关于不是方阵的矩阵的逆矩阵求法
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?1AL?(ATUA)?1ATU
其中U是使关系式rank(ATUA)?rank(A)成立的任意m阶方阵。
定理2 设A?Rm?n，则下列条件是等价的：
(1)A是右可逆的；
(2)A的列空间?(A)?Rm；
(3)m?n,R(A)?m,即A是行满秩的；(4)AAT是可逆的。
其证明留给读者.
(1)?(3)，由m?rank(Im)?rank(AB)?rank(A)?m得m?n，
R(A)?m，A是行满秩的；由AAT(AAT)?1?Im，知AT(AAT)?1
?1是A的一个右逆矩阵，即AR?AT(AAT)?1。
注：右逆的一般表达式为：
?1AR?VAT(AVAT)?1
其中V满足rank(AVAT)?rank(A)。
?400?例1 矩阵A???050??是右可逆的，不是左可逆的。由于 ??
?1/40???10?400????A??01/5????050???01?? ???R????31R32?
注意到右逆最后一行元素是完全任意的，故存在无穷多个右逆矩
一般地,一个矩阵左可逆未必右可逆,而且右逆矩阵和左逆矩
阵都不是唯一的。若同时左可逆和右可逆，则此矩阵存在正则逆。
二、单侧逆与解线性方程组
设A?Rm?n是左可逆的，B?Rn?m是A的一个左逆矩阵，
则线性方程组AX?b有形如X?Bb解的充要条件是
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【求助】从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵
线性代数中逆矩阵的定义只需要AB=I和BA=I其中一个等式就行了吧？如果是这样，从AB=I怎么推导出BA=I呢？:P
不知道大家有没有理解我这个问题的意思，我这里再专门写清楚一点。我的意思是，假如你就是一个数学家，现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是
两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可（但是我翻了一下我手头的两本线性代数书，它们都把两个等式都作为逆矩阵的定义，并没有只取其中一个，这就是我发本贴询问的原因，是不是只取一个就可以？同时我自己也还在寻求证明）。可是出于数学家严谨的习惯，你又不放心，觉得这两个等式的等价性需要证明一下，比如如果已知AB=I，怎么推导出BA=I？（这个证明了，已知BA=I，推导出AB=I显然就同理得出）只要证明了这两个等式等价，我们就只需要拿其中任一个等式作为逆矩阵的定义，而不是拿两个等式。明白了我的意思之后，各位就要注意了，现在你还根本没有逆矩阵的概念（因为你还没有给逆矩阵下定义，下定义是你推导完之后的事）就是说你在推导过程中根本不能利用逆矩阵的定义。
证明见39楼和48楼
这步的根据是什么？
这步的导出过程和你在3楼的：
“再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。”
是一样的吧: B'(BA-I)'=0, '为转置
其依据是由（BA）B=B可知BA是B的左单位阵，而同样可以证明单位阵不分左右，且是唯一的，所以BA=I。
修改说明：原来的“BA是A的左单位阵”，其中A打错了，应该是B。现已改为“BA是B的左单位阵”。
什么叫左单位阵，解释一下。
单位阵就是单位阵，有明确定义，而你这个左单位阵是哪本书讲到的，我怎么就没听说过，给个出处。Originally posted by just_play at
这步的导出过程和你在3楼的：
“再由 AB = AC可得 A(B - C) =0，这就是说，B-C的每个列 x 是齐次线性方程组 Ax=0 的解。但由 det A ≠ 0，这个方程组只有零解，所以B-C的每个列都是零，从而 B=C。”
是 ... 我看他的样子是想纯粹从形式上推导这个命题，我在4楼已经说过，不用到A跟B是矩阵这个具体的背景，比方说行列式，线性方程组这些跟矩阵有关的工具，光形式地推是推不出来的，我可以举反例说明，如果把A跟B是矩阵这个条件去掉，AB=I 并不蕴涵 BA=I。
A^(-1)，B^(-1)这些东西是什么？还没定义出来的东西你怎么就拿来用了？
由题目知道A,B都是可逆矩阵嘛，其逆矩阵分别用A^(-1)，B^(-1)表示。这样不行么？
楼主是说用 AB=I 一个等式，来定义 A 为可逆矩阵可不可以。
请注意，可逆矩阵以及逆矩阵的概念尚未定义。
所以你的 A^(-1) 和 B^(-1) 是什么，我只能说：不知道。
原来如此。。。
左单位元的定义：e为集合H(其上定义了乘法: H X H -> H)的左单位元，则对H中的任意b,有: eb=b。右单位元和左右逆的定义类似
如果A,B不是矩阵而只是某个定义了乘法的集合H的元素，由AB=I不能推出BA=I，对H加上两个条件才行：
1.乘法满足结合律
2.H中的任一个元素均存在左逆
就算按你这个解释，9楼的话也说不通。Originally posted by ykwang at
其依据是由（BA）B=B可知BA是A的左单位阵，而同样可以证明单位阵不分左右，且是唯一的，所以BA=I。
这是他的原话，按你的解释，必须要对任意矩阵 C 满足 (BA) C = C 才能说明 BA是左单位，光凭一个 B 满足 (BA)B = B 就能叫左单位了？
我只是说明一下一般的左右逆和左右单位元的定义，不过这个定义和9楼的"A的左单位元"这个说法看来还是不一样的。
正如18楼所说的，我同意你的一般情况下不能由AB=I推出BA=I的说法，需要加上18楼的两个条件才行，而在你19楼的反例中，A的左逆恰好是不存在的。
嗯，忘了说，我20楼的话其实不是说给你看的，而是说给9楼看的，如有不敬之处望见谅。
另：我写18楼时候还没见到你17楼，发出来才看见的。
数学证明讲究严格性。因为矩阵的乘法不满足对易率，所以如果AR=A，我们只能称R是A的右单位阵，即R从右边乘A时不改变A。同理，如果LA=A，则L为A的左单位元。容易证明A的左单位阵也是其右单位阵（证明过程可在数学专业的线性代数中找到），即单位阵不分左右，可记为L=R=I。这些都是常识性的知识，你应该自己去找有关的资料恶补一下。
我10楼已经说过，我要的只是你这些概念的出处。你只要说，是哪本书上讲到你这些概念，谁编的，哪个出版社出的，我自然会找来看。
既然你也说是常识性的东西，不会连个出处都找不到吧？如果没有一本书上提到这些概念，那它们是怎么成为常识的？
我可以先跟你说我用的是什么教材。我用的是：
《线性代数》李炯生，查建国 编，中国科学技术大学出版社，1989年。
现在轮到你了。老实说，连我用这本书里都没有提到的概念，我不相信知道它的人会有很多，以至于能达到可以称为“常识” 的程度。但我还是愿意听你的，只要你指出出处，你说是常识那就是常识，毕竟常识越多越好。但是如果你不指明出处，只是笼统说什么“到数学专业学的线性代数教材去找”之类的话，那么对不起，我只能认为你在瞎掰。
至于打错字的问题我就不追究你了。谁都会打错，追究起来一万年也没结果。
说了半天，你的意思最后还是归结为证明：满足CB = B 的矩阵 C 是唯一的。好，这步就是关键，我还是要看看你怎么证明。我给的证明里面用到行列式，用到Cramer法则。如果你能不用这些概念，给我弄个纯形式的证明，那你是大牛，我甘当小学生。不然，你的证法就跟我没有本质区别，纯属多此一举。
关于左逆阵和右逆阵的概念见：
《线性代数》， 朝嵩金,正敏段,汉明王, 清华大学出版社, 2006. p65。
我在网上只查到：
《线性代数》， 金朝嵩,段正敏,王汉明, 清华大学出版社。
虽然我不知道你那念名字的习惯是哪个国家的，不过那是小事。我就当是这本了，改天看看去。
这个批评我接受，因为我的文献索引系统有点水土不服，而我又疏于检查了。
Pchief君真正理解了我的意思，赞一个:P:P:P:P:P。你的证明我稍后再仔细看
由 det A ≠ 0 推出 Ax=0 只有零解，这叫做Cramer法则。这个定理的证明不需要用到矩阵的知识，所涉及的知识完全是行列式的。
证明如下： 设 x=(x(1), ..., x(n))'，并把 A 的 n 个列依次记为 ξ(1), ..., ξ(n). 则等式 Ax = 0可以写成
x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n) = 0
于是对于任何一个 j， 1≤j≤n，我们有
0 = det (ξ(1), ... , x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n), ... , ξ(n))& &其中x(1)ξ(1) + ... + x(n)ξ(n)位于第 j 个位置
=x(1) det&&(ξ(1), ... , ξ(1),...,ξ(n))+ ... + x(n) det (ξ(1), ... , ξ(n),...,ξ(n))
=x(j) det (ξ(1), ... , ξ(j),...,ξ(n))& &因为除了这一项，其他的行列式都有两列相同而为零
=x(j) det A.
由 det A≠0 得 x(j) =0，由于 j 的任意性得到 x = 0，Cramer法则得证。
别启发别人了，看看25楼的回复吧，还有29楼的进一步解释。
我已经看过了，就是不知道阁下有没有看过楼主在33楼红色大字写的那些补充说明呢？
非交换环上的矩阵根本无法定义行列式吧，这样的矩阵MS实际用处不大。
3楼的证明我认为是对的。矩阵的逆的定义与行列式的定义是独立的，与线性方程组的解的结构定理也是独立的。
只要定义在域上的矩阵就是对的。定义在交换环上的矩阵还不知道，不过感觉左逆（或右逆）的唯一性不成立。非交换环的话就不用谈了。
经过这么长的时间，终于有人看出了问题之所在。从楼主原来的提问“从AB=I怎么推导出BA=I，这里A、B和I都是同阶方阵，并且I是单位阵”看，单位元I是不分左右的，因此只需证明在此条件下逆元也是不分左右的即可。这一证明已在6楼给出。后来楼主又提出以下的补充说明：
“现在还没有逆矩阵的概念，你想创建逆矩阵的一个定义，摆在你面前的是AB=I和BA=I两个等式，但是你觉得这两个等式是一回事，用数学的语言来说就是它们是等价的，其中一个可以推出另一个，因此只需要拿一个等式作为逆矩阵的定义即可”
按照这一要求，6楼的证明也是满足要求的，只需补充左逆和右逆阵的定义即可（前提仍是单位阵不分左右，且讨论只限于同阶方阵）：
“对于任一矩阵A，如果AB=I，则称B为A的右逆阵。同理，如果BA=I，则称B为A的左逆阵”
事实上在半群中单位阵是区分左右的。如果单位阵无左右之分，则上面定义的逆也无左右之分，即半群必然变为正常的群。这才是问题的关键所在。
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问题表意不明
请将问题表述完整，消除歧义。让其他人准确理解你的提问是获得回答的前提。
关于逆矩阵的一个问题？
如果两个n阶方阵A、B满足AB=E，（E为n阶单位方阵），如何证明BA=E，也就是B是A的逆矩阵？上课时老师用线性空间的思路给出了一个证明方法，确实比较精巧。但是有没有比较暴力、直接的方法证明呢？题主尝试了一下，但是没有成功，所以还请指教啊PS:附逆矩阵定义：设A是数域上的一个n阶方阵，若在相同数域上存在另一个n阶矩阵B，使得： AB=BA=E。 则我们称B是A的逆矩阵，而A则被称为
可逆矩阵 。因为之前有人跟我说这是显然的，o(╯□╰)o------------------------------我想我感兴趣的问题是（如下）------------------------------------------------------一个没有线性代数知识的人希望凭借初中代数知识证明：如果则，-----------------------------继续补---------------------------------看到大家好多方法，谢谢大家，楼主瞬间觉得大一学的线代弱爆了，其实楼主只是对这种方法耿耿于怀：据传有人是这样证明的:直接证明
等价但是楼主没成功，有知乎大神尝试过吗？
设表示所有系数在域中的矩阵的集合，考虑的子空间序列这里，由于是上的有限维的向量空间，因此存在自然数使得，于是存在的矩阵使得由于，对归纳就可以得到。上式同时乘以得到因此
用伴随矩阵证，就暴力直接------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------已知有矩阵构造
的伴随矩阵
(定义自行见教科书）有 于是 若，则 故 故-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------我觉得我这是现有答案中最粗暴的了....仅涉及到了矩阵的乘法和行列式
不知道这样够不够暴力啊。。。1. 证明满足：对两边右乘，得到，即是的右单位矩阵(注解1)，那么因为“右单位矩阵就是左单位矩阵，就是单位矩阵”（证明见下），得到2. 证明是唯一的：假设有个使得那么对右乘得到即即得到矛盾。对B来说证明也是一样的。先对原式子左乘B……=======证明右单位矩阵就是左单位矩阵，记是右/左单位矩阵，即对任意满足，那么，对左乘得到，同理，对右成得到，所以，简记为=====注解1：有同学提出在没有A可逆的情况下，A(BA)=A不能得到BA=E，因为这个形式上来讲BA这个矩阵只对A这个矩阵成立，没有对其他矩阵进行验证（如果有左逆的话，对两式左乘A的左逆就得到BA=E了）。尽管，我们由AB=E可以定义A是“右可逆”的，即“存在B使得AB=E即称为A是右可逆的”。但这个似乎不够强，对A来说他的右逆是不一定是唯一的。当然，在假设A左右都可逆的情况下，左右逆是一样的，并且是唯一的。由可以得到，，也就是左右逆。所以，缺乏说明的是当A有右逆的时候就存在着左逆。但是，，，，，，好像确实如果不利用秩、行列式或者线性映射的概念，单纯从形式上，有右逆并不说明存在左逆（？）取查了下，看到的证法或多或少都依赖线性变换、秩等概念。。。 这个网页给了一个较好的总结。如果能不借助这些概念，从形式上说明右逆存在则左逆存在，还望分享一下(●'?'●)
用线性空间的方法证是最自然的，因为矩阵更恰当的理解方法就是线性变换而不是一组排列起来的数。其实1L的做法可以直观地理解不成立的原因。在维数为无穷时，即使不是双射也可以有“逆映射”比如设这组基为x1,x2,……，定义B为把x1映为x2，把x2映为x3，……的线性变换，A则把B“倒回来”而且把x1变为0。那么明显ABx=x所以AB=I，但是BA的运算会丢失第一项的信息显然不能是I。
AB＝E则A有右逆，则det(A)det(B)＝det(E)＝1，则det(A)≠0，A可逆，则右逆B＝EB＝(A^-1)AB＝A^-1,则B是A的逆，BA＝E
是否可以这样？方法１：因为　ＡＢ　＝　Ｅ，　　Ａ，Ｂ　是n 阶方阵（已知条件）故必然存在　ＡＡ（－１）＝　Ｅ　＝　A( -1 ) A　（Ａ（－１）是n 阶方阵，存在性）比较上面两式，　得到Ｂ＝　Ａ（－１）（等效性）故ＢＡ＝　Ａ（－１）Ａ＝　Ｅ方法２：　　因为（ＢＡ）^n = BA * BA*... = B(AB)^(n-1)A= BA 对任意正整数n 成立，　　　　　　　所以，　ＢＡ必然是单位方阵Ｅ或者是０。　　　　　　　因为ＡＢ＝Ｅ，故可排除ＢＡ＝０可能性。故　ＢＡ＝Ｅ。方法３：　　ＢＡ*BA = BEA　=ＢＡＥ
,　两边除以ＢＡ（因为|ＢＡ|=|AB|　不等于０，故可除）
　　　　　　可得　ＢＡ＝　Ｅ方法４：　　AB*A=A=AE
,两边除以Ａ　（　因为｜Ａ｜　不等于０，　故允许除法）　　　　　　可得ＢＡ＝Ｅ
不知这样可否n=r(AB)≤r(A)和r(B).所以r(A)和r(B)≥n，所以，A,B均可逆，证毕。
多谢 的提醒与
的指正，这里由隐含条件从而有：#
我想过这个问题，逆矩阵定义的时候，这个条件似乎过强了。假如我这样编定义：如果那么互为强逆矩阵。那么可以知道强逆矩阵存在的充要条件是行列式不为零。这个过程只不过是书上可逆充要条件是行列式不为零这个过程的文本替换而已。如果，那么称为的右逆矩阵，那么容易知道如果一个矩阵有右逆矩阵，根据Cachy-Binet定理，行列式必然不为零，必然有强逆矩阵，并且强逆矩阵就是右逆矩阵。所以扯了一圈就扯回来了。
首先理一下楼主的问题，楼主附注里说的是逆矩阵定义，而实际上要证明的是：若A为B的左逆矩阵，则B也是A的左逆矩阵。（因为矩阵的左乘和右乘不同）暴力点的做法么：定理：r()表示秩r(A)+r(B)-n&=r(AB)&=min(r(A),r(B))AB=E 所以r(A)=r(B)=n （由右边不等式，AB=E）ABA=EA=A记BA=M所以AM=AA(M-E)=0r(0)=0，r(A)=n 所以r(M-E)=0（由左边不等式） 所以M-E=0 M=E即BA=E（话说秩的这些定理并没有用到逆矩阵吧……？）
已有帐号？
无法登录？
社交帐号登录矩阵论课程：矩阵论（Matrix Theory） 学时： 48学时 （48 Lectures） 教材：矩阵论（第2版， 杨明、刘先忠编著）， 华中科技大学出版社，2005 任课教师： 杨 明 （Dr. Yang Ming）http:// math./gksx/前言一、课程介绍 研究内容：矩阵与线性空间和线性变换? 以矩阵为工具研究问题 ? 在其中发展矩阵理论矩阵在各种意义下的化简与分解 矩阵的分析理论 各类矩阵的性质研究矩阵被认为是最有用的数学工具，既适用于应用 问题，又适合现代理论数学的抽象结构。二、教学安排学时配置 讲授第1章至第6章 (48学时) 第1章：10学时; 第2章：8学时 第3章：8学时； 第4章：6学时； 第5章：8学时； 第6章：6学时考核方式：课程结束考试（第13周）卷面成绩为最终成绩三、教学指导意见背景要求：线性代数 矩阵与计算工具：MATLAB，MAPLE, … 矩阵与现代应用：应用选讲 教学参考书：余鄂西，矩阵论，高等教育出版社，1995。 方保熔等，矩阵论，清华大学出版社，2004。 Fuzhen Zhang，Matrix Theory，Springer，1999。 Denis Serre， Matrices Theory and Applications， Springer，2002。 矩阵论历年试题及其解答不交作业，但应该重视练习环节。第1章：线性空间与线性变换内容： 线性空间的一般概念 重点：空间结构和其中的数量关系 线性变换 重点：其中的矩阵处理方法 特点： 研究代数结构――具有线性运算的集合。 看重的不是研究对象本身，而是对象之间的结构关系。 研究的关注点：对象之间数量关系的矩阵处理。 学习特点：具有抽象性和一般性。1.1 线性空间一、线性空间的概念 几何空间和 n 维向量空间的回顾 推广思想：抽象出线性运算的本质，在任意研究对象的集 合上定义具有线性运算的代数结构。定义1.1（P .1）要点：? 集合V 与数域F ? 向量的加法和数乘向量运算 ? 运算的性质刻画常见的线性空间F n={X=（x1，x2，…，xn）T：x ?F} 运算：向量加法和数乘向量 F m?n = {A=[aij]m?n：a ij?F}； 运算：矩阵的加法和数乘矩阵 R m?n ；C m?n 。 Pn [x]={p(x)= ：ai?R} 运算：多项式的加法和数乘i x ia ? 1? n 1? iF=R或C?C[a，b]={f（x）：f（x）在[a，b]上连续}运算：函数的加法和数乘?eg5： V=R+，F=R， a? b=ab， ?? a=a ?线性空间的一般性的观点：线性空间的一般形式：V（F），元素被统称为向量：?， ?，?，?线性空间的简单性质（共性）： 定理1 . 1：V（F）具有性质： （1） V（F）中的零元素是惟一的。 （2） V（F）中任何元素的负元素是惟一的。 （3）数零和零元素的性质： 数0 0?=0，k0=0，k ?=0 ? ?=0 或k=0 （4） ? ?= （?1）?向量0二、线性空间的基和维数向量的线性相关与线性无关：定义形式和向量空间Rn中的定义一样。 有关性质与定理和Rn中的结果一样。例题1 证明C[0，1]空间中的向量组 {ex，e2x，e3x …，enx}，x?[0，1] 线性无关。二、线性空间的基和维数基与维数的概念：P . 2，定义1 . 2 常见线性空间的基与维数： Fn，自然基{e1，e2，…,en}，dim Fn =n Rm?n ，自然基{Eij}，dim Rm?n =m?n。 Pn [x] ，自然基{1，x，x2，x3…,x n-1}，dimPn [x] =n C[a，b]， {1，x，x2，x3…x n-1 …}?C[a,b]， dim C[a，b]= ? 约定：V n （F）表示数域F上的 n 维线性空间。 只研究有限维线性空间。三、坐标1 定义 1 .3 （P . 3)设{?1，?2，…，? n } 是空间 n Vn ( F ) 的一组基， ?? ? Vn ( F ) ， ? ?= ? xi? i ，则x1 ， i ?1 x2， …， xn 是?在基{?i}下的坐标。要点： 坐标与基有关坐标的表达形式例1：求 R2?2中向量 ?3 1? 在基{Eij} ? 4 5? 下的坐标。 ? ?例2 设空间P4[x]的两组基为： {1，x，x2，x3}和 {1，（ x - 1）1，（ x - 1）2，（ x - 1）3} 求f（x）=2+3x+4x2+x 3在这两组基下的坐标。归纳：任何线性空间V n[F]在任意一组基下的坐标属于Fn 。 每一个常用的线性空间都有一组“自然基”，在这 组基下，向量的坐标容易求得。 求坐标方法的各异性。2、 线性空间V n（F）与Fn的同构坐标关系V n （F）基{?1，?2，。。。? n}Fn由此建立一个一一对应关系?? ? ? V n （F），?X ?Fn， ?（?）=X ?（?1+?2）=?（?1）+?（?2） ?（k?）=k?（?）在关系?下，线性空间V n （F）和Fn同构。同构的性质定理1.3:V n （F）中向量{?1，?2，…?n} 线性相关?它们的坐标{X1 , X2, … ,Xn}在 Fn中线性相关。 同构保持线性关系不变。 应用： 借助于空间Fn中已经有的结论和方法研 究一般线性空间的线性关系。例题2 设R2?2中向量组{Ai}?1 1? ?0 2 ? A1 ? ? ? A 2 ? ?1 3? ?1 2? ? ? ?3 1? A3 ? ? 0 1? ? ?? 2 ? 4? A4 ? ? ? 3 ? 7? ? ?1 讨论{Ai}的线性相关性. 2求向量组的秩和极大线性无关组. 3把其余的向量表示成极大线性无关组的 线性组合.四、基变换和坐标变换讨论：不同的基之间的关系 同一个向量在不同基下坐标之间的关系则(?1?2 ...?n ) ? (?1? 2 ...?n )Cn?n过渡矩阵C的性质： ? C为非奇异矩阵? C的第i列是? i 在基{?i }下的坐标} n?,..., 2? , 1?{基变换公式 设空间中有两组基：{?1 , ? 2 ,...,? n }过 渡 矩 阵2 坐标变换公式} n?,..., 2? , 1?{13已知 ?空间中两组基：{?1 , ? 2 ,...,? n }2满足:(?1?2 ...?n ) ? (?1? 2 ...?n )Cn?n?: ? ? (?1? 2 ...? n )X ; 讨论X和Y的关系X=CY? ? (?1?2 ...?n )Y例题3、（P6例题11） 例题4、 已知空间R中两组基（I）{Eij} （II）；{ ?2 1? ?0 1? ?0 0 ? ?0 0 ? } ?0 0 ? ?1 0 ? ? ? ?0 3? ? ?? ? ?3 1 ? ? ? 1. 求从基（I）到基（II）的过渡矩阵C。 2. 求向量 ?7 3 ? 在基（II）的坐标Y。 ?1 2 ? ? ?§1.1五、 子空间概述：线性空间Vn（F）中，向量集合V可 以有集合的运算和关系： Wi ?V， W1?W2， W1?W2， 问题： 这些关系或运算的结果是否仍然为 线性空间 ？1、 子空间的概念定义： 设集合W?Vn（F），W?? ，如果 W中的元素关于Vn（F）中的线性运算为线 性空间，则称W是Vn（F）的子空间。 判别方法：定理1? 5 W是子空间 ? W对Vn（F）的线性运算封 闭。子空间本身就是线性空间。 子空间的判别方法可以作为判别线性空间的方 法重要的子空间： ? 设向量组｛? 1 ，? 2 ，?? ?，? m｝?Vn（F）， 由它们的一切线性组合生成的子空间： m L{?1，?2，?，?m } = ｛ ? ? }?k?i ?1 iiki ? F?矩阵A?F m×n，两个子空间： ?A的零空间：N（A）=｛X ： AX=0｝?F n， ?A的列空间： R（A）= L{A1，A2，?，A n｝?F m， ? ? Ai为A的第i列。2、子空间的“交空间”与“和空间”讨论：设W 1? Vn（F），W2 ? Vn（F），且都 是子空间，则W1?W2和W1?W2是否仍然是子空 间？ 1. （1） 交空间交集： W1?W2=｛?? ??W1 而且 ??W 2｝?Vn（F） 定理1? ? W1?W2是子空间，被称为“交空间” 6（2）和空间W1?W2 ? W1＋W2和的集合：W1＋W2=｛?=X1＋X2?X1?W1，X2?W2｝，定理1? ? W1＋W2是子空间，被称为“和空间”， 6 W1?W2不一定是子空间，W1?W2 ? W1＋W2例1? 设R3中的子空间W1=L{e1}，W2=L{e2} 7求和空间W1＋W2。 比较：集合W1?W2和集合W1＋W2。如果W1=L{?1，?2，…，? m }，W2=L{?1，?2，…，? k}，则 W1＋W2=L{?1，?2，…，?m，?1，?2，…，? k }3 、维数公式子空间的包含关系： W1 W1 ? W2 ? ? W1 ? W2 ? Vn ( F ) W2dimW1?W2 ? dim Wi ? dimW1＋W2 ? dimVn（F）。?定理1? ： 7dimW1＋dimW2=dim（W1＋W2）＋dim（W1?W2） 证明：4 、子空间的直和分析：如果dim（W1?W2）?0，则 dim（W1＋W2）?dimW1＋dimW2 所以： dim（W1＋W2）=dimW1＋dimW2 ? dim（W1?W2）=0 ? W1?W2={0} 直和的定义： 定义1? ： dim（W1?W2）=0 ，则和为直和 6 W=W 1＋W2=W1?W2，子空间的“和”为“直和”的充要C条件 ： 定理1? 设W=W1＋W2，则下列各条等价： 8 （1） W=W1?W2 （2） ?X ?W，X=X 1＋X2的表 是惟一的 （3） W中零向量的表示是惟一的 （4） dim W =dimW1＋dimW2例1 P12 eg18 例2 设在Rn×n中，子空间 W 1={A ?AT =A } ， W2={B ?BT= CB }， 证明Rn×n=W1?W2。 例3 子空间W的“直和补子空间”1? 内积空间 2主题：定义内积的概念，借助于内积建立线性 空间的度量关系。 一、 欧氏空间和酉空间 1 几何空间中度量关系的定义基础 2 内积的定义 定义1? (P13) ：要点 7 ? 内积(?，?)是二元运算：Vn(F) F ? (?，?)的公理性质 ? (?，?)是任何满足定义的运算。 ? 讨论(?，?1＋?2), (?，k?)3. 内积空间的定义[Vn（F）；（?，?）] ， F= R ，欧氏空间；F=C，酉空间4 常见的内积空间：[R n ；(?，?)= ? T ? ] , [C n ；(?，?)=?H ?], [C m×n；(A，B)=tr (B H A)] [ Pn[X] ；(f(x)，g(x) )=? f ( x )g( x )dx01]5 向量的长度 定义： || ? || = ( ? ,? ) 性质： || k? || =?k? || ? || ；Cauchy 不等式：? ? ，? ? [Vn(F)；(?，?)], | (?，?) | ? || ?|| || ?|| 。 || ?＋?|| ? || ?|| ＋|| ?||6 欧氏空间中向量的夹角： ? 定义：??0，??0，夹角?定义为： cos?= ( ? , ? ) ? 和 ?正交 ?（?，?）=0 ??7 线性空间的内积及其计算： 设{?1，?2，…,? n } 是内积空间Vn(F)的基， ??，??Vn(F)，则有 ?=x1?1＋x2?2＋…＋x n ?n = (?1?2…? n)X； ?=y1?1＋y2?2＋…＋y n ? n= (?1 ?2…? n)Y 度 (?，?)=?? x y ( ? ,?i ?1 j ?1 i j innj) =Y HAX，量 矩 阵度量矩阵的性质：?定义一个度量矩阵A 。A定义内积 ? 在一个基{?1，?2，…，? n }中定义内积二、标准正交基1 标准正交的向量组：定义： ｛?1，?2，…，?n｝为正交组?(?i，?j ) =0 性质：2 标准正交基基｛?1，? 2，…，?n｝是标准正交基?1 ?(?i，? j)= ? ?0i? j i? j?标准正交基的优点：标准正交基的优点：度量矩阵是单位矩阵，即A=I ?=(?1?2…? n)X，?=(?1?2…? n) Y， (?，?)=YHX ?= x1?1＋x2?2＋…＋x n ?n，xi=(?，?i) ?和?正交?其坐标 X和Y正交坐 标 空 间 Fn 的 内 积求标准正交基的步骤： 1. Schmidt 正交化 2. 标准化 3. 矩阵方法讨论正交补”子空间 (i) 集合的U的正交集：U?=｛??Vn(F )： ???U，(?，?)=0 ｝(ii) U是Vn(F)的子空间 U ? 是Vn(F)子空间 (iii) Vn(F)=U ? U ? 。U的正交补子空间§1? 线性变换 3一、 线性变换的概念 定义 1.11 (P.19) 要点： （i）T是Vn（F）中的变换： T：Vn（F）?Vn（F）。 (ii) T具有线性性： T（?＋?）=T（?）＋T（?） T（k?）=kT（ ? ）从一般性的角度给出的定义例 题 1 Vn（F） 中 的 相 似 变 换 T? ： ? 是 F 中 的 数 ， ???Vn（F），T?（?）=?? 。 特例： ?=1 ， T ?是恒等变换， ?=0 ， T?是零变换。可以在任何线性空间中 定义相似变换! 例题2 Fn中的变换 TA：设A ?Fn×n是一个给 定的 矩阵，?X?Fn，TA（X）=AX。 例题3 Pn [X]中的微分变换：2 线性变换的性质： （i）T(0)=0 （ii） T(－?)=－T(?) m m （iii） T ki? i ? kiT ( ? i )?i ?1?i ?1线性变换保持线 性相关性不变！3 线性变换的象空间和零空间设线性变换T：Vn( F )?Vn( F )， 象空间 R(T)=｛?： ???Vn(F)，?=T(?)｝ 零空间 N（T）=｛?：??Vn(F ) ，T ( ?) =0 ｝定义： T 的秩=dim R（T）； T 的零度=dim N（T）例题27 求Fn线性中的变换TA:Y=AX的象 空间和零空间。 R（TA）=R（A）；N（TA）=N（A）4 线性变换的运算 设T1，T2都是空间Vn(F)中的线性变换，常见的用它 们构成的新的变换： （i） T1＋T2 ? ???Vn（F）， （T1＋T2）（?）=T1（?）＋T2（?） （ii） T1T2 ? ???Vn（F）， (T1T2)（?）=T1（T2（?）） （iii） kT ? ???Vn（F）， （kT）（?）=k（T（?）） （iv） 若T －1是可逆变换，T－1 ? T－1( ?)= ?当且仅当T(?)=?。定义二、 线性变换的矩阵1 线性变换的矩阵与变换的坐标式 Vn（F）上线性变换的特点分析： ? 定义变换T ? 确定基中向量的象T（?i）。? 定义T（?i） ?确定它在基下{?i}的坐标A i 。 ? 定义变换T ?确定矩阵A=[A1，A2，…，An]（i） A 为变换矩阵 （ii） 变换的坐标式：Y=AX （iii） 应用意义d 例题1 对线性变换 D ? : P4 [X] dxP4 [X]，1 求D在基{1，X，X2，X3}下的变换矩阵。 2 求向量 在变 换D下的象。( x ) ? 10 ? 2 x ? 2 x 2 ? 3 x 3 p2 线性变换运算的矩阵对应： ? 设Vn（F）上的线性变换T1，T2，它们在 同一组基下的矩阵：T1?A1；T2?A2 （i） （T1＋T2） ? （A1＋A2） （ii） （T1T2） ? A1A2 （iii） （kT） ? kA （iv） T－1 ? A－13 不同基下的变换矩阵 两组基：{?1，?2，…,? n }，{?1，?2，…, ? n }， （?1?2…? n）=（?1?2…? n ）C 1 T（?1 ?2… ? n ）=（?1 ?2… ? n）A 2 T（?1 ?2 … ? n）=（?1 ?2 … ? n）BB=C－1AC3同一个线性变换在不同基下的矩阵是相似的例题2 （P23， eg28）例题2 （P23， eg28） 例题3 （P24， eg29） 设单位向量u=（2/3，-2/3，-1/3），定R3上 的线性变换 P（x）= x - （x，u）u， 1. 求P在自然基{e1，e2，e3}下的变换矩阵。 2. 求P在标准正交基{u，u2，u3}下的变换矩 阵。三、不变子空间问题的背景：变换矩阵的化简和空间的分解的对应关系1. 不变子空间的概念矩阵简化要求空间分解的特点 定义(p24, 定义1.14)2 . 不变子空间的判别W是T的不变子空间 ?? ?W ?T（?） ?W。 T（W）?W。特别：W=L {?1，?2，…，?m}，W是T的不变子空间T（?i）?W 。P24，例题30 R3上的正交投影P：P（x）= xC（x，u）u， u是单位向量。证明L（u）和 u ? ={x ：（x，u）=0}是P的不变子空间。3 空间分解与矩阵分解?Vn（F）=W?U，W，U是T的不变子空间 ，W=L {?1，…，?r}，U= {? r + 1 ， …， ?n}{?1，…，?r，? r + 1 ， …， ?n}则T?Vn（F）=U1?U2 ? … ? Uk， 则T? A1 ? ?? A1 ? ? ? ? ? ? A2? ? A2 ?? ? ? ? ? ? Ak ? ?矩阵Ai 的阶数=dim Ui四、 正交变换和酉变换讨论内积空间[V；（?，?）] 中最重要的一类变换。 1 定义1 . 15 （P25） 2 正交（酉）变换的充要条件： （定理1.15, P26 ）T是内积空间V（F）上的线性变换， 则下列命题等价：T是正交变换 T保持向量的长度不变 T把V（F）的标准正交基变成标准正交基 T在标准正交基下的矩阵是正交矩阵3 正交矩阵和酉矩阵的性质 正交矩阵C：CTC=I 酉矩阵U： UHU=I 定理1 . 16(P27)常见的基本正交变换： 平面上的旋转 几何描述：绕坐标原点，逆时针旋转一个? 角。变换矩阵：在自然基下，?cos ? A?? ? sin ?? sin ? ? ? cos ? ?空间中的旋转几何描述：绕空间中过原点的 一根直线L， 旋转一 个?角。 变换矩阵R3空间中的镜像变换定义：S（x）= x C 2（x，u）u。变换矩阵与几何意义例题1 求R3中绕过原点、以 u=（1，1，1）T为 正向的直线，顺u方向看去是逆时针的旋转变换 T在R3中自然基下的变换矩阵。五、线性空间Vn (F)Vm (F)的线性变换定义 1.16 (P.28) 要点： （i）???Vn (F)， ?=T(?) ? Vm (F) (ii) T具有线性性： T(?1＋?2)=T（?1）＋T(?2) T（k?）=kT( ? )例题1 (P29， eg34)例题2（P29， eg35）T的变换矩阵：T：Vn (F) ?Vm (F) 设{?1，?2，…,? n }是空间Vn (F) 的基， {?1，?2，…, ? m}是空间Vm (F)的基， T(?1，?2，…,? n )=(?1，?2，…, ? m)A A是变换矩阵。A? Fm? nT在不同基下变换矩阵的关系设在两个空间中分别取两组基：?{ ?1 ,? 2 ,?? n } ?{?1 , ?2 ,?, ?m } Vn ( F ) ? ? Vm ( F ) ? ? ?{ ?1 , ? 2 ,? , ? n } ?{?1 ,?2 ,?,?m }分析线性变换在两组基下变换矩阵的关系推荐练习题：第一章P31： 1（3），（4），2，4，6，9，10， 13，17，20，23，24，26，28，29， 31第1章勘误表diyiban位置 P.9，例题16 P.14，第4行 误 A?F n?n （?，?） 2 正 A?F m?n ? （?，?） ?2P.16，第1行P.17，倒7和倒8?(? ,? ) ? ? ( ?1 , ?1 ) ?(? ,? ) ( ? ,? ) ( ?1 , ?1 )L{?1，?2，?} L{?1，?2， ?} ei u? P（ei） W?P.22，倒3 P.27习题一上方第2章：Jordan标准形介绍Jordan Canonical Form第2章：Jordan标准形介绍问题：对线性空间中的线性变换T，求一组基{?1，?2 ，?， ? n} {?1，?2 ，?， ? n} 和矩阵J ，使 T: J? 矩阵J 尽可能简单。 ? 矩阵J的结构对任何变换可行内容：首选A为对角形 ? 线性变换的对角化问题。 建立J 一般的结构 ? Jordan标准形理论。 Jordan方法及其应用方法：用矩阵的相似化简研究问题 ? Jordan化方法重点：2.1 线性变换的对角表示背景： T(??1 ?2 …?n) = (??1 ?2 …?n)1. (??1?2 …?n) 线性无关??1 ? ? ? ?2 ? ? ? ? ? ? ? ?n ? ?一、变换T的特征值与特征向量 1. 定义(p35 ，定义2.1) 2. 求解分析：(p35 ，定理2.1)? A的特征值就是T的特征值2. T?i=? i?i ； L{? i}是不变子空间?A的特征向量是T的特征向量的坐标例题1(p37 ，例题2.1) 3、 特征向量的空间性质 1) 特征子空间： 2) 特征子空间的性质：(p36 ，定理2.2)? V?i是不变子空间 ? ?i ? ?j，则V?i?V?i={0} ? 若?i是ki重特征值，则1?dimV?i?ki推论： 1) 若?i是单特征值，则dimV?i =1 2) V?1+V?2+?=V?s= V?1?V?2???V?s 3) V?1?V?2???V?s ?Vn（F）二、线性变换矩阵对角化的充要条件f ( ? ) ? ?I ? A ? ( ? ? ?1 )k1 ( ? ? ?2 )k2 ?( ? ? ?s )ksT可以对角化?T有n个线性无关的特征向量。 ? ?dimV?i =n ?dimV?i =ki定理2. 4(p39) T可以对角化?T的变换矩阵A可以对角化。例题2 已知{?1，?2 ，?3 }是空间V3（F） 的基，T是空间上如下定义的线性变换， T（ ?1 ）= ?1 T（ ?2 ）=2 ?2 T（ ?3 ）= ?1 +t ?2+2 ?3 讨论：t为何值，T有对角矩阵表示例题3证明幂等变换(T2=T)有对角矩阵表示。2.2 Jordan 矩阵介绍目标：发展一个所有方阵都能与之相似的矩 阵结构----Jordan矩阵。 一、 Jordan 矩阵 1. Jordan 块(p40，定义2.3)1. 2. 3.?? 形式： ? ?值? J( ? ) ? ? 确定因素：?矩阵的阶数 ? ? ? Jordan 块矩阵的例子： ? ? ? 1 ? ? 1? ? ?? 1例题1 下列矩阵哪些是Jordan块？? 2 1 ? ?1 1 ? ? 0 2 ? ?0 2 ? ? ? ? ?? 4 1 0 ? ?0 1 0 ? ?0 4 0 ? ?0 0 1 ? ? ? ? ? ?0 0 4? ?0 0 0 ? ? ? ? ?? J1( ?1 ) ? ? ? J 1 ( ?2 ) 1) 形式： ? ? ? ? ? 2) Jordan矩阵举例 ? ? J m ( ?m )? 3) 特点 ? 元素的结构 ?2 Jordan 矩阵? Jordan矩阵是上三角矩阵 ? 对角矩阵是Jordan 矩阵3Jordan 标准形定理2 . 5 (p41)含义： ?Jordan 矩阵可以作为相似标准形。 ?惟一性：Jordan 子块的集合惟一。?A相似于B?JA相似于JB二、方阵A的Jordan 标准形的求法目标：求可逆矩阵P和Jordan矩阵JA ，使AP=PJA 分析方法： 在定理 2.5 的基础上逆向分析矩阵JA 和P的构成。 求法与步骤： ks k1 k2 f ( ? ) ? ?I ? A ? ( ? ? ?1 ) ( ? ? ?2 ) ?( ? ? ?s )?矩阵A和JA的特征值相等? J1( ?1 ) ? ? ? J 2 ( ?2 ) ? JA ? ? ? ? ? ? ? J s ( ?s )? ?AP ? Pi J i ( ?i ) i?细分矩阵Pi 和 Ji，在Jordan块上，有?( A ? ?i I ? ?( A ? ?i I ? ?( A ? ?i I ?? ? ?( A ? ?i I ?Jordan链条{?，y2，…，ynj})? ? 0 ) y2 ? ? ) y3 ? y 2特征向量? ) y n j ? y n j ?1广义特征向量方法步骤：?由特征值?i 的代数重数确定主对角线元素是的 ?i 的 Jordan 矩阵J(?i ) 的阶数。 ?由特征值?i 对应的线性无关的特征向量的个数确 定 J(?i) 中Jordan 块的个数 ?由特征向量求得的Jordan 链条的长度确定 Jordan块的阶数 ?链条中的向量合起来构成可逆矩阵P，Jordan块 构成JA例题1 (p44，例题5)例题2 (p45，例题6)例题3 将矩阵A化为Jordan 矩阵。?3 4 0 ?? 1 ? 1 0 A?? ?0 0 2 ? ? 0 0 ?1 0? 0? ? 1? ? 0?例题4 (p46，例题7)§2.3 最小多项式 (minimal polynomials)讨论n 阶矩阵多项式的相关问题：矩阵多项式（重点是计算） 矩阵的化零多项式（Cayley 定理） 最小多项式Jordan标准形的应用相似不变性 Jordan化的方法一、矩阵多项式 m m ?1 1. 定义 g( ? ) ? am ? ? am?1? ? ? ? a1? ? a0g( A ) ? am A ? am?1 Amm ?1? ? ? a1 A ? a0 I2 . 性质（定理2 . 7）? AX = ?0 X ? g(A)X= g(?0 )X ? P -1 AP =B ? P -1 g(A)P= g(B)? A1 ? ?A ? ? ? ? ? A2 ? ? ? ? ? ? Ak ?? g( A1 ) ? ? ? g( A2 ) ? g( A ) ? ? ? ? ? ? ? ? g( Ak )? ?3 矩阵多项式 g(A ) 的计算 方法： Jordan块? J1( ?1 ) ? ? ? J 2( ? ) ? ? P ?1 A? p ? ? ? ? ? J k ( ? )? n?n ?? g ( J1 ) ? ? ? g( J 2 ) ? ? P ?1 g( A ) ? p ? ? ? ? ? g( J k )? n?n ?? ? ? ? g ( r ?1 ) ( ? ) ? ? ( r ? 1 )! ? ? ? g?( ? ) ? 2! ? g ?( ? ) ? ? g( ? ) ? ?? g?( ? ) ?( ? ) ? g( ? ) g ?? 1 ? 2! ? ? ? 1 ? g( ? ) g ?( ? ) ? ? g( J ) ? ? J( ? ) ? ? g( ? ) ? ? 1? ? ? ? ? ? ? r ?r ? ? m?r ? ? g（J）的结构特点： 由第一行的元素生成例题1 设 g( ? ) ? ? ? 4? ? 5? 对P38，eg3中的矩阵A，计算g（A）。 解 ?? 3 3 ? 2 ? ?1 ?3 2?1A ? ?? 7 ? ?1 ?6 ?2? 3? ? P ? ? ? ? 2 ? ? ?21 ? P ?1 ? 2? ??1 g( A ) ? P ? ? ? ?15? 23? P ?1 ? 15 ? ?二、矩阵的化零多项式(Annihilating polynomials of Matrices)问题：A?Fn×n ， A?0，是否存在非零多项式g（?）， 使 得 g( A )=0？ 1. 化零多项式（P.52） 如果 g(A) = 0，则g(?)被称为矩阵A的化零多项式。要点：? ? ? 矩阵A一旦有化零多项式，则有无穷多化零多项式。 g（ A ）= 0 的决定因素。 存在性问题。? Cayley-Hamilton 定理（P.52， 定理、2 . 7）： ?A?Fn×n，f ( ? )= det( ?ICA)，则f ( A )= 0。 ? Cayley 定理的应用举例： ? 使Ak (? k?n)降阶至不超过n-1次的多项式。 ? f（ 0） ? 0，则A的逆矩阵可以用多项式表示。 ? 对线性变换T，f ( T)=0，即f（ T ）为零变换。三、最小多项式1 定义（P.54， 定义2 . 5）mA（ ? ）是最小多项式?mA（ A） =0 ?mA（ ? ）在化零多项式中次数最低。 ?mA（ ? ）最高次项系数是1。 ?mA（ ? ）整除任何化零多项式r1 r2 rs2 mA（ ? ）的结构：设f（ ? ）= ? ?ICA?= ( ? ? ?1 ) ( ? ? ?2 ) ?( ? ? ?s )?定理2.8：mA（ ? ）= ( ? ? ?1P.54) ( ? ? ?2 ) ?( ? ? ?s ) 1 ? ti ? rit1 t2 n1 n2ts?定理2.9：mA（ ? ）=( ? ? ?1 ) ( ? ? ?2 ) ?( ? ? ?s )nsni 是?i对应的Jordan块的指数。3 变换对角矩阵表示的条件 定理2.10：线性变换T可以对角化的充要条 件是T的最小多项式是一次因子的乘积。 例题1 （P.56， eg10） 4×4 ，m （ ? )=( ? ? 1 ) ( ? ? 2 )2 例题2 设A? R A求矩阵A的所有可能的Jordan矩阵。例题3 设g( ? ) ? ( ? ? 1 ) ( ? ? 2 ) ( ? ? 4 )是矩阵A的化零多项式，证明A可以相似于对角矩 阵。相似问题中的一些矩阵结果1. 幂等矩阵、幂零矩阵和乘方矩阵幂等矩阵（idempotent）： A 2 =A幂零矩阵（nilpotent）： A?0， k为正整数，Ak=0 乘方矩阵（involutary）： A 2 = I? A为幂等矩阵的充要条件是A相似于矩阵?I r ? ?? ? 0??A为幂零矩阵的充要条件是A的特征值都是零。?A为乘方矩阵的充要条件是A相似于矩阵?I ? ?? ? ?I ?2 (p47，例题8) 设A为阶方阵，证明矩阵A和AT 相似。 证明思想：证明A和AT 相似?证明 Jordan 矩阵JA和JAT相似?证明JA和JAT的Jordan 块J和JT相似。? 证明方法： ? S ?? 取逆向单位矩阵S， ? ? 证明：SJ=JTS ?1 1 ? 1? ? ? ? ? ?（backward identity ）3、矩阵A ，T A， ?AHA 和A设A为n 阶方阵，则下列结果成立：1. 矩阵A相似于矩阵AT2. 矩阵A相似于矩阵AH的充要条件是矩阵 的非实数特征值对应的Jordan 块以共 轭对出现。 3. 矩阵AHA相似于矩阵AAH4 . 设矩阵A?Fm×n ，矩阵B?Fn×m ，则AB和BA 的非零特征值相同。 讨论：若A、B都是方阵， 1. AB和BA的特征多项式是否相同？ 2. AB和BA的最小多项式是否相同？ 3. AB和BA是否相似？第1章习题选讲要点： 线性空间的表示形式：集合表示形式：Vn（F）=｛?? ?满足的性质｝ 向量生成形式：L{?1，?2，?，?m } ? ?子空间类型：L{?1，?2，?，?m } ? ? W1＋W2 矩阵A?F m×n，两个子空间 不变子空间1. 线性变换的表示 2. 线性变换的数量关系线性变换：3. 重要的线性变换第3章、 矩阵的分解Matrix Factorization and Decomposition矩阵分解的概述矩阵的分解： 矩阵分解的原则：实际应用的需要 显示原矩阵的某些特性 矩阵化简的方法之一 A=A1+A2+…+Ak A=A1A2 …Am 矩阵的和 矩阵的乘积理论上的需要 计算上的需要主要技巧：各种标准形的理论和计算方法 矩阵的分块§3.1 常见的矩阵标准形与分解常见的标准形等价标准形 相似标准形 合同标准形?I r 0? Am?n ? pm?m ? ?Qn?n ? 0 0? An?n ? PJ A P ?1An?n ? C?C TAT=A本节分解：三角分解满秩分解等价标准形可对角化矩阵的谱分解相似标准形一、矩阵的三角分解方阵的LU和LDV分解（P.61）LU分解：A?Fn?n， 存在下三角形矩阵L ， 上三角形矩阵U ，使得A=LU。 LDV分解：A?Fn?n， L、V分别是主对角线 元素为1的下三角形和上三角形矩阵，D为 对角矩阵，使得A=LDV。 已知的方法：Gauss-消元法 例题1 （P.61eg1）设 ? 2 2 3?A ? ? 4 7 7? ? ? ?? 2 4 5 ? 求A的LU和LDV分解。 ? ?结论：如果矩阵A能用两行互换以外的 初等行变换 化为阶梯形，则A有LU分解。三角分解的存在性和惟一性定理3.1 （P.62） ：? 矩阵的k 阶主子式：取矩阵的前k行、前k列得到 的行列式，k=1，2， … ，n。 ? 定理: A?Fn?n有惟一LDV分解的充要条件是A的顺 序主子式Ak非零，k =1，2，…，n-1。 ? 证明过程给出了LDV分解的一种算法。?定理3.2（P.64）设矩阵A?Fn?n ，rank（A）=k（? n），如果A的j阶顺序主子式不等于0， j =1，2，…，k, 则 A有LU分解。 定理条件的讨论例题2 （P.65 eg2） LU分解的应用举例?? ?二、矩阵的满秩分解列 满 秩定义3.2 （P.66 ） 行满秩 对秩为r 的矩阵A?Fm?n ，如果存在秩为r的矩阵 B ?Fm?r，C?Fr?n ，则A=BC为A 的满秩分解。定理3.2：任何非零矩阵A?Fm?n都有满秩分解。满秩分解的求法：方法1： 方法2 例题1（ P.68， eg4 ）?方法3实用方法：方法3例题2 （ P.69，eg5）例题3（ P.70，eg6）三、可对角化矩阵的谱分解将方阵分解成用谱加权的矩阵和?I ? A ? ( ? ? ?1 ) ( ? ? ?2 ) ?( ? ? ?s )r1 r2谱：设A?Fn?n ，rs则A的谱={?1，?2，?，?s}。1. 可对角矩阵的谱分解分解分析：分解结果：?i ?1sPi ? I2A ? ? ?i Pi ，P具性质：i ?1sPi ? Pi Pi Pj ? 0 i ? j幂等矩 阵意义：可对角化矩阵可以分解成以谱加权的幂等矩阵的加权和2、 矩阵可以对角化的一个充要条件 定理3.5（P.73 ） 矩阵A可以相似对角化当且仅当矩阵A有谱 2 分解 P ?PA ? ? ?i P ii ?1 s，满足条件：Pi Pj ? 0iii? j?i ?1sPi ? I充分性的证明： 在A有谱分解时 Cn=V ?1?V ?2 ? ? ? V ?n3. 幂等矩阵的性质 定理3 .4（P.72）P?Fn?n ，P2=P，则矩阵PH和矩阵（ICP）仍然是幂等矩阵。 P 的谱?{0，1}，P 可相似于对角形。 Fn = N（P）? R（P） N（P）=V ?=0 ，R（P）=V?=1 P和（I C P）的关系 N（I C P）=R（P），R（ I C P ）=N（P）Hermite 矩阵的谱分解 定理3 .6（P.73）设A是秩为k的半正定的Hermite矩阵，则A可以分解为下列半正定矩阵的和。 A=v1v1H+v2v2H+…vkvkH§3.2 Schur 分解和正规矩阵已知：欧氏空间中的对称矩阵A可以正交 相似于对角形。 讨论：一般方阵A ，在什么条件下可以 酉相似于对角矩阵？ 在内积空间中讨论问题，涉及：空间 Cn、 Cn?n， 酉矩阵U，UHU=I， U C 1=UH 酉相似： UHAU=J ? UC1 AU=J 重点：理论结果一、 Schur 分解1、 可逆矩阵的UR分解定理3.7（P.74）A?Cn?n为可逆矩阵，则存在酉矩 阵U和主对角线上元素皆正的上三角矩阵R，使 得A=UR。（ 称A=UR为矩阵A的酉分解） 8 2? 证明：源于Schmidt正交化方法。 ?2 A?? 1 7 ? 1? 例题1 求矩阵A的UR分解，其中 ? ?QR分解?? 2 ? 2 ?1? ?定理3.8（P.76） ：设矩阵A?Cm?n是列满秩的矩阵，则 矩阵A可以分解为A=QR，其中Q ?Cm?n的列向量是标准 正交的向量组，R ?Cn?n是主对角线上元素为正数的上三角形矩阵。2 、Schur 分解 定理3.7（P.74 ）对矩阵A?Cn?n，存在酉 矩阵U和上三角矩阵T，使得 ? ??1 ? UHAU=T= ? ? ? ?? 证明要点：?A=PJ APC1 ， ?P=UR ?A= PJ APC1 =U（RJRC1 ）UH =UTUH。? ? ? ?2? ? ? ? ?n ?二、正规矩阵（Normal Matrices）1、 定义3.3（P.77 ）A是正规矩阵 ?AHA=AAH。 常见的正规矩阵：对角矩阵 对称和反对称矩阵：AT=A，AT=CA。 Hermite矩阵和反Hermite矩阵：AH=A，AH=CA 正交矩阵和酉矩阵：ATA=AAT=I，AHA=AAH=I。 例题1 （P.78，eg 10）设A为正规矩阵，B酉相似于A， 证明B也是正规矩阵。 正规是酉相似的不变性质例题2、?A?Fm?n，矩阵AHA 和矩阵AAH是正规矩阵。2、正规矩阵的基本特性 定理3.10 （P.78 ） ： A?Cn?n正规?A酉相似于对角形。推论：正规A?Cn?n?A有n个标准正交的特征 向量构成空间Cn 的标准正交基。定理3.11（P.80 ）（正规矩阵的谱分解） Hermite A正规?A有如下谱分解： 性A ? ? ?i Pii ?1sPi ? Pi , Pi ? Pi Pi Pj ? 0 i ? j2 H?i ?1sPi ? I3、正规性质的应用举例 例题1（P.79 ，eg12） 例题2 设A?Rn?n，AT=CA，证明1. A的特征值是零和纯虚数。 2. 矩阵A的秩是偶数。§3 ? 3 矩阵的奇异值分解Singular value decomposition (SVD)§3?3 矩阵的奇异值分解概述：矩阵的奇异值分解是酉等价型的分解: A?C m×n， ?酉矩阵U?C m×m, V?C n×n ,使得A=U ?VH。?? 0 ? 矩阵A等价于?= ? ? ? 0 0??? 1 ? ? ? ?2 ? ??? ? ? ? ? ? m?n ?r? ??奇异值分解基本适用于内积空间中与矩阵秩相 关的问题 ?A的奇异值分解依赖于正规矩阵A HA 的酉相似 分解的。一、矩阵A的奇异值及其性质1、矩阵AHA和AAH的性质：A?C m×n，AHA?C n×n，AAH?C m×m ， 都是Hermite矩阵。 定理3?12（P?82）1. 秩（A）＝秩（AHA）=秩（AAH）。 2. AHA 和AAH 的非零特征值相等。 3. AHA和AAH 是半正定矩阵。 AHA和AAH 的特征值是非负实数：?1 ? ?2 ?? ? ?n2、奇异值的定义： （P?72）A?C m×n，秩（A）=r，设AHA的特征值?1 ? ?2 ?? ? ?r ? 0，?r+1= ?r+2 =?=? n =0?，则矩阵的奇异值? i ? ?i , i ? 1,2,..., r .3、特殊矩阵的奇异值： 定理3?13（P?82）：正规矩阵A的奇异值等于A的特征值的模长。 正定的Hermite矩阵A的奇异值就是A的特征值。 酉等价矩阵的奇异值相等。?A和B酉等价，则AHA和BHB酉相似。 ?奇异值是酉等价的不变性质。二、矩阵的奇异值分解1、定理3?14（P?83）任何矩阵A?C m×n，秩（A）=r，则存在酉矩 阵 U?C m×m，V?C n×n，使得 ?? 1 ?? 1 ? ? ? ? ? ?2 2 ? ? ?0VH ?? ? ? ? ? ?r ? ? 0 0? ? ? 证明思想： ??2 ? ? ，?酉矩阵V。 AHA正规，VHAHAV= ? 0? ? A ?U? ? ? ? ??令? ? ? ? ? ? ?r ?ui ?Avi ，i=1，2，…，r，得U1=[u1，u2， … ，ur]?i扩充为标准正交基 ?酉矩阵U。? 1 1? 例题1 求矩阵A的奇异值分解，A= ? ?。 0 1? ? ?1 0 ? ? ? ? 1 0 1? ?0 1 1? 求矩阵A的奇异值分解，A= ? ? ?0 0 0 ? ? ?例题2（P?84，eg13）2、矩阵U，V的空间性质：左奇异向量? V=[v 1，v2，?，vr ，? ，v n] =[V1 V2]?C n×n的列向 量是空间C n的标准正交基。? V2的列向量是空间N（A）的标准正交基。 ? V1的列向量是空间 N ? （A） 的标准正交基。? U=[u 1，u2，?，ur ，? ，u m] =[U1 U2]?C m×m的列 向量是空间C m的标准正交基。? U1 的列向量是R（A）的标准正交基。 ? U2的列向量是R ? （A）的标准正交基。 右奇异向量3、奇异值分解的展开形式及其应用 ? 定理3 ? 15（ P?87）A ? ? u v ? ? u v ? ?? ? u vH 1 1 1 H 2 2 2H r r r例题：图像的数字化技术与矩阵的奇异值分解计算机处理图像技术的第一步是图像的数字化 存储技术，即将图像转换成矩阵来存储。 转换的原理是将图形分解成象素（pixels）的一 个矩形的数阵，其中的信息就可以用一个矩阵 A=（a ij）m×n来存储。矩阵A的元素a ij是一个 正的数，它相应于象素的灰度水平（gray level） 的度量值。 由于一般来讲，相邻的象素会产生相近的灰度 水平值，因此有可能在满足图像清晰度要求的 条件下，将存储一个m×n阶矩阵需要存储的 m×n个数减少到n+m+1的一个倍数。压缩数字化图形存储量的方法主要是应用矩阵的 奇异值分解和矩阵范数下的逼近。如果图象的数 字矩阵A的奇异值分解为：A=U?VT， 其展开式：A ? ? u v ? ? u v ? ?? ? u vH 1 1 1 H 2 2 2H r r r压缩矩阵A的方法是取一个秩为k （k?r）的矩阵Ak 来逼近 矩阵A。 Ak按如下方法选取：Ak ? ? u v ? ? u v ? ? ? ? u vH 1 1 1 H 2 2 2H k k k?有在秩为k （k?n）的所有矩阵中，矩阵Ak所对应的图象和 矩阵A所对应的图象最相近。一般的，k越大图象就越清晰。 经典的方法是选取接近k，使Ak 的存储量比A的存储量减少 20%。存储矩阵Ak只需要存储k个奇异值，k个m维向 量ui和n维向量vj的所有分量，共计k（m+n+1） 个元素。 如果m=n=1000，存储原矩阵A需要存储 个元素。取k=100时，图象已经非 常清晰了，这时的存储量是100（2000+1） =200100个数。 和矩阵A比较，存储量减少了80%。三、矩阵的奇异值分解和线性变换TA 矩阵A?C m×n可以定义线性变换 TA ： C n ?C m 设矩阵的奇异值分解A=U ?VH ，则将U和V 的列分别取做空间C m 、C n的基，则变换TA ?? x ? 的矩阵为?: ?? x ? ? m ,则T X=(U ?VH )VX=U(?X)=U? ??=VX ?C ? ? ? A1 1 2 2变换TA在单位球上的象： 定理3?16 （ P?88）? ? ? r xr ? ? ? 0 ? ? ?四、矩阵的极分解（Polar Decomposition）方阵的极分解设矩阵A?C n×n ，则矩阵A的奇异值分解: A=U?VH=U ?（ UH U）VH = （U ? UH ）UVH=PQ P是半正定的Hermite 矩阵，P相似于? 。 Q是酉矩阵定理3?17 （ P?89） 方阵极分解的意义和应用描述变换Y=AX的拉伸和扭曲? 3 例题1 （ P?90） 求矩阵A= ? ?0依此讨论变换Y=AX的几何特性。解2? ? 的极分解， 3?? ? A ? PQ ? ? ? ? ?5 2 3 23? ? 3 ?? 2 ?? 2 5 ?? 1 ? 2 ?? 2 ??1 ? ? 2 ? 3? 2 ? ?第4章矩阵的广义逆The Pseudoinverse矩阵的广义逆概述： 矩阵的逆：A n ?n ，?B n ?n ，B A= A B =I, 则B=A C1 广义逆的目标：逆的推广对一般的矩阵 A m ?n可建立部分逆的性质。 当矩阵A n ?n可逆时，广义逆与逆相一致。 可以用广义逆作求解方程组AX=b的理论分析。§ 4. 1 矩阵的左逆与右逆一、满秩矩阵和单侧逆 1、左逆和右逆的定义定义4. 1 (P . 93)? A ?C m ?n，? B ?C n ?m，BA=In，则称矩 ? 阵B 为矩阵A 的左逆，记为 B = AL 1 。?A ?C m ?n ，? C ?C n ?m ，AC=Im，则称矩阵C 为 ? AR1 。 矩阵A 的右逆，记为 C=例题1 矩阵A的左逆A=?? 1 0 ? ?0 1? ? ? ? 2 ? 1? ? ?。2、左逆和右逆存在的条件 ?1 ? A?1 存在?矩阵A列满秩 AL 的存在性 L直观分析?A?1 = L（AHA）C1AH1. 2. 3. 4.定理4. 1(P . 93) 设A ?C m?n ，下列条件等价 A左可逆 A的零空间N（A）={0}。 m?n，秩（A）=n，即矩阵A是列满秩的。 矩阵AH A可逆。?? 1 0 ? ?0 1? 例题2 求矩阵A = ? ? 的左逆。 ? 2 ? 1? ? ?矩阵右逆的存在性 定理4 . 2 (P . 94)A ?C m ?n ，则下列条件等价：1. 2. 3. 4. 矩阵A右可逆。 A的列空间R（A）=Cm n ? m ，秩（A）=m，A是行满秩的。 矩阵A AH 可逆 ?1 A =AH（AAH）C1R讨论：可逆矩阵An ?n的左、右逆和逆的关系 ? ? 可逆矩阵A的左、右逆就是矩阵A的逆A AC1=（AHA）C1AH =AH（AAH）C1二、单侧逆和求解线性方程组AX=b讨论AX=b 有解与左、右逆存在的关系。 借助于左、右逆求AX=b的形如X=Bb的解。1、右可逆矩阵 定理4 ? 4 (P . 95)1. A ?C m ?n右可逆，则?b?Cm，AX=b有解。 ? 2. X= AR 1b 是方程组AX=b的解。二、单侧逆和求解线性方程组AX=b2、左可逆矩阵求解分析： 定理4? 3 (P . 94)设矩阵A ?C m ?n左可逆，B是矩阵A 的任何一个左逆，则 1. AX=b有形如X=Bb的解的充要条件是 ( ImCAB )b=0 (¤ ) 2. 当(¤ )式成立时，方程组的解是惟一的，而且惟一解是 X=（AHA）C1AH b 证明：讨论：对任何满足式( ¤) 的左逆B，X=Bb都是方程组的解，如何解释方程组的解是惟一的？§ 4. 2 广义逆矩阵思想：用公理来定义广义逆。 一、减号广义逆 定义4 . 2 (P . 95) A ?C m ?n ，如果，?G ?C n ?m使得，AGA=A，则矩阵G为的A减号广义逆。或{1}逆。A的 减号逆集合A{1}={A1C1，A2C1， ?， AkC1} 例题1 A ?C n?n可逆，则AC1 ?A{1}； A单侧可逆，则A C1L?A{1}；AC1R?A{1}。 减号逆的求法：定理4.5（P . 95） 减号逆的性质：定理4.6 (P . 96)二、Moore-Penrose（M-P）广义逆由Moore 1920年提出，1955年由Penrose发 展。 1、 定义4.3 (P . 98)设矩阵A ?C m ?n ，如果? G?C n ?m ，使得1. AGA=A 2. GAG=G 3. （AG）H = AG 4. （GA）H =GA则称G为A的M-P广义逆，记为G=A+。 例题2 讨论原有的逆的概念和M-P广义逆的关系。A C1R =AH（AAH）C1=A + ； 若? A + ，则A + 是 A{1} 。AC1 = A + ； AC1L = （AHA）C1AH=A +；2、M-P 广义逆的惟一性 定理4.9 (P . 98)如果A有M-P广义逆，则A的M-P广义逆是惟一的。3、M-P广义逆的存在性及其求法定理4.8（P . 99）任何矩阵都有M-P广义逆。 求法：? 设A满秩分解A=BC， 则A + =CH （CCH ）C1（BH B）C1BH 。 ? （定理4.9）设A奇异值分解 ：A ?U? V H ，则 0 0? ? ??? 0 ????1 0 ? H A? ? V ? ?U ? 0 0?例题1 求下列特殊矩阵的广义逆；零矩阵0； 1阶矩阵( 数) a； ? a1 ? 对角矩阵?0 + m×n =0n×m例题2?a ? ? ? ? 2? 设向量 ? ? ? ? ? ? an ?的M-P广义逆。.?1 1 2 ? 例题3 设 A ? ?0 2 2? ， ? ? ?1 0 1 ? ? ?求A+。4、M-P广义逆的性质 定理4.12 (P . 100) ：则A满足下列性质：（ A + ）+=A （A + ） H =（A H ）+ （?A）= ?+A+ A列满秩，则A+=（ A H A ） C1A H ，A行满秩，则 A+=AH （AAH） C1。 5. A有满秩分解：A=BC，则A+=C+B+。 1. 2. 3. 4.A +与AC1 性质的差异比较：（AB）C1=B C1 A C1 ，一般不成立（AB）+=B+A+。（只有满秩分解成立） （AC1）k =（Ak） C1 ，但不成立（A+）k=（Ak）+§ 4. 3 投影变换（为讨论A + 的应用做准备）问题：逆在什么情形下是有用的？ 一、投影变换和投影矩阵定义4.4（P . 101）设Cn=L? M ，向量x ? Cn, x=y+z， y? L， z ? M， 如果线性变换 ?： C n?Cn ， ? （x）=y， 则称?为从 Cn 沿子空间M到子空间L的投 影变换。 ?R（ ? ）=L； N（ ? ）=M， ? Cn=R（ ? ）? N（ ? ）?I r ? ?? ? ???? ?0 投影的矩阵和变换性质：投影变换的矩阵?{ ? 1 ,? 2 ,?,? n }?L和M是?的不变子空间；??L=I；? ?M =00? ? 0?1. 定理4 .13（P . 101） ?是投影? ?是幂等变换 2. 推论： ?为投影变换的充要条件是变换矩阵是 幂等矩阵二、正交投影和正交投影矩阵 1. 正交投影的定义：定义4.5 （P . 103） 设 ?：C n?Cn 是投影变换， C n =R（?） ? N（?），如果 R ? （?） =N（?），则称为正交投影。2 正交投影矩阵 A 2 =A定理4.14（P . 103）?是正交投影? 投影矩阵A满足：AH=A例题1 设W是C n 的子空间，证明 存在到W的投影 变换， 使R（?）=W。3、正交投影的性质定理4.16（P . 104）设W是C n的子空间，x0?C n， x 0? W，如果?是空间C n向空间W的正交投影， 则? ( x0 ) ? x0 ? y ? x0?y ?W含义：点?（x0）是空间 W 中与点x 0距离最近的点。4、A + A与AA +的性质 定理4.15（P . 104）A + A的性质：? （A + A）2 = A + A，（A + A）H = A + A ? C n =R（A + ）? N（A） ? R ? （A + ）= N（A）A A +的性质：? （A A + ）2 = A A + ，（A A + ）H = A A + ? C m=R（A ）? N（A + ） 含义： ? R ? （A + ）= N（A） A + A 是正交投影，将向量 x 投影到空间R（A + ）中。 A A + 是正交投影，将向量 x 投影到空间R（ A ）中。4.4 最佳最小二乘解一、最佳最小二乘解 A m×n X n ×1 =b m×11、AX=b的最佳最小二乘解 定义4. 6（P . 105） 有解?b?R（A） 无解?b ?R（A）u 是最小二乘解?Au ? b ? Ax ? bx0 2 ? u2?x ? Cnx0是最佳最小二乘解?2、 AX=b的最佳最小二乘解的计算 定理4. 17 设方程组AX=b，则A +b 是AX=b 的最佳最小二乘解。例题1 （P . 106，eg8）?1 1 2 ? A ? ?0 2 2? 例题2、设， ? ? ?1 0 1 ? ? ?，?=?1? ?1? ? ? ?2 ? ? ?1. 证明? ?R（A） 2. 在列空间R（A）上找一点X0 ，X0距离 ? 最近。二、最佳拟合曲线问题：在实际问题中，已知变量X和变量Y之间 存在函数关系Y=F（X），但不知道F（X）的具 体形式，由观察和实验数据寻求经验公式: Y=f（X），使得误差最小。 例题1（P . 107，eg9） 一组实验数据（1，2），（2，3），（3，5），（4，7）的分布呈直线趋势，求最佳 拟合直线。方法：将误差向量表示为 e =A ?Cb，求方程组A?Cb=0的最小二乘解?，由?给出拟合参数。§ 5.5 矩阵函数一、定义和性质 1 定义5.14 ?f（z） =? (A)& R，ak z k 是解析函数，收敛半径为R，如果 ? ?k ?0(p125)k ?0则ak A k ?有意义。ak A k ? 定义f（A）= ?k ?0?? 常见的矩阵函数 eA，cosA，sinA，ln(I+A) ? 函数 eA 的若干性质： 1. AB=BA， eA eB = eBeA = eA+B ， 2. e0 =I 3. （ eA ）C1 = e C A 。例题5、 设A为反对称矩阵，证明eA为正 交矩阵。 例题6 设 有意义2 2? ?6 A ? ?? 2 ? 2 0 ? ，讨论 ? ? ?0 0 2? ? ?lnA 是否ak A k 计算f（A）= ?k ?0二、矩阵函数的计算 ?? f ( k ?1 ) ( ?i ) ? ? f ( ?i ) f ?( ?i ) ? ? ( k ? 1 )! ? 计算矩阵序列：Sn（J）( J ( ? )) ? ? f ( ?i ) ? ? f i i ? ? ? 按元素收敛求得： ? f ?( ?i ) ? ? ? f ( ?i ) ? ? ? ?1、 Jordan标准形方法:? A=P J P C1 ， f(A)=Pf(J)P C 1;? ?? 如果 A=PJP C1, 则f(A)=Pf(J)P C1; ? 如果?i为矩阵A的特征值, 则f(?i) 是矩阵f(A)的特征值 ? 含参数 t 的函数 f(At)。例题1?2 0 0 ? A ? ? 1 1 1? ? ? ? 1 ? 1 3? ? ?，计算eA和eAt。2、 最小多项式方法mA ( ? ) ? ( ? ? ?1 ) ( ? ? ?2 ) ?( ? ? ?s )n1 n2 ns?ni ?1si?mm ?1g( ? ) ? c0 ? c1? ? c2 ? ? ? ? ck ?1?2由在谱上等值确定g（?），则f（A）=g（A） ?2 0 0 ? A ? ?1 1 1? ，计算eA和eAt 例题2 设 ? ? ? 1 ? 1 3? ? ? ?1 1 0 ? 例题3 设 ，计算A10。 ?0 0 1? A?? ? ?0 0 1? ? ?例题4 （P129 eg15）例题5?17 1 25 ? 设A ? ? 0 3 0 ? ? ? ? 9 0 ? 13? ? ?，1. 用Jordan化方法计算sinA。 2. 求sinA的Jordan标准形J，并求矩阵Q， 使得QsinAQ C 1 =J§ 5.6 矩阵函数的微积分一、矩阵函数及其分析性质矩阵函数：A（t）=[aij（t）] m×n， 连续 分析性质： 可微分 A（t）连续、可微分、可积分? aij（t）lim A( t ) ? [ lim a ( t )]t ?t0 t ?t0 ijb b可积分m?ndaij ( t ) dA( t ) ?[ ]m?n dt dt? A( t )dt ? [ ? a ( t )dt ]ij a am?n微分性质 (p130)例题11. 设?0 0 ? 2? ?0 1 0 ? ，计算 d e At/dt A?? ? ?1 0 3 ? ? ?2. 对任意方阵A，计算d e At/dt§ 5.7 矩阵函数的应用（求解常系数微分方程组）一、微分方程组的一般形式 X ' （t）=A（t）X（t）+f（t） X（t 0 ）=C。齐次：f（t）=0 非齐次：f（t）?0二、一阶线性常系数齐次微分方程组 常系数：A（t）=A求解： X ' （t）=AX（t） X（t 0 ）=C。 定理5、11 ： 上述方程组的解为： X（t）=e A（t C t 0） x（t0）例题1 求解?X ?( t ) ? ? ?1 2? ?X(t ) ?4 3 ?? 1? X(0 ) ? ? ? ?2 ?三、一阶线性常系数非齐次微分方程组求解： X ' （t）=AX（t）+f（t） X（t 0 ）=C。 定理5.14(P133) ：上述方程组的解为： t X（t）=e A（t C t 0） x（t0）+ e A( t ? s ) f ( s )ds?t0例题2 求解?1 2? ?1? ?X ?( t ) ? ? ? X ( t ) ? ?? 1? ?4 3 ? ? ? ? 1? X(0 ) ? ? ? ?2 ?第6章矩阵的Kroneker积和Hadamard积The Kroneker Product and Hadamard Product概述：内容： 介绍Kronecker积和Hadamard积 讨论K-积，H-积的运算性质、之间的关系 K-积与矩阵乘积的关系 K-积，H-积的矩阵性质 K-积的矩阵等价与相似关系介绍应用向量化算子重点：K-积及其应用61 Kroneker积和Hadamard积的定义定义6. 1（P . 136）设矩阵A=[aij]m ? n和B=[bij]s?t矩阵 ，则A, B 的 Kronecker被定义为A?B： A?B=[aijB]m?n 设A =[aij]m ? n和B=[bij] m ? n为同阶矩阵，则A和B 的Hadamard被定义为A ? B： A?B= [aijbij]m ? n例题1 设?1 3? A?? 2 4? ? ??3 0 ? B?? 0 ? 1? ? ?，计算A?B，B?A，I?B，A?B，I?AK-积，H-积的基本结果：A和B中有一个为零矩阵，则A?B=0，A?B=0 I?I=I，I?I=I 若A为对角矩阵，则A?B为分块对角矩阵，A?B为 对角矩阵。K-积的基本性质定理6.1（P . 138）设以下矩阵使计算有意义，则? ? ? ? ? （kA）?B=A?（kB） A?（B+C）=A?B+A?C （A?B）?C=A?（B?C） （A?B）H=AH?BH A?B ? B?AH-积的基本性质： 设A，B为同阶矩阵，则A?B=B?A （kA）?B=A?（kB） A?（B+C）=A?B+A?C （A?B）?C=A?（B?C） （A?B）H=AH?BHKronecker和Hadamard的关系：定理6.3（P . 139）K-积与矩阵乘法 定理6.2（P . 138）设矩阵A，B，C，D使得 下列运算有意义，则有 (A?B) (C?B)=（AC）?（BD） 意义：建立Kronecker积和矩阵乘法的相互 转换。 特别情形：设A?F m ? m ，B ? F n ? n，则 A?B=(Im ?B) (A?I n)= (A?I n) (Im ?B)6.2Kronecker积和Hadamard积的性质Kronecker积的矩阵性质定理6.4 （P . 140）设矩阵使下列运算有意义，则? 当A，B分别为可逆矩阵时，A?B为可逆矩阵，而且有 ? (A?B) C1 =AC1?B C1 ? 当方阵A ?F m ? m ，B ?F n ? n时，方阵A?B ?F mn ? mn的 行列式为 |A?B| =|A|n |B| m ? 若A，B 是Hermite矩阵，则A?B是Hermite矩阵 ? 若A，B 是酉 矩阵，则A?B是酉矩阵。Kronecker与矩阵等价、相似关系 定理6.5（P . 141）设矩阵A，B，为同阶的等价矩阵，则(A?I)等价于(I?B) 设方阵A相似与JA，方阵B相似于JB，则(A?B) 相似于 (JA?JB)K-积特征值和特征向量定理6.6（P . 142）设A?F m ? m 的特征值特征向量分别是?i， xi，B ? F n ? n的特征值、特征向量分别是 ?j ， yj，则 (A?B) 的特征值是?i?j 。特征向量是(xi?yj) 。 (A?I) +(I?B) 的特征值是?i + ?j ，特征向量是(xi?yj)T 更一般的结果： P( A, B ) ? ? cij Ai ? B j 定理6.7（P . 142） i , j ?0 T i j 的特征值为 P( ? , ? ) ? c ? ??rti , j ?0?ijrtKronecker的函数性质 定理6.8（P . 143）设是f(z)解析函数，f(A) 有意义，则f (I?A) =I?f(A) f(A?I) =f(A)?I特例：eIm ?A? Im ? eAAeA?I m? e ? Im例题1 设 A?F m ? n ， B?F s ? t ，证明 rank（A ? B）=rank（A）rank（B）?3 ? 1? ?2 0 ? A?? ? ， B ? ?1 ? 1? ?0 1 ? ? ? 求(A?B)的特征值和特征向量例题2（P . 144） ，设求[(A?I) +(I?B)]的特征值和特征向量 例题3：证明对任何方阵，有A? Be? e ?e ? e ?eA B BA6. 3 矩阵的向量化算子和K-积向量化算子Vec定义（P . 143）设 A=[aij]m ? n 则Vec(A) = (a11 a21 … am1； a12 a22 … am2 ；…； a1n a2n … amj)T 性质：（P . 146） 1. Vec是线性算子： Vec（k1A+k2B）=k 1Vec ( A ) +k2 Vec ( B) 2 定理6. 10（P . 146）Vec(ABC) =(CT ? A) VecB 3 Vec(AX) =(I ? A) VecX 4 Vec(XC) =(CT ? I) VecX用向量化算子求解矩阵方程组思想：用Vec算子，结合Kronecker积将矩阵方程 化为线性方程组求解。 1、 A?F m ? m ， B?F n? n ，D?F m ? n ， AX+XB=D 分析： AX+XB=D ?（I ? A+BT ? I）VecX =VecD G= （I ? A+BT ? I）， 方程有惟一解的充要条件是G为可逆矩阵，即A 和-B没有共同的特征值。 例题1 （P . 147）用向量化算子求解矩阵方程组2、A，X?F n ? n ， AX-XA=kX 分析：AX-XA=kX ?（I ? ACAT ? I）VecX =kVecXH= （I ? A C AT ? I ) ， 方程( kI-H)y=0 有非零解的充要条件是k为 H的特征值，k=?i? ?j 。 例题2 求解矩阵方程AX C XA= C 2X?1 0? A?? ? ?2 3?用向量化算子求解矩阵方程组3 A，B，D，X?F n ? n ， AXB=D 分析： AXB=D ?（BT ? A）VecX =VecD L= BT ? A ， 方程有惟一解的充要条件是L为可逆矩阵. 例题3 求解方程A1XB1+ A2XB2=D?2 2 ? A1 ? ? 2 ? 1? ? ? 1? ?0 ? 1 0? A2 ? ? B1 ? ? ? ? 2 ? 1? ? ? ? ? 1 1? ? 4 ? 6? ? 0 2? D?? B2 ? ? ? 0 8? ? 1 2? ? ? ?例题4 设A ?C m ? m ，B ?C n ? n ，D ?F m ? n ， 证明谱半径? (A) ? (B) ?1 时方程： ?X=AXB+D的解为X ? ? Ak DBkk ?0?
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