误差分析与数据处理_百度百科
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误差分析与数据处理
《误差分析与数据处理》是2010年清华大学出版社出版的图书，作者是，。
误差分析与数据处理内容简介
本书针对测量中的误差分析、数据处理及测量不确定度评定等问题编写。
全书共分10章，内容包括：误差分析与数据处理基础、测量误差分布及其检验、随机误差及其特征量估计、系统误差处理、测量列中异常数据的剔除、误差的合成与分配、最小二乘法及其应用、、测量不确定度评定、基于Excel的误差分析与数据处理等。为加强误差分析、数据处理及测量不确定度知识的实践应用教学，本书在各章节中穿插了统计分析软件DPS在实际问题中的解决方案及应用实例，并在第10章集中介绍了Excel电子表格在误差分析与数据处理中的应用。本书可作为高等院校及其他相关专业的本科生教材，同时可供各类科技人员和工程技术人员参考。[1]
误差分析与数据处理前言
测量是人类认识世界和改造世界的一种必不可少的重要手段，是人类探索自然界、打开未来知识宝库的钥匙。可以说，人类对自然界的认识是从测量开始的。对自然界中的所有量进行实验和测量时，由于参与测量的五个要素(测量装置、测量人员、测量方法、测量环境和被测对象)自身都不能够做到完美无缺，使得某量的测量结果与该量的真实值之间存在差异，这个差异反映在数学上就是测量误差。测量误差大小的评估或测量不确定度的评定正是本书要介绍的内容。
有关误差分析与数据处理方面的著作很多，其中不乏精辟之作。这些著作理论体系完整，在各大中专院校作为教材使用，为我国、机械类专业、电气电子类专业、信息类专业及其他有关专业的人才培养做出了突出的贡献。本书借鉴这些经典教材的理论体系，在兼顾理论体系介绍的同时，着重考虑实践应用，特别加强了计算机及数据处理软件在误差分析与数据处理中的应用。
误差分析与数据处理章节简介
全书共分10章
第1章 误差分析与数据处理基础 内容包括测量及其分类、测量误差概述、测量精度、有效数字、修约规则、数据运算规则、DPS简介等。
第2章 测量误差分布及其检验 内容包括测量误差分布、误差分布的分析与判断、误差分布的统计检验等。其中，在测量误差分布一节中，介绍了基于DPS进行误差分布的概率计算及临界值计算；在误差分布的分析与判断一节中，介绍了基于DPS作测量点列图和统计直方图；在误差分布的统计检验一节中，介绍了基于DPS实现?χ??2检验、柯尔莫哥洛夫-检验、达提诺检验、夏皮罗-威尔克检验及偏-峰态系数检验等。
第3章 随机误差及其特征量估计 内容包括随机误差概述、等精度测量特征量估计、不等精度测量特征量估计、测量的极限误差等。其中，在等精度测量特征量估计一节中，介绍了基于DPS的特征量估计方法。
第4章 系统误差处理 内容包括系统误差概述、系统误差的发现、系统误差的减小和消除等。其中，在系统误差的发现一节中，介绍了基于DPS的残余误差观察法及?t?检验法。
第5章 测量列中异常数据的剔除 内容包括粗大误差概述、异常数据判别准则、基于DPS的异常数据剔除等。
第6章 误差的合成与分配 内容包括误差合成、微小误差取舍准则、误差合成的应用、误差分配等。误差分析与数据处理前言 第7章 最小二乘法及其应用 内容包括概述、最小二乘法原理、最小二乘问题求解、最小二乘问题精度估计、组合、DPS在最小二乘处理中的应用等。
第8章内容包括一元线性回归、两个变量都具有误差时线性回归方程的求解、多元线性回归、一元非线性回归等。其中，在一元线性回归、多元线性回归及一元非线性回归中，均介绍了基于DPS的解决方案及应用实例。
第9章 测量不确定度评定 内容包括测量不确定度概述、标准不确定度的评定、合成标准不确定度、扩展不确定度、测量不确定度报告、测量不确定度评定举例等。
第10章 基于Excel的误差分析与数据处理 内容包括Excel应用基础、基于Excel的误差分布分析与判断、基于Excel的系统误差检验、基于Excel的测量数据统计特征量估计、基于Excel的最小二乘处理、基于Excel的、Excel在测量不确定度评定中的应用等。其中，在基于Excel的误差分布分析与判断一节中，介绍了基于Excel作测量点列图和统计直方图；在基于Excel的系统误差检验一节中，介绍了基于Excel的残余误差观察法及?t?检验法；在基于Excel的测量数据统计特征量估计中，介绍了基于Excel函数的估计及基于数据分析工具--描述统计的估计；在基于Excel的中，介绍了基于Excel函数的回归分析、基于趋势线的回归分析及基于数据分析工具--回归分析的回归问题处理。
附录部分介绍了一些矩阵基础知识和有关附表。
本书巧妙地引入统计分析软件DSP及Microsoft Office办公软件的Excel电子表格进行误差分析与数据处理，使教材内容更丰富，理论联系实际，从而使教学过程更形象，便于学生对理论知识的消化理解，并易于在工作中学以致用。
中国工程院院士、中国计量科学研究院首席科学家张钟华研究员在之中为本书撰写了序言，在此深表感谢！
在本书的编写过程中，参考和引用了国内外有关研究者的部分研究成果，参考文献中均已一一列举。本书的育成，得益于从他们的著作及研究成果中吸取了丰富的养分，在此向他们表示衷心的感谢！
由于作者水平有限，书中错误与不妥之处在所难免，恳请广大读者批评指正。
编 者2010年3月
误差分析与数据处理目录
第1章 误差分析与数据处理基础51.1 测量及其分类5
1.1.1 测量术语5
1.1.2 测量结果术语6
1.1.3 测量分类9
1.2 测量误差概述11
1.2.1 测量误差的定义11
1.2.2 误差的表示方法12
1.2.3 测量误差的分类16
1.3 测量精度17
1.4 有效数字、修约规则与数据运算规则18
1.4.1 有效数字18
1.4.2 修约规则19
1.4.3 数据运算规则20
1.5 DPS软件21
1.5.1 DPS简介21
1.5.2 DPS基本操作22
1.5.3 DPS数据处理基本步骤24
1.5.4 DPS函数应用25
第2章 测量误差分布及其检验27
2.1 测量误差分布27
2.1.1 正态分布27
2.1.2 其他常见误差分布30
2.1.3 常用统计量分布32
2.2 误差分布的分析与判断36
2.2.1 物理来源判断法36
2.2.2 函数关系法36
2.2.3 图形判断法36
2.3 误差分布的统计检验43误差分析与数据处理目录2.3.1 ?χ??2检验法43
2.3.2 柯尔莫哥洛夫-检验法45
2.3.3 达提诺检验法47
2.3.4 夏皮罗-威尔克检验法49
2.3.5 偏-峰态系数检验法51
第3章 随机误差及其特征量估计54
3.1 随机误差概述54
3.1.1 随机误差的产生原因54
3.1.2 随机误差的定义54
3.1.3 随机误差的特征54
3.2 等精度测量特征量估计55
3.2.1 真值的估计55
3.2.2 标准差的估计56
3.2.3 基于DPS的测量数据特征量估计62
3.3 不等精度测量特征量估计64
3.3.1 权的概念与权值的确定64
3.3.2 加权算术平均值66
3.3.3 加权算术平均值的标准差66
3.4 测量的极限误差68
3.4.1 置信区间和置信概率68
3.4.2 极限误差69
第4章 系统误差处理72
4.1 系统误差概述72
4.1.1 系统误差的产生原因72
4.1.2 系统误差的特征72
4.1.3 系统误差对测量结果的影响74
4.2 系统误差的发现75
4.2.1 测量列内系统误差的发现75
4.2.2 测量列间系统误差的发现80
4.3 系统误差的减小和消除83
4.3.1 从产生误差根源上消除系统误差83
4.3.2 用修正方法消除系统误差84
4.3.3 改进测量方法84
第5章 测量列中异常数据的剔除88
5.1 粗大误差概述88
5.1.1 粗大误差的产生原因88
5.1.2 防止与消除粗大误差的方法88
5.2 异常数据判别准则89
5.2.1 3S准则(莱以特准则)89
5.2.2 格拉布斯准则90
5.2.3 狄克松准则92
5.3 基于DPS的异常数据剔除94
第6章 误差的合成与分配97
6.1 误差的合成97
6.1.1 随机误差的合成97
6.1.2 系统误差的合成98
6.1.3 系统误差与随机误差的合成100
6.1.4 误差传递系数的确定102
6.1.5 相关系数的估计105
6.2 微小误差取舍准则107
6.3 误差合成的应用108
6.3.1 间接测量误差计算108
6.3.2 最佳测量方案的确定111
6.3.3 最佳测量条件的确定113
6.4 误差分配113
第7章 最小二乘法及其应用117
7.1 概述117
7.2 最小二乘法原理118
7.3 最小二乘问题求解121
7.3.1 等精度测量线性参数最小二乘解121
7.3.2 不等精度测量线性参数最小二乘解123
7.3.3 非线性参数最小二乘法处理125
7.4 最小二乘问题精度估计126
7.4.1 测量数据的精度估计126
7.4.2 最小二乘估计量的精度估计127
7.5 最小二乘法应用--组合测量数据处理128
7.6 DPS在最小二乘处理中的应用132
7.6.1 矩阵法求解132
7.6.2 方程组求解134
8.1 一元线性回归137
8.1.1 回归系数的求取137
8.1.2 回归方程的方差分析及显著性检验140
8.1.3 回归系数的标准差和回归方程的稳定性143
8.1.4 重复试验情况下的一元线性回归143
8.1.5 基于DPS的一元线性回归分析150
8.2 两个变量都具有误差时线性回归方程的求解155
8.2.1 概述155
8.2.2解法155
8.3 多元线性回归157
8.3.1 多元线性回归方程157
8.3.2 线性回归效果检验158
8.3.3 每个自变量在回归中的作用159
8.3.4 基于DPS的多元线性回归分析160
8.4 一元非线性回归162
8.4.1 回归曲线函数类型的选取和检验163
8.4.2 化曲线回归为直线回归问题165
8.4.3 回归曲线方程的效果与精度167
8.4.4 基于DPS的一元非线性回归分析168
第9章 测量不确定度评定175
9.1 测量不确定度概述175
9.1.1 不确定度理论的产生与发展175
9.1.2 测量不确定度的定义176
9.1.3 测量不确定度的来源176
9.1.4 测量不确定度的适用范围178
9.1.5 测量不确定度的评定步骤179
9.2 标准不确定度的评定179
9.2.1 A类评定及其自由度179
9.2.2 B类评定及其自由度180
9.3 合成标准不确定度183
9.3.1 合成标准不确定度的计算183
9.3.2 合成标准不确定度的自由度184
9.4 扩展不确定度185
9.4.1 扩展不确定度的计算185
9.4.2 包含因子?k?的选取185
9.5 测量不确定度报告187
9.5.1 报告的基本内容187
9.5.2 测量结果的表示187
9.5.3 测量结果及测量不确定度的修约188
9.6 测量不确定度评定举例188
9.6.1 简单测量中的不确定度评定188
9.6.2 线性回归中的不确定度评定189
9.6.3 校准中的测量不确定度评定190
第10章 基于Excel的误差分析与数据处理194
10.1 Excel应用基础194
10.1.1 数据输入与数据格式194
10.1.2 Excel公式和函数197
10.1.3 Excel图表202
10.1.4 Excel数据分析207
10.2 基于Excel的误差分布分析与判断208
10.2.1 测量点列图208
10.2.2 频数表与统计直方图209
10.3 基于Excel的系统误差检验210
10.3.1 残余误差观察法210
10.3.2 ?t?-检验法212
10.4 基于Excel的测量数据特征量估计214
10.4.1 基于Excel函数的特征量估计214
10.4.2 描述统计216
10.5 基于Excel的最小二乘处理217
10.6 基于Excel的回归分析219
10.6.1 一元线性回归219
10.6.2 多元线性回归226
10.6.3 非线性回归228
10.7 Excel在测量不确定度评定中的应用231
10.7.1 扩展不确定度辅助计算231
10.7.2 最小二乘法校准不确定度评定234
附录A 矩阵基础238
A.1 有关定义238
A.2 矩阵基本运算239
附录B 附表242
附表1 正态分布积分表242
附表2 ?χ??2分布表242
附表3 ?t?分布表243
附表4 ?F?分布表244
附表5 夏皮罗-?α?in?系数表247
附表6 夏皮罗-?W(n, α?)值249
附表7 Excel常用函数功能249
附表8 DPS常用函数功能254
参考文献256
误差分析与数据处理
　　作者：董大钧、乔莉、董丽
图书详细信息：　　ISBN：8　　定价：29.8元　　印次：1-1　　装帧：平装　　印刷日期：
图书简介：
　　本书介绍测量误差的产生、分类、性质和发现方法，以及测量不确定度的评定、合成与分配、回归分析、相关分析等内容；介绍利用常见的办公软件Excel进行数据处理，使用Excel的统计函数的计算代替查找常规的正态分布、?t?分布、?F?分布等统计表格，采用最小二乘法及利用矩阵函数求解测量方程组，利用Excel统计分析工具进行回归分析、相关分析及?t?检验等统计处理过程进行数据处理。　　本书提供了习题答案、电子课件、模拟试题以及例题的Excel文档，方便教，易于学。　　本书既适于作为应用型本科测控仪表类各专业的教材，也可以作为高等院校化学、物理、机械类相应专业的专科、本科及研究生学习误差分析与数据处理方向课程的教材，还可以作为从事误差分析与数据处理方面科研人员的参考书。
　　误差分析与数据处理是我国高校化学、分析化学、物理、材料物理、计量管理与质量管理、测控技术与仪器、机械、医学检验、土木工程检测技术及机电结合类等各专业的专科、本科生和某些专业的研究生的必修课。开课范围从一本院校到三本院校，甚至某些职业技术学院也开设此课程。　　该课程旨在培养学生掌握以下基本知识：　　(1) 正确认识误差的性质，分析测量过程中误差产生的原因，以消除或减小误差。　　(2) 掌握利用Excel处理测量和实验数据的方法，合理计算所得结果。　　(3) 通过本课程的学习获得实验技能，能够正确组织实验过程，合理选用仪器和测量方法，在最经济的条件下得到理想的结果。　　(4) 学会评价测量数据处理的质量（测量不确定度评定），以便更精确地得出测量的结果。　　目前，误差分析与数据处理方面的教材并不多，适合应用型本科的教材更少。国内开设该课程的许多院校大多是以纯理论教学为主，利用高等数学、线性代数及概率与数理统计方面的知识进行公式推导。一些院校还在教授列表法、坐标纸、图解法等数据处理方法。对于数据处理过程的计算，很多院校还在使用手工按计算器计算，通过查找书中附带的数学用表进行分析，这不仅易出错而且耗时长，难以满足现代数据处理实时有效的要求。　　对于大多数学生来说，他们学习此课程的目的不是进行理论研究，而是学习如何对数据进行处理。他们只要知道误差的产生和分类，要做何种分析，会处理测量得到的数据，会分析所得的结果就可以了，根本不需掌握深奥的公式推导。因此，本教材在编写过程中，从应用型本科教学的实际需要出发，坚持科学性、应用性与先进性相统一，坚持理论与实践相结合，纠正过分偏重理论知识的倾向，首次提出应用Excel软件进行数据处理及使用Excel函数计算代替查找正态分布、?F?分布、?t?检验临界值等表格。　　在计算机技术如此发达的今天，几乎每台个人用的计算机中安装的Office软件包中都有Excel软件，该软件的统计功能足以满足对测量数据进行处理和分析的需要。将Excel引入误差分析与数据处理课程中，必将改革此门课程的教学，在全国的误差分析与数据处理教学中产生巨大的影响。　　我们相信本教材的出版必会受到高校相应专业的欢迎，本教材定位为化学、物理、仪表、测控、机械类的通用教材。　　由于时间较紧，加之作者水平有限，书中可能存在着错误或不足，请读者提出以便改进。
作 者　　2013年1月
　　第1章 测量误差11.1 测量1　　1.1.1 测量的术语1　　1.1.2 测量的分类 3　　1.2 测量误差6　　1.2.1 测量值6　　1.2.2 测量误差定义7　　1.2.3 误差性质的分类7　　1.2.4 测量的重复性和复现性9　　1.2.5 测量仪器的特性9　　1.2.6 测量基本原则12　　1.2.7 测量误差来源及数据处理方法综述图13　　1.3 测量数据表示方法14　　1.3.1 读数方法14　　1.3.2 近似值15　　1.3.3 有效数字16　　1.3.4 有效数字计算规则16　　1.3.5 修正值17　　1.3.6 测量结果的质量和表示17　　本章小结17　　习题19　　第2章 Excel数据分析工具23　　2.1 Excel基本概念23　　2.2 Excel 2003基本操作24　　2.2.1 单元格的选定24　　2.2.2 数据输入24　　2.2.3 数据填充25　　2.2.4 单元格格式26　　2.2.5 删除与清除单元格27　　2.2.6 删除行和列27误差分析与数据处理目录2.2.7 单元格的移动27　　2.2.8 单元格的复制27　　2.2.9 插入单元格、行和列28　　2.3 Excel公式和函数28　　2.3.1 Excel函数28　　2.3.2 公式中的运算符35　　2.3.3 公式中的数据类型36　　2.3.4 公式的输入36　　2.3.5 单元格的引用36　　2.3.6 公式的复制和移动36　　2.4 数据图表化37　　2.4.1 图表的作用37　　2.4.2 创建图表的步骤38　　2.4.3 动态更新图表中的数据40　　2.5 Excel分析工具库简介40　　2.6 矩阵计算41　　2.6.1 数组与矩阵41　　2.6.2 矩阵转置42　　2.6.3 求矩阵的逆矩阵43　　2.6.4 矩阵乘法运算43　　2.6.5 矩阵函数应用举例: 求解线性方程组44　　本章小结44　　习题45　　第3章 随机误差及统计处理47　　3.1 数理统计概念47　　3.1.1 随机事件和随机变量48　　3.1.2 事件的概率48　　3.1.3 随机误差公理49　　3.2 随机误差的参数计算49　　3.2.1 算术平均值50　　3.2.2 样本方差50　　3.2.3 标准差50　　3.2.4 计算标准差的其他方法52　　3.2.5 算术平均值的实验标准差53　　3.2.6 自由度53　　3.2.7 置信度和置信区间54　　3.2.8 极限误差54　　3.3 加权数据处理56　　3.3.1 权的概念56　　3.3.2 权的确定方法56　　3.3.3 加权算术平均值57　　3.3.4 加权标准差57　　3.4 测量值的基本分布61　　3.4.1 正态分布61　　3.4.2 ?u?分布62　　3.4.3 ?t?分布63　　3.4.4 ?F?分布65　　本章小结66　　习题67　　第4章 系统误差与粗大误差69　　4.1 概述69　　4.1.1 系统误差定义69　　4.1.2 系统误差产生的原因 69　　4.1.3 系统误差的分类70　　4.1.4 系统误差的特点72　　4.1.5 系统误差对测量结果的影响 72　　4.2 系统误差的发现方法73　　4.2.1 定值系统误差的发现方法73　　4.2.2 测量列内变值系统误差的发现方法79　　4.2.3 测量列间系统误差的发现方法83　　4.3 粗大误差及其离群值判断准则85　　4.3.1 离群值术语85　　4.3.2 离群值来源85　　4.3.3 离群值的判定85　　4.3.4 离群值处理92　　4.4 测量数据处理的方法93　　4.4.1 精密测量数据处理步骤93　　4.4.2 消除系统误差的措施 94　　4.4.3 测量方法的选择 95　　4.4.4 测量次数的确定96　　本章小结97　　习题99　　第5章 误差的合成与分配101　　5.1 误差的传递101　　5.1.1 什么是误差传递101　　5.1.2 函数的系统误差103　　5.1.3 系统误差的传递公式103　　5.1.4 随机误差的传递105　　5.2 相关系数106　　5.3 误差的合成108　　5.3.1 随机误差的合成108　　5.3.2 系统误差的合成110　　5.3.3 系统误差与随机误差的合成111　　5.4 最佳测量方案的确定113　　5.4.1 选择最佳函数误差公式113　　5.4.2 最佳测量条件的确定115　　5.5 误差分配与调整116　　5.5.1 按等影响原则分配误差117　　5.5.2 按可能性调整误差117　　5.5.3 验算调整后的总误差117　　本章小结119　　习题120　　第6章 测量不确定度评定122　　6.1 测量不确定度概述122　　6.1.1 测量不确定度定义122　　6.1.2 测量不确定的原因123　　6.1.3 测量不确定度与误差的关系124　　6.1.4 对测量不确定度的认识过程125　　6.1.5 测量不确定度评定中常用术语126　　6.1.6 测量不确定度的分类与结构127　　6.1.7 测量不确定度的评定步骤128　　6.2 标准不确定度分量的A类评定129　　6.2.1 标准不确定度的A类评定的基本方法129　　6.2.2 测量过程的合并样本标准差131　　6.2.3 规范测量中的合并样本标准差132　　6.2.4 不确定度A类评定的独立性133　　6.3 不确定度的B类评定134　　6.3.1 不确定度B类评定的信息来源134　　6.3.2 B类不确定度的评定方法135　　6.3.3 B类评定的概率分布估计135　　6.4 仪器与计量器具的不确定度分量140　　6.4.1 模拟式仪器测量产生的不确定度分量140　　6.4.2 数字仪器的不确定度140　　6.4.3 计量器具的B类标准不确定度140　　6.5 自由度及其确定142　　6.5.1 自由度概念142　　6.5.2 自由度的确定142　　6.6 测量不确定度的合成144　　6.7 扩展不确定度146　　6.8 测量不确定度评估中注意的几个问题149　　6.9 测量不确定度的表示与报告150　　6.9.1 通常的测量不确定度报告150　　6.9.2 重要的测量不确定度报告150　　6.9.3 日常检测结果的测量不确定度报告150　　6.9.4 报告测量不确定度的表达形式150　　6.9.5 结果的数值表示151　　6.10 测量不确定度报告举例151　　6.10.1 用标准电压表对电压源测量151　　6.10.2 输入功率和电流测量方法不确定度举例152　　本章小结157　　习题159　　第7章 线性参数的最小二乘法处理161　　7.1 最小二乘法原理161　　7.1.1 什么是最小二乘法161　　7.1.2 等精度测量线性参数最小二乘法的代数算法162　　7.1.3 最小二乘法处理的矩阵算法164　　7.1.4 不等精度测量线性参数最小二乘法处理的矩阵算法167　　7.2 组合测量169　　本章小结170　　习题171　　第8章 回归分析173　　8.1 回归分析的基本概念173　　8.1.1 基本概念173　　8.1.2 回归分析的步骤174　　8.2 一元线性回归方程求法175　　8.2.1 一元线性回归的数学模型175　　8.2.2 图解法判断自变量与因变量间的相关关系175　　8.2.3 平均值法求经验公式176　　8.2.4 用最小二乘法估计回归模型参数177　　8.2.5 利用矩阵法计算回归模型参数178　　8.2.6 利用趋势线进行回归分析178　　8.3 使用Excel函数实现简单回归分析180　　8.4 利用Excel的回归工具进行分析185　　8.4.1 Excel的回归工具的调用185　　8.4.2 输出结果分析186　　8.5 曲线回归分析187　　8.5.1 曲线回归分析的概念187　　8.5.2 几种常用的曲线回归方程分析模型187　　本章小结189　　习题190　　附录A 石油石化理化检测中主要测量不确定度分量的评估实例　　（源于CNAS-GL28) 192 A.1 溶液体积测量不确定度分量192　　A.1.1 体积校准的影响192　　A.1.2 温度的影响192　　A.1.3 体积测量重复性的影响194　　A.2 称量引起的不确定度分量194　　A.2.1 天平校准产生的不确定度194　　A.2.2 称量的重复性194　　A.3 标准物质及纯物质引入的不确定度分量195　　A.4 工作曲线变动性的不确定度分量195　　A.5 测量重复性不确定度分量199　　A.6 相对原子量、常数等引起的不确定度200　　A.7 检测中某些校正系数的不确定度分量200　　A.8 长度测量不确定度分量200　　A.9 仪器的显示或读数引起的不确定度分量201　　A.10 数字修约引起的不确定度201　　附录B202　　参考文献206
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时域与频域两点法误差分离技术的精度分析
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内容提示：时域与频域两点法误差分离技术的精度分析
the accuracy analysis of error separation for two-point separating technique method of t
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时域与频域两点法误差分离技术的精度分析
the accura
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MATLAB信号分析中对频率谱、相位谱、功率谱及相关性的处理
<h1 style="color:# 麦片财富积分
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& && &声明：这也是本人搜集的，不是出于本人之手。不好请见谅，或是引了用某位大神的帖子，请原谅！
& && && &&&MATLAB处理信号得到频谱、相谱、功率谱
第一：频谱
一.调用方法
X=FFT(x)；
X=FFT(x，N)；
x=IFFT(X);
x=IFFT(X,N)
用MATLAB进行谱分析时注意：
（1）函数FFT返回值的数据结构具有对称性。
xn=[4 3 2 6 7 8 9 0];
Xk=fft(xn)
39.0000& && && && &-10.7782 + 6.2929i& && && &0 - 5.0000i& & 4.7782 - 7.7071i& & 5.0000& && && && &&&4.7782 + 7.7071i& && && &0 + 5.0000i -10.7782 - 6.2929i
Xk与xn的维数相同，共有8个元素。Xk的第一个数对应于直流分量，即频率值为0。
（2）做FFT分析时，幅值大小与FFT选择的点数有关，但不影响分析结果。在IFFT时已经做了处理。要得到真实的振幅值的大小，只要将得到的变换后结果乘以2除以N即可。
二.FFT应用举例
例1：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t)。采样频率fs=100Hz，分别绘制N=128、1024点幅频图。
fs=100;N=128;& & %采样频率和数据点数
n=0:N-1;t=n/& & %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N);& &&&%对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);& && &%求得Fourier变换后的振幅
f=n*fs/N;& &&&%频率序列
subplot(2,2,1),plot(f,mag);& & %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=128');
%对信号采样数据为1024点的处理
fs=100;N=1024;n=0:N-1;t=n/
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t); %信号
y=fft(x,N);& & %对信号进行快速Fourier变换
mag=abs(y);& & %求取Fourier变换的振幅
subplot(2,2,3),plot(f,mag); %绘出随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');
subplot(2,2,4)
plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)); %绘出Nyquist频率之前随频率变化的振幅
xlabel('频率/Hz');
ylabel('振幅');title('N=1024');
运行结果：
& & & & & & & & & & & & & & & &
& && &&&fs=100Hz，Nyquist频率为fs/2=50Hz。整个频谱图是以Nyquist频率为对称轴的。并且可以明显识别出信号中含有两种频率成分：15Hz和40Hz。由此可以知道FFT变换数据的对称性。因此用FFT对信号做谱分析，只需考察0~Nyquist频率范围内的福频特性。若没有给出采样频率和采样间隔，则分析通常对归一化频率0~1进行。另外，振幅的大小与所用采样点数有关，采用128点和1024点的相同频率的振幅是有不同的表现值，但在同一幅图中，40Hz与15Hz振动幅值之比均为4：1，与真实振幅0.5：2是一致的。为了与真实振幅对应，需要将变换后结果乘以2除以N。
例2：x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t),fs=100Hz,绘制：
（1）数据个数N=32，FFT所用的采样点数NFFT=32；
（2）N=32，NFFT=128；
（3）N=136，NFFT=128；
（4）N=136，NFFT=512。
fs=100; %采样频率
Ndata=32; %数据长度
N=32; %FFT的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/& & %数据对应的时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);& & %时间域信号
y=fft(x,N);& & %信号的Fourier变换
mag=abs(y);& &&&%求取振幅
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,1),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=32');
Ndata=32;& & %数据个数
N=128;& && &%FFT采用的数据长度
n=0:Ndata-1;t=n/& & %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N; %真实频率
subplot(2,2,2),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=32 Nfft=128');
Ndata=136;& & %数据个数
N=128;& && &%FFT采用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/ %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;& & %真实频率
subplot(2,2,3),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=128');
Ndata=136;& &&&%数据个数
N=512;& &&&%FFT所用的数据个数
n=0:Ndata-1;t=n/ %时间序列
x=0.5*sin(2*pi*15*t)+2*sin(2*pi*40*t);
y=fft(x,N);
mag=abs(y);
f=(0:N-1)*fs/N;& & %真实频率
subplot(2,2,4),plot(f(1:N/2),mag(1:N/2)*2/N); %绘出Nyquist频率之前的振幅
xlabel('频率/Hz');ylabel('振幅');
title('Ndata=136 Nfft=512');
& & & & & & & & & & & & & & & &
（1）当数据个数和FFT采用的数据个数均为32时，频率分辨率较低，但没有由于添零而导致的其他频率成分。
（2）由于在时间域内信号加零，致使振幅谱中出现很多其他成分，这是加零造成的。其振幅由于加了多个零而明显减小。
（3）FFT程序将数据截断，这时分辨率较高。
（4）也是在数据的末尾补零，但由于含有信号的数据个数足够多，FFT振幅谱也基本不受影响。
& && &对信号进行频谱分析时，数据样本应有足够的长度，一般FFT程序中所用数据点数与原含有信号数据点数相同，这样的频谱图具有较高的质量，可减小因补零或截断而产生的影响。
例3：x=cos(2*pi*0.24*n)+cos(2*pi*0.26*n)
& & & & & & & & & & & & & & & &
（1）数据点过少，几乎无法看出有关信号频谱的详细信息；
（2）中间的图是将x(n)补90个零，幅度频谱的数据相当密，称为高密度频谱图。但从图中很难看出信号的频谱成分。
（3）信号的有效数据很长，可以清楚地看出信号的频率成分，一个是0.24Hz，一个是0.26Hz，称为高分辨率频谱。
& && && &可见，采样数据过少，运用FFT变换不能分辨出其中的频率成分。添加零后可增加频谱中的数据个数，谱的密度增高了，但仍不能分辨其中的频率成分，即谱的分辨率没有提高。只有数据点数足够多时才能分辨其中的频率成分。
第二： 相谱
（相位谱和频率普是回事儿，想着把频谱中的幅值部分换成相角就可以了）
&&由于没有找到具体的理论，就举几个例子说明一下。
& & 比如要求y=sin(2*pi*60*t) 的相位谱，
程序如下：
fs=200;N=1024;n=0:N-1;t=n/y=sin(2*pi*60*t);
Y=fft(y,N);
A=abs(Y);f=n*fs/N;
ph=2*angle(Y(1:N/2));
ph=ph*180/
plot(f(1:N/2),ph(1:N/2));
xlabel('频率/hz'),ylabel('相角'),title('相位谱');
期中的 ph=2*angle(Y(1:N/2));ph=ph*180/是利用angle函数求出每个点的角度，并由弧度转化成角度！
angle函数解释：
Phase angle
P = angle(Z)
Description
P = angle(Z) returns the phase angles, in radians, for each element of complex array Z. The angles lie between ±π.
For complex Z, the magnitude R and phase angle theta are given by
R = abs(Z)
theta = angle(Z)
and the statement
Z = R.*exp(i*theta)
converts back to the original complex Z.
Z = [ 1 - 1i& &2 + 1i& &3 - 1i& &4 + 1i
& && &1 + 2i& &2 - 2i& &3 + 2i& &4 - 2i
& && &1 - 3i& &2 + 3i& &3 - 3i& &4 + 3i
P = angle(Z)
& &-0.7854& & 0.4636& &-0.3218& & 0.2450
& & 1.1071& &-0.7854& & 0.5880& &-0.4636
& &-1.2490& & 0.9828& &-0.7854& & 0.6435
& & 1.3258& &-1.1071& & 0.9273& &-0.7854
Algorithms
The angle function can be expressed as angle(z) = imag(log(z)) = atan2(imag(z),real(z)).
第三：功率谱
matlab实现经典功率谱估计
fft做出来是频谱，psd做出来是功率谱；功率谱丢失了频谱的相位信息；频谱不同的信号其功率谱是可能相同的；功率谱是幅度取模后平方，结果是个实数
matlab中自功率谱密度直接用psd函数就可以求，按照matlab的说法，psd能实现Welch法估计，即相当于用改进的平均周期图法来求取随机信号的功率谱密度估计。psd求出的结果应该更光滑吧。
1、直接法：
直接法又称周期图法，它是把随机序列x(n)的N个观测数据视为一能量有限的序列，直接计算x(n)的离散傅立叶变换，得X(k)，然后再取其幅值的平方，并除以N，作为序列x(n)真实功率谱的估计。
Matlab代码示例：
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
window=boxcar(length(xn)); %矩形窗
nfft=1024;
[Pxx,f]=periodogram(xn,window,nfft,Fs); %直接法
plot(f,10*log10(Pxx));
2、间接法：
间接法先由序列x(n)估计出自相关函数R(n)，然后对R(n)进行傅立叶变换，便得到x(n)的功率谱估计。
Matlab代码示例：
Fs=1000; %采样频率
n=0:1/Fs:1;
%产生含有噪声的序列
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
cxn=xcorr(xn,'unbiased'); %计算序列的自相关函数
CXk=fft(cxn,nfft);
Pxx=abs(CXk);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot(k,plot_Pxx);
3、改进的直接法：对于直接法的功率谱估计，当数据长度N太大时，谱曲线起伏加剧，若N太小，谱的分辨率又不好，因此需要改进。
3.1、Bartlett法
Bartlett平均周期图的方法是将N点的有限长序列x(n)分段求周期图再平均。
Matlab代码示例：
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(length(n)); %矩形窗
noverlap=0; %数据无重叠
p=0.9; %置信概率
[Pxx,Pxxc]=psd(xn,nfft,Fs,window,noverlap,p);
index=0:round(nfft/2-1);
k=index*Fs/
plot_Pxx=10*log10(Pxx(index+1));
plot_Pxxc=10*log10(Pxxc(index+1));
plot(k,plot_Pxx);
plot(k,[plot_Pxx plot_Pxx-plot_Pxxc plot_Pxx+plot_Pxxc]);
3.2、Welch法
Welch法对Bartlett法进行了两方面的修正，一是选择适当的窗函数w(n)，并再周期图计算前直接加进去，加窗的优点是无论什么样的窗函数均可使谱估计非负。二是在分段时，可使各段之间有重叠，这样会使方差减小。
Matlab代码示例：
n=0:1/Fs:1;
xn=cos(2*pi*40*n)+3*cos(2*pi*100*n)+randn(size(n));
nfft=1024;
window=boxcar(100); %矩形窗
window1=hamming(100); %海明窗
window2=blackman(100); %blackman窗
noverlap=20; %数据无重叠
range='half'; %频率间隔为[0 Fs/2]，只计算一半的频率
[Pxx,f]=pwelch(xn,window,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx1,f]=pwelch(xn,window1,noverlap,nfft,Fs,range);
[Pxx2,f]=pwelch(xn,window2,noverlap,nfft,Fs,range);
plot_Pxx=10*log10(Pxx);
plot_Pxx1=10*log10(Pxx1);
plot_Pxx2=10*log10(Pxx2);
plot(f,plot_Pxx);
plot(f,plot_Pxx1);
plot(f,plot_Pxx2);
第四： 相关性分析
1. 首先说说自相关和互相关的概念。& & 这个是信号分析里的概念，他们分别表示的是两个时间序列之间和同一个时间序列在任意两个不同时刻的取值之间的相关程度，即互相关函数是描述随机信号x(t),y(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度，自相关函数是描述随机信号x(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度。& & 自相关函数是描述随机信号X(t)在任意两个不同时刻t1，t2的取值之间的相关程度；互相关函数给出了在频域内两个信号是否相关的一个判断指标，把两测点之间信号的互谱与各自的自谱联系了起来。它能用来确定输出信号有多大程度来自输入信号，对修正测量中接入噪声源而产生的误差非常有效.& & 事实上，在图象处理中，自相关和互相关函数的定义如下：设原函数是f(t)，则自相关函数定义为R(u)=f(t)*f(-t)，其中*表示卷积；设两个函数分别是f(t)和g(t)，则互相关函数定义为R(u)=f(t)*g(-t)，它反映的是两个函数在不同的相对位置上互相匹配的程度。那么，如何在matlab中实现这两个相关并用图像显示出来呢？dt=.1;
t=[0:dt:100];
[a,b]=xcorr(x,'unbiased');
plot(b*dt,a)
上面代码是求自相关函数并作图，对于互相关函数，稍微修改一下就可以了，即把[a,b]=xcorr(x,'unbiased');改为[a,b]=xcorr(x,y,'unbiased');便可。
2. 实现过程：
& && &在Matalb中，求解xcorr的过程事实上是利用Fourier变换中的卷积定理进行的，即R(u)=ifft(fft(f)×fft(g))，其中×表示乘法，注：此公式仅表示形式计算，并非实际计算所用的公式。当然也可以直接采用卷积进行计算，但是结果会与xcorr的不同。事实上，两者既然有定理保证，那么结果一定是相同的，只是没有用对公式而已。下面是检验两者结果相同的代码：
t=[0:dt:100];
x=3*sin(t);
y=cos(3*t);
subplot(3,1,1);
plot(t,x);
subplot(3,1,2);
plot(t,y);
[a,b]=xcorr(x,y);
subplot(3,1,3);
plot(b*dt,a);
yy=cos(3*fliplr(t)); % or use: yy=fliplr(y);
z=conv(x,yy);
subplot(3,1,3);
plot(b*dt,z,'r');
即在xcorr中不使用scaling。3. 其他相关问题：
（1）相关程度与相关函数的取值有什么联系？& & 相关系数只是一个比率，不是等单位量度，无什么单位名称，也不是相关的百分数，一般取小数点后两位来表示。相关系数的正负号只表示相关的方向，绝对值表示相关的程度。因为不是等单位的度量，因而不能说相关系数0.7是0.35两倍，只能说相关系数为0.7的二列变量相关程度比相关系数为0.35的二列变量相关程度更为密切和更高。也不能说相关系数从0.70到0.80与相关系数从0.30到0.40增加的程度一样大。
对于相关系数的大小所表示的意义目前在统计学界尚不一致，但通常按下是这样认为的：
相关系数& && &相关程度
0.00-±0.30& & 微相关
±0.30-±0.50&&实相关
±0.50-±0.80&&显著相关
±0.80-±1.00&&高度相关（2）matlab计算自相关函数autocorr和xcorr有什么不一样的？& & 分别用这两个函数对同一个序列计算，为什么结果不太一样？因为xcorr是没有将均值减掉做的相关，autocorr则是减掉了均值的。而且，用离散信号做自相关时，信号截取长度（采样点N）不一样，自相关函数就不一样。
（3）xcorr是计算互相关函数，带有一个option的参数:
a=xcorr(x,y,'option')
option=baised时，是计算互相关函数的有偏估计；
option=unbaised时，是计算互相关函数的无偏估计；
option=coeff时，是计算归一化的互相关函数，即为互相关系数，在-1至1之间；
option=none，是缺省的情况。
所以想要计算互相关系数，可用'coeff'参数。
*************************************************************************
用这个xcorr函数作离散互相关运算时要注意，当x, y是不等长向量时，短的向量会自动填0与长的对齐，运算结果是行向量还是列向量就与x一样。
互相关运算计算的是x,y两组随机数据的相关程度，使用参数coeff时，结果就是互相关系数，在-1至1之间，否则结果不一定在这范围，有可能很大也有可能很小，这视乎x, y数据的大小，所以一般要计算两组数据的相关程度，一般选择coeff参数，对结果进行归一化。
所谓归一化简单理解就是将数据系列缩放到-1到1范围，正式的就是一种简化计算的方式，即将有量纲的表达式，经过变换，化为无量纲的表达式，成为纯量。变换式为X=(X实测--Xmin)/(Xmax-Xmin)。
一般来说选择归一化进行互相关运算后，得到结果绝对值越大，两组数据相关程度就越高。
<h1 style="color:# 麦片财富积分
好贴，通过几种方法的仿真，更加清楚了解如何分析信号的功率谱，而且更加了解了它们的意义。
<h1 style="color:# 麦片财富积分
关注者： 5
终于找到这样的好帖子了，虽然是收集别人的，但是还是很经典的，赞一下！:lol
<h1 style="color:# 麦片财富积分
谢谢楼主的搜集，把几种方法集合到一起，最近正在学这个，看了感觉清楚了很多
<h1 style="color:# 麦片财富积分
十分感谢楼主，学习了
<h1 style="color:# 麦片财富积分
<h1 style="color:# 麦片财富积分
学习了，多谢楼主
<h1 style="color:# 麦片财富积分
好贴，赞一个
<h1 style="color:# 麦片财富积分
好贴，解决我的问题啊。
<h1 style="color:# 麦片财富积分
确实很有用，谢谢楼主
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