整数和浮点数在计算机内部存储的方式是不同的，整数运算永远是精确的，怎么理解？
"整数和浮点数在计算机内部存储的方式是不同的，整数运算永远是精确的（除法难道也是精确的？是的！），而浮点数运算则可能会有四舍五入的误差。"
请问怎么理解？
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计算机中的浮点数是什么？
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浮点数在计算机中用以近似表示任意某个实数。具体的说，这个实数由一个整数或定点数（即尾数）乘以某个基数（计算机中通常是2）的整数次幂得到，这种表示方法类似于基数为10的科学记数法。 浮点计算是指浮点数参与的运算，这种运算通常伴随着因为无法精确表示而进行的近似或舍入。 一个浮点数a由两个数m和e来表示：a = m × be。在任意一个这样的系统中，我们选择一个基数b（记数系统的基）和精度p（即使用多少位来存储）。m（即尾数）是形如±d.ddd...ddd的p位数（每一位是一个介于0到b-1之间的整数，包括0和b-1）。如果m的第一位是非0整数，m称作规格化的。有一些描述使用一个单独的符号位（s 代表+或者-）来表示正负，这样m必须是正的。e是指数。 这种设计可以在某个固定长度的存储空间内表示定点数无法表示的更大范围的数。 例如，一个指数范围为±4的4位十进制浮点数可以用来表示4或0.0004321，但是没有足够的精度来表示432.123和43212.3（必须近似为432.1和43210）。当然，实际使用的位数通常远大于4。 此外，浮点数表示法通常还包括一些特别的数值：+∞和??∞（正负无穷大）以及NaN（'Not a Number'）。无穷大用于数太大而无法表示的时候，NaN则指示非法操作或者无法定义的结果。 大部份计算机采用二进制（b=2）的表示方法。位(bit)是衡量浮点数所需存储空间的单位，通常为32位或64位，分别被叫作单精度和双精度。有一些计算机提供更大的浮点数，例如英特尔公司的浮点运算单元Intel8087协处理器（以及其被集成进x86处理器中的后代产品）提供80位长的浮点数，用于存储浮点运算的中间结果。还有一些系统提供128位的浮点数
浮点数是属于有理数中某特定子集的数的数字表示，在计算机中用以近似表示任意某个实数。
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我们会通过消息、邮箱等方式尽快将举报结果通知您。本文转载自：阮一峰的博客，http://www.ruanyifeng.com/blog/2010/06/ieee_floating-point_representation.html
张玉彬的博客&http://www.cnblogs.com/jillzhang/archive//793901.html
1.前几天，我在读一本C语言教材，有一道例题：
　　#include &stdio.h&
　　void main(void){
　　　　int num=9;&/* num是整型变量，设为9 */
　　　　float* pFloat=&&/* pFloat表示num的内存地址，但是设为浮点数 */
　　　　printf("num的值为：%d\n",num);&/* 显示num的整型值 */
　　　　printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);&/* 显示num的浮点值 */
　　　　*pFloat=9.0;&/* 将num的值改为浮点数 */
　　　　printf("num的值为：%d\n",num);&/* 显示num的整型值 */
　　　　printf("*pFloat的值为：%f\n",*pFloat);&/* 显示num的浮点值 */
运行结果如下：
　　num的值为：9　　*pFloat的值为：0.000000　　num的值为：　　*pFloat的值为：9.000000
我很惊讶，num和*pFloat在内存中明明是同一个数，为什么浮点数和整数的解读结果会差别这么大？
要理解这个结果，一定要搞懂浮点数在计算机内部的表示方法。我读了一些资料，下面就是我的笔记。
2.在讨论浮点数之前，先看一下整数在计算机内部是怎样表示的。
　　int num=9;
上面这条命令，声明了一个整数变量，类型为int，值为9（二进制写法为1001）。普通的32位计算机，用4个字节表示int变量，所以9就被保存为00 ，写成16进制就是0x。
那么，我们的问题就简化成：为什么0x还原成浮点数，就成了0.000000？
3.根据国际标准IEEE 754，任意一个二进制浮点数V可以表示成下面的形式：
　　（1）(-1)^s表示符号位，当s=0，V为正数；当s=1，V为负数。
　　（2）M表示有效数字，大于等于1，小于2。
　　（3）2^E表示指数位。
举例来说，十进制的5.0，写成二进制是101.0，相当于1.01&2^2。那么，按照上面V的格式，可以得出s=0，M=1.01，E=2。
十进制的-5.0，写成二进制是-101.0，相当于-1.01&2^2。那么，s=1，M=1.01，E=2。
IEEE 754规定，对于32位的浮点数，最高的1位是符号位s，接着的8位是指数E，剩下的23位为有效数字M。
对于64位的浮点数，最高的1位是符号位S，接着的11位是指数E，剩下的52位为有效数字M。
5.IEEE 754对有效数字M和指数E，还有一些特别规定。
前面说过，1&M&2，也就是说，M可以写成1.xxxxxx的形式，其中xxxxxx表示小数部分。IEEE 754规定，在计算机内部保存M时，默认这个数的第一位总是1，因此可以被舍去，只保存后面的xxxxxx部分。比如保存1.01的时候，只保存01，等到读取的时候，再把第一位的1加上去。这样做的目的，是节省1位有效数字。以32位浮点数为例，留给M只有23位，将第一位的1舍去以后，等于可以保存24位有效数字。
至于指数E，情况就比较复杂。
首先，E为一个无符号整数（unsigned int）。这意味着，如果E为8位，它的取值范围为0~255；如果E为11位，它的取值范围为0~2047。但是，我们知道，科学计数法中的E是可以出现负数的，所以IEEE 754规定，E的真实值必须再减去一个中间数，对于8位的E，这个中间数是127；对于11位的E，这个中间数是1023。
比如，2^10的E是10，所以保存成32位浮点数时，必须保存成10+127=137，即。
然后，指数E还可以再分成三种情况：
（1）E不全为0或不全为1。这时，浮点数就采用上面的规则表示，即指数E的计算值减去127（或1023），得到真实值，再将有效数字M前加上第一位的1。
（2）E全为0。这时，浮点数的指数E等于1-127（或者1-1023），有效数字M不再加上第一位的1，而是还原为0.xxxxxx的小数。这样做是为了表示&0，以及接近于0的很小的数字。
（3）E全为1。这时，如果有效数字M全为0，表示&无穷大（正负取决于符号位s）；如果有效数字M不全为0，表示这个数不是一个数（NaN）。
好了，关于浮点数的表示规则，就说到这里。
下面，让我们回到一开始的问题：为什么0x还原成浮点数，就成了0.000000？
首先，将0x拆分，得到第一位符号位s=0，后面8位的指数E=，最后23位的有效数字M=000 00 。
由于指数E全为0，所以符合上一节的第二种情况。因此，浮点数V就写成：
　　V=(-1)^0&0.&2^(-126)=1.001&2^(-146)
显然，V是一个很小的接近于0的正数，所以用十进制小数表示就是0.000000。
7.再看例题的第二部分。
请问浮点数9.0，如何用二进制表示？还原成十进制又是多少？
首先，浮点数9.0等于二进制的1001.0，即1.001&2^3。
那么，第一位的符号位s=0，有效数字M等于001后面再加20个0，凑满23位，指数E等于3+127=130，即。
所以，写成二进制形式，应该是s+E+M，即0
00 。这个32位的二进制数，还原成十进制，正是。
&无论是单精度还是双精度在存储中都分为三个部分：
符号位(Sign) : 0代表正，1代表为负
指数位（Exponent）:用于存储科学计数法中的指数数据，并且采用移位存储
尾数部分（Mantissa）：尾数部分
&其中float的存储方式如下图所示：
而双精度的存储方式为:
&&&&R32.24和R64.53的存储方式都是用科学计数法来存储数据的，比如8.25用十进制的科学计数法表示就为:8.25*,而120.5可以表示为:1.205*,这些小学的知识就不用多说了吧。而我们傻蛋计算机根本不认识十进制的数据，他只认识0，1，所以在计算机存储中，首先要将上面的数更改为二进制的科学计数法表示，8.25用二进制表示可表示为1000.01,我靠，不会连这都不会转换吧?那我估计要没辙了。120.5用二进制表示为：用二进制的科学计数法表示1000.01可以表示为1.0.1可以表示为1.1101101*,任何一个数都的科学计数法表示都为1.xxx*,尾数部分就可以表示为xxxx,第一位都是1嘛，干嘛还要表示呀？可以将小数点前面的1省略，所以23bit的尾数部分，可以表示的精度却变成了24bit，道理就是在这里，那24bit能精确到小数点后几位呢，我们知道9的二进制表示为1001，所以4bit能精确十进制中的1位小数点，24bit就能使float能精确到小数点后6位，而对于指数部分，因为指数可正可负，8位的指数位能表示的指数范围就应该为:-127-128了，所以指数部分的存储采用移位存储，存储的数据为元数据+127，下面就看看8.25和120.5在内存中真正的存储方式。
&&&& 首先看下8.25，用二进制的科学计数法表示为:1.0001*
按照上面的存储方式，符号位为:0，表示为正，指数位为:3+127=130 ,位数部分为,故8.25的存储方式如下图所示:
而单精度浮点数120.5的存储方式如下图所示:
那么如果给出内存中一段数据，并且告诉你是单精度存储的话，你如何知道该数据的十进制数值呢？其实就是对上面的反推过程，比如给出如下内存数据：0000，首先我们现将该数据分段，0
110 00 ，在内存中的存储就为下图所示：
根据我们的计算方式，可以计算出，这样一组数据表示为:1.0.5
而双精度浮点数的存储和单精度的存储大同小异，不同的是指数部分和尾数部分的位数。所以这里不再详细的介绍双精度的存储方式了，只将120.5的最后存储方式图给出，大家可以仔细想想为何是这样子的
下面我就这个基础知识点来解决一个我们的一个疑惑，请看下面一段程序，注意观察输出结果
&&&&&&&&&&& float f = 2.2f;&&&&&&&&&&& double d = (double)f;&&&&&&&&&&& Console.WriteLine(d.ToString("0.0"));&&&&&&&&&&& f = 2.25f;&&&&&&&&&&& d = (double)f;&&&&&&&&&&& Console.WriteLine(d.ToString("0.0"));
可能输出的结果让大家疑惑不解，单精度的2.2转换为双精度后，精确到小数点后13位后变为了2.7，而单精度的2.25转换为双精度后，变为了2.0，为何2.2在转换后的数值更改了而2.25却没有更改呢？很奇怪吧？其实通过上面关于两种存储结果的介绍，我们已经大概能找到答案。首先我们看看2.25的单精度存储方式，很简单 0 1 00 ,而2.25的双精度表示为:0 100 10 00 00 00 00,这样2.25在进行强制转换的时候，数值是不会变的，而我们再看看2.2呢，2.2用科学计数法表示应该为：将十进制的小数转换为二进制的小数的方法为将小数*2，取整数部分，所以0.282=0.4，所以二进制小数第一位为0.4的整数部分0，0.4&2=0.8，第二位为0,0.8*2=1.6,第三位为1，0.6&2 = 1.2，第四位为1，0.2*2=0.4，第五位为0，这样永远也不可能乘到=1.0，得到的二进制是一个无限循环的排列 ... ,对于单精度数据来说，尾数只能表示24bit的精度，所以2.2的float存储为:
但是这样存储方式，换算成十进制的值，却不会是2.2的，应为十进制在转换为二进制的时候可能会不准确，如2.2，而double类型的数据也存在同样的问题，所以在浮点数表示中会产生些许的误差，在单精度转换为双精度的时候，也会存在误差的问题，对于能够用二进制表示的十进制数据，如2.25，这个误差就会不存在，所以会出现上面比较奇怪的输出结果。
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