12(av k ,+e i (k ×r -wt ) + a *kv , - e -i (k ×r -wt )vvvv)v v这里， 有两种类型的项存在是由于原来方程是关于 t 为二阶的， 于相应任何解 f + ( r )e iwt 必有 第二个解 f - ( r )e -iwt 。在这个解展开式中， f ± ( r ) 已选择为对一个给定的 k ，两项都代表沿 着 k 以同样速度在同一方向传播的平面波。如果展开式要满足方程，就必须有vvvw 2 = c 2 (k 2 + x 2 ) ，取 w 为此方程的正根，这个方程规定了 k （通过 x ）与 w 之间的相对论性的关系。 代入正理并算符化 （如 H 是将 f 及 f * 代入? 中并对场的全部体积积分， 再将系数算符 化）后，我们得到ì v av v + a kv , - a k+ hw a k+ ?H = ? ,+ k ,+ ,v ? v k v + + hk a kv , + a kv , + + a kv , - a kv , íP=? v k ? v av v a k+ - a kv , - a k+ ? Q = e? ,+ k ,+ ,v k ?(( ()) )我们先用 Pj , F = ih ?F ?X j 作为确定 a 等的对易关系的基础。我们发现，如果＋号算符 与－号算符对易，并且如果还有下面这四个方程成立v av ,av ì a k+ ,+ k , + k ', + ? + + v v ? a k , + a k , + , a kv ', + í v + v v ? a k , - a k , - , a k ', + + ? a kv , - a kv , - , a kv ', ?[][ [ [ [] = -d ] = +d ] = -d ] = +d [a kv , + + vv a v kk ' k , +vv kk ' vv kk 'a kv , + vv a v kk ' k , -则这个基本对易关系是被满足的。 如果应用 [AB, C ] = A[B, C ] + [A, C ]B ，则有[av k ,±+ v v ,av , a kv , ± = a k+ = 0 ， a kv , ± , a k+ = d kvkv ' ', ± ,± k ,±] []]这些关系和谐振子算子的关系再次一致，是完全可以接受的。如果另一方面，[AB, C ] = A{B, C} - {A, C}B ，则得{av k ,±+ v ,av , a kv ', ± = a k+ =0 ,± k ', ± + v ,av , a kv ', + = d kvkv ' ， a k = -d kvkv ' ,k ', -} { }}{a+ v k ,+{}这些是自相矛盾的，因为对于 k = k ' ，左边是正定算子而右边是负定的。我们总结：标量 K －G 场必须如此量子化，就像所描述的粒子遵从 B－E 统计那样。v 我们注意，如果我们定义 nk ? a kv , ± a kv , ± ，存在（对每个态 k 和每种符号） ,± +vvv1 hw 零点 2能和零点电荷：我们有ì 1 1? ? hw ? nkv , + + + nkv , - + ÷ ?H = ? v 2 2? è k ? v v 1 1? ? ? hk ? nkv , + + + nkv , - + ÷ íP=? v 2 2? è k ? v v nk , + - nk , - - 1 ? Q = e? v k ? ?()还可以注意， 脚标＋号的算符与正电荷粒子的产生与湮灭有关， 脚标为－号的算符与负电荷 有关。 §3 几个简单的应用 1． 弱耦合全同粒子状态跃迁几率计算 这里计算全同粒子体系中，粒子间有弱的相互作用，将它当作微扰，它将引起体系中粒子从一个量子状态到另一个态的跃迁。为简化问题，我们取单粒子的能量表象，于是，不 考虑相互作用的体系的哈密顿是对角化的，即i T + U i' = e i d ii '记粒子数表象态矢为 y S ，则薛定谔方程为：ih1 d y S = ? e i ai+ ai y S + ?Wik ,i 'k ' ai+ a k+ ai ' a k ' y S 2 ik ,i 'k ' dt i = ? e i n'i y S +i1 Wik ,i 'k ' a i+ a k+ ai ' a k ' y S ? 2 ik ,i 'k '而? e n'i ii= E 是无相互作用时体系的总能量。为进一步化简，我们采用相互作用图象，即令y S = T0 (t ) y I ? e-i?e jN j hjtyI代入上面方程，即转化为相互作用图象中的态矢的运动方程e jN j -i ? e j N j d 1 ih? h + + j yI ih y I = e Wik ,i 'k ' ai a k ai ' a k ' e j ? dt 2 ik ,i 'k 't t= ih =ei ( e i + e k -e i ' - e k ' ) 1 eh Wik ,i 'k ' ai+ a k+ ai ' a k ' y I ? 2 ik ,i 'k 'td b1 (n'1 ,L, n'i +1,L , n' i ' -1,L , n' k +1,L n' k ' -1,L) dt n' i +1 n' k +1 n' i ' n' k ' Wik ,i 'k 't i ( e i + e k -e i ' - e k ' ) h对时间积分上面这个方程：1 i ( e i + e k - e i ' -e k ' ) b1 = ò e h n' i +1 n' k +1 n'i ' n' k ' Wik ,i 'k ' dt ih 0 = =2tt(n'i +1)(n' k +1)n' i' n' k 'e i + e k - e i' - e k '(n'i +1)(n' k +1)n' i' n' k 'et ( e i + e k -e i ' -e k ' ) ? ih ? ÷ 1 Wik ,i 'k ' ? e ? ÷ è ? t e ? ih ? ? Wik ,i 'k ' ? e - 1÷ ÷ è ?b1 =2? 2(n' i +1)(n' k +1)n' i ' n' k ' et ? Wik ,i 'k ' ?1 - cos ÷ 2 h? e è于是，在单位时间内的跃迁几率 Pik ,i 'k ' =d b1 dt2Pik ,i 'k ' = lim = \t ??2(n'i +1)(n' k +1)n'i ' n' k ' d 2 2 b1 = W lim t ?? h dtsineet h2 2 (n'i +1)(n' k +1)n'i ' n' k ' W × pd (e ) h2 2p Wik ,i 'k ' d (e i + e k - e i ' - e k ' ) hPik ,i 'k ' = (n' i +1)(n' k +1)n' i ' n' k '由于这里只考虑粒子之间的两两相互作用，故跃迁所涉及的是两个粒子的跃迁，四个 能级从 i ' , k ' ? i, k ，一个粒子能量增加必等于另一粒子能量的减少，故 d －函数表现为跃 迁中的能量守恒。+ 对费米子体系，按照相应的 bi+ bk bi ' bk ' 作用规则Pik ,i 'k ' = (1 - n'i )(1 - n' k )n'i ' n' k '2 2p Wik ,i 'k ' d (e i + e k - e i ' - e k ' ) h公式表明， 全同粒子体系从初态 i ' , k ' 跃迁到末态 i, k 的几率不仅依赖于初态中的粒子数 而且依赖于末态的填充数，这是量子理论的新结果，在经典理论中是不存在的。对玻色子， 如果终态的填充数越大， 向之跃迁的几率也越大于是玻色子有一种向一个态 “凝聚” 的趋势， 而费米子则与之相反，如末态已被一个粒子占据，别的粒子就不能再向之跃迁，这是泡利原 理的体现。 推导过程用波函数（比用态矢）表达更为清晰： 用粒子数表象中的基矢乘 P.21 的相互作用表象中的态矢运动方程，将之转化为粒子数表象 中的波函数变化方程。并记n1 n2 L y I = b(n1 , n2 ,L , t ) n1 n 2 L ai+ a k+ ai ' a K ' y I = Ai+ Ak+ Ai ' Ak ' b(n1 , n 2 ,L, t )而 Ai+ , Ai ' 等满足前面的表述。于是该方程成为i ( e i +e k - e i ' -e k ' ) db(n1 , n2 ,L , t ) 1 = ?e h Ai+ Ak+ Ai ' Ak ' b(n1 , n2 ,L , t )Wik ,i 'k ' ih dt 2 ik ,i 'k ' t一方面，初条件为 t = 0 时，除下面填充方式占有数分布外均为零：0 0 b(t = 0) = b0 (n10 , n 2 ,L , ni0 ,L , n k , L , ni0' L, nk0' L) = 1 + 另一方面，考虑到 Ai+ Ak Ai ' Ak ' 的作用，粒子数变数分布变为n1 , n2 ,L , ni - 1,L, n k - 1,L , ni ' + 1L, nk ' + 1L于是按微扰论ihd b1 (n1 ,L, ni + 1,L , ni ' - 1,L , nk + 1,L n k ' - 1,L) dt=eht i ( e i + e k -e i ' -e k ' )(ni + 1)(n k + 1)ni' nk ' Wik ,i 'k '这已经是 P.22 下部的那个公式了。 2． F－D，B－E 统计分布律的简明推导 现在研究如下问题：由分别遵守 F－D、B－E 统计的大量全同粒子，它们之间存在弱的 作用，通过碰撞而发生着跃迁，构成了所谓费米气体和玻色气体，问当这个体系与外界温度 达平衡（或本身为孤立系）后，粒子密度的能谱分布规律如何。 （给定体积内的粒子数随能 量的分布） 在碰撞影响下，粒子从初态 i ' , k ' 跃迁到终态 i, k 的几率，在费米子情况下Pik ,i 'k ' = Aik ,i 'k ' (1 - N i )(1 - N k ) N i ' N k ' （N 值取 0 或 1）在玻色子情况下Pik ,i 'k ' = Aik ,i 'k ' ( N i + 1)( N k + 1) N i ' N k '由于 Aik ,i 'k ' 正比于粒子间相互作用矩阵元的模方，而这个模方是相对}