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第10章流体力学
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毕业于医学院校，在医院工作，有相对丰富的护理经验
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《普通物理学》试卷(A)
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《普通物理学》试卷(A)
官方公共微信重 庆 能 源 职 业 学 院 教 案课程名称：流体力学授课对象 章节题目 系 别 年级班次授课时间油气储运系2013 年 3 月本次课学 时第三章 流体阻力与水头损失目的要求 （含技能要求） 本节主要学习层流、紊流及水利学几何要素，雷诺数及层流、 紊流的判别，层流、紊流的运动特征、沿程、局部水头损失系 数及水头损计算，边界层和绕流阻力计算。 本节重点 本节难点 教学方法 教学用具 问题引入 如何突出重点 难点与重点讲 解方法 内容与
步骤 层流、紊流的概念及判别，不同流态下的阻力规律和水头损失 的计算 层流、紊流的概念及判别，不同流态下的阻力规律和水头损失 的计算 理论教学与实例举例相结合。 PPT。 以实例引入。 多次重复及字体区别。 实例与课程内容相结合，加深印象。 管路中流动阻力产生的原因及分类 两种流态及转化标准 圆管层流分析 圆管中的紊流 沿程阻力系数实验分析及水头损失的计算 管路局部水头损失的计算 讨论具有粘性的实际流体运动，分析形成阻力的原因和分 类， 以及流态的变化， 进而从理论上建立实际流体运动的微 分方程式； 并且介绍如何结合实验分析， 确定因流动阻力而 产生的水头损失的计算方法。本次课小 节课程小结教后札记 讨论、思考题、 1、流体产生水头损失的原因是什么？什么是沿程水头损失和局部水头 作业（含实训 损失。 作业） 2、什么叫雷诺书？有何物理意义？如何计算？ 3、紊流时液流内部由哪几部分组成？ 授课教师： 日 年 月重 庆 能 源 职 业 学 院 教 案教学内容第四章 流动阻力和水头损失 主要内容 ? 阻力产生的原因及分类 ? 两种流态 ? 实际流体运动微分方程式（N－S 方程） ? 因次分析方法、相似原理 ? 水头损失的计算方法第一节 流动阻力产生的原因及分类 一、基本概念 1、 湿周：管子断面上流体与固体壁接触的边界周长。以 ? 表示。 单位：米 2、水力半径：断面面积和湿周之比。R?A单位：米??例： 圆管：R? 4d2?d?d 4正方：R?a2 a ? 4a 4圆环流：明渠流：?R??D 42?d2? ?D ? d ?? ?D ? d ? ?41 2 a a 2 R? ? 2a 43、绝对粗糙度：壁面上粗糙突起的高度。 4、平均粗糙度：壁面上粗糙颗粒的平均高度或突起高度的平均值。以Δ 表示。 5、相对粗糙度：Δ /D （D――管径）。二、阻力产生的原因 1、外因： （a）管子的几何形状与几何尺寸。面积：A1＝a2A2＝a2A3＝3a2/4湿周：?1 ? 4aR1＝0.25a & & R2＝0.2a阻力 2? 2 ? 5a& & R3＝0.1875a阻力 3? 3 ? 4a水力半径：实验结论： 阻力 1水力半径 R，与阻力成反比。R↑，阻力↓ （b）管壁的粗糙度。 Δ ↑ ，阻力↑ （c）管长。 与 hf 成正比。L↑，阻力↑ 2、内因： 流体在流动中永远存在质点的摩擦和撞击现象，流体质点由于相互摩擦所表现出的粘 性，以及质点撞击引起速度变化所表现出的惯性，才是流动阻力产生的根本原因。 沿程阻力：粘性造成的摩擦阻力和惯性造成的能量消耗。 局部阻力：液流中流速重新分布，旋涡中粘性力做功和质点碰撞产生动量交换。 三、阻力的分类 1、 沿程阻力与沿程水头损失 （1） 沿程阻力：沿着管路直管段所产生的阻力（管路直径不变，计算公式不变） （2） 沿程水头损失：克服沿程阻力所消耗的能量∑hf＝hf1+ hf2+ hf3 2、 局部阻力与局部阻力损失 （1） （2） 局部阻力：液流流经局部装置时所产生的阻力。 局部水头损失：∑hj＝hj1+ hj2+ hj33、 总水头损失：hw＝∑hf+∑hj第二节 两种流态及转化标准 一、流动状态――流态转化演示实验：雷诺实验结果： （a）速度小时，色液直线前进，质点做直线运动――层流 （b）速度较大时，色液颤动，质点做曲线运动――过渡区 （c）速度大时，色液不连续，向四周紊乱扩散，质点做无规则运动 ――紊流（湍流） 由此得出以下三个概念：层流、紊流、过渡状态 （1）. 层流： 流体质点平行向前推进，各层之间无掺混。主要以粘性力为主，表现为质点的摩擦和变 形。为第一种流动状态。 （2）. 过渡状态： 层流、紊流之间有短暂的过渡状态。为第二种流动状态。 （3）. 紊流： 单个流体质点无规则的运动，不断掺混、碰撞，整体以平均速度向前推进。主要以惯性 力为主，表现为质点的撞击和混掺，为第三种流动状态。二、沿程水头损失与流速的关系 实验方法：在实验管路 A、B 两点装测压管测压降，用实测流量求流速。hf ??p1 ? p2 ??Q AQ ? VA ? V ?实验数据处理：把实验点描在双对数坐标纸上回归方程式：lg hf ? lg K ? m lgV（1）. 层流时， m ? 1,? ? 45?（2）. 紊流时，m=1.75～2，θ ＝60° （3） . 实验还证明，不能用临界速度作为判别流态的标准， 因为由层流到紊流变化时的 Vcup 和由紊流到层流转化时的 Vcdown 不同，且有 Vcup & Vcdown （4）. 流动介质变化时，Vc 也不同，由此得出，Vc 不能作为判别流态的标准。 三、判别流动状态的标准 Re 1、 雷诺实验中所发生的现象与下列因素有关，流体密度ρ ，粘性系数μ ，平均流速 V，管 径 D，即 流动现象＝f（ρ，μ，V，D） 利用π 定理可得： 流动现象＝f（ ρVD/μ ）＝f（Re） 即流动现象只与雷诺数 Re 有关。Re ?对于圆管，雷诺数 V――管内流速?Vd Vd ? ? ?d――管径 μ ――粘性系数 工程上一般取 Re 临＝2000， 当 Re ≤2000 时，为层流， 当 Re &2000 时，为紊流。 2、Re 的物理意义：作用在质点上的惯性力与粘性力的比值。 证明： ? F ? ma? ?F ? ? ?? ? L3 ?V s ? ? ?L2V 2 ? T ? ?A du dy? ???(1)? du ? ? V? ? ?T ? ? ? ? ?A ? ? ? ? ?L2 ? ? ?? ?LV ? (2) dy ? ? L? ? ?F ? ? ?L2V 2 ? ? LV ? (3) ? ?T ? ?? ?LV ? ? ?? ???式中 L 为特征长度，对于圆管，L＝d 。3、单位：无量纲数 第三节 实际流体运动微分方程式――Navier－Stokes 方程式 一、简单回顾流体平衡微分方程式：Xi ?1 ?p ?0 ? ?xi――理想/实际、可压/不可压、绝对静止/相对静止理想流体运动微分方程式：Xi ?1 ?p duxi ? ? ?xi dt――只适用于理想流体 实际流体与理想流体的区别在于存在着粘性力， 因此， 在推导粘性流体运动方程时要考 虑粘性表面力 比较项 粘性 法向应力 理想流体 无 px＝py＝pz＝pn 实际流体 有 px≠py≠pz≠pn切向应力 变形 微小六面体表面 受力个数τ =0 不变形 法向力 6 个 切向力 0 个τ ≠0 变形 法向力 6 个 切向力 12 个二、 Navier－Stokes 方程式――粘性不可压缩流体运动微分方程式 1、方程推导：（1）取研究对象：微元体 从运动着的流体中取出一块微小的长方体 ABCDEFGH 边长：dx，dy，dz 质量力：ρdxdydz 设长方体 ：中心点压强：p；粘性应力：τ（2）受力分析 A、质量力 单位质量流体所受的质量力在三个坐标轴方向的分量为：X，Y，Z.B、表面力：表面力有两部分。 ① 由压强形成的压力，单位质量流体所受的压力在三个坐标方向的分量分别?②1 ? ? ?x?1 ? ? ?y?1 ?p ? ?z流体的粘滞力而引起的流体间的相互作用力，此粘滞力在每个面上有三个分量。则得到受力分析表 4－1 其中，第一个下脚标表示作用面的法线方向 第二个下脚标表示应力方向 法向力以拉力为正 受力分析表 4－1 面 正应力 切向应力AE ? （? xx ??? dx ?? xx dx ?? dx ）? （? xz ? xz ） （? xy ? xy ）? ?x 2 ?x 2 ?x 2BH （? xx ??? dx ?? xx dx ?? dx ） （? xz ? xz ） （? xy ? xy ） ?x 2 ?x 2 ?x 2?? yy dy ?? dy ?? dy ）? （? yx ? yx ）? （? yz ? yz ） ?y 2 ?y 2 ?y 2AC ? （? yy ?FH （? yy ??? yy dy ?? dy ?? dy ） （? yz ? yz ） （? yx ? yx ） ?y 2 ?y 2 ?y 2AG ? （? zz ??? dz ?? zz dz ?? dz ）? （? zx ? zx ） ? （? zy ? zy ） ?z 2 ?z 2 ?z 2DH （? zz ??? dz ?? zz dz ?? dz ） （? zx ? zx ） （? zy ? zy ） ?z 2 ?z 2 ?z 2粘滞应力在 x 轴方向的投影之和：?? xx dx ?? xx dx ? ?? zx dz ?? zx dz ? ? ? （ ? ? ） ? （ ? ? ） dydz ? （ ? ? ） ? （ ? ? ）dxdy xx xx zx zx ? ? ?x 2 ?x 2 ? ?z 2 ?z 2 ? ? ? ? ? ?? yx dy ?? dy ? ? ?（ ? （? yx ? yx ） ? ? yx ? ?y 2 ） ?dzdx ? y 2 ? ? ?? ? ?? xx ?? yx ?? zx ? ?? ?? ? xx dxdydz? yx dxdydz? zx dxdydz? ? ? ?x ? ?y ? ?z ? ?dxdydz （2） ?x ?y ?z ? ?则单位质量流体所受的粘滞应力在 x 轴方向投影之和为：1 ? ?? xx ?? yx ?? zx ? ? ? ? ? ?? ?y ?z ? ? ?x ?（3）i ? ij ? ? ? ? j? ? ?x ? ? j ?xi ? 据 Stokes 公式：? ?u?u ?得：? xx ? 2?? ?u y ?ux ? ? ?u ?u ? ?u x ? yx ? ? ? ? zx ? ? ? z ? x ? ? ?x ? ?y ? ? ?z ? ? ?x ?x ， ? ?，代入（3）式得：? ? 2u x ? 2u x ? 2u x 1 ? ?? xx ?? yx ?? zx ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?x 2 ? ?y 2 ? ?z 2 ?? ? x ? y ? z ? ? ??u x ?u y ?u z ? ? ?0 ?y ?z 对于不可压流体， ?x? ? ? ?u x ?u y ?u z ? ? ? ? ? ? ?x ? ?y ? ?z ? ? ? ? x ? ? ?（4）则1 ? ?? xx ?? yx ?? zx ? ? ? ? ? ? ??2ux ? ? ? ? ?x ?y ?z ?（5）――此式为单位质量流体所受的粘滞力在 x 方向的分量。同理可求其在 y、z 方向的分量为??2u y ，??2uz于是根据牛顿第二定律， 对于单位质量流体， 在各坐标方向上各作用力的投影之和应等 于此流体在各个坐标方向上的惯性分力。则有：X?du 1 ?p ? ?? 2 u x ? x ? ?x dtY?Z?duy 1 ?p ??? 2u y ? ? ?y dt1 ?p du ??? 2u z ? z ? ?z dt（6）――Navier－Stokes 方程式：不可压缩流体运动微分方程式。 二、Navier－Stokes 方程式说明： 1、对于理想流体ν ＝0，(6)式变成 Eulerian 运动微分方程式。 2、当 u＝0 时，N－S 方程变成 Eulerian 平衡微分方程式。 3、适用条件：不可压缩流体4、方程可解性：方程中有四个未知数 p，ux，uy，uz，需与另外一个方程联立求解。N－S 方程求解是一个复杂问题，大部分情况下不能求解。可求解经典的层流问题： 圆管层流 平行平板间流体层流 同心圆环间流体层流5、方程物理意义：单位质量的流体所受质量力、压力、粘性力（包括粘性切向力和粘性附 加法向力）在各坐标轴上的分力之代数和等于加速度分量。第四节 因次分析和相似原理 由于流体流动十分复杂， 至今对一些工程中的复杂流动问题， 仍不能完全依靠理论分析 来求得解答。 因此， 实验常常是流动研究中最基本的手段， 而实验的理论基础则是相似原理， 实验资料的数据分析则要应用因次（量纲）分析。 一、因次分析 1、概念 （1）单位：量度各种物理量数值大小的标准。 基本单位：相互独立、不能互换的单位。 导出单位：由基本单位根据物理方程或定义而导出的单位。 （2）因次：即量纲，是标志性质不同的各类物理量的符号。 如 长度因次用 [L] 表示。 （3）基本因次：某种单位制中基本单位对应的因次，它具有独立性。 如国际单位制： [M]，[L]，[T] （4）因次式：因次表达式。 2、因次齐次性原理（和谐性原理）――因次分析的基本原理 能正确反映物理现象的方程，各项的因次必须一致。V12 p2 V22 z1 ? ? ?1 ? z2 ? ? ?2 ? hw1?2 ? 2g ? 2g 如伯努利方程： p1因次齐次性用途：（1）. 物理量因次的推导 （2）. 检验新建立的公式的正确性 （3）. 建立物理方程式，求导公式中物理量的指数 （4）. 有效安排实验 3、因次分析方法之一――雷利（Rayleigh）法 适用于变量等于或少于 4 个：直接应用因次齐次性原理来分析。 例： 在圆管层流中，沿壁面的切应力τ 分析法导出此关系的一般表达式。 解：n＝4，应用雷利法，假设变量之间可能的关系为一简单的指数方程：0与管径 d、流速 V 及粘性系数 ? 有关，用量纲? 0 ? kd xV y ? z?1（k 为实验系数）?2按 MLT 写出因次式为： [ML T 对因次式的指数求解 对于 M： 1＝z L：－1＝x＋y－z T：－2＝－y－z 所以 x＝－1，y＝1，z＝1] ? [ L] x [ LT ?1 ] y [ML?1T ?1 ] z代入函数式得：?0 ? KV? d（实验已证实：?0 ? 8V? d ）4、因次分析方法之二――BuckinghamΠ 定理（白金汉的 Π 定理） （1）Π 定理适用于：变量多于 4 个的复杂问题分析。 （2）Π 定理内容：某一物理过程包含有 n 个物理量，涉及到 m 个基本因次，则这个物理现 象可由 n 个物理量组成的 n－m 个无因次量所表达的关系式来描述，即 （ Π1， Π2，… ，Πn－m）＝0 （3）应用Π 定理的步骤（5 步） ： ① 确定影响此物理现象的各个物理量 ff ( x1, x2 ,?, xn ) ? 0② 从 n 个物理量中选取 m 个基本物理量作为 m 个基本因次的代表。m 一般为 3，应使其分 别具有质量因次、时间因次（运动因次） 、长度因次，如 ρ、V、d③ 从三个基本物理量以外的物理量中，每次轮取一个，连同三个基本物理量组合成一个无 量纲的 Π 项，一共写出 n－3 个 Π 项。b c ? 1 ? x4 x1a x2 x31 1 2 2 1b c ? 2 ? x5 x1a x2 x32?④ 据因次齐次性求各 Π 项的指数 ai，bi，ci ⑤ 写出描述物理现象的无因次关系式F (?1,? 2 ,?,? n?m ) ? 0例题 1：流体螺旋桨推力问题涉及的变量符号因次如下表，试利用因次分析方法建立变量间 的无因次关系式。 变量 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） 轴推力 直径 速度 转数 重力加速度 密度 粘度 符号 P D V n g ρ ν 因次 MLT L LT T－1 －2－1LT－2ML L2T－3－1解： a n＝7 f（P，D，V，n，g，ρ ，ν ）＝0 b c 选 ρ， V， D 为基本的物理量 建立 n－m＝7－3＝4 个π 项? 1 ? P? a V b D c1 1 3 31? 2 ? n? a V b D c2 22? 3 ? g? a V b D cd 据因次齐次性求各指数3? 4 ? ?? a V b D c4 44ai，bi，ci对于 Π1 项：[ M 0 L0T 0 ] ? [ MLT ?2 ][ML?3 ]a1 [ LT ?1 ]b1 [ L]c1则等式两边对应指数相等。 对于 M：0＝1+a1 L： 0＝1－3a1+b1+c1 T： 0＝－2－b1 所以 则： 同理： a1＝－1， b1 ＝－2， c1 ＝－2?1 ? P / ?V 2 D2? 2 ? nD / V ,? 3 ? Dg / V 2 ,? 4 ? ? / VD? P nD Dg ? ? ??0 F? , , , ? ?V 2 D 2 V V 2 VD ? ? ?则：?p 例 2. 已知液体在管路中流动，压力坡度 L ，与下列因素有关：ρ，V，D，?，Δ 。试用因次分析方法确定变量间的函数关系式，并得出计算 hf 的公式?p ? f ? D, ? , ? , V , ? ? 解： （1） L? ?p ? ? [ ML?2T ?2 ] ?3 ? ? L ? ? ； ?D? ? [ L] ； ?? ? ? [ ML ] ；?? ? ? [ML?1T ?1 ] ； ?V ? ? [ LT ?1 ] ； ??? ? [ L]（2）选 ρ， V， D 为基本的物理量 （3）建立 3 个无因次π 项? 1 ? ?? a V b D c1 1 2 21? 2 ? ?? a V b D c ?3 ?对于 Π1 项：2?p a3 b3 c3 ? V D L[M 0 L0T 0 ] ? [ML?1T ?1 ][ML?3 ]a1 [ LT ?1 ]b1 [ L]c1对于 M： 0＝1+a1 L： 0＝－1－3a1+b1+c1T： 0＝－1－b1 所以 a1＝－1， b1 ＝－1， c1 ＝－1?1 ?? ?VD对于 Π2 项：[M 0 L0T 0 ] ? [ L][ML?3 ]a2 [ LT ?1 ]b2 [ L]c2对于 M：0＝a2 L： 0＝1－3a2+b2+c2 T： 0＝－b2 所以 a2＝0， b2 ＝0， c2 ＝－1?2 ?? D对于 Π3 项：[M 0 L0T 0 ] ? [ML?2T ?2 ][ML?3 ]a3 [ LT ?1 ]b3 [ L]c3对于 M：0＝1+a3 L： 0＝－2－3a3+b3+c3 T： 0＝－2－b3 所以 a3＝－1， b3 ＝－2， c3＝1?3 ??p D L ?V 2? ? ?? ?p D ? 1 ?? ? ?? , ? ? ?? , ? ? ? 2 ? Re D ? ? ?VD D ? （4）所以， L ?V2 ?p ? 1 ? ? ?V ? ?? , ? L ? Re D ? D 2 2 ?p L ? 1 ? ? ?V L ? 1 ?? LV ? ?? , ? ? 2? ? , ? L ? ? Re D ? D ? ? Re D ? D 2 g(5)hf ?令? ? 2? ?? 1 ?? , ? ? Re D ? ，则hf ? ?λ――沿程阻力系数L V2 D 2 g ――达西公式⑥ Π 定理的实用价值： 对于一些复杂的物理现象， 即使无法建立微分方程， 但只要知道这些现象包含哪些物理 量，就能求出它们的无因次综合量――相似准数，从而提供了找出这些物理现象的规律性的 可能性。 二、相似原理 1、相似原理：研究模型与实物之间相似关系的基本原理。 2、相似运动：如两个流动相应点上所有表征流动状况的相应物理量都维持各自的固定比例 关系，则这两个流动是相似的。 3、动力学相似包括：几何相似、运动相似和动力相似。 n――原型 4、几何相似 （1）定义：原型与模型之间对应的几何尺寸成比例，对应角度相等。 m――模型（2）长度比尺：?l ??A ??V ?ln 原型长度 ? lm 模型长度2 An ln ? 2 ? ? l2 Am lm 3 Vn ln ? 3 ? ? l3 Vm lm（1）（3）面积比尺：（2）（4）体积比尺： 5、运动相似（3）（1）定义：原型与模型之间对应的运动参数的方向一致，大小成比例。（2）时间比尺：?t ?tn tm（4）（3）速度比尺：?v ?vn ln tn ? l ? ? vm lm tm ? t（5）（4）加速度比尺： 6、动力相似?a ?2 an ln tn ? ? ? l2 2 am lm tm ? t（6）（1）原型与模型之间对应的受力方向一致，大小成比例。 （2）力的比尺：?F ?3 2 Fn ?Va ? ln ? ln tn ? ? n n n ? n3 ? ? ?? l3 l2 ? ? ?? l2? v2 2 Fm ?mVmam ?mlm ? lm tm ?t（7） （8）（3）动力相似充要条件：Nen = NemNe ?无因次牛顿数：F ? l 2v 2 （作用在流体质点上的合外力与惯性力之比）F――其它物理力，包括：万有引力产生的重力 G，流体粘滞力产生的粘性力 T，受相邻物 体的压力 P，压缩性产生的弹性力 R，流体表面张力 σ，等。 因为液体运动和流态的变化是惯性力和其它各种物理力相互作用的结果， 惯性力企图维 持原来的运动状态， 而其它各种物理力企图改变流动状态。 则惯性力的大小体现了合外力的 综合作用结果，力的无因次准数应以惯性力为一方比上其它力表示。 （8）式的意义： 两个几何相似的流动，如果动力相似，则牛顿数必相等。反之，牛顿数相等的两个几何 相似的流动，必为动力相似。 （4）完全动力相似：所有外力均满足动力相似条件，即牛顿数相等。 （5）局部动力相似：部分外力满足动力相似条件。7、相似准数：无因次数 由于实际情况的限制，达到完全的动力相似困难。因此，进行模型实验时，常只考虑某 些起主要作用的力，根据起主要作用外力种类，常用的相似准数有： （1）. 雷诺数 Re：作用在流体上的外力中，粘性力起主导作用，如低速有压管流，设计模 型实验时，需 Re 相等F ? ?Adu dy[F ] ? [? l 2V ] ? [? l V ] lNe? ?lV? lV F ? ? ? ? ? 2 2 Fi ? l V ? lV l V令Re ?? ：雷诺数。L 为特征长度。物理意义：惯性力与粘性力之比。 （2）. 佛劳德数 Fr ：以重力为主时，Fr 相等――明渠流、堰流 因为 所以 F＝Mg[F ] ? [ ? l 3g ]F ? l 3g gl ? ? 2 2 2 Fi ? l V VV2 Fr ? gl ：佛劳德数。 令物理意义：惯性力与重力之比。 （3）. 欧拉数 Eu：以压力为主时，Eu 相等――研究水中物体的受力 因为[ F ] ? [ pA] ? [ pl2 ]所以pl F p ? ? 2 2 Fi ? l V ?V 2p ?V 2 ：欧拉数。2Eu ?令物理意义：压力与惯性力之比。 （4）. 韦伯数 We：表面张力相似时，We 相等?l ? ? 2 2 ?lV ? l V2We ?令? l V2 ? ：韦伯数。（5）. 柯西数 Ca：弹性力 K l 2 相似时，Ca 相等Kl 2?V lCa ? V2 K / ? ：柯西数。2 2?K ?V 2令K――流体弹性系数。例：油泵抽贮油池中的石油，为保证不发生漩涡及吸入空气，必须用实验方法确定最小油位 h，已知原型设备中吸入管直径 dn=250mm，ν n=0.75×10-4m2/s，Qn=140L/s，实验在 1：5 的模型中进行，试确定 (1) 模型中γm=？，Qm=？，Vm=？(2) 若模型中出现漩涡的最小液柱高度 hm=60mm，求 hn=？ 分析：重力、惯性力、粘性力，特征长度为 d 解： Ren = Rem ， Frn ? Frm?Vn ? d n Vm ? d m ? ? ? ?m ? n ? ? gn ? dn ? gm ? dm 2 2 ? Vm ? VnVn ? Qn 1 ?d n 2 4 ? 140? 10?3(1) ( 2)1 ? 3.14 ? 0.252 4? 2.85m / sdm 1 ? 5 gn=gm， d nVm＝1.27m/s，代入（1）得 νm=0.068×10 -4m2/sQm ? Vm1 ?d m 2 ? 2.5L / s 4hn= hm?5＝300mm 第五节 圆管层流分析 当 Re ≤ 2000 时，为层流：常发生在粘度较高或速度较低的情况下。主要内容： 流速分布 流量计算公式 切应力分布规律 沿程水头损失的计算一、流速分布 由实际不可压流体的运动微分方程求出。 Navier―Stokes 方程：X?Y?1 ?p ? ? 2u x ? 2u x ? 2u x ? dux ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?x ? ?y ?z ? ? ?x ? dt? ? 2u y ? 2u y ? 2u y ? duy 1 ?p ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?y ? ?y ?z ? ? ?x ? dtZ?1 ?p ? ? 2u z ? 2u z ? 2u z ? duz ?? ? 2 ? 2 ? 2 ? ? ? ?z ? ?y ?z ? ? ?x ? dt以下根据圆管层流的运动特点对 N－S 方程进行简化 （1）. 液流沿水平等径管运动：ux＝u，uy＝uz＝0 （2）. 水平运动且为稳定流：X＝Y＝0，Z＝－g（3）. ? ? C ：?u x ?u y ?u z ? ? ?0 ?x ?y ?z?u x ?0 ?x ，? 2u x ?0 ?x 2（4）. 对于稳定流动?u x ?0 ?t?u y ?t?0?u z ?0 ?tdux ?ux ?u ?u ?u ? ? u x x ? u y x ? uz x ? 0 dt ?t ?x ?y ?z du y同理：dt?duz ?0 dt则 Navier―Stokes 方程变成：??1 ?p ? ? 2ux ? 2ux ? ?? ? 2 ? 2 ? ??0 ? ?x ? ? y ? z ? ?1 ?p ?0 ? ?y 1 ?p ?0 ? ?z（1）（2）?g?（3）以下由（1）式推导速度分布公式。 因为 ux＝ u，所以? ? 2u ? 2u ? ?p ? ?? ? ?y 2 ? ?z 2 ? ? ?x ? ??p y 和 z 有关，故 ?x 应为定值！则 ?p p2 ? p1 ? ? p1 ? p2 ? ?p ? ? ?? ?x L L L由于管道的对称性，ux（y，z）＝ux（r） ，因此，引进圆柱坐标（二维）（4）对于等径管，压强沿轴向变化率为定值，而（4）式中等号左边只与 x 有关，右边只与（5）? 2u ? 2u ? 2u 1 ?u 1 ? 2u ? ? ? ? ?y 2 ?z 2 ?r 2 r ?r r 2 ?? 2?u ?0 ?? ，（6）由于对称，? 2u ?0 ?? 2即 u ? u?r ?? ? 2u 1 ?u ? ?p ? ? ?? ? ?r 2 ? r ?r ? ? L ? ? 则（4）式变成：?所以（7）?p 1 d ? du ? ?? ?r ? L r dr ? dr ?（8）r积分（8）式：du ?p 2 ?? r ? C1 dr 2?L（9）u??所以?p 2 r ? C1 ln r ? C2 4?L（10）代入边界条件：r＝0，u 必须有极限值 r＝R，u＝0则：C1 ? 0 ,C2 ? u??p 2 R 4?L（11）所以?p 2 2 R ?r 4?L??（12）二、最大流速r ? 0,三、流量um ??p 2 ?pD2 R ? 4?L 16?L（13）dQ ? u ? 2?r ? dr Q ? ? dQ ? ?四、平均流速R 0? ? p1 ? p2 ?R 4 ??pD4 ?p 2 2 R ? r ? 2?r ? dr ? ? 4?L 8?l 128?l??（14）V?五、切应力Q ?pD2 umax ? ? A 32?l 2（15）牛顿内摩擦定律： ? ? ??当 r＝R 时，τ ＝τ0? ?p du du ? du u 2 ? u1 ? ?? ? ? ? ? 0? ? ? ? 2L r dy dr ? dr r2 ? r1 ?（16）?0 ??p R 2L（17）则? r ? ?0 R（18）结论：有效断面上，切应力随 r 成线性关系。 六、水头损失对于水平等径管hf ??p?? 32?lV ?D 2V?又?pD2 32?l ?p?p?则32?lV 32? L V 2 2 hf ? ? ? ? ? ? ? ?D 2 ?D D 2 g V结论：层流状态，水头损失与速度呈线性关系。所以hf ?64 L V 2 L V2 ?? Re D 2 g D 2g――达西公式其中??64 Re 为层流沿程水力摩阻系数。说明：结论与管路的放置位置无关。第六节 紊流理论分析 一、紊流的产生由于粘性的存在，限制了流体质点的扰动，从而在一定雷诺数限度内能维持层流状态。 1. 粘滞性对漩涡的产生、存在和发展具有决定性的作用。惯性力（升力）使涡体脱离 本层，粘滞力阻止涡体运动。因此，当 Re 较小时，粘滞力起主要作用，涡体不能发展运动 （上移） ； 当 Re 很大时， 粘性力起次要作用， 惯性力占主导地位， 漩涡随时间的进程而增强， 发展成为紊流。 2. 两层流体有速度差别亦是造成不稳定的主要原因。3. 在剪切流动中，横向压力梯度的存在导致漩涡的产生。二、紊流的基本特征和研究方法 1. 紊流的特征――紊流的随机性 紊流状况下，流体质点运动非常紊乱，其运动速度的大小和方向随时改变。表现为各点 速度和压力的脉动现象――紊流的随机性。2.紊流流动的基本性质（1）. 紊流能量的输运性。紊流动量输运表现为紊流的粘性；紊流内能输运表现为紊流的 热传导。 （2）. 紊流流动的耗散性（能量损失） 。它有两项，平均粘性耗散项；脉动耗散项。 （3）. 紊流流动的有旋性。紊流流场中的输运是通过漩涡来传递的。从理论上讲，没有旋 涡就不能维持紊流。3、研究方法――统计平均方法 虽然在某一瞬时，紊流运动仍然服从 N―S 方程，但由于紊流的随机性，求解 N－S 方 程是困难的。 实验证明，虽然紊流具有随机性，但是，在条件相同时，进行无数次实验，其运动参数 的算术平均值还是趋于一致，即，虽然个别的实验结果无规律性，但大量实验结果的算术平 均值具有一定的规律性。 所以， 只有大量实验的统计平均才能给出具有决定性的结果。 因此， 统计方法在紊流问题的研究中具有重要的意义。 在紊流理论中，有三种统计平均方法：时均法，体均法，统计平均法（1）时均法 ――在紊流流场中某一固定点上，于不同时刻测量该处的速度。 图中两条曲线为两次实验结果，由图，每次实验的速度变化都极不规则，在相当长的时 段内的平均却是相同的。?定义：?t ? ? 1u T?t 0 ?Tt0u ? x, y, z , t ?dt?t ?u ――随机速度用时均法算出的平均值T ――理论上应为无穷大时段u?x, y, z, t ? ――随机速度（真实速度）? 时均法的适用范围： 只能用来描述对时均值而言的定常流动。 ? 应用时均法的条件：?t ??t ?u 与 t0 及 T（只要足够长）无关，即 u 不再是时间的函数――稳定紊流。（2）. 体均法湍流的随机性不仅表现在时间上，在空间分布上也具有随机性。 若在管流轴线 L 段上同时测量各点轴向速度分布。在不同时刻可以测到不同的速度分 布，但在 L 内求速度的平均值，则任意两次试验的平均值相同。?一维体均法的定义：( x ) 1 x0 ? L ? ? u (? , t )d? u L x0 ( x) u ――沿 x 轴向 L 段上的平均速度L ――足够长的距离u (? , t ) ――在相同条件下，任一次实验的速度分布适用范围：积分与 x0、L 无关 ? 空间体均法定义：(V ) 1 ? ui (? ,? , ? , t )d?d?d? ui V ??? V(V ) ui ――(x，y，z)点处的体均值V ――包含某空间点（x，y，z）在内的足够大的体积ui (? ,? , ? , t ) ――在相同条件下，任一次实验的速度分布适用范围：均匀的紊流流场。（3）. 统计平均法 因为时均法适用于定常流场， 体均法适用于均匀流场， 而对于一般不定常非均匀流场只 有采用统计平均法。 将重复多次的试验结果作算术平均。( p)1 ui ?x, y, z, t ? ? lim N ?? N? u ? x, y , z , t ?K ?1 iN (K )( p)ui ?x, y, z, t ? ――用概率平均法算得的平均值 ui ?x, y, z, t ? ――第 k 次实验的流场分布函数N ――重复次数(K )三、脉动值与平均值的性质1. 平均值的平均仍为原平均值。V ?1 N?VK ?1NK?1 ? NV ? V N2. 瞬时量之和的平均等于各量平均值之和。A? B ? A ? B3. 脉动值的平均值等于零。?V ? ? V ? V ?V ? ? V ? V ? V ? V ? 04. 脉动值与任一平均值乘积的平均等于零。VV ? ? 05. 两瞬时量积的平均等于两瞬时量平均的积加上脉动量积的平均。AB ? A B ? A?B?证明：1 N 1 N 1 N ? ? ? ? ? ? AB ? ? ? AB? ? ? A ? A B ? B ? ? ?A B ? A B? ? A?B ? A?B?? ? A B ? A?B? N K ?1 N K ?1 N K ?16. 紊流值的各阶导数的平均值等于平均值的各阶导数。?A ? A ? 2 A ? 2 A ? ; ? 2 ;?? ?t ?t ?t 2 ?t?A 1 N ?Ai 1 ? N ? ? 1 N ? ?A ? ? ? Ai ? ? ? Ai ? ? ? N K ?1 ?t N ?t K ?1 ?t ? N K ?1 ? ?t 证明： ?t7. 脉动量的各阶导数的平均值等于零?A? ? 2 A? ? 0; ? 0;?? ?t ?t 2四、稳定紊流基本方程 1. 紊流连续性方程（时均、瞬时流动）?ux ?u y ?uz ? ? ?0 ?x ?y ?z?u? ?u? ?u? x ? y ? z ?0 ?x ?y ?z2. 紊流时均流动运动方程? divu ? 0? divu? ? 0由 N－S 方程：Xi ??u xi ?u xi ?u xi ?u xi 1 ?p ???2u xi ? ? ux ? uy ? uz ? ?xi ?t ?x ?y ?z对 N－S 方程取时均，整理可得。 以 x 方向为例（1）. 等号左边：1 t0 ?T 1 1 t0 ?T ?p 1 t 0 ?T 1 ?p Xdt ? dt ?? ? ? 2u x dt ? X ? ? ?? 2 u x ? ? t t t T 0 ? T 0 ?x T 0 ? ?x（2）. 等号右边第一项：1 T?t 0 ?Tt0?u x ?u dt ? x ?t ?t等号右边后三项：ux?u y ? ?u x ?u ?u ?u ?u ? ? ? u y x ? u z x ? ?u x u x ? ? u x x ? ?u x u y ? ? u x ? ?u z u x ? ? u x z ?x ?y ?z ?x ?x ?y ?y ?z ?z ? ? ? ? ?u x u x ? ? ?u y u x ? ? ?u z u x ? ?x ?y ?z?u x ?u ?u ? ? ? ? u y x ? u z x ? ?u x u x ? ? ?u y u x ? ? ?u z u x ? ?x ?y ?z ?x ?y ?z ? ? ? 2 ? ? u xu x ? u? u y u x ? u ?y u ? u z u x ? u? x ? x ? zux ?x ?y ?z所以ux??????则X?整理可得：?u 1 ?p ? ? ? 2 ? ? ? ?? 2 u x ? x ? u xu x ? u? u y u x ? u? u z u x ? u? x ? yux ? zux ? ?x ?x ?x ?y ?z? ? ? ?u x ?p ? ? ?u x ? ? ?u x ? 2? ? ? ? ?? ? ? u? ? ? ? u?y u? ? ?? ? ? u? x ?? x? zux ? ? ? ?x ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ? ?z ? ?z?? ?????X ???同理：?u x ? ? ? ? ? ?u xu x ? ? ? ?u y u x ? ? ? ?u z u x ? ?t ?x ?y ?z?Y ???? ? ? ?u y ? ?p ? ? ?u y ? ? ?u y 2? ? ?? ? ?? ? ? ? ? ? u? ? ? ? u?y ? ? ? ? ? ? u? xu y ? zu y ? ? ? ? ? ?y ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ?z ? ?z ? ?? ? ?u xu y ? ? ? ? ?u yu z ? ? ? ? ?u zu y ? ?x ?y ?z?u y ?t?Z ???? ? ? ?u z ?p ? ? ?u z ? ? ?u z 2? ?? ? ? ?? ? ? u? ? ? ? u?y u? ? ?? ? ? u? xu z ? ? z? z ? ? ? ?x ?x ? ?x ? ?y ? ?y ? ? ?z ? ?z?u z ? ? ? ? ? ?u x u z ? ? ? ?u y u z ? ? ? ?u z u z ? ?t ?x ?y ?z――雷诺方程 与 N－S 方程相比，它多了以下六项：由于脉动而产生的附加法向应力：2 ?2 ?2 ? u? x , ?u y , ?uz由于脉动而产生的切向应力： ?u x u y ,? ?? ? ? ? u? y u z , ?u z u x统称为：雷诺应力四、紊流切应力与附加切应力1、附加切应力――雷诺应力，产生的原因流体质点混杂，产生动量交换和能量消耗，从而引起附加阻力。 2、简单平行流动附加切应力 Ox 轴取在物面上，时均流速为 u x 则有： ux ? ux ? y ?,u y ? uz ? 0现在考虑面 y＝yi 上的雷诺应力? ?附 ? ??u? xu y ,? u? x , u y异号? 据质量守恒， ? ? ? ? ? ?u ? ? a ?1 ? u? ? b ?1? ? 0 ? u ? , u? 异号? x y x y ? ?3、紊流中总的摩擦应力τ对于简单平行流动（如水平圆管） ，总的摩擦应力应等于粘性摩擦应力与附加切应力之和。? ??du ? ? ? u? xu y dy其中粘性摩擦应力是由流体的分子运动造成。当Re ? ，?du ? ，不计 dy五、混合长度假说 由于紊流运动的复杂性， 不能从理论上精确的确定附加切应力。 人们只是在一些比较合 乎实际的假设的基础上， 着手解决这一问题， 其中普朗特提出的方法较为明了， 应用也最多。 1、假设的指导思想 把附加切应力项 ? uxu y 中的脉动速度转换成以时均速度表达的形式，使之易于求解。? ?因在定常层流直线运动中，由分子动量输送引起的粘性切应力为? xy ? ?du dy 。与此对应， 在紊流的平均流动的流线为平行直线时， 认为脉动引起的附加切应力可表示 成：? 附 ? ?i其中μ i 为紊流粘性系数。 2、混合长度du dy当流体质点在 y 方向脉动， 由一层跳入另一层时， 要经过一段不与其它任何流体质点相 碰的距离 l，以自己原来的动量和新位置周围的质点相混，完成动量交换。流体质点从一层 跳入另一层所经过的这一段距离 l 称为混合长度，它是流体质点在横向混杂运动中，其自 由行程的平均值。3、Prandtl 混合长度假说x 近似等于两层流体的时均速度之差。 （1）. 流体质点的纵向脉动速度 u?u? x ?ldu x dyx 成比例。 （2）. 横向脉动速度 u y 和纵向脉动速度 u??? u?y ? C ?u? x ?Cldu x dy如图 c，展示两个流体质点同时从 y＋l，y－l 层脉动到 y 层上，此时，质点 1 的时均速? du x ? u? x ?? ? dy l ? ? ? ?1 ，而质点 2 的时均速度比 y 层快 度比 y 层慢? du x ? ? dy ?? l? ? ?2 。分开，? ? 如图 a，若 2 质点在 1 质点之前，则它们将以相对速度 ux1 ? ux2就引起 y 层两侧流体质点脉动到 y 层上以填补 1、2 两质点分开后留下的空隙。? ? 如图 b，若 2 质点在 1 质点之后，两质点将以相对速度 ux1 ? ux2 ?靠x 有关，且量级相同，即 近，这就将排挤 y 层上流体质点向 y 层两侧运动。因此， u y 与 u?? u? y ? ux（3）. l∝y，即 l 正比于距离壁面的距离。?附1 ? ? ??u? xu y ? ?? T?2t 0 ?Tt0? du x ? u? x u y dt ? C?l ? ? dy ?2du x ? 2 du x du x ? ? ? C?l dy dy ? ? i dy ?2紊流运动粘性系数2 ? du x ? ? 注： u ? x u y ? ?Cl ? ? dy ? ? ? ?? du x ? du du du ? ? ? ? x ? C?l 2 ? ? ? x ? ?i x ? ? dy dy dy ? dy ? 而：六、速度分布 1、概念： （1）.层流边层：当流动是紊流状态时，在贴近管壁的地方仍有一层流体底层δ 层。2? 层 ? 30d , ?为水力摩阻系数 Re ?（2）. 水力光滑：当δ 层&绝对粗糙度Δ 时， Δ 对流动阻力影响不计，称为水力光滑。 （3）. 水力粗糙：当δ 层& Δ 时， Δ 对流动阻力有很大影响，称为水力粗糙。2、速度分布因为? du x ? du ? ? ? x ? C?l 2 ? ? dy ? ? dy ? ?2（1）据 Prandtl 假设，令 l＝ky，c＝1，考虑壁面附近流动的不同情况分别讨论如下。（1）. 光滑壁面附近完全发展湍流速度场 据壁面附近流动情况分成三个区域研究：近壁层流底层区、过渡区、紊流核心区由实验知，ai＝5，ae＝30，其中 y 称作摩擦长度。*y* ?u* ?切应力速度：?u*?0 ?y y* ?5） （2）（3）a、近壁层流底层区速度分布（由于在层流边层内雷诺应力远小于粘性摩擦力，则（1）式变成：?0 ? ?du x dy（4）du x ? 0 ? 0 1 2 1 ? ? ? ? u* ? dy ? ? ? ?（5）ux ? ux ? ux y ? u* y*yb、紊流核心区速度分布（ 忽略粘性项，则（1）式变成2y?? u* ?y ? u*（6）层流底层速度分布：y*? 30）? du x ? 2 2 ? du x ? ? 0 ? ?l ? ? dy ? ? ? ?K y ? ? dy ? ? ? ? ? ?222（7）所以du x 1 ? u* dy Ky 1 y ln * K y,ux ? K ln y ? C ? u*令C ? ? C ?ux 1 y ? ln * ? C K y 紊流核心区速度分布公式： u**（8）K、C 由实验定，1932 年，尼古拉兹作了大量精确实验得出在 30 & y y &1000 范围内，1 ? 2.4 , KC ? 5.8故（8）式写成： 当 y y ? 10 时，* 3ux y ? 2.4 ln * ? 5.8 u* y ux y ? 5 ln * ? 5.5 u* yy* ? 30）（9）（10）5? yc、过渡区（牛顿应力与雷诺应力量级相同，分析困难。尼古拉兹由试验得到经验公式：ux y ? 5 ln * ? 3.05 u* y（2）. 粗糙壁面附近完全发展紊流速度分布 由完全发展紊流核心区的速度结果式（8）（11）ux 1 1 1 u 1 u 1 1 1 y 1 u? ? ln y ? C ? ? ln y ? C ? ? ln * ? ln * ? ln ? ? ln ? ? ln ? ln * ? C ?? K K ? K ? K K K ? K ? u* K（12）尼古拉兹得出：1 ? 2 .5 , K （）. ? ? 4 y 时，*C ?? ? 5.5ux y u? y ? 2.5 ln ? 2.5 ln * ? 5.5 ? 2.5 ln * ? 5.5 u* ? ? y――与Δ 无关 （）. ? ? 60y*（13）时，1 ? 2.5 , K C ?? ? 8.5 ? 1 ? ln * K yux y ? 2.5 ln ? 8.5 u* ?（3）. 对于圆管，Re↑，u ~→V（14）Re ? 105 ,Re ? 106 , Re ? 108 ,V ? 0.82 u maxV ? 0.86 u max V ? 0.90 u maxy＝r0－r，代入公式（9） 、 （10） 、 （11） 、 （13） 、 （14）进行计算。对于圆管进行计算时，可令七、圆管紊流速度分布近似指数表达式? y? u ? um ? ?r ? ? ? 0? 实验证明：um――轴心处最大流速； ro――半径； 对于水力光滑管：ny――坐标值； n――指数1 1 Re ? 10 5 , n ? ; 10 5 ? Re ? 4 ?10 5 , n ? 7 8对于水力粗糙管：n?1 10第七节 圆管紊流沿程水力摩阻的实验分析 一、圆管沿程水头损失计算通式 由于紊流运动的复杂性， 水力摩阻系数的计算无精确公式， 它的计算一般借助于经验公 式。 公式推导方法： （1）找出影响水力摩阻的各种因素 （2）利用因次分析方法找出其函数关系式 （3）实验处理 （4）导出公式 1. 影响能耗因素 ΔP ML-1T-2 d L ρ ML-3 ? ML-1T-1 V LT-1 L L Δ L2. 选基本物理量：ρ 、V、d 3. 组成 4 个π 项? 1 ? ?P? x V y d z1 11? 2 ? ?? x V y d z2 22? 3 ? L? x V y d z3 33? 4 ? ?? x V y d z4 444. 据因次齐次性求各π 项?1 ?5.?P ? L ? ,? 2 ? ,? 3 ? ,? 4 ? 2 ?V ?Vd d d? ? L ?? ?P ? f? 2 ? ?Vd , d , d ? ? ?V ? ? ? ? L ?? f? ? ?Vd , d , d ? ? ? ? ? 2 ?P L ? ?V ? ?hf ? ? 2 f ? Re, , ? ? d d ? 2g ? ?hf ? ?P ?实验证明： hf ∝ L/D 则?V 2 ??? L V2 ? h f ? 2 f ? Re, ? d ? d 2g ?令? ? 2 f ? Re, ?hf ? ? LV2 d 2g? ??? d?则――达西公式――沿程水头损失计算公式二、计算沿程水力摩阻系数λ 的经验公式1、确定? ? 2 f ? Re, ?? ??? d ? 的实验方法因为λ 与 Re 和Δ /D 有关，所以实验分 2 步： （1） （2） 选定一个管子后， Δ /D 定，然后做λ ~f1（Re）关系曲线； 一个管子定完后，另选一个不同粗糙度的管子重复以上实验。对于水平管：hf ??p?L ?V??L V2 d 2g?pd ? 2 g L ?V 2???hf d ? 2g2?Re ?Vd?于是可得如图曲线λ ~Re 关系改变Δ ，作多条λ ~Re 关系曲线，即得莫迪图。 2、曲线分析 ab 段：六线重合，λ 值与相对粗糙度无关。在层流区 Re ≤2000，? ? f ?Re ? ?64 Rebc 段：层流向紊流过渡区， λ 变化规律不明显。 cd 段：接近直线， λ 与相对粗糙度无关，且直线斜率为(－1/4)，即λ 与 Re0.25 成反比，称为 水力光滑区。一般 Re≤ 10 时，5??10.3164 Re0.25Re&105 时， f g 左方：混合摩擦区。 因λ 与 Re 和Δ /d 都有关，判断公式?? 2 lg ? Re ? 0.8??59 .7?87? Re ?665 ? 765 lg ??，? ? ?r1? 6.8 ? ? ?1.11 ? ? ?1.8 lg ? ?? ? ? ? ? Re ? 3.7d ? ? ? ?――伊萨耶夫公式（4）f g 右方：水力粗糙区。因λ 与 Re 无关，而只和Δ /d 有关，判断公式：Re ?665 ? 765 lg ????1 3.7d ? ? ? 2 lg ? ? ? ?2（5）――尼古拉兹公式 3、公式适用范围得确定：图解法 P117 图 4－254、λ 值图解法――伊萨耶夫算图三、实用经验公式： P119四、非圆管的水力摩阻计算 方法：把非圆管等效成圆管来计算 原则：水力半径相等，阻力相同R?d当 ? d当＝4 R 4（d当为当量直径）所以Re ?Vd 当?? ? ? hf第八节 局部水头损失 一、局部阻力产生的原因 1、液流速度重新分布，产生能耗； 2、产生旋涡，粘性力做功产生能耗； 3、流体质点混掺，产生动量交换，消耗能量。 二、局部水头损失计算公式1、hj ? ?V2 2g? ――局部水力摩阻系数l当 V 2 hj ? ? d 2g 2、l 当――当量长度 （1） l 当 称为当量长度 ：hj 相当 l 当长度等径管产生的沿程水头损失 hf 。? ＝?l当 dl当 ??d ?（2） ? 的确定方法h j ? z1 ? z2 ??p1 ? p2 ? ? V12 ? V22?2g??hj V 2g2三、 ? 查表说明 1、由表 4－8 查的 ? 0 是在 ?0 ? 0.022 的情况下测定的，则一般情况下要进行如下转换：? ??0表 4－8 适用于紊流计算。?0.0222、表 4－9 所查的 ? 0 值需修正，它与 Re 有关，修正系数 ? ?Re?? ? ? ?Re ?? 0表 4－9 适用于层流计算。 四、突然扩大管水头损失的理论分析已知：Q，A1，V1， A2，V2，γ 求：hj＝？ 解：取 1－1~2－2 断面列方程h j ? z1 ? z2 ??p1 ? p2 ? ? V12 ? V22?2g（1）取 1－1~2－2 为控制体，运用动量方程：p1 A1 ? p2 A2 ? ?p1 ? p2 ?A2 ? ?Q?V2 ? V1 ?（2）?p1 ? p2 ? ??Q ?V2 ? V1 ? ? V2 V2 ? V1 A2 g g??（3）把（3）式代入（1）式得到局部水头损失的计算公式V2 ?V2 ? V1 ? V12 ? V22 ?V2 ? V1 ? hj ? 0 ? ? ? g 2g 2g2――包达公式hj ??V2 ? V1 ?22g2 2 2 ? A1 ? V1 2 ? V1 A2 ? V2 V2 ? ? ? ? ?? ? 1? ? ?1 ? 1? ??2 2g ? A1 ? 2g ? A2 ? 2g ? ? 2g22例 1： 流速由 V1 变为 V3 的突然扩大管，为了减小阻力，可分两次扩大，问中间级 V2 取多大时，所 产生的局部阻力最小？比一次扩大的阻力小多少？解：① 求 V2一次扩大的：h j1 ? h j2 ??V1 ? V3 ?22g?V1 ? V2 ?2 ?V2 ? V3 ?22g ? 2g两次扩大的：当 V1、V3 确定时，产生的最小阻力的值 V2 由下式求出：dh j 2 dV2 ? V2 ??1 ?? 2?V1 ? V2 ? ? 2?V2 ? V3 ?? ? 0 2gV1 ? V3 2②hj2V ? V3 ? ? ? V1 ? V3 ? ? V3 ? ?V1 ? 1 ? ? ?V1 ? V3 ?2 2 ? 2 ? ? ? ? ? ? 2g 2g 4ghj2 ? 1 222所以， h j1即分两次扩大最多可减少一半损失。例 2．如图所示，水在压强作用下从密封的下水箱沿竖直管道流入上水箱中，已知 h＝50cm，H＝ 3m，管道直径 D＝25mm，λ ＝0.02，各局部阻力系数分别为ζ 1＝0.5，ζ 2＝5.0，ζ 3＝1.0， 管中流速 V＝1m/s，求：下水箱的液面压强。 （设稳定流动） 解：以下水箱液面为基准面，列两液面的伯努利方程：0?p0?? 0 ? ?H ? h ? ? 0 ? 0 ? hw沿程水头损失：hf ? ?L V2 3 ? 0.5 12 ? 0.02 ? ? ? 0.143m D 2g 0.025 2 g局部水头损失：h j ? ?? 1 ? ? 2 ? ? 3 ?V22g? ?1.0 ? 5.0 ? 0.5? ?12 ? 0.332m 2g总水头损失：hw＝hf+hj＝0.475mPa 所以， p0 ? ? ??H ? h? ? hw ? ? 9800? ?3 ? 0.5 ? 0.475? ? 38955
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