六年级下6.3-3.4教材分析_甜梦文库
六年级下6.3-3.4教材分析
苏教国标六年级数学下册教材分析全册说明 苏教版《义务教育课程标准实验教科书数学》六年级（下册）教材分析本册教材是依 据《全日制义务教育数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）编写的。 六年级第二学期是小学阶段最后一个学期，教材从促进学生的发展，为学生进入第三 学段的学习打好基础出发，把六年级（下册）的教学内容分成两部分编排。在前七个单元里教学新 知识，全面完成《标准》规定的第二学段的教学内容和具体目标。在第八单元有重点地系统复习小 学阶段教学的主要知识，在深化理解的同时组织更合理的认知结构，通过适当的练习形成必要的技 能，应用知识解决实际问题，培养数学素养。 新授内容仍然分四个领域安排。“数与代数”领域教学百分数的应用，比例的有关知识， 成正比例和成反比例的量，解决问题的策略。百分数的应用是在六年级（上册）认识百分数的基础 上编排的，是本册教材的重点内容之一。要联系实际解决一些求一个数比另一个数多（或少）百分 之几的问题，解决较简单的有关纳税、利息、折扣的问题，解决已知一个数的百分之几是多少，求 这个数的问题。通过这些内容的教学，能让学生进一步理解百分数的意义，学会在日常生活中应用 百分数。教学正比例和反比例，着重理解正比例的意义和反比例的意义，让学生在现实的情境中作 出相应的判断。根据《标准》的精神，教材适当加强了正比例关系图像的教学，不再安排解答正比 例或反比例的应用题。比例的知识有比例的意义、比例的基本性质和解比例。这些知识有助于理解 图形的放大与缩小，能用来解决有关比例尺的问题。在解决问题的策略里，教学转化的思想和方法。 转化能使复杂的问题变得简单，能把未知的内容变成已知的内容。所以，转化是重要的认知策略， 也是常用的解决问题策略。对于转化思想，学生在前面的学习中已经有较丰富的体验。本册教材继 续教学转化，让学生进一步体会和应用，通过具体的转化活动，发展思维的灵活性。 “空间与图形”领域教学圆柱和圆锥，图形的放大或缩小，确定位置等内容。圆柱与圆 锥是本册教材的又一个重点内容，包括圆柱和圆锥的形状特征，圆柱的表面积及计算方法，圆柱和 圆锥的体积及计算方法等知识。图形的放大和缩小是小学数学新增加的教学内容，让学生初步了解 图形可以按一定的比例发生大小变换。这个内容安排在第三单元里，结合比例的知识进行教学。确 定位置也是新增的教学内容，在初步认识方向的基础上，用“北偏东几度”“南偏西几度”的形式量化 描述物体所在的具体方向，还要联系比例尺的知识，用“距离多少”的形式描述物体所在的位置。教 材严格遵照《标准》的要求，精选传统小学数学里有关形体的知识，增加与生活密切联系的空间知 识，让学生在获得必需的数学事实的过程中发展空间观念。 “统计与概率”领域先在认识圆和能够应用百分数的基础上教学扇形统计图，再教学众 数和中位数。众数和中位数是数据分析时经常使用的统计量。有些时候，平均数不能确切地反映一 组数据的基本特征，就可以考虑用众数或中位数来反映。本册教材里的统计知识，能进一步增强学 生的数据意识，提高分析、表达和利用数据的能力。 “实践和综合应用”领域编排了三次实践活动。第一次是利用圆柱的体积知识测量形状 不规则物体的体积，以及应用铁块的质量与体积比值一定的规律推算铁块的体积。第二次是结合图 形的放大或缩小，研究图形的面积变化与边长变化的关系。第三次是使用工具或应用步测的方法， 测量相隔较远的两点之间的距离。这些实践活动使学生经历动手操作、独立思考并与同伴合作交流 的过程，研究现象，探索规律，创造性地应用学到的知识和方法解决问题。 总复习的内容也按四个领域编排。根据《标准》里具体目标的设计分类，在“数与代数” 领域里把内容分成数的运算、数的认识、式与方程、正比例与反比例四个部分进行复习。把解决实 际问题纳入数的运算、式与方程两个部分，突出数学知识的实际应用。“空间与图形”领域里的内容 分图形的认识、图形的变换、图形的位置三个部分进行复习。小学阶段的测量主要是线段的长度、 图形的面积、物体的体积，教材把测量的内容与图形的认识有机结合起来，能提高复习的效率。“统 计与概率”领域的内容分统计、可能性两个部分进行复习。在总复习里还安排了上述三个领域内容的 综合应用，分别研究住房面积的变化、旅游费用的预算、调查周围的绿地面积、在生活中如何节约 用水。这些问题都具有较强的知识性、实践性、应用性，并富有教育意义。 另外，教材充分关注六年级学生的年龄、心理发展特点和他们对学习的需求，在“你知 道吗”里介绍数学知识在经济领域和社会生活里的应用。编排的“思考题”满足部分学生多学一些、学深一些的需求，还多次组织学生自我评价学习的过程与效果。第一单元《百分数的应用》教材分析在六年级（上册）“认识百分数”里，教学了百分数的意义，并联系后项是100的 比，体验了百分数又叫做百分比或百分率；教学了百分数与分数、小数的互化，尤其是百分数与小 数的相互改写，为应用百分数解决实际问题做了必要的准备；还教学了简单的求一个数是另一个数 的百分之几的问题，初步应用了百分数。在此基础上，本单元继续教学百分数的应用，包括四个内 容，依次是求一个数比另一个数多（或少）百分之几的实际问题，根据已知的税率求应缴纳的税款 以及根据已知的利率求应得的利息，与折扣有关的实际问题，较复杂的已知一个数的百分之几是多 少，求这个数的实际问题。编排了六道例题、四个练习，把全单元的内容分成四段教学，最后还有 单元的整理与练习。 1．以现实问题中百分数的意义为突破口，通过推理分析数量关系，探索算法。 解答例1的关键是理解问题的具体含义， 教材借助直观的线段图， 让学生思考“实 际造林比原计划多百分之几”应该怎样理解。 明确这个问题是求实际造林面积超过原计划的公顷数相 当于计划造林公顷数的百分之几，从而产生先算出实际造林比原计划多4公顷，再求4公顷是计划造 林面积16公顷的百分之几这样的思路。或者先算出实际造林面积是原计划的125%，再得出实际造林 比原计划多25%的结论。两条思路、两种算法都是把原计划造林公顷数看作单位“1”（即100%），在 线段图上能清楚地看到，两种解法最终都是求实际造林比原计划多的部分是原计划的百分之几。练 习一第1题利用已知的“是百分之几”求“增长百分之几”， 或者利用已知的“增加百分之几”求“是百分之 几”，通过百分数之间的相互转化，进一步理解“增加百分之几”的含义，还带出了“下降百分之几”这 个概念。 实际造林比原计划多百分之几与原计划造林比实际少百分之几是两个不同的问 题，前者是实际造林比原计划多的公顷数与原计划造林公顷数相比，后者是原计划造林比实际造林 少的公顷数与实际造林公顷数相比，解决两个问题的算式中，被除数的意义不同，除数也不同。教 材编写“试一试”的目的就是要突出这些不同，要求教师在适当的时候组织学生将“试一试”和例题的 计算结果进行比较，研究为什么得数不同，进一步理解这两个问题的含义与数量关系。练习一第5 题里，第（1）、（2）题的条件相同，问题不同，第（2）、（3）题的条件不同，问题也不同。通 过解题与比较，能使学生更正确地理解“是百分之几”与“高百分之几”的含义。第7题分别求巧克力的 单价比奶糖、水果糖和酥糖贵百分之几，要依次把巧克力比奶糖、水果糖、酥糖贵的单价与奶糖、 水果糖、酥糖的单价相比，反复体验求一个数比另一个数多百分之几的解题思路与方法。第8题以表 格形式呈现求百分数的问题，首次把百分数应用于统计表中。 2．把求一个数的几分之几是多少的经验，向求一个数的百分之几是多少迁移。 例2结合纳税教学求一个数的百分之几是多少的问题，先找到数学问题“60万元 的5%是多少”，然后把求一个数的几分之几是多少的经验迁移过来，得到“求一个数的百分之几是多 少，也用乘法计算”，于是列出算式60×5%。在上面的过程中，关键在于寻找数学问题，只要理解了 缴纳的营业税是60万元的5%，学生就会想到用乘法计算，把求一个数的百分之几纳入原有的经验系 统，从而发展认知结构。在计算60×5%时，可以把5%化成5/100，也可以化成0.05，前一种算法又一 次体验了求一个数的百分之几与求一个数的几分之几是一致的，用乘法计算是合理的。在“练一练” 里，由于6.2×5/100的计算比6.2×0.05麻烦，所以计算含有百分数的乘法一般把百分数化成小数。 练习二第1~4题是配合例2编排的，要引导学生抓住“求什么的百分之几是多少” 进行思考。如，第1题是求门票收入的3%，因此接待游客18万人次是多余的信息。又如，第4题是求 月收入超过1600元的部分的百分之几是多少，因此要先算出应纳税部分的元数，并找到相应的税率。 例3计算利息，应用求一个数的百分之几的方法解决稍复杂的实际问题。由于多数学生缺少这方面的生活经验，因此教材在底注中解释了本金、利息、利率的含义，并给出了计算 利息的方法：利息=本金×利率×时间。要结合例题里的表格，让学生知道利息和本金、年利率、存 期有关，一般情况下，本金越多，存期越长，年利率越高，到期后获得的利息就多。还要让学生知 道，存期一年，到期可得的利息是本金的2.25%；存期二年，每年的利息是本金的2.70%……这样， 学生就能理解计算利息公式里的数量关系。 “试一试”利用例3求得的应得利息，继续计算缴纳利息税以后的实得利息。要让 学生懂得实得利息是应得利息扣除缴纳的利息税以后剩下的利息，明白为什么先算出利息税是多少 元的道理。从例题到“试一试”的全过程，就是我国现行的银行存款实得利息的计算方法：先根据本 金、存期和利率算出应得利息，再扣除缴纳的利息税得到实得利息。学生完成“练一练”和练习二第 5~7题就有思路了。要注意的是，计算实得利息的步骤比较多，“练一练”和第6、7题都采用连续提问 的形式，适当降低了解题时的思维难度。 3．列方程解决已知一个数的百分之几是多少，求这个数的实际问题。 例4教学与折扣有关的问题，也是百分数的实际应用。教材先对“打折”作了具体 的解释，让学生明白几折就是百分之几十，知道八折就是80%，从而把打折的实际问题与百分数的应 用联系起来。“原价和实际售价有什么关系”是这道例题的教学重点，要从“原价打八折出售”得出“原 价×80%=实际售价”。 这个数量关系能起两点作用， 一是进一步理解打折扣的含义： 图书按八折出售， 实际售价只是原价的80%。二是形成求《趣味数学》原价的解题思路，在数量关系式里已知积与一个 因数，求另一个因数，可以列方程解答。本册教材里，已知一个数的百分之几是多少，求这个数的 问题都列方程解答，充分利用百分数的意义，加强对百分数乘法的理解，避免人为地把实际问题分 类型，体现了各种百分数问题的内在联系。求出《趣味数学》的原价15元以后，对学生提出检验的 要求，而且采用了两种检验方法。依据折扣的含义，既可以用实际售价除以原价，看是不是打了八 折；也可以看原价的80%是不是实际售价12元。这样安排，不仅检验了原价15元是正确的，还多角度 表现了原价、实际售价、折扣三者的关系，在进一步理解折扣的同时，沟通了三种简单的百分数问 题的联系。“练一练”求《成语故事》的原价，也要求检验，让学生独立经历与例4同样的学习过程， 再次体会问题中的数量关系。 练习三的编排大致分成两段，第1~4题是第一段，在理解折扣含义的基础上正确 应用数量关系。第1、2题分别求打折后的实际售价与打折前的原价，都可以根据“原价×折扣=实际 售价”来解答。 第4题求折扣， 教材先让学生回答第3题， 把按原价的百分之几出售改说成打几折出售， 体会求“几折”只要求“百分之几”，为第4题作了铺垫。第5~9题是第二段，仍然以求实际售价或求原 价为主要内容，灵活应用数量关系。第5题分别求实际售价与实际比原来便宜的元数，这里有简单问 题与稍复杂问题的比较。第6题分别求实际售价与原价，是两种折扣问题的比较。第7、8题让购物问 题更复杂一些，有利于学生在变化的问题情境中把握基本的数量关系。 例5和例6是较复杂的已知一个数的百分之几是多少，求这个数的问题，都列方 程解答。两道例题分别把相并关系和相差关系作为列方程的相等关系，虽然相并与相差是学生早就 认识的数量关系，但在复杂的百分数情境里不容易看到。为此，例题利用线段图给予直观帮助，让 学生在例5的线段图右边的括号里填“36”，体会男生人数与女生人数合起来是美术组的总人数。例6 在线段图上突出十月份比九月份节约用水的那一段，引导学生注意两个月用水量之间的相差关系。 教材完整地写出两道题的等量关系，让学生感受等量关系式右边美术组的总人数、十月份用水的吨 数都已知，在这样的情况下，列方程是解题的有效方法。虽然有了等量关系，但列方程还会遇到一 个问题，即为什么设男生人数为x，设九月份的用水量为x。要引导学生抓住题目中已知的那个百分 数，分析它的意义，体会这样的设句是合理的，不仅用x表示了单位“1”的数量，还很容易用含有字 母的式子表示出女生人数，表示出十月份比九月份节约用水的吨数。 两道例题列出的方程里都有两个“x”，还含有百分数，解方程时要先化简方程的 左边，再应用等式的性质。例题呈现了解方程的过程，并在练习四里安排三道解方程的习题，提醒 教师要帮助学生正确地解方程。检验不是把未知数的值代入方程，而是要检验得数是否符合实际问 题里的数量关系。具体地说，例5要检验男、女生的人数之和是不是36，还要检验女生人数是不是男 生的80%。例6要检验十月份用水的吨数是不是比九月份节约20%，或者检验九月份的用水量节约20%， 是不是440立方米。只有符合实际问题的得数才是正确答案。 “练一练”要先说数量关系再解答，突出寻找等量关系是解答这些题的关键，也是指向解题难点的基础训练。要引导学生从分析题目里已知的那个百分数开始，有条理地思考。如 第11页“练一练”， 种蓖麻的棵数是向日葵的75%， 向日葵的棵数是单位“1”的量， 蓖麻的棵数是单位“1” 的75%，它们一共有147棵，等量关系就是“蓖麻的棵数+向日葵的棵数=147”；向日葵比蓖麻多21棵， 等量关系就是“向日葵的棵数-蓖麻的棵数=21”。 再如第12页“练一练”， 美术组的人数比舞蹈组多20%， 舞蹈组的人数是单位“1”的量，美术组比舞蹈组多的人数是单位“1”的20%，等量关系是“舞蹈组的人 数+美术组比舞蹈组多的人数=美术组的人数”。解答练习四里的实际问题，也应经常让学生说说数量 关系。 练习四第1~4题配合例5编排，第4题第（1）题曾经在六年级（上册）教过，那 时也是列方程解答的，从第（1）题到第（2）题带出了稍复杂的分数问题。整数、分数、百分数都 能表示两个数量间的倍数关系， 第4题把貌似不同的问题组织在一起， 凸现这些问题在本质上的联系。 第5~9题是配合例6编排的，在第9题里把简单的百分数问题和较复杂的百分数问题编排在一起，可以 适当进行比较。第10~16题是一堂练习课的内容，第11~13题是百分数的问题，进一步熟悉两道例题 的解题思路，第14~16题是三道已知一个数的几分之几，求这个数的问题，促使例题的思考方法水平 迁移。在六年级（上册）只教学稍复杂的分数乘法问题，另一些分数实际问题则安排在这里教学。 教学例4、例5、例6以及练习里的内容，要更新观念，改变习惯了的教学方法。 首先是不要求学生识别分数乘法与分数除法两类不同的问题，尤其不要机械套用已知单位“1”用乘 法，单位“1”未知用除法这些所谓的规律。过去这样教的解题效果虽好，但严重制约了学生的思维， 把分析数量关系的过程变成了依据个别词语的简单判断。改进教法要加强对分数、百分数意义的理 解，充分利用求一个数的几分之几是多少这个数量关系，合理选择列算式还是列方程解题。其次， 不必进行有关分率与百分率的联想训练。如从用去25%想到还剩（1-25%）； 从第一天看了全书的1/5， 第二天看了全书的1/6想到两天看了全书的1/5+1/6，这些联想是为列除法算式服务的。要引导学生 充分挖掘和利用实际问题里的相并、相差等最基本的数量关系，作为列方程或列算式的依据，让小 学与初中的教学相衔接，为学生的后继学习打下良好的基础。第二单元《圆柱和圆锥》教材分析本单元是在认识了圆，掌握了长方体、正方体的特征以及表面积与体积 计算方法的基础上编排的。圆柱与圆锥都是基本的几何形体，也是生产、生活中经常遇到的几何形 体。教学圆柱和圆锥扩大了学生认识形体的范围，增加了形体的知识，有利于进一步发展空间观念。 全单元编排五道例题、四个练习，把内容分成四段教学。依次是圆柱与 圆锥的特征、圆柱的表面积、圆柱的体积、圆锥的体积。在单元结束时，还安排了整理与练习以及 实践活动《测量物体的体积》。 1．通过观察、操作，认识圆柱和圆锥。 学生在第一学段已经直观认识了圆柱，通过滚一滚、堆一堆、摸一摸等 活动初步感受了圆柱的形状与长方体、正方体有不同之处。例1先教学认识圆柱，再教学认识圆锥， 要让学生从整体上体会它们的特征，了解围成圆柱或圆锥的各个面，认识圆柱和圆锥的高，并会测 量高。 教学圆柱从识别圆柱形的物体开始，因为学生已有这样的能力。例1的图 片里，有些物体是圆柱形的，有些物体的一部分是圆柱形的，也有些物体不是圆柱形的。而且，在 圆柱形的物体中，有的高，有的矮，有的厚，有的薄，这就为认识圆柱提供了丰富的具体对象。 认识圆柱的教学要引导学生进行观察、交流，同时教师要给予必要的讲 解。让学生仔细观察圆柱，发现圆柱的上、下两个面是相同的圆形，圆柱的侧面是曲面，而且圆柱 上下是一样粗的。前两点学生容易注意到，第三点往往会疏忽，在交流的时候，要引起学生的注意。 在“练一练”里，教材安排了上、下两个底面大小不同的杯子和木桶，两个底面虽然相同但两底之间 粗细不同的腰鼓，还有底面是正六边形的盒子，让学生指出这些物体都不是圆柱形，从而加强对圆柱特征的体验。在学生交流圆柱特征的过程中，教师可相机指出圆柱上、下两个面叫做底面，围成 圆柱的曲面叫做侧面，及时出现圆柱的几何图形，在图形上标出圆柱的底面和侧面，这是建立圆柱 概念的重要一步。同时指出圆柱两个底面之间的距离叫做高，并在圆柱的几何图形上标出高，既直 观地表达高的意义，又能使学生想到测量圆柱高的方法。 例题引导学生把认识圆柱的学习方法迁移到认识圆锥上来，在观察圆锥 形物体的基础上抽象出圆锥的几何图形，在交流圆锥特征的过程中认识圆锥的顶点、底面和侧面。 圆锥的高是教学的一个难点，因为圆锥的高是圆锥内部的一条线段的长。教材指出从圆锥的顶点到 底面圆心的距离是圆锥的高，并在圆锥的几何图形上用虚线画出顶点到底面圆心的线段，帮助学生 理解圆锥高的含义。 练习五的设计重视空间观念的培养， 都是动手操作的习题。 第2题从正面、 上面、侧面观察圆柱和圆锥，通过立体图形与平面图形、曲面与平面的相应转化，加强对圆柱、圆 锥特征的体验，发展空间观念。第3题把长方形绕它的一条边旋转形成圆柱，把直角三角形绕它的一 条直角边旋转形成圆锥，把半圆绕它的直径旋转形成球，让学生在动态中感受这些几何体，使已有 的圆柱、圆锥概念得到深化。第5题利用教材附页里的图形做圆柱和圆锥，体会圆柱的侧面是长方形 卷成的，圆锥的侧面是扇形卷成的，再次经历平面图形变成立体的过程。同时，做成一个圆柱要两 个相同的圆，做成一个圆锥只要一个圆，再次体会圆柱与圆锥的特征。测量做成的圆柱、圆锥的底 面直径和高，能巩固高的概念，培养测量能力。计算圆柱、圆锥的底面周长和底面积，复习了圆的 知识，为继续教学圆柱的表面积，圆柱和圆锥的体积做好准备。 2．在现实的情境中，探索圆柱表面积的计算方法。 圆柱的表面积是它的侧面积与两个底面面积的和， 其中侧面积是新知识， 底面积是旧知识。为此，教材先在例2里教学圆柱的侧面积，再在例3里教学圆柱的表面积。 例2计算圆柱形罐头盒侧面的商标纸的面积， 这个素材容易引发把商标纸 剪开后看看、算算等教学活动。教材指导学生“沿着接缝剪开”，经历展开商标纸的活动，体会圆柱 的侧面展开图是一个长方形。探索圆柱侧面积的计算方法，要研究展开后长方形的长、宽与圆柱的 关系，让学生在侧面展开成长方形和长方形卷成侧面的活动中，发现长方形的长等于圆柱的底面周 长，长方形的宽等于圆柱的高。从长方形的面积计算公式，推导出圆柱侧面积的计算方法。在探索 圆柱侧面积算法的过程中，学生把曲面转化成平面，开展了一系列的推理活动，空间观念和思维能 力能够得到锻炼。 例3教学圆柱的表面积。教材先让学生思考底面直径2厘米、高2厘米的圆 柱侧面沿高展开，得到的长方形长和宽各是多少厘米，两个底面是多大的圆，再在方格纸上画出这 个圆柱的展开图。思考的过程能帮助正确地画图，画图则有助于体会表面积的含义。“侧面积与两个 底面积的和”既是表面积的概念，也是计算表面积的方法。和长方体、正方体的表面积计算一样，圆 柱的表面积计算不列出公式，让学生在理解的基础上掌握算法，避免了记忆公式的负担。由于圆柱 的侧面积已在例2教学，计算底面积是旧知识，因此例3组织学生讨论算法并独立计算。 练习六应用圆柱侧面积、表面积的知识解决实际问题。第1、2题的练习 重点是把实际问题抽象成数学问题，求队鼓的铝皮面积就是计算圆柱的侧面积，求队鼓的羊皮面积 是计算圆柱的两个底面积之和，求做一个铁桶用的铁皮是计算圆柱的表面积。第3题有整理知识的作 用，通过计算既能区分圆柱的侧面积、底面积、表面积这三个不同的概念以及不同的算法，又能整 理三者的关系，进一步理解表面积的意义和计算方法。第4~9题是灵活应用圆柱侧面积、表面积的知 识，要联系实际判断所求问题需不需要计算底面积，要算几个底面积。 3．通过猜想―验证探索圆柱、圆锥的体积公式。 例4教学圆柱的体积计算，分两步进行。第一步认识底面积相等、高也相 等（以下简称等底等高）的长方体、正方体和圆柱，第二步推导圆柱的体积公式。安排第一步教学 要达到三个目的，一是认识等底等高的含义，便于判断圆柱可以转化成与它等底等高的长方体。二 是从长方体与正方体等底等高，体积也相等的事实，引发等底等高的圆柱与长方体的体积也相等的 猜想，形成把圆柱转化成长方体的活动心向。三是复习长方体、正方体的体积公式，圆柱的体积最 终也要这样计算。这些目的要在思考和讨论例题中第（1）、（2）两个问题时实现。第二步的教学 主要设计了三个活动。第一，在形成把圆柱转化成长方体的探索思路后，展示转化活动。学生可以 看教材里的插图，也可以通过操作学具，明确转化的方法与过程。第二，让学生明白，把圆柱的底面平均分成16份，切开后拼成的是一个近似于长方体的物体。如果圆柱的底面平均分的份数越多， 切开后拼成的物体越接近长方体，渗透极限思想，发展想像能力。第三，让学生思考拼成的长方体 与原来圆柱的关系，体会圆柱转化成长方体，体积不变，底面积不变、高也没有变。用“底面积乘高” 算得的既是转化成的长方体的体积，也是原来圆柱的体积。这是形成圆柱体积公式的推理活动。 例5教学圆锥的体积公式。教材首先出示等底等高的圆柱和圆锥，让学生 直观估计圆锥的体积是圆柱的几分之几。进行这个估计是形成一个猜想，如果等底等高的圆柱和圆 锥的体积之间存在确定的倍数关系，就可以利用圆柱的体积计算圆锥的体积。然后验证估计，探索 等底等高的圆柱和圆锥的体积关系。例题把验证活动分三步进行。第一步指导学生选择实验器具： 等底等高的圆柱形容器和圆锥形容器。左图把圆锥形容器放到圆柱形容器的上面，容易比出底面积 是否相等。右图把圆柱形容器和圆锥形容器靠近着放在同一桌面上，容易比出高是否相等。第二步 指导倒沙活动：在圆锥形容器里装满沙子，倒入圆柱形容器。从“3次正好倒满”证实圆柱形容器的容 积是等底等高的圆锥形容器的3倍，也就是圆锥体积是等底等高的圆柱的1/3。第三步进行推理，把 实验的结论用数学式子表示，最终得出圆锥的体积公式。 猜想―验证是发现规律、创新知识的常用策略，教材从教学内容的特点 和学生的实际能力出发，把圆柱和圆锥体积公式的教学设计成鼓励猜想―引导验证的过程，有利于 培养学生的学习能力和科学态度。 练习七和练习八里应用圆柱、圆锥的体积计算知识解决实际问题。计算 圆柱的表面积，计算圆柱和圆锥的体积都要进行乘法计算。从过去的教学中我们发现，这一单元的 计算学生经常出现错误。对此，教学应采取三点措施：一是营造良好的计算氛围，每次作业的题量 不宜过多，给学生的时间要充分，在心理负担较轻的状态下能减少计算错误。保持安静，在无干扰 的环境中专心计算也能减少错误。二是较繁的计算使用计算器，通常情况下，三位数乘一位数、三 位数乘两位数可以采用笔算，位数更多的数的乘法计算可以用计算器。如果让学生进行过繁的四则 计算，不仅容易出错，而且消耗了大量的精力和时间，没有必要。三是指导简便计算，在半径（或 直径）的长度数是5、15、25，高的长度数是2、4、8时，经常可以应用乘法运算律使计算简便。 4．测量形状不规则的物体的体积。 长方体、正方体、圆柱和圆锥的体积都有计算公式，生活中还有大量不 是这些形状的物体，它们的体积怎样测量呢？实践活动《测量物体的体积》引导学生研究这个问题。 把土豆或铁块放入盛水的圆柱形容器里进行测量是一种方法，这种方法 把不规则形体转化成规则形体，利用计算圆柱体积的方法解决了问题。通过质量除以比重（质量和 体积的比值）求体积也是一种方法，这种方法不依赖体积计算公式。教材没有把两种方法直接告诉 学生，而是安排操作活动，让学生在活动过程中想到和理解这些方法。对于第一种方法，要依次测 量圆柱容器的底面积、放入土豆前的水面高度和放入土豆后的水面高度，直观体会容器中水面上升 所形成的那段圆柱的体积就是土豆的体积，感悟“等积变形”的转化思想。利用这种方法测量土豆的 体积以后，还要再测量两个铁块的体积，为第二种测量方法积累数据资料。对于第二种方法，两个 铁块的体积已经测得，再用天平称出它们的质量就能填表。通过计算发现一个铁块的质量与体积的 比值和另一个铁块的质量与体积的比值相等。如果测量和计算都正确，这个比值应该约是7.8。要让 学生理解这个比值的具体意思是“1立方厘米铁块大约重7.8克”，这样，第三个铁块的体积就可以称 出质量后用除法计算了。 第三单元《比例》教材分析本单元教学“数与代数”领域的比例知识，还教学“空间与图形”领 域的图形放大或缩小，以及比例尺的知识，把不同领域的教学内容有机融合是教材的一大特点。图 形的放大或缩小是认识比例的现实素材，比例能揭示图形放大或缩小的数学含义，而且解决图形放 大或缩小、比例尺的实际问题要应用比例的知识。把两个领域的内容融合能发挥数形结合的作用， 提高教学效率。全单元编排七道例题和三个练习，把全部内容分成三段教学。例 1~例3以及练习九，主要教学图形放大、缩小的含义，比例的意义。例4、例5以及练习十，主要教学 比例的基本性质、解比例，解决图形放大或缩小的实际问题。例6、例7以及练习十一，教学比例尺 的知识和实际应用。另外，还编排了实践活动《面积的变化》，研究图形放大或缩小时边长与面积 的变化关系。 1．联系实际，建立图形放大、缩小的概念。 数学里图形放大或缩小的含义与生活中的放大、缩小经常是不同 的。生活中会把图形由小变大视作放大，由大变小视为缩小。数学里的图形放大或缩小，它的每条 边都按一定的比例变化，即每条边的长度都放大到原来的几倍或缩小到原来的几分之一。例1教学图 形放大、缩小的含义，先观察在电脑上放大长方形的现象，分别研究长方形放大后与放大前长、宽 的关系。然后联系长方形放大揭示图形放大的数学含义。教材依次讲了三句话：首先是“长方形的每 条边放大到原来的2倍”，这是对长放大到原来的2倍，宽也放大到原来2倍的概括。然后是“放大后的 长方形与原来长方形对应边长的比是2∶1”，用比描述图形放大时边的长度变化。这里把放大前、后 两个长方形的长称为对应边，宽也称为对应边，必须把放大后图形的边的长度作为前项，原来图形 的边的长度作为后项。最后是“把原来的长方形按2∶1的比放大”，让学生体会由于放大后与放大前 两个长方形的对应边的长度关系是2∶1，因而把图形的放大说成2∶1。这里还示范了图形放大的规 范表述“按2∶1的比放大”。 在初步理解图形放大的基础上，教材引导学生主动迁移，认识图 形的缩小。让学生说说缩小后的长方形的长、宽分别是原来长方形的几分之几，解释图形按1∶2缩 小的含义，初步形成图形缩小的概念。 例2在方格纸上画图形。“利用方格纸等形式按一定比例将简单图 形放大或缩小”是《标准》的要求，因为方格能直观显示每条边的变化情况，操作方便，有利于概念 的应用和巩固。教材引导学生在画图前先思考放大（或缩小）后图形的长、宽各是几格，应用概念 进行推理，为正确画图做准备。在画图以后，还要观察原来的图形、放大后的图形、缩小后的图形， 再次体会图形放大、缩小时，每条边的长度都按相同的比变化。练习九第1题能使学生进一步清晰图 形放大、缩小的概念。方格纸上的⑤号图形是①号长方形放大后的图形，因为⑤号图形的长、宽分 别是①号图形长、宽的3/2；③号图形是①号长方形缩小后的图形，因为③号图形的长、宽分别是① 号长方形长、宽的1/2。而②号、④号图形与①号长方形比，各条边没有按相同的比变化，它们都不 是①号长方形缩小或放大后的图形。 根据图形的放大或缩小，可以写出许多关于线段长度的比。在例3 的情境中，长方形照片放大后与放大前的长的比是9.6∶6.4，宽的比是6∶4；放大前长方形长与宽 的比是6.4∶4，放大后长方形长与宽的比是9.6∶6。前面两个比在例1和例2里已经多次接触，例3 引导学生写出后面两个比，利用这两个比教学比例的意义。先分别计算6.4∶4和9.6∶6的比值，从 比值都是1.6得出这两个比相等，可以写成6.4∶4=9.6∶6或6.4/4=9.6/6，指出表示两个比相等的式 子叫做比例，突出比例是比值相等的两个比组成的等式。然后让学生思考放大后与放大前两张照片 长的比和宽的比也能组成比例吗，经历写出比、算比值、发现比值相等、组成比例的过程，体会比 例的意义。“练一练”的四组比中，如果同组的两个比的比值相等，就可以组成比例；如果比值不相 等，两个比就不能组成比例，进一步巩固比例的概念。 长方形放大后与放大前的长的比和宽的比相等， 是例1教学的图形 放大的含义。在例3中，又发现长方形放大前长与宽的比和放大后长与宽的比相等，从新的视角体会 了图形放大的含义。例3既从放大前长与宽的比和放大后长与宽的比组成比例，又从放大后与放大前 长的比和宽的比组成比例，引导学生利用比例的意义进一步完善图形放大的概念。 除了图形放大与缩小，从常见的数量关系中也能找到比例。练习 九第3题，一辆汽车上午行驶的路程和时间的比与下午行驶的路程和时间的比能组成比例。第7题购 买同一种铅笔，总价与数量的比能组成比例；大小不同的正方形，周长与边长的比能组成比例。这 些素材能加强对比例的理解，还为以后教学正比例作了铺垫。 2．联系实际，发现和应用比例的基本性质。 例4教学比例的基本性质，大致分五步进行： 第一步在按比例缩小三角形的情境中写出一些比例，为研究比例的基本性质准备充分的素材；第二步教学比例的内项和外项，这是认识比例基本性质必须具备的概 念；第三步观察已经写出的几个比例，初步发现比例的两个外项的积等于两个内项的积；第四步重 新写出一些比例，看看是否具有同样的规律，并在字母表示的比例上概括这样的规律；第五步指出 发现的规律是比例的基本性质，并在写成分数形式的比例上体会这一性质。 把三角形按比例缩小，联系图形缩小的含义，学生可能想到缩小 后与缩小前两个三角形底的比和高的比相等，或者高的比和底的比相等，还可能想到缩小前、后每 个三角形底与高的比相等， 或者高与底的比相等。 于是， 在交流时出现四个不同的比例。 教材指出3∶ 6=2∶4里的3和4是比例的外项，6和2是比例的内项，让学生说说其他三个比例的内项和外项各是几。 学生容易发现，如果6和2同时做比例的外项，那么3和4是比例的内项；如果6和2同时做比例的内项， 那么3和4是比例的外项，从而体会这几个比例两个外项的积等于两个内项的积。再写出一些比例， 看看是否有同样的规律，检验前面四个比例的规律是不是适用于所有的比例。通过更丰富的实例， 进一步体会两个外项的积等于两个内项的积是所有比例的共同规律。在此基础上，把比例用字母表 示成a∶b=c∶d，写出a×d=b×c，概括了上面的规律，通过符号化的方式表示了比例的基本性质。 “试一试”应用比例的基本性质，判断3.6∶1.8和0.5∶0.25能否组 成比例。思考线索应该是： 如果这两个比能够组成比例， 那么3.6×0.25的积与1.8×0.5的积 应该相等；如果这两个比不能组成比例，那么3.6×0.25的积与1.8×0.5的积不相等。于是分别计算 3.6×0.25和1.8×0.5，并比较两个积的大小。“练一练”是“试一试”的延伸，由于6×12=4×18，所 以6、4、18和12这四个数能组成比例。而4、5、6和8这四个数不能组织积相等的两个乘式，因而它 们不能组成比例。把6、4、18和12组成比例，可以把6和12同时作外项，4和18同时作内项，也可以 把6和12同时作内项，4和18同时作外项，一共能写出8个不同的比例。对于每个学生来说，只要求写 出一个比例，并在交流时知道还能写出其他比例，不要求每个学生都写出8个比例。 例5应用比例的知识解决图形放大的实际问题， 包括根据图形放大 的含义列出比例，以及利用比例的基本性质解比例两个内容。先根据“照片放大后与放大前长的比和 宽的比能组成比例”这个知识写比例，发现要写的比例里有三个项是已知数，另一个项是未知数，于 是想到把放大后照片的宽设为x厘米，列出比例解决问题。这个比例也是一个方程，教材写出了解方 程的第一步6x=13.5×4，让学生思考这一步计算的依据是什么，体会这里应用了比例的基本性质， 最后还指出求比例中的未知项叫做解比例。 “试一试”解写成分数形式的比例，进一步熟悉比例的内项和外项。 已经写出“1.2x=”引导学生应用比例的基本性质，体会这是解比例的关键步骤。“练一练”解分别由整 数、分数或小数组成的三个比例，要应用整数、分数或小数的乘、除计算。教材里没有出现分数与 小数共同组成的比例，是因为《标准》不要求进行分数与小数的乘、除计算。 3．以图形的放大、缩小为基础，教学比例尺。 平面图是把现实的平面按一定比例缩小绘制成的，从平面图想像 实际平面的数学活动是把图形放大，比例尺刻画了平面图和实际平面之间的放大、缩小关系。 例6教学比例尺的意义， 首先要让学生在实际情境中识别实际距离 和图上距离，这些是与比例尺有关的概念。其次分别写出草坪长的图上距离和实际距离的比，宽的 图上距离和实际距离的比。在写比的时候，要指导学生统一图上距离与实际距离的单位，便于写比 和化简比。通过交流，体会把实际距离改写成以厘米为单位的数量，写出的是整数比，把图上距离 改写成以米为单位的数量，写出的是小数比，前者比后者更方便一些。例题的教学重点是建立比例 尺的概念，先指出图上距离和实际距离的比叫做平面图的比例尺，由于学生已经两次写出这样的比， 所以建立比例尺的概念是感性认识的抽象提升；再用数量关系式进一步表达比例尺的意义和计算方 法，教材里同时出现“图上距离∶实际距离=比例尺”和“图上距离/实际距离=比例尺”。 比例尺1∶1000表示图上距离是实际距离的1/1000， 实际距离是图 上距离的1000倍，这是对比例尺1∶1000的意义作出的具体解释。教材让学生说出这些关系，进一步 体会比例尺的意义。从图上距离与实际距离间的倍数关系，还能得到图上距离1厘米表示实际距离10 米，这就引出了比例尺的另一种表示形式――线段比例尺。数值比例尺和线段比例尺都是比例尺的 表示形式，它们可以相互转化。例题从数值比例尺引出线段比例尺，“练一练”第1题分别解释数值比 例尺与线段比例尺的具体含义，两种形式的比例尺之间的关系就能得到沟通。第2题求平面图的比例尺，学生在例题里进行过写出图上距离与实际距离的比并化简的活动，应该有能力独立完成这道题。 例7已知平面图的比例尺以及明华小学到少年宫的图上距离， 求两 地之间的实际距离。由于学生对比例尺1∶8000的意义会有不同的解释，因而可能出现不同的解题思 路和方法。 有的学生会从图上距离与实际距离的倍数关系进行思考,有的学生会把数值比例尺转换成 线段比例尺，列式和计算比较方便。例题还引导学生用解比例的方法解题，表示比例尺意义的数量 关系式是列比例依据的相等关系。“试一试”里根据已知的比例尺和实际距离，求图上距离。虽然已 知条件和要求的问题与例题不同，但解题思路是一致的，对比例尺的意义作出具体解释是思考的关 键，教材允许学生按自己的思路选择解法。要注意的是，“试一试”要求在例7的平面图上表示出医院 的位置，算出学校到医院的图上距离后解题并没有结束，还要在学校正北方3厘米处作个记号表示医 院，并在学校与医院之间连条线段。 4．进一步研究图形放大，发现面积与长度变化的关系。 《面积的变化》分三段设计实践活动。第一段的活动有：分别测 量放大前、后两个长方形的长和宽，根据图形放大的含义写出对应边长的比；估计两个长方形面积 的比；利用测量得到的边的长度计算两个长方形的面积比。这一段活动的目的是进一步巩固图形放 大的概念，体会图形放大，面积扩大的倍数与边长扩大的倍数是不相同的。第二段的活动有：依次 测量正方形、三角形、圆放大前、后的有关长度；分别计算各个图形放大前、后的面积，把长度与 面积的数据填入教材的表格里；研究图形放大后与放大前的边长比与面积比之间的关系。这一段活 动要通过几个实例的研究，发现图形放大，面积扩大的倍数是长度扩大倍数的平方。第三段在东港 小学的校园平面图里选择一幢建筑或一处设施，测量图上的长度，算出实际占地面积，应用前面发 现的规律。因为这幅平面图的比例尺是1∶1000，实际距离是图上距离的1000倍，所以实际面积是图 上面积的倍数就是1000的平方，计算必须细心，防止错误。当然，也可以利用图上距离与比例尺， 先算出实际距离，再计算实际面积。不过，这种方法没有应用发现的规律，要尽量引导学生采用前 一种方法，体验发现规律的乐趣和应用规律的意义。第四单元《确定位置》教材分析在前面的教材里已经多次教学确定位置的知识。 一年级（上册） 用上、下、前、后、左、右描述物体的相对位 置。 二年级（上册） 用“第几排第几个”的形式描述物体所在的位置。 用东、南、西、北描绘物体所在的方向。 二年级（下册） 认识东北、东南、西北、西南等方向。用方向 词描述行走路线。 五年级（下册） 用“数对”确定物体在平面上的位置。 本单元要从方向和距离两个方面确定物体所在的位置，联系已有 的方向经验，应用度量角和画角的方法，以及比例尺的知识，进一步了解方向、体会距离，发展空 间观念。本单元是根据《标准》要求，在小学数学里新增加的教学内容，确定位置涉及的知识、技 能比较多，教学有一定的难度。为此，编排三道例题和一个练习，让学生逐步掌握新的方向知识， 学会比较精确地表示物体所在的位置。还安排一次《实际测量》为内容的实践活动。 1．在已有方向知识的基础上，教学新的确定位置方法。 例1要用“北偏东30°方向6千米处”表示灯塔1相对于轮船的位置。 其中“北偏东30°”描述了灯塔1所在的方向，“北偏东”是新的方向概念，“6千米”讲的是灯塔1离轮船 的距离。例题教学的确定位置是方向与距离的复合概念，可分成四步进行教学。第一步呈现一艘轮 船向正北方向航行的情境图，让学生看出图中的灯塔1在轮船的东北方向，灯塔2在轮船的西北方向， 激活已有的方向经验。第二步教学“北偏东”“北偏西”两个方向知识。生活中经常使用东、南、西、北四个主要方向，以及东北、东南、西北、西南四个辅助方向。航海时除了使用正东、正南、正西、 正北以外还使用北偏东、北偏西或者南偏东、南偏西的方式表示方向。例题结合轮船航行的情境图， 指出东北方向叫做北偏东、西北方向叫做北偏西，帮助学生联系已有的方向知识，初步建立两个新 方向词的概念。第三步根据情境图上灯塔1和轮船的连线与正北方向的夹角30°方向，把灯塔1所在 方向说成“轮船的北偏东30°方向”，让学生进一步感受“北偏东”的含义，体会北偏东30°比较清楚 地描述了物体所在的方向。 第四步利用情境图上的比例尺和图上距离， 算出轮船到灯塔1的实际距离， 从而知道灯塔1在“轮船的北偏东30°方向6千米处”。通过上面的分析可以看到例题的教学线索，在 原有方向知识的基础上先建立“北偏东”的概念，再陆续添上偏东的度数和相应的距离，突出“知道了 物体的方向和距离，就能确定位置”这一思想方法。 “练一练”以例题情境图中的灯塔2为具体对象提出了两个问题，先 看图说出灯塔2相对于轮船的方向，再算出灯塔2到轮船的实际距离。在描述灯塔2的位置时，引导学 生把西北方向说成“北偏西”。在分别解决了两个问题后，最好让学生把方向和距离结合起来，完整 地说出灯塔2相对于轮船的方向和距离，巩固例题教学的确定位置的知识和方法。 练习十二第1、2题配合例1的教学，第1题从北偏东、北偏西带出 南偏东和南偏西，还要根据学校到少年宫的距离500米，看出学校到其他场地的实际距离。第2题要 量出从正北方或正南方向东、向西“偏”的角度，还要量出图上距离并计算实际距离。这两题在练习 知识与技能的同时，进一步体验方向和距离是确定位置的两个要素。 2．根据实际的方向和距离，在平面图上表示出相应的位置。 例2里的“北偏东40°方向20千米处”是清凉岛相对于灯塔的方向 和实际距离，在平面图上指出清凉岛的位置，需要画出“北偏东40°”这个方向，还要表示出相当于 实际距离20千米的图上距离。教材在安排学生讨论之后，利用小卡通的对话，突出了解决问题的思 路。 在平面图上确定北偏东40°的方向，要根据“北偏东”的含义，以 表示灯塔的点为顶点，正北方为角的一条边，用量角器偏东40°画出角的另一条边。确定灯塔和清 凉岛间的图上距离，只要应用线段比例尺的意义“图上1厘米表示实际5千米”就能算出。让学生在教 材的平面图上画出清凉岛的位置，还要给予三点指导：一是“北偏东40°”的射线要画得轻一些、细 一些；二是在射线上找到清凉岛的位置，可以用一个圆点表示并在旁边标注“清凉岛”；三是把灯塔 与清凉岛间的线段适当描粗一些，把射线的多余部分擦干净。 “试一试”在平面图上表示南偏西30°方向15千米处的红枫岛，起 巩固例2教学内容的作用。“练一练”里的两个问题分别应用例1和例2里的知识，要注意的是，如果把 提供的数值比例尺1∶6000转化成线段比例尺“图上1厘米表示实际60米”，这两个问题的解决会更方 便。练习十二第3~5题是配合例2编排的。第3题的图中已经标出了北偏东30°、北偏东60°，北偏西 30°、北偏西60°，南偏东30°、南偏东60°，南偏西30°、南偏西60°等方向，还标出了机场四 周10、20、30……60千米的图上距离。要充分利用这道题形成用方向和距离确定位置的初步技能。 可以分两步练习：第一步在平面图上任意找几条射线与圆的交点，说说这些点相对于机场的方向和 实际距离；第二步在平面图上标出B、C、D、E四架飞架的位置。第4题练习使用量角器和直尺等工具 画图，还要应用线段比例尺正确而便捷地得出各个实际距离相应的图上距离。第5题是综合性练习， 以学生喜欢的素材为问题的现实背景，既要看图说出1号、2号运动员落地的实际位置，还要画出3 号运动员在图上的落地点。相对于靶心的落地方向，图上和实际是完全一致的，而落地距离则要进 行图上距离和实际距离的换算。 3．应用确定位置的知识，描述行走的路线。 例3在平面图上用箭头示意了李伟从家到学校的行走路线， 要求说 出图示的行走方向和路程，在现实的情境中应用确定位置的知识。教学时首先应让学生明白，要有 条理地说出从家出发向什么方向走多少米到达哪里，再向什么方向走多少米到达哪里……最终到达 学校。然后鼓励学生把自己的想法在小组里交流，有的学生在描述时可能应用以前教学的“东北方 向”，有的学生在描述时可能应用现在教学的“北偏东60°方向”，这些描述都清楚地说出了李伟上学 行走的路线。但是，要提醒学生注意平面图中给出了一些角的度数，用“北偏东60°”描述行走方向 比“东北方向”精确。李伟放学回家的行走路线与上学的路线刚好相反，不仅行走的方向相反，而且 途经的标志性建筑的次序也相反。 说说回家路线有利于知识、 技能的理解与掌握， 如图中有两个60°的角，一个角用于描述上学路线，另一个角用于描述回家路线。另外，从上学路线到回家路线能体 会“倒推”的思想方法，发展解决问题的策略。 练习十二第6、7题配合例3的教学。第6题讲述5路公共汽车的行驶 路线，途中的车站较多，方向变换频繁。教材把整条行驶路线分成两段，先说从火车站出发到公园 的路线，再说由中心广场到体育馆的路线，每段说的路线不是太长，符合小学生的年龄特点，也便 于教学及时评价和纠正错误。这道题不要求描述汽车从体育馆返回火车站的行驶路线，因为路线图 中缺少表示返回方向的角的度数。 4．在实践活动中实际测量相隔较远的两点间的距离。 尺是度量长度的工具。无论直尺还是卷尺都很难直接度量相隔较 远的两点间的距离，一般把较远的距离分成若干段，用尺量出各段的实际长度，相加得到两地间的 距离。为此，先要通过两点测定一条直线，然后沿着这条直线测量长度。实践活动《实际测量》着 重引导学生测定这样的一条直线。教材呈现了三名学生在A、B两点间测定直线的情境，两名男孩各 把一根标杆竖直插在A点和B点，一名女孩在A、B之间的C点和D点依次插标杆。只要四根竖直的标杆 插的地点A、B、C、D在同一条直线上，那么A、B之间的距离就可以分成AC、CD、DB三段度量，戴帽 的男孩正在观察并指挥调整，利用四根标杆在A、B之间测定一条直线。教材引导学生看懂情境图， 体会图中的三人分别在做什么，尤其是戴帽子的男孩是怎样判断四根标杆在不在同一条直线上的。 然后用这样的方法在操场上开展类似的实践活动。 这次实践活动里还有步测和目测。步测要知道步长，步长一般不 采用量一步有多长的方法获得，而通过“路程÷步数=平均步长”算得。教材指导学生选一段距离走三 次，通过填表计算平均步长，这一段距离不能过短，也不必过长，一般20米左右就可以了。由于步 测是按平时走路的步子测量某些长度，所以要用自然均匀的步子在这段距离上走三次，以平均每次 走的步数求得的平均步长比较接近常态。目测只能估计两点间的距离，往往与实际距离有较大的误 差。教材只是介绍练习目测的方法，让学生在实践中体会，尝试着进行一些目测。第五单元《正比例和反比例》教材分析本单元在学生具有比和比例的知识，认识常见数量关系的基础上 编排，通过对两个数量保持商一定或积一定的变化，理解正比例关系和反比例关系，渗透初步的函 数思想。正比例和反比例历来是小学数学里的重要内容之一，与过去的教材相比，本单元进一步加 强正、反比例的概念教学，突出正比例关系的图像及简单应用，重视正、反比例与现实生活的联系， 淡化脱离现实背景判断比例关系，不安排应用正、反比例关系解决实际问题。全单元编排三道例题 和一个练习，前两道例题都是关于正比例的，分别教学正比例的意义和图像，后一道例题教学反比 例的知识。 1．抽象实际事例中的数量变化规律，形成正比例的概念。 例1让学生初步感知“两种相关联的量”以及“成正比例的量”的含 义。列表呈现了一辆汽车行驶的路程和时间，通过写出几组对应的路程和时间的比并求比值，发现 各个比的比值都是80，理解80是这辆汽车每小时行驶的千米数，由此得出数量关系路程/时间=速度 （一定）。在数量关系中，路程比时间等于速度是旧知识，速度“一定”是这个问题情境里的规律， 是正比例概念的生长点。 教材先指出路程和时间是两种相关联的量， 用“时间变化， 路程也随着变化” 具体解释两种量的“相关联”。再指出这辆汽车行驶的路程和时间的比的比值总是一定，可以说路程 和时间成正比例，它们是成正比例的量，学生在这里首次感知了正比例关系。 “试一试”在另一组数量关系中继续感知正比例关系，购买铅笔数 量和总价的表格里有三个空格，先计算买4枝、5枝、6枝这种铅笔的总价，让学生体会铅笔的单价每 枝0.3元是不变的，总价是随着数量变化而变化的，总价与数量是两种相关联的量。然后依次回答其他三个问题，得出“铅笔总价和数量成正比例”的结论，并用式子总价/数量=单价（一定）作出解释。 “试一试”的认知线索与例1相似，留给学生自主活动的空间比例1大，使学生对正比例关系的体验更 深刻。 学生在上面两个实例中感知了正比例的具体含义，教材第63页要 形成正比例的概念。抽象概括正比例的意义是概念形成的重要环节，也是发展数学思考的极好机会。 首先用字母表示数量，每个实例里都有两个相关联的量，分别是路程和时间或者总价与数量，两个 量的比的比值分别是速度和单价，因而用字母x和y表示两种相关联的量，用k表示它们的比值；然后 把路程/时间=速度（一定）、总价/数量=单价（一定）表示成y/x=k（一定），并指出正比例关系可 以用这个字母式子表示。用抽象的字母组成的式子表示正比例关系是认知难点，教学要联系两个实 例，引导学生经历“字母表示具体的数量?字母式子表示常见数量关系?字母式子表示正比例关系” 的过程，加强对式子y/x=k（一定）的理解。 “练一练”判断生产零件的数量和时间成不成正比例，是把正比例 概念具体化，利用概念进行演绎推理。具体地说，是分析这个情境里的生产零件数量和所用时间的 比的比值是否始终保持一定，如果具备y/x=k（一定）这种关系，两种相关联的量成正比例，否则就 不成正比例。学生在第62页“试一试”里已经进行过这样的分析和判断，那时是依据连续的四个问题 进行的，现在要求他们独立开展有条理的推理活动，进一步理解正比例的意义，掌握判断两种量成 不成正比例的方法。练习十三第1~3题配合例1的教学，第3题判断正方形的周长与边长、面积与边长 成不成正比例。可以根据表格里填的数据进行推理，因为周长与边长的比4/1、8/2、12/3、16/4的 比值都是4，面积与边长的比1/1、4/2、9/3、16/4的比值不相等，所以正方形的周长与边长成正比 例，面积与边长不成正比例。也可以根据正方形的周长公式和面积公式推理，从“边长×4=周长”可 以得到周长与边长的比的比值是确定的数4，即周长/边长=4（一定），所以正方形的周长与边长成 正比例。从“边长×边长=面积”可以知道，面积虽然随着边长的变化而变化，但是面积与边长的比的 比值是变化的量，即面积/边长=边长，所以正方形的面积与边长不成正比例。前一种思考对问题进 行具体的分析，适宜大多数学生的实际水平，也符合《标准》的要求。后一种思考没有利用数据信 息，推理的难度较大，不必对学生提出这样的要求。教材设计这道题的意图是进一步使学生理解正 比例的意义，突出正比例概念的内涵：两种相关联量的比的比值保持一定。 2．用图像直观表达正比例关系。 例2是按照《标准》的要求“根据给出的有正比例关系的数据在有 坐标系的方格纸上画图，并根据其中一个量的值估计另一个量的值”编排的，设计的三个问题体现了 教学正比例图像的三个步骤。第一步认识图像上的点，按照“A点表示1小时行80千米”“B点表示5小时 行400千米”说出其他各点的具体含义，体会各个点都表示汽车在某段时间所行驶的路程，也体会这 些点是根据对应的时间与路程的数据在方格纸上画出来的。第二步认识图像的形状，从图中描出的 点在一条直线上，体会正比例关系的图像是一条直线。了解正比例图像是直线对以后画图能起两点 作用：一是画正比例关系的图像（如第64页“练一练”），可以根据提供的各组数据描出图像的许多 个点，再依次连成直线；二是如果按正比例关系画出的点不在同一条直线上，表明画点出现了错误， 应及时纠正。第三步应用图像，估计行驶时间所对应的路程或者行驶路程所用的时间。要指导学生 利用画垂线或画平行线的技能，尽量使得数准确些。如估计2.5小时行驶的千米数，要在横轴上找到 表示2.5小时的点，过这点画横轴的垂线，得到垂线与图像的交点，再过交点作纵轴的垂线，根据垂 足在纵轴上的位置估计行驶的路程。 练习十三第4、5题配合例2的教学。判断实际问题里相关联的两种 量成不成正比例有两种思路，一种是看画成的图像，如果图像是一条直线，那么两种量成正比例； 如果图像不是一条直线，那么两种量不成正比例。另一种是根据正比例的意义，利用各组对应的数 据写出比、求比值，从比值是否相等作出成不成正比例的判断。教学时要引导学生应用后一种思路， 在判断活动中加强对概念的理解。 3．调动学生的积极性与数学活动经验，教学成反比例的量。 例3教学反比例的意义，安排的教学活动线索和例1十分相似。在 表格里可以看到笔记本的单价在变化，购买的数量也在变化，而且每组相对应的单价和数量的乘积 都是60，这不仅是算得的，还和题目里的“用60元买笔记本”相一致，因此用数量关系式“单价×数量 =总价（一定）”表示这个问题情境里两个变量的变化规律。在此基础上指出单价和数量是两种相关联的量，它们成反比例，是两个成反比例的量。“试一试”先把表格填写完整，在填表时体会工地要 运的72吨水泥是确定的。然后思考三个问题，抓住每天运的吨数与需要的天数的乘积是多少，乘积 表示什么数量以及问题情境的数量关系式，从每天运的吨数×天数=运水泥的总吨数（一定），理解 每天运的吨数和需要的天数成反比例。通过上面四个实例的研究，学生初步感知了反比例的含义， 于是用字母x、y表示两种相关联的量，用k表示两个量的乘积，把反比例关系表示成x×y=k（一定）， 形成反比例的概念。 学生认识正比例意义时的数学活动经验可以迁移到反比例意义的 学习中来，教学时要给学生多提供一些独立思考和合作交流的机会。如让学生观察例3的表格、填写 “试一试”的表格，发现表格里的变量，解释两个变量的“相关联”；让学生联系已有的数量关系，研 究总价与数量、每天运的吨数与需要的天数的变化，通过计算发现总价总是60元，一共运水泥的吨 数总是72；让学生写出单价、数量和总价，每天运的吨数、需要的天数和运水泥总数的数量关系式， 说说总价一定、运水泥的总吨数一定的理由；让学生阅读教材第65页关于单价和数量成反比例的那 段话，交流自己的理解和体会；让学生试着用字母x、y、k表示反比例关系…… 练习十三第6~8题配合例3的教学，重温认识反比例的过程，应用 概念进行判断，从而加强对反比例的理解。第8题在方格纸上分别呈现了三个面积都是12平方厘米的 长方形、三个周长都是14厘米的长方形，看图在表格里填出各个长方形的长与宽。前三个长方形的 长乘宽分别是12×1=12、6×2=12、4×3=12，即长×宽=面积（一定），得到的结论是长方形的面积 一定，长与宽成反比例。后三个长方形的长乘宽分别是6×1=6、5×2=10、4×3=12，这些周长相等 的长方形，长与宽的乘积不相等，所以长方形的周长一定，长与宽不成反比例。教学这道题要让学 生经历得出结论的过程，强化对反比例概念的理解。第9~13题是综合练习，练习内容包括成正比例 的量与成反比例的量的比较，成比例的量与不成比例的量的比较，比例尺与正比例关系，还要寻找 生活中成正比例的量或成反比例的量的实例。编排这些练习，要通过比较与判断进一步使学生清晰 地理解概念，掌握成正、反比例的量的变化规律；要联系正比例的概念体会比例尺的意义，形成新 的认知结构；要体验生活中经常看到成正比例的量与成反比例的量，培养数学意识。第六单元《解决问题的策略》教材分析本单元教学转化的策略。转化是解决问题时经常采用的方法，能 把较复杂的问题变成较简单的问题，把新颖的问题变成已经解决的问题。转化的手段和具体方法是 多样而灵活的，既与实际问题的内容和特点有关，也与学生的认知结构有关，掌握转化策略不仅有 利于问题的解决，更有益于思维的发展。 本单元编排两道例题和一个练习， 通过例1的教学让学生联系实际 感悟转化的含义，体会无论在过去还是现在，转化都是解决问题的有效方法。例2在解决较复杂的分 数问题时应用转化策略，进一步体验转化的意义。要指出的是，与前几册教材教学的倒推、置换等 策略相比，转化策略的应用更为广泛，两道例题与练习十四涉及的数学内容也更丰富。本单元的教 学不以学生能够解决教材里的各个问题为目的，而在于学生对转化策略的体验与主动应用。具有初 步的转化意识和能力，对以后的学习与解决问题将会产生十分积极的作用。 1．回忆经历过的转化活动，初步感悟转化。 学生在以前的数学学习中虽然经常进行转化，但是他们对转化活 动的体验还处于无意识的状态。例1通过回忆曾经进行过的转化，引导学生体验转化。首先比较方格 纸上两个图形的面积，这两个图形都不是简单的图形，直接看出面积是不是相等有困难，用数方格 的方法求面积很麻烦。如果把两个图形都转化成长方形，就能从转化后的两个长方形完全相同，知 道原来的两个图形面积相等。教材让学生在直观的情境中想到转化，并应用图形的平移和旋转知识 进行图形的等积变形，体会转化的含义和应用的手段，感受转化在解决这个问题时的价值。然后回 忆以前学习中曾经进行过的转化，除了探索图形面积公式时的转化、计算小数乘法和分数除法时的转化，学生还能想到许多具体的事例。通过回忆和交流，意识到转化是经常使用的策略，从而主动 应用转化的策略解决问题。 “试一试”引导学生把1/2+1/4+1/8+1/16转化成1-1/16计算。学生 看到原题会想到先通分再相加，为了促成转化，教材提出把原来的算式转化成另一个算式的要求， 并给出图形帮助转化。教学这道题要注意三点：一是让学生在直观图形的启发下，独立进行转化。 二是在交流时展开转化的思考过程，要数形结合解释图意，图中的正方形表示1，1/2+1/4+1/8+1/16 的和就是正方形里涂色部分的大小。还要突出算式转化是根据“涂色部分的大小等于1减空白部分的 差”进行的。三是体会把原题转化，使计算简便了，让学生带着对转化的良好体验进行“练一练”的练 习。 “练一练”的关键是理解右边图形右上方的折线的长度等于长方形 的一条长与一条宽的和，可以通过折线中的4条线段分别向右或向上平移帮助理解。在小组里说说解 题的策略，交流转化策略在解决这个问题时的具体应用，体会转化使复杂问题变得简单了。 2．转化要利用概念进行推理。 例2解答较复杂的分数应用题， 按本册教材第一单元教学的解题思 路，设女生有x人，男生就是2/3x人，可以列出方程x+2/3x=35解答。如果把“男生人数是女生的2/3” 转化成“女生人数是美术组总人数的3/5”，那么，根据分数乘法的意义，列算式35×3/5能很快算出 女生人数。教材预设学生主动想到这样转化是有困难的，所以指出了转化的方向：如果把“男生人数 是女生的2/3”转化成女生人数是美术组总人数的几分之几，就可以直接用乘法计算，让学生在“已知 美术组的人数，求女生人数”这个问题情境中体会这样转化是解决问题的策略。教材放手让学生自主 开展具体的转化活动，凭借对“男生人数是女生的2/3”的理解，或是把2/3看作男、女生人数的份数 关系，或是把2/3看作男、女生人数的比，都能通过推理得到女生人数是美术组总人数的3/5。“练一 练”把美术组人数是合唱组的5/8理解成美术组人数和合唱组人数的比是5∶8，就能转化成合唱组人 数是美术组的8/5，于是不再用列方程的方法，而利用分数乘法较快地算出合唱组的人数。 需要再次指出，例2和“练一练”都先向学生提示转化的方向，再让 他们开展具体的转化活动。这就表明，教学不以这些分数应用题的一题多解为目的，而是以体会转 化策略，培养推理能力为教学要求。 3．在丰富的题材里灵活应用转化策略。 为了让学生更好地体验转化策略，练习十四选择了丰富的题材， 引导学生进行转化。 第1题是解决问题方法的转化， 从数出比赛的场次到算出比赛的场 次。在16支球队比赛的示意图上，不仅可以数出一共要进行15场比赛，还能看到第一轮先进行8场比 赛淘汰了8支球队，第二轮再进行4场比赛淘汰4支球队，第三轮又进行2场比赛淘汰2支球队，最后进 行1场比赛淘汰1支球队，即每场比赛淘汰1支球队。从而理解16支球队中只有1支球队是冠军，其他 15支球队都要先后被淘汰，所以一共要进行16-1=15（场）比赛。照此类推，64支球队参加比赛，产 生冠军要进行64-1=63（场）比赛。 第2、3题是图形保持面积不变或周长不变前提下的形状转化。第2 题的第三个图形稍难些，如果像下图那样，分别绕A点和B点把两个直角三角形顺时针旋转90°，转 化后的涂色部分刚好占10个小方格，是正方形的10/16即5/8。 第3题的第二个图形的周长正好与半径4厘米的圆的周长相等，下 图是转化时的思考。 第4~6题是数量关系的转化。第4题如果把第一堆的黑子与第二堆 的白子互换，那么第一堆就全部是白子，第二堆全部是黑子。第5、6题在图形的帮助下，进行分数 的转化困难不会很大。和例2一样，这两题的转化方向是由题目提示的。 第七单元《统计》教材分析在前面的教材里，学生已经认识了条形统计图和折线统计图， 能够利用这些统计图表示数据及变化态势；初步理解了平均数的意义，会求一组数据的平均数，能 够应用平均数对数据进行分析、比较。本单元教学扇形统计图、众数和中位数，扇形统计图过去是 选学内容，现在是基本的教学内容，而众数和中位数是根据《标准》的要求新增加的教学内容。扇 形统计图能直观地表示出各个部分的数量分别是总数量的百分之几，众数和中位数都是统计量，在 平均数不能有效地反映出一组数据的基本特点时，往往选用众数或中位数来表达数据的特点。因此， 本单元的教学能进一步提高学生表示数据、分析数据的能力。教材编排了四道例题和两个练习，例1 和练习十五主要教学扇形统计图的知识，例2至例4以及练习十六教学众数和中位数的知识。 1．以百分数的知识为基础，教学扇形统计图。 例1教学扇形统计图，分两步进行。第一步从整体到部分认识扇 形统计图，让学生观察我国陆地地形分布情况统计图，体会图中的数据信息的具体含义，理解这张 统计图用一个圆表示我国陆地的总面积，用五个扇形分别表示平原、盆地、高原、丘陵、山地各占 国土总面积的百分之几。由于五种地形所占总面积的百分比不同，所以五个扇形的大小不同。教材 及时指出，这样的统计图叫做扇形统计图，它能清楚地表示出各部分的数量与总数量之间的关系。 经过这一步教学，学生知道扇形统计图与条形统计图、折线统计图相比，不仅形状不同，而且表达 的数据内容也不相同。第二步根据已知的我国国土总面积，利用扇形统计图里的数据，分别算出五 种地形的面积并填入统计表，进一步体会扇形统计图的特点。由于计算比较复杂，所以使用计算器。 教学扇形统计图，要理解图中的百分数的具体含义，并利用这 些百分数进行相关的计算，不要求学生制作扇形统计图。“练一练”和练习十五根据教学要求，设计 了两方面的练习内容。 一是从统计图中各个扇形的大小以及表示的数据出发， 进行分析与解释。 如“练 一练”第1题看图说出7月份哪项支出最多。第2题从我国的国土只占世界的7%，人口却占世界的22%， 想到我国人均占有的土地比较少，人口密度很大。练习十五第1题通过对应数据的比较，判断哪天的 食物搭配比较合理。 二是看图估计或计算， 如练习十五第2题根据拼盘里的花生米所占面积的百分比， 估计其他干果各占面积的百分比。第3题分别计算我国四个海域的实际面积。 2．联系现实的素材，教学众数和中位数。 在一组数据中出现次数最多的那个数，是这组数据的众数。由 于众数在一组数据中出现的频率最高，所以众数反映了这组数据的集中情况。教学众数，要让学生 领会众数的意义，学会在一组数据中得出众数的方法。例2用表格呈现9个学生每人用20粒黄豆种子 做发芽试验的结果，先看表在括号里填数，感受发芽17粒的人数最多，有5人。然后把9个数据依次 排列，指出17出现的次数最多，是这组数据的众数。教学这一段内容，首先要形成正确的众数概念 ――数据中出现次数最多的那个数。在发芽结果的数据中，17出现了5次，17是出现次数最多的数， 5是它出现的次数，这组数据的众数是17，不是5。其次要知道求众数的方法――在一组数据中寻找 出现次数最多的那个数。不管这个数出现了几次，只要比其他数出现的次数多，它就是这组数据的 众数。例题还要求计算这组数据的平均数，联系实际比较平均数和众数的意义，体会它们是两个不 同的概念，进一步理解众数。 第79页“练一练”第1题通过找出一组学生的年龄的众数，巩固众 数概念和求众数的方法。第2题在解决实际问题时应用了众数，鞋店上周销售皮鞋中，25.5cm这个尺 码的皮鞋售出的双数最多，25.5是这组数据的众数，所以进货时要多一些这个尺码的男鞋。练习十 六第1题配合例2的教学， 男生身高的众数是153， 女生身高的众数是148， 10名男生里3人的身高是153 厘米，10名女生里5人的身高是148厘米，所以说女生身高的众数更能反映这组学生的身高情况，即 更具有代表性。这就是众数作为一种统计量，在描述一组数据特征时能起的作用。 一组数据按大小顺序排列，居于中间位置的那个数是这组数据 的中位数。如果这组数据的个数是单数，那么中位数是正中间的那个数；如果这组数据的个数是双 数，那么正中间的两个数的平均数才是这组数据的中位数。教材编排两道例题，分别教学这两种情 况。 例3要求学生评价7号男生的跳绳成绩在这组同学中的位置，有 的学生可能根据算出的平均每人跳117下，认为7号男生跳的比平均数少。有的学生可能把7号男生跳 的下数与其他男生比较，得出他的成绩是第三名。这些都是学生利用原有的知识、经验进行的比较。 为什么7号男生跳的下数比平均数少，成绩还是第三名？为了解决这个疑问，例题先教学中位数的知识， 指出把这组数据按大小排列， 正中间的一个数102是这组数据的中位数， 既揭示了中位数的含义， 又讲了求中位数的方法。再把7号男生的成绩与中位数比，看到尽管他跳的下数比平均数少，却比中 位数大，在这9个男生中的名次还是比较靠前的，初步体会中位数与平均数是两个不同的统计量。例 题还要学生思考为什么这组数据的平均数比中位数多得多， 这是由于2号和8号男生的成绩十分突出， 远远多于其他男生跳的下数，他俩的优异成绩使男生跳绳的平均数大了，而多数男生的跳绳成绩都 低于这个水平。所以，如果一组数据里存在特别大或者特别小的极端数据，平均数往往不能准确地 表达这组数据的整体状况，这时用中位数表示这组数据更合适。 例4求10个女生跳绳成绩的中位数，这组数据的个数是双数。教 材指出，正中间有两个数，中位数是这两个数的平均数，并要求学生算出这组数据的中位数，学会 求这种情况的中位数的方法。然后把各个女生的成绩分别与中位数比较，体会用中位数能评价每个 数据在整体里的地位。 “练一练”的教学不能偏重于求平均数和中位数，要把时间用在 第（2）、（3）两个问题的讨论上。9位同学家庭的住房面积中，有两个数据比其他数据小很多，所 以平均数比中位数低得多，用中位数代表9个家庭的住房水平比较合适。练习十六第2题的数据中，A 飞机的飞行时间只有8秒，比其他飞机少得多，一般用中位数表示这8架飞机的飞行水平。如果A飞机 不飞，其他飞机的飞行时间虽然有多有少，但差距不是很大，所以平均数和中位数比较接近，都能 代表这些飞机的飞行水平。第3题公司的经理、副经理的月工资比其他员工高出很多，教材让学生分 别算出公司员工月工资的平均数、中位数和众数，体会平均数比中位数、众数大得多，应该用中位 数或者用众数来反映这个公司的工资水平，进一步理解中位数与众数的实际应用。第八单元《总复习》教材分析本单元全面、系统地复习小学阶段教学的数学知识，既是全册 教材的一个重要单元，也是全套教材的重要组成部分。通过本单元的教学，圆满完成小学阶段的数 学教学任务， 为第三学段的教学打下扎实的基础。 总复习分“数与代数”“空间与图形”“统计与概率”“实 践与综合应用”四部分进行，前三部分先回忆重要的基础知识和思想方法，沟通知识之间的联系，整 理成合理的认知结构。再通过适量的练习，加强对知识的理解，形成必要的技能。第四部分综合运 用已有的知识和经验，经过自主探索和合作交流，解决与生活密切联系的、具有挑战性的问题，发 展解决问题的能力，培养应用意识。 1． “数与代数”领域。 “数与代数”领域的内容很多，为了便于复习，按数的认识、数 的运算、式与方程、正比例与反比例四节编排。 （1） 回忆学过的数，沟通整数、小数、分数的联系，突出数 的应用，重视培养数感。 在一~四年级教材里主要教学整数（严格地说是自然数），初步 教学小数和分数。五、六年级教材里初步教学负数，着重教学小数、分数和百分数。本单元编排数 的认识这一节，要复习这些数的意义，形成清晰的数概念。先让学生说说学过了哪些数，以及对这 些数和相互联系的认识，四个卡通的交流是学生的初步回忆，除此以外，学生还能说出分数的意义、 百分数的意义等知识。要帮助学生回忆学过的数，如自然数是在三年级（下册）教学的，如果学生 已经遗忘，可以由教师指出，让学生再认。又如负数是在五年级（上册）教学的，可以利用表示零 上温度、零下温度等实例，让学生体会负数比0小。再如复习分数意义，要突出单位“1”可以是一个 物体、一个图形、一个计量单位或者一个整体……在初步回忆的基础上，教材提出三个讨论题，进 一步梳理知识。 表示整数和小数都应用十进制计数法，在讨论题（1）里应该联系具体的整数和小数， 复习计数单位和数位的知识，理解相邻计数单位间的进率都是10；还要分析整数和小数的组成，体会十进制计数法，正确掌握读数方法。百分数只表示一个数是另一个数的百分之几，也就是只表示 两个数的比，不表示具体的数量。这既是百分数与分数的联系，也是它们的区别。讨论题（2）要联 系实例进行比较，如把1吨煤平均分成5份，用去其中的1份，用去了这些煤的1/5，是1/5吨。如果用 百分数来表示，只能是用去了这些煤的20%，不能说用去了20%吨。在小数的末尾添上0或者去掉0， 只改变小数的计数单位，不改变小数的大小。如0.50是50/100，而0.500是50０/是5/10。 小数的性质与分数的基本性质是一致的，可以用对应排列的两组等式来说明.讨论题（3）用分数的 基本性质说明小数的性质，能进一步理解小数意义以及小数与分数的联系。 练习与实践编排了14道习题，进一步复习数的知识。涉及的内 容有数的意义和表示方法，数的改写与求近似数，数的大小比较，通过移动小数点的位置计算一个 数乘（或除以）10、100、1000，因数与倍数的概念以及有关的知识。教学这些题要注意两点，一是 先让学生独立解答，再组织交流，进行必要的评讲。第1题要说说填数时的思考，利用直线下面的整 数， 理解负数是与正数意义相反的数， 是比0小的数； 利用直线上面的数理解真分数、假分数的意义； 把直线上、下的分数和小数联系起来，理解数之间的关系。第9题要体会改变大数的单位或求大数的 近似数，能方便对数的理解或读、写。第10题里包含许多概念，要理解素数与合数、奇数和偶数是 按不同标准对数进行分类，还要整理因数与倍数、公因数与公倍数的概念和相互关系。二是让学生 体会数的实际应用，发展数感。第3题解释车票和商品标识上的数的具体含义，第4题自主收集用数 表达的信息，能让学生体验数描述了生活中的现象、事物，感受用数表达和交流信息，既方便又准 确。第12题体会各组数的发展趋势，第13题借助直观图形进行估计，第14题结合图形感受数的大小， 这些题把发展数感落实到应用知识解决实际问题的过程中。 （2） 整理数的运算知识，培养计算能力和解决实际问题的能 力。 数的运算分两段复习，第一段复习四则计算，第二段复习四则 混合运算和运算律。 复习四则计算，先沟通整数、小数、分数的加、减计算法则之 间的联系。由于计算加、减法是把相同单位的数相加、减，所以计算整数加、减法要把相同数位对 齐，计算小数加、减法要把小数点对齐，计算分数加、减法要先通分化成同分母分数。再沟通小数 乘、除法与整数乘、除法的联系，突出计算小数乘、除法分别应用积的变化规律和商不变的规律转 化成整数乘、除法。还要沟通分数除法与分数乘法的联系，突出分数除法是应用倒数的知识转化成 分数乘法计算的。 第87页练习与实践从两方面培养计算能力， 一是通过第1~4题练 习口算、笔算和估算，使学生能正确计算，并具有验算的习惯。对口算的基本要求是：能计算百以 内的两位数加、减两位数以及相应的小数加、减法，能计算百以内的两位数乘一位数、两位数除以 一位数以及相应的小数乘、除法，能进行比较简单的分数四则计算。对笔算的基本要求是：能计算 三位数的加、减法及相应的小数加、减法，能计算三位数乘两位数、三位数除以两位数及相应的小 数乘、除法，能进行分数的四则计算。对整数四则计算的估算要求是： 把参与运算的数看作最接近的整百数或整十数，通过口算得到 结果大约是多少。 二是通过第5题学会从实际问题和自己的计算水平出发， 选择比较适宜的计算方式， 省力而高效地解决实际问题。对大多数学生而言，第（1）题可以口算，第（2）题可以估算，第（3） 题可以笔算，第（4）题可以使用计算器。个别学生解答第（2）题用笔算、第（3）题用口算也是允 许的。 复习运算顺序和运算律，先整理知识，再应用知识。整数、小 数、分数的四则混合运算顺序是相同的，可以分四种情况引导学生回忆，即算式中只有加、减法或 者只有乘、除法；算式中有乘、除法，也有加、减法，但没有括号；算式中有小括号；算式中有中 括号。整数、小数、分数的加法和乘法都存在运算律，教材要求学生举例说明并用字母表示，理解 各条运算律的内涵。第89页练习与实践第1、2题分别应用运算顺序进行四则混合运算和应用运算律 进行简便运算。第3题里既有按运算顺序计算的题，也有用运算律简算的题，让学生选择合适的方法 计算，从中可以获得两点体会：第一，运算顺序是进行混合运算的一般规则，而运算律能改变原来 的运算顺序；第二，简便运算是有条件地进行的，在计算时要认真审题，发现和利用可以简便计算 的条件与机会。练习与实践的另一个重点是解决实际问题，第4、5题是一般的两、三步计算的问题，第7~12题是分数、百分数的问题。教学第4、5题要整理解决问题的基本思路，利用条件之间、问题 与条件之间的联系分析数量关系，设计解题步骤。教学第7~12题要充分发挥一题多问或题组的作用， 通过比较、 梳理强化概念和解题思路。 如第7题比较各年级出勤率的算法， 进一步掌握百分率的知识。 第8题里的三个问题能进一步理解增加百分之几、节约百分之几的含义与数量关系。第9题分别求出 一、二、三等奖的奖券张数，能进一步强化求一个数的百分之几是多少的概念。第10题要沟通各种 百分数问题的内在联系，还要体会（1）、（2）两题在数量关系和解题方法上的不同。 （3） 复习式与方程的知识，发展解决问题的策略。 在这一节教材里，通过三个问题提取用字母表示数的经验，整 理方程与等式的联系和区别，回忆学过的等式性质，这些都用举例说明的方式进行。含有字母的式 子不仅能表示周长、面积、体积的计算公式，能表示运算律，还能表示常用的数量关系。练习与实 践第1题用字母表示数量关系，是列方程解决实际问题的基础，教学这道题要让学生说说式子里的字 母表示什么数量，式子表示什么数量，式子是根据什么数量关系写的，以及用字母表示数应遵循的 书写规则。第2题要解释解方程的过程，说说等式的两边同时加上或减去了几、同时乘或除以了几。 列方程是解决实际问题的常用方法，列方程的思考和列算式不同，要利用题目中最主要的数量关系 作为列方程的依据。第3~8题的重点是复习列方程解决问题的一般步骤，应突出解题的关键是找等量 关系。可以在学生独立解答之后，认真讨论各道题的等量关系，说说是怎样找的，交流寻找等量关 系的体会和经验，提高列方程解决问题的能力。 （4） 复习正比例和反比例，把握变化着的现象里的不变特征。 本节教材的复习内容分两段编排，先复习比与比例的知识，再 复习正比例与反比例。 复习比的知识抓住三点进行，一是举实例说说什么是比，既要 有两个同类数量的比，也要有两个不同类数量的比，使学生对比的含义有比较全面的理解。二是通 过改写a∶b，沟通比与分数、除法的关系，从除数不能是0体会分母、比的后项也不能是0。三是找 出比的基本性质、分数的基本性质、商不变的规律之间的内在联系，完善认知结构。练习与实践第 1~6题配合比与比例的复习，包括写出比、求比值、把比值相等的两个比组成比例，应用比例的基本 性质解比例和解答按比例分配的问题等内容。其中第2题如果测量准确、计算正确，各人的头长与身 高的比的比值、一庹长与身高的比的比值、脚长与身高的比的比值分别是接近的。要利用第3题里的 比组成比例，回忆比例的意义和性质，理解把照片①变成照片④是把图形按一定的比缩小，把照片 ④变成照片①是按一定的比把图形放大。 复习正比例和反比例，重点是它们的意义。教材让学生回忆判 断两种量是否成正比例或反比例的方法，重温正比例关系的特征是两种相关联变量的商保持一定， 反比例关系的特征是两种相关联变量的积保持一定。再通过第7、8题的判断，进一步巩固正比例和 反比例的概念。第9题复习正比例的图像，其中汽车行驶的路程和耗油量是否成正比例，要利用图像 找出几组相对应的数，组成比并求出比值，根据正比例的意义进行判断。 2． “空间与图形”领域。 “空间与图形”领域的内容分图形的认识、测量、图形与变换、 图形与位置三节编排复习，其中第一节里的形、体知识以及测量知识都比较多，又分平面图形、面 积计算、立体图形、体积计算四段编排。 （1） 分层复习图形知识，沟通平面图形间的联系。 复习图形知识按“线―角―形”的线索进行。 学生已经认识的线有直线、射线和线段。线段是二年级教学的， 只是联系线段的图形描述了它是直的，有两个端点，长度是可以度量的。直线和射线是四年级教学 的，通过线段向一端无限延长或向两端无限延长分别形成射线和直线的概念。复习直线、射线和线 段的特征，一方面要突出它们都是直的线，另一方面要清楚它们的区别在于有、无端点和有几个端 点。整理直线、射线和线段的关系，可以按以前的认知线索，通过线段的端点无限延长沟通联系， 体会线段是直线或射线的一部分。四年级（上册）教学的平行与相交，是同一平面内两条直线的常 见位置关系。如果两条直线相交成直角，则这两条直线互相垂直，垂直是特殊的相交。学生举例说 说同一平面内两条直线的位置关系，有可能只说出平行与垂直，也有可能说成平行、相交、垂直。 如果出现这些情况，应适当予以纠正。从一点向不同方向画两条射线，组成的图形是角。把一条射线 绕它的端点旋转，能形成大大小小的角。复习角的认识把这两种认识结合起来，“围绕角的顶点旋转 角的一条边”要先出现角的图形，指出它的顶点和两条边，然后使角的顶点和一条边固定不动，另一 条边旋转，让学生体会角的大小发生了变化，从而理解角的大小是它两条边的叉开程度。复习角的 分类可以分三步进行，第一步随着活动角从小到大地变化依次回忆锐角、直角、钝角、平角与周角。 第二步分别说出直角、平角和周角的度数，整理这三类角的大小关系。第三步描述锐角和钝角，突 出钝角大于90°、小于180°。 复习平面图形，先把学过的图形分成由线段围成的和由曲线围 成的两类，又把线段围成的图形按边的数量分成三角形、四边形、五边形……然后着重整理三角形、 四边形、圆的知识。 回忆三角形的知识时，出现了两张集合图。左边的图表示了三 角形的分类，曾经在四年级（下册）出现过，可以利用这幅图让学生说说三角形是怎样分类的，以 及各类三角形的特征。右边的图第一次在教材中出现，表示等腰三角形是特殊的三角形，等边三角 形是特殊的等腰三角形。因为等腰三角形具有三角形的基本特征（三条边、三个角），又有一般三 角形不具备的特征（两条边长度相等），所以它是特殊的三角形。而等边三角形具有等腰三角形的 主要特征（两边长度相等），还有它独有的特征（另一边的长度和两腰也相等），所以等边三角形 是特殊的等腰三角形。教材让学生思考，讨论“等边三角形也是等腰三角形吗”，体会右图里的一般 与特殊、整体与部分的关系，进一步理解三角形、等腰三角形、等边三角形这些概念的联系和区别， 建立正确的认知结构。教材还提出两个讨论题，在问题（1）里“任意两边的长度之和大于第三边”是 三角形的三边关系，也是三条线段能够围成三角形的必备条件。要引导学生注意“任意”的含义，并 应用到练习与实践第8题的解答中去。提出问题（2）有两个目的：一是进一步理解三角形的分类， 在直角三角形和钝角三角形里也都有两个锐角；二是复习三角形的内角和180°，用内角和的知识可 以解释一个三角形里最多有一个直角或一个钝角。 以前教学的四边形都是特殊的四边形， 先认识长方形和正方形， 再认识平行四边形与梯形，这是从学生生活经验和认知水平出发的安排。现在整理四边形的知识， 设计了一张反映这些特殊四边形的关系图，从图中可以看到，如果四边形的两组对边分别平行就是 平行四边形；如果只有一组对边平行就是梯形。如果平行四边形的角都是直角就是长方形，如果长 方形的长与宽相等就是正方形。学生说出各个图形的名称和特征并不难，要把教学精力放在理解图 形间的关系上，深入地认识四边形。 第98页练习与实践第2、3、4题分别复习两点确定一条直线，两 点间所有连线中线段最短，以及点到直线的距离等知识。要通过解决实际问题再次体会这些}