具有平面晶体群和扩张模群对称的三维镶嵌图的计算机可视化--《汕头大学》2006年硕士论文
具有平面晶体群和扩张模群对称的三维镶嵌图的计算机可视化
【摘要】：图形艺术内容丰富，历史源远流长，从人类诞生始，就和人们的生活有着千丝万缕的关系，从古老古埃及金字塔的浮雕，到现今蓬勃发展的虚拟3D游戏的精美画面，无处不在，随处可寻。随着计算机技术的迅猛发展，计算机技术结合数学理论作出精美图形成为一套别具特色的作图方法，其杰出代表当推分形中的Mandelbrot集和Julia集，其得到的图形撼人心魂，很少人能不为之动心。此外还有混沌吸引子，L—系统，元胞自动机，铺砌等方法，得到的图形各有特色，十分有趣。
上述方法得到的图形大都是平面图，近年来出现许多上述方法衍生出来的三维图形生成方法，使这类方法得到的图形也更加美观，用途也更加广阔。
本文的研究工作是利用数学理论方法，借助计算机自动实现三维立体镶嵌图，主要有两个方面的内容：
1．考虑17个晶体群中具有方格子平面铺砌的12个晶体群P_1，P_2，P_g，P_4，P_(4g)，P_(4m)，P_m，P_(mm)，P_(mg)，P_(gg)，C_m，C_mm，通过构造三维等变的动力系统迭代函数F(x，y，z)=(?)，证明在上述12个平面离散晶体群中只有P_1，P_2，P_4，P_(4m)，P_m，P_(mm)，C_m，C_(mm)这8个(P_1是平凡的)晶体群，在上面的三维等变函数和不变性颜色函数ρ(x，y，z)(见3．1定理6)作用下，正方体的六个面每个面都展示平面离散对称群的对称性，并且六个面具有同样的对称结构。由于得到的正方体立体的六个面具有同样的对称图案，因此图形非常工整美观。通过对正方体的切割，以及作出球体，得到的图形非常丰富漂亮。
2．引进扩张模群的概念，结合基础域方法，实现一种在正方体和圆柱的一个面上具有n重旋转(n是能整除360的任意正整数)，而在其余面上是扩张模群效果的三维彩图。此外，运用Poincare变换，作出漂亮的球形图，算法简单有效，得到立体彩图色彩非常丰富。
【关键词】：
【学位授予单位】：汕头大学【学位级别】：硕士【学位授予年份】：2006【分类号】：TP391.41【目录】：
中文摘要2-3
Abstract3-5
第一章 迭代函数和混沌吸引子6-11
1.1 迭代函数6-7
1.2 混沌吸引子7-11
第二章 具有方格子平面铺砌的平面离散对称群11-21
2.1 等变性11
2.2 平面晶体群11-18
2.3 一些平面晶体群的混沌吸引子和彩色图18-21
第三章 六面具有同样平面晶体群对称性的彩色正方体21-38
3.1 三维等变函数21-24
3.2 三维离散对称群的罩24-27
3.3 三维等变函数表27-28
3.4 绘制具有同样平面晶体群对称性的彩色正方体28-38
第四章 动力系统结合扩张模群Γ~2生成多重旋转花纹的三维立体38-50
4.1 二维平面上的扩张模群38
4.2 三维空间中扩张模群Γ~238-40
4.3 庞加莱球变换40-41
4.4 动力系统的选择以及颜色函数的挑选41-42
4.5 三维立体作图42-50
参考文献50-51
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