管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！第五章 不确定条件下的选择前面两章讨论了确定性环境中的消费选择问题，即涉及的价格、收入、消费量等变量都 具有确定性。然而实际消费选择并非总是在这种确定性环境中进行的，比如人们可以借款进 行超支消费，如借款购房或贷款进大学接受高等教育，这种超支消费同人们未来收入有关， 然而未来是不确定的，一个人的未来收入可能提高，也可能降低，也可能失业而只能享受社 会救济。如果未来收益很低，那么当前的超支在未来就无能力偿付。因此，当前是否要超支 消费，这是一个不确定的消费选择问题。又如择业，是在国有企事业单位找一份工作，以求 得稳定的（较低）工资收入和安全的社会保障，还是在合资企业求得一个高薪职位但面临很 大风险呢？一个人是把他(她)的余款存入银行以求得安全的低利息收入，还是利用余款购买 股票进行投资，求得一个高收益但面临较大风险呢？这还是一个带不确定性的选择问题。本 章讨论这种不确定条件下的消费选择问题。第一节 不确定性选择事例通常的“不确定”一词，是说人们不能确定某种行为一定会发生某种结果。经济学家对 这个词的含义进行了严格界定，区分了两个不相同但相联系的概念：不肯定性与风险。 不肯定性(uncertainty)是指人们既不能确定某种经济行为一定会发生某种结果， 又不能 确定其发生的可能性大小。出现不肯定性的原因可能是人们行为本身就具有不确定性因素， 或者是人们行为不完全独立，或者是人们缺乏必要的信息等等。 风险(risk)是指人们虽然不能确定某种经济行为一定会发生某种结果，但能够确定其发 生的可能性大小，或者说，经济行为产生某种结果的可能性大小是客观存在，由客观条件决 定。比如人们可以根据已有的经验，确定出某种经济行为的各种可能结果，并且确定出每种 结果发生的概率。这样一来，便可计算这种经济行为的期望值，并利用期望值进行分析。 下面来看不确定性条件下选择的几个事例。 例 1. 抽彩(lottery) 设有两种奖品通过抽彩才能获得。 第一种抽彩方式(即第一种彩票)是： 获得奖品 1 的概率 为 p， 获得奖品 2 的概率为 1 ? p 。 第二种抽彩方式(即第二种彩票)是： 获得奖品 1 的概率为 q ， 获得奖品 2 的概率为 1 ? q 。抽彩人得到奖品 1 后，能获得 U 1 个单位的效用；获得奖品 2 后， 能获得 U 2 个单位的效用。问抽彩人喜欢抽哪一种彩票？ 要回答这个问题，需要计算这两种彩票的预期效用（即效用的期望值） 。用 EU 1 表示第一 种彩票的预期效用， EU 2 表示第二种彩票的预期效用。根据概率论的有关知识可知， EU 1 ? pU 1 ? (1 ? p )U 2 ， EU 2 ? qU 1 ? (1 ? q )U 2 比较一下 EU 1 和 EU 2 的大小，如果 EU 1 ? EU 2 ，说明第一种彩票的效用期望值更大，因此抽 彩人更喜欢第一种抽彩方式，选择第一种彩票。同理，当 EU 1 ? EU 2 时，抽彩人会选择第二 种彩票。当 EU 1 ? EU 2 时，两种彩票的效用期望相同，因而对抽彩人来说无差异。 这个例子同时也说明，一种彩票可以用抽彩的中奖概率分布来表示。比如说有一种彩票管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！有 n 个等级的奖励：1 等奖，2 等奖，?， n ? 1 等奖(末等奖)， n 等奖(无奖)。获得 i 等奖的 概 率 为 p i （ i ? 1,2, ? , n ) ， p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 1 。 这 个 彩 票 可 用 它 的 中 奖 概 率 分 布 ( p1 , p 2 , ? , p n ) 来表示。再设抽彩人获得 i 等奖时，可获得 U i 个单位的效用，则该彩票的预期 效用为 EU ? p1U 1 ? p 2U 2 ? ? ? p nU n 。 预期效用越大的彩票，抽彩人（消费者）就越偏好于这种彩票。总之，彩票抽彩可用下 表加以表示。 表 5-1 彩票抽彩 奖励等级 1 等奖 2 等奖 ? n ? 1 等奖 n 等奖 中奖概率 ? p2 p n ?1 pn p1 中奖效用 预期效用U1? U n ?1 Un EU ? p1U 1 ? p 2U 2 ? ? ? p nU nU2例 2. 赌博(gamble) 赌博是典型的依靠随机因素来决定收入的现象，用它可来区别一个人是冒险者还是避险 者。比如甲、乙两个球迷在为“巴西―法国”足球比赛的胜负争执不休，甲认为巴西队赢， 乙认为法国队赢。于是，有人建议他们以 50 元赌金打赌。如果不赌，甲和乙谁都不会赢得 50 元，当然也不会付出 50 元，双方收入 50 元不变。如果赌，赌赢者可得 50 元（收入变为 100 元） ，赌不赢就要付出 50 元(收入变为 0 元)。那么他们俩人是否要进行这场赌博呢？我们作 一下分析。 甲和乙之所以争论不休，是因为各人有各人的信息，各人有各人的判断。甲说巴西队赢 球，是因为甲认为巴西队胜球的概率大于法国队。乙说法国队赢球，是因为乙认为法国队赢 球的概率大于巴西队。设甲认为巴西队赢球的概率为 p ，法国队赢球的概率为 1 ? p ；乙认为 巴西队赢球的概率为 q ，法国队赢球的概率为 1 ? q 。则 p ? 1 ? p ， q ? 1 ? q 。 用 u 表示甲的货币收入效用函数， 表示乙的货币收入效用函数。 甲根据自己的概率判断， v 计算出赌博的预期效用为 EU ? pu (100 ) ? (1 ? p )u (0) ；乙也根据自己的概率判断，计算出赌 博的预期效用为 EV ? qv (0) ? (1 ? q )v(100 ) 。 如果 EU ? u (50) ， 那么甲参加赌博的预期效用大 于不赌的效用，甲会参加赌博。同样，如果 EV ? v (50) ，那么乙参加赌博的预期效用大于不 赌的效用，乙会参加赌博。只有当 EU ? u (50) 且 EV ? v (50) 时，这场赌博才能开展起来。否 则，就有一方不愿意打赌。可见，一个人是否参加赌博，要看他打赌的预期效用是否大于不 赌的效用。 赌博是一种增加人们收入的冒险行动。赌赢了，人们收入会得到较大幅度的增加，但却 冒着赌输使收入减少的风险。也正是这种风险，让不少赌徒倾家荡产。一个人是否喜欢赌博， 这要看他对待风险的态度。我们以赌博为例，来对人们对待风险的态度作一个分析。 设有一个赌博，赌输要输掉 w1 元，赌赢则可得到 w 2 元的收获。某人现有货币收入 W 元 且 W ? w1 ，因而具有参加赌博的资金条件。那么他是否喜欢赌博？这取决于他对待赌博的态 度。 假定该人认为这场赌博输的概率为 p ， 赢的概率为 1 ? p ， 他的货币收入效用函数为 U (r ) 。 如 果 不 参 加 赌 博 ， 则 收 入 W 元 不 变 ， 效 用 为 U (W ) ； 如 果 参 加 赌 博 ， 则 预 期 收 入 为 ER ? p (W ? w1 ) ? (1 ? p )(W ? w2 ) ，预期效用为 EU ? pU (W ? w1 ) ? (1 ? p )U (W ? w2 ) 。 当 ER ? W 时，即当赌博的预期收入等于不赌的收入时，称这种赌博是公平赌博。一个人 是否喜欢冒险，要看他对待公平赌博的态度。在公平赌博面前，如果他认为赌博的预期效用 EU 大于不赌的效用 U (W ) ，即认为赌比不赌好，那么他就是一个喜欢冒险的人，称为冒险者 或者称为风险爱好者；如果他在公平赌博面前认为不赌比赌好(即 U (W ) ? EU )，那么他就是 一个不喜欢冒险的人，称为避险者或者称为风险规避者；如果他在公平赌博面前认为赌与不 赌是一样的(即 EU ? U (W ) )，那么就称他是一个风险中立者。 显然，一个人对待风险的态度，完全表现在他的效用函数 U 的性态上(如图 5-1 所示)：管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！(1) 风险爱好者的效用函数 U 是凸函数，即对任何两种收入 W1 和 W 2 ，及任何实数 p ? (0, 1) ， 都有 U ( pW1 ? (1 ? p )W 2 ) ? pU (W1 ) ? (1 ? p )U (W 2 ) 。 (2) 风险规避者的效用函数 U 是凹函数，即对任何两种收入 W1 和 W 2 ，及任何实数 p ? (0, 1) ， 都有 U ( pW1 ? (1 ? p )W 2 ) ? pU (W1 ) ? (1 ? p )U (W 2 ) 。 (3) 风险中立者的效用函数 U 是线性的，即对任何两种收入 W1 和 W 2 ，及任何实数 p ? (0, 1) ， 都有 U ( pW1 ? (1 ? p )W 2 ) ? pU (W1 ) ? (1 ? p )U (W 2 ) 。 应该说，我们大多数人都是不好冒险的，是避险者，谁能在不肯定的赌博收入等于肯定 的不赌收入的情况下选择赌博呢？因此，边际效用递减规律(即效用函数为凹函数)对于大多 数人来说都是适用的。U U UEUEU U (ER )EU U (ER)U (ER )WW1WW1WW1ERW2ERW2ERW2(a) 风险爱好者 图 5-1(b) 风险规避者 对待风险的态度与效用函数性态(c) 风险中立者我们再来看一下在不公平赌博面前，风险爱好者、风险规避者和风险中立者的不同态度。 不公平赌博有两种：一种是预期收入大于不赌的收入，称为盈赌；另一种是预期收入小于不 赌的收入，称为亏赌。假定效用函数 U 是严格递增的（即收入越多，效用越大） 。 对于亏赌来说， ER ? W 。根据 U 的严格递增性，U ( ER ) ? U (W ) 。风险规避者及风险中 立者认为 EU ? U (ER ) ，故 EU ? U (W ) ，因此他们肯定不参加赌博；但风险爱好者认为 EU ? U (ER ) ，因此， EU 与 U (W ) 哪个更大不得肯定。这就是说，风险爱好者甚至连亏赌都 有可能参加（因为有可能 EU ? U (W ) ） 。 对于盈赌来说， ER ? W ，因此 U ( ER ) ? U (W ) 。风险爱好者和中立者认为 EU ? U (ER ) ， 因而 EU ? U (W ) ，他们肯定要赌；但风险规避者认为 EU ? U (ER ) ，于是 EU 与 U (W ) 哪个 更大不得而知，这就是说，风险规避者甚至连盈赌都不一定参加（因为有可能 EU ? U (W ) ） 。 以上对于赌博的分析，可用下表加以总结。 表 5-2 赌博与对待风险的态度 效用函数的性态 公平赌博 盈赌 亏赌 对待风险的态度 风险爱好者 凸函数 赌 赌 不一定不赌 风险中立者 线性函数 可赌、也可不赌 赌 不赌 风险规避者 凹函数 不赌 不一定赌 不赌 例 3. 择业 设某人面临两种工作，需要从中选择出一种。第一种工作是在私营公司里搞推销，薪金 较高，但是收入是不确定的。如果干得好，每月可挣得 2000 元；干得一般，每月就只能挣得 1000 元。假定他挣得 2000 元和挣得 1000 元的概率各为 1/2。第二种工作是在国营商店当售 货员，每月工资 1510 元。但在国营商店营业状况极差的情况下，每月就只能得到 510 元的基 本工资收入。不过，一般情况下国营商店营业状况不会极差，出现营业状况极差情况的可能 性只有 1％，因此第二种工作获得月收入 1510 元的可能性为 99％。管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！计算一下这两种工作的预期月收入 ER 1 和 ER 2 ： ER1 ? 0.5 ? 2000 ? 0.5 ? 1000 ? 1500 （元） ER 2 ? 0.99 ? 1510 ? 0.01 ? 510 ? 1500 （元） 可见，月收入的期望值都为 1500 元。 2 再计算一下这两种工作月收入的方差 ? 12 和 ? 2 ： ? 12 ? 0.5 ? ( 2000 ? 1500 ) 2 ? 0.5 ? (1000 ? 1500 ) 2 ?
? 2 ? 0.99 ? (1510 ? 1500 ) 2 ? 0.01 ? (510 ? 1500 ) 2 ? 9900 所以，两种工作的标准差分别为 ? 1 ? 500 ， ? 2 ? 30 11 。 ? 1 ? ? 2 说明，第一种工作虽然收 入可高达 2000 元，但风险大（即方差大） ；第二种工作虽然收入最高只有 1510 元，但风险小 （即方差小） 。 这个人会选择哪一种工作呢？如果他不喜好冒险，他会选择第二种工作，因为两种工作 的预期收入相同，但第二种工作的风险小。如果他喜欢冒险，认为不冒险就发不了财，他就 会选择第二种工作。 如果两种工作的预期收入不同，比如说第一种工作在“干得好”和“干得一般”两种情 况下的月收入都比上面所述的收入要增加 100 元，第二种工作的收入情况还是如上，则 ER1 ? 0.5 ? 2100 ? 0.5 ? 1100 ? 1600 （元） ER 2 ? 0.99 ? 1510 ? 0.01 ? 510 ? 1500 （元） ? 12 ? 0.5 ? ( 2100 ? 1600 ) 2 ? 0.5 ? (1100 ? 1600 ) 2 ?
? 2 ? 0.99 ? (1510 ? 1500 ) 2 ? 0.01 ? (510 ? 1500 ) 2 ? 9900 第一种工作虽然能向他提供比第二种工作更大的预期收入，但同时第一种工作比第二种 工作风险大。敢作敢为、富有挑战精神的人可能会选择高预期收入、高风险的第一种工作， 比较保守的人可能会选择第二种工作。在这种预期收入不同、风险不同的(工作)选择面前， 人们究竟如何选择呢？要回答这个问题，需要对风险行为进行深入研究。第二节 预期效用本节讨论消费者在不确定环境中进行选择所依据的行为准则和目标。上节所述的几个事 例说明了这样一个问题：在不确定的环境中或者具有风险的情况下，人们是根据预期效用进 行决策的。这就是说，如果消费者对各种风险消费选择有一个评价(即有一个偏好关系)的话， 那么这种评价(偏好)肯定是根据某种预期效用作出的。我们不禁要问：事实真是如此吗？对 风险行为的评价背后是否有预期效用作为支持？答案可以说是肯定的。下面就来建立预期效 用理论，回答这个问题。一、风险选择集合回到上节例 1 中，彩票可以用各种可能的获奖结果和获得各种奖的概率分布加以描述。 设共有 n 个等级的奖励：1 等奖, 2 等奖, ?, n 等奖。一种彩票代表了获得各等级奖励的一 种概率分布 ( p1 , p 2 , ? , p n ) ，不同彩票的获奖概率分布不同（这里考虑的不同彩票，仅仅是指 购买这些彩票获得各等奖励的概率分布不同， 而所有彩票的奖励类型都是相同的） 这样一来， 。 每 一 种 彩 票 都 可 用 购 买 它 的 获 奖 概 率 分 布 ( p1 , p 2 , ? , p n ) 来 表 示 。 当 概 率 分 布 变 为 ( q1 , q 2 , ? , q n ) 时， ( q1 , q 2 , ? , q n ) 便代表了另一种彩票。 抽彩人可以在各种彩票中选择购买，于是，抽彩人的选择范围可以用各种可能的概率分管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！布的集合 X ? {( p1 , p 2 , ? , p n ) ? [0, 1] n : p1 ? p 2 ? ? ? p n ? 1} 来表示。称此集合 X 为抽彩的 选择集合。注意， X 是欧氏空间 R n 的有界闭凸子集。 对于任何两种彩票 p ? ( p1 , p 2 , ? , p n ) ? X 和 q ? ( q1 , q 2 , ? , q n ) ? X ，当 a 为某随机事件 A 发生的概率时， a p ? (1 ? a )q 代表了一种以概率 a 获得彩票 p ，以概率 1 ? a 获得彩票 q 的 新彩票， 该彩票等同于获奖概率分布为 ( a p1 ? (1 ? a ) q1 , a p 2 ? (1 ? a ) q 2 , ? , a p n ? (1 ? a ) q n ) 的 彩票。称 a p ? (1 ? a )q 为彩票 p 和 q 的复合彩票，或者称为复合抽彩。这就是选择集合 X 的 凸性的意义所在。 抽彩行为的这种描述方式还可以一般化。设共有 ? 种商品可供人们选择，确定性商品空 间为 R ? ，确定性的选择集合（消费集合）为 S ? R ? 。 在不确定的环境中，人们的选择依赖于某些自然状态(或事件)的是否出现，而这些自然 状态出现与否是随机的或者不确定的。比如，如果天下雨，消费者购买雨伞；如果不下雨， 就购买太阳镜。而天是否下雨，则不确定，但我们能根据气象台的天气预报说出下雨的概率。 用 ? 表示影响人们选择的自然状态的全体，随机事件可用 ? 的子集表示。假定每个人都能根 据自己掌握的知识和获悉的信息，判断出随机事件发生的可能性大小。这就是说，假定每个 人都有自己的概率空间 (?, ?,P ) ,其中 ? 为事件域(即 ? 为 ? 上的一个σ ? 域） P 为 ? 上的概 ， 率（测度）函数。从这个概率空间出发，一种风险选择就是一种随机行为，表现为 ? 上的一 个随机向量 ? (即 ? 是从 ? 到 S 的一个映射） 。这就是说，如果 ? 中的状态 ? 出现，就选择 向量 ? (? ) 。由于 ? 出现与否不得肯定，因而不能肯定究竟选择 S 中的哪一个向量。然而，选 择 S 中各个商品向量的概率分布是可以确定或估计的。这么一来，在带有不确定性的情况下， ? 上的 ? 维随机向量 ? : ? ? S 的全体便代表了这个人所有可能的风险选择行为。用 X 或 X (S ) 表示来表示这个集合，即 X ? X ( S ) ? {? ：? : ? ? S 为随机向量 } 并称该集合 X ? X (S ) 为经济活动者的风险选择集合。 对于 ? ? (? 1 , ? 2 , ? , ? ? ) ? X ， ? 的数学期望向量 E[? ] ? ( E[? 1 ], E[? 2 ], ? , E[? ? ]) 称作 ? 的预期向量或预期值。 风险选择集合 X 扩充了确定性选择集合 S ， 即每一种确定性的选择 x ? S 都可看作是一种 特殊的随机选择 ? x ： ? x (? ) ? x （对任何 ? ? ? ） 。更一般地，如果随机向量 ? 的取值几乎处 处相等，即几乎处处等于某个 x ? S （也即 P{? (? ) ? x} ? 1 ） ，则可把这个随机向量看成是确 定性的向量 x ，也就是说，可认为 ? ? ? x 。易见， E[? x ] ? x 。作了这个解释后，我们可认为 S ? X ? X (S ) 。 当考虑风险行为的预期值时，必然涉及确定性行为之间的加权平均运算，而且还要涉及 到这些运算结果序列的极限（比如连续型随机向量预期值的定义中既涉及加权平均运算，又 涉及积分，而积分本身就是一种极限） 。因此，一般情况下都要假定确定性选择集合 S 是空间 R ? 的凸闭子集。本章的分析中，哪里需要 S 的凸闭性，哪里就假定 S 是凸闭集，而不再赘述。 从概率论知道，研究随机向量时，只要知道了随机向量的取值范围和概率分布，就满足 了我们的要求。因此，分布相同的随机向量可以看作相同的随机向量。所谓 f 是 ? 维随机向 量 ? ? X 的分布函数，是指 f 是一个 ? 元实值函数，且对于任何 x ? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) ? R ? ， f ( x ) ? P{? (? ) ?? x} ? P{? 1 (? ) ? x1 , ? 2 (? ) ? x 2 , ? , ? ? (? ) ? x ? } 。分布函数 f 的密度函数，是 一个实值函数 ? (x ) 使得对任何 x ? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) ? R ? ，都有： (1) ? ( x ) ? ? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) ? 0 (2)??? ? ??? ? (t1 , t 2 , ? , t ? ) d t1 d t 2 ? d t ? ? 1x1 x? ?? ????(3) f ( x1 , x 2 , ? , x ? ) ? ? ? ? ? (t1 , t 2 , ? , t ? ) d t1 d t 2 ? d t ? 由于 X 中的随机向量 ? 取值于集合 S 之中， 因此可以认为 ? 的分布密度函数 ? (x ) 在集合管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！S 之外取值为零：当 x ? S 时， ? ( x) ? 0 。 今后,我们把随机向量 ? 与它的分布函数 f （或者分布密度函数 ? ）等同看待。这样，就 可用分布函数集合 D ? D (S ) 来替代风险选择集合 X ，其中 D (S ) 定义如下： D ? D( S ) ? { f : f 是 X 中的某随机向量 ? 的分布函数 } 象复合抽彩一样，对于一般的随机行为，也有复合随机行为的概念。设 ? , ? ? X 为两种 随机行为， f , g ? D( S ) 分别为 ? , ? 的分布函数，? ,? 分别为 f , g 的密度函数， p ? [0, 1] 为一 事件 A ? ? 发生的概率。 用 p? ? (1 ? p )? 表示这样的复合随机行为：以概率 p 选择 ? ，以概率 1 ? p 选择 ? （注 意， p? ? (1 ? p )? 与 p? ? (1 ? p )? 的含义不同） 。亦即，当事件 A 发生时，按照 ? 进行随机 选择；当事件 A 不发生时，按照 ? 进行随机选择。这也就是说， p? ? (1 ? p )? 代表了这样的 一种随机选择 （随机向量） 如果事件 A 发生， ： 那么每当自然状态 ? ? ? 出现时， 就选择 ? (? ) ； 如果 A 不发生，那么每当自然状态 ? ? ? 出现时，就选择 ? (? ) 。称 p? ? (1 ? p )? 为随机选择 ? 和 ? 的复合选择，或者称为随机向量 ? 和 ? 的复合随机向量。复合随机向量 p? ? (1 ? p )? 的概率分布可计算如下。对任何 x ? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) ? R ? ，用 则根据全概率公式 P ( B ) ? P ( A) P ( B A) ? P ( A c ) P ( B A c ) （其 B 表示事件 { p? ? (1 ? p )? ?? x} ， 中 A c ? ? ? A ）可知，P{? ? ? : ( p ? ? (1 ? p )? )(? ) ?? x} ? P ( A) P{( p ? ? (1 ? p )? ?? x A} ? P ( A c ) P{ p ? ? (1 ? p )? ?? x A c } ? pP{ ? ?? x} ? (1 ? p ) P{? ?? x} ? pf ( x ) ? (1 ? p ) g ( x )这说明， 复合随机向量的概率分布函数是各个随机向量的分布函数按照概率进行的加权平均。 同时也说明了分布函数的加权平均的意义。 注意， 随机向量的复合不要求确定性选择集合 S 的 凸性。既然我们可用分布函数集合 D (S ) 代替随机向量集合 X (S ) ，可见在带有不确定性的选 择环境中，随机选择集合必然是凸集，即 D (S ) 是凸集（尽管 S 可能不是凸集） 。今后，我们 把分布函数 pf ( x) ? (1 ? p ) g ( x) 称为按概率 p (和 1 ? p ) 进行的复合分布函数。 容易看出，复合分布 pf ( x) ? (1 ? p ) g ( x) 的密度函数为 p? ? (1 ? p )? 。称此密度函数为 按概率 p (和 1 ? p )进行的复合密度函数。 以上分析表明了用分布函数集合 D (S ) 替代随机选择集合 X (S ) 的优越性所在：复合行为 就是对概率分布进行加权平均。 鉴于此， 今后就直接把 D (S ) 称为随机选择集合， 即视 X (S ) 和 D (S ) 为同样的集合。二、预期效用性质我们先计算一下复合抽彩的预期效用。设 U i 为抽彩人获得第 i 种奖品时获得的效用量 (i ? 1,2, ? , n) 。对于彩票 p ? ( p1 , p 2 , ? , p n ) ，抽彩人的预期效用 EU 为： EU ( p ) ? p1U 1 ? p 2U 2 ? ? ? p nU n 当 p ? ( p1 , p 2 , ? , p n ) 和 q ? ( q1 , q 2 , ? , q n ) 为两种彩票， a 为某事件 A 发生的概率时，复 合抽彩 ap ? (1 ? a ) q 的预期效用为：EU ( ap ? (1 ? a ) q ) ? ( ap1 ? (1 ? a ) q1 )U 1 ? ap 2 ? (1 ? a ) q 2 )U 2 ? ? ? ap n ? (1 ? a ) q n )U n ? aEU ( p ) ? (1 ? a ) EU ( q )这说明复合抽彩的预期效用等于其中各抽彩的预期效用的预期效用。抽彩人在复合抽彩中所 表现出来的这种效用评价特点，称为预期效用性质。管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！其实，预期效用性质不但为复合抽彩所具有，而且对一般的随机行为也是基本适用的。 为了说明这一点，设 U 是消费者在确定性环境下的效用函数，并假定 U 定义在整个商品空间 R ? 上。对于 ? ? X (S ) ，设 f ? D (S ) 为其分布函数，则 ? 的预期效用 EU (? ) (也可表示为 EU ( f ) )定义为：EU (? ) ? EU ( f ) ? ? ? ? U ( x1 , x 2 , ? , x ? )df ( x1 , x 2 , ? , x ? )?? ?? ? ?当 ? 为连续型随机变量且 ? 为 f 的密度函数时，则 ? 的预期效用 EU (? ) 可写成：EU (? ) ? ? ? ? U ( x1 , x 2 , ? , x ? )? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) dx1 dx 2 ? dx ??? ?? ? ?? ? U ( x1 , x 2 , ? , x ? )? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) dx1 dx 2 ? dx ?S在带有不确定性的选择环境中，消费者的目标是让预期效用最大化。因此，如上的预期 效用 EU ( f ) 实际上给出了消费者在风险选择集合 D (S ) 上的一个效用函数，称其为预期效用 函数。当 ? ? ? x ? X (S ) （ x ? S )为确定性行为时， EU (? ) ? EU (? x ) ? U ( x) 。 因此，预期效 用函数 EU 是原来确定性的效用函数 U 的扩充。 对于任何 f , g ? D( S ) 及 p ? [0, 1] ，复合随机行为 pf ? (1 ? p) g 的预期效用为EU ( pf ? (1 ? p ) g ) ? ?? ??? ? U ( x ) d ( pf ? (1 ? p ) g )( x )?? ??? p???? ? U ( x ) df ( x ) ? (1 ? p ) ????? ??? ? U ( x ) dg ( x )???? pEU ( f ) ? (1 ? p ) EU ( g )也即对于任何 ? , ? ? X ( S ) 及 p ? [0, 1] ，都有 EU ( p? ? (1 ? p )? ) ? pEU (? ) ? (1 ? p ) EU (? ) 。 这说明不确定性条件下，从确定性效用函数导出的预期效用函数具有预期效用性质。三、预期效用函数预期效用性质在不确定性或风险问题研究中是相当重要的，也是有力的工具。 确定性效 用函数引导的预期效用函数 EU ，既具有预期效用性质，又诱导出了风险选择集合 D (S ) 上 的一个偏好关系 U ：对于任何 f , g ? D( S ) ， f U g 当且仅当 EU ( f ) ? EU ( g ) 。对于这个 偏好关系 U 来说，表示它的效用函数有无穷多个，但 EU 是所有这些效用表示中最重要的 一个，因为这个效用函数具有预期效用性质。 更一般地，我们有下面的定义。 预期效用性质．风险选择集合 D (S ) 上的效用函数 u 叫做具有预期效用性质，是指对任何 f , g ? D( S ) 及任何实数 p ? [0, 1] ，都有 u ( pf ? (1 ? p ) g ) ? pu ( f ) ? (1 ? p )u ( g ) 。 如果直接采用随机向量集合 X (S ) 表示风险选择集合， 那么预期效用性质的表达方式变成 为：任何 ? , ? ? X ( S ) 及任何实数 p ? [0, 1] ，都有 u ( p? ? (1 ? p )? ) ? pu (? ) ? (1 ? p )u (? ) 。 凡是具有预期效用性质的效用函数 u : D ( S ) ? R （或者 u : X ( S ) ? R ） ，都叫做预期效用 函数，或者叫做 von Neumann-Morgenstern 效用函数，简称为 VNM 效用函数。不过采取后一 种叫法时，其意义已经扩充了原来的 von Neumann-Morgenstern 效用函数概念。 当一个预期效用函数 u : D ( S ) ? R 是 D (S ) 上的某个偏好关系 的效用表示时， 就称 u 是 的预期效用表示，或者称 u 是 的预期效用函数。具有预期效用表示的偏好关系，也就叫做预 期偏好。（一）预期效用公理下面看一看在什么条件下，一个偏好关系的预期效用函数存在。为此，设 是风险选择集管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！合 D (S ) 上的一个偏好关系。我们需要对 提出一些附加性公理。 阿基米德公理．对于任何的 f , g , h ? D ( S ) ，如果 f ? g ? h ，则存在 p, q ? (0, 1) 使得 pf ? (1 ? p ) h ? g ? qf ? (1 ? q ) h 。 独 立 性 公 理 ． 对 于 任 何 的 f , g , h ? D ( S ) 及 任 何 实 数 p ? [0, 1] ， 如 果 f g ，则 pf ? (1 ? p ) h pg ? (1 ? p )h 连 续 性 公 理 ． 对 于 任 何 的 f , g , h ? D ( S ) ， 集 合 { p ? [0, 1] : pf ? (1 ? p ) g h} 和 集 合 { p ? [0, 1] : pf ? (1 ? p ) g h} 都是闭集。 这三条公理称为预期效用公理，其几何直观意义如图 5-2 所示。 阿基米德公理的经济含义是，如果随机行为 g 的好坏程度介于 f 和 h 之间，那么必然存 在 f 与 h 的两种复合行为 a ? pf ? (1 ? p)h 和 b ? q f ? (1 ? q)h ，使得 g 的好坏程度介于 a 和b 之间。 独立性公理的经济含义是， 如果随机行为 f 不优于 g ， 那么对于任何第三种随机行为 h 来 说 ， f 与 h 的 任 何 复 合 行 为 a ? pf ? (1 ? p)h 必 然 也 不 优 于 g 与 h 的 相 应 的 复 合 行 为 b ? pg ? (1 ? p)h 。从独立性公理立即可知，当 f g ，即 f 与 g 无差异时，复合行为 a ? pf ? (1 ? p)h 与 b ? pg ? (1 ? p)h 也无差异。连续性公理是拓扑意义下关于偏好连续性的一般性要求。实际上，连续性公理蕴含着阿 基米德公理。因此，阿基米德公理是关于偏好序连续性的最弱要求。ghbfbgaaf(a) 阿基米德公理gh(b) 独立性公理 图 5-2 预期效用公理f(c) 连续性公理?h预期效用函数定理．设 是风险选择集合 D (S ) 上的偏好关系。 具有预期效用表示当且 仅当 服从阿基米德公理和独立性公理。当 具有预期效用表示时， 的预期效用函数在仿射 变换下是唯一的，即若 u 和 v 都是 的预期效用函数，则必存在实数 a 和 b ? 0 ，使得对一切 f ? D (S ) ，都有 v( f ) ? a ? bu ( f ) 。 本定理的证明过于复杂，这里省去。感兴趣的读者可参考费希博恩的著作《决策的效用 理论》(P.C. Fishburn, Utility Theory for Decision Making, New York: Wiley,1970)。 另外，费希博恩还在这部著作中给出预期效用的积分表示形式，从而使得预期效用问题得到 了圆满解决。下面我们介绍费希博恩关于预期效用的积分表示理论。（二）预期效用的积分形式设概率空间 (?, ?, P ) 中的自然状态集合 ? 就是确定性条件下消费者的选择集合 S ，即 ? ? S ? R ? 。这样做的经济意义是：在不确定性的环境中，消费者能够估计出每一种随机行 为 ? 下选择到 S 的一个子集合 B 中的向量的可能性大小， 即能估计出概率 P{? (? ) ? B} ，这就 象抽彩人能够知道每种彩票获得各种奖品的概率大小一样。 同前面一样，对于 x ? S ，用 ? x 表示取值为常向量 x 的随机向量，用 ? x 表示 ? x 的分布函 数。于是可以认为， ? x ? ? x ? x ，从而可以认为 S ? D ( S ) ? X ( S ) 。另外，我们要求 S 的每 个单点子集 {x} ( x ? S ) 都是 ? 的元素。 这就是说， 消费者能够估计出每一种随机行为 ? 下选择 到 S 中的一个向量 x 的可能性大小。管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！作了这样的看待后， 如果 是 D (S ) 上的偏好关系，那么 同时规定了消费者在 S 上的偏 好关系。也就是说，对于 x, y ? S ， x y 是指 ? x ? y 。 定义(可测的偏好)． D (S ) 上的偏好关系 叫做是可测的，是指对于任何的 x ? S ，集合 { y ? S : y x} 和 { y ? S : y x} 都是 ? 的元素。 单调性公理．对任何 ? ? X 及 x ? S ，如果 ? (? ) x 几乎对所有 ? ? ? 都成立，则 ? x ； 如果 ? (? ) x 几乎对所有的 ? ? ? 都成立，则 ? x 。 换个说法，单调性公理是说，对于任意的 f ? D (S ) 、 A ? ? 及 x ? S ? A ，设 ? 为 f 的密 度函数，当 ? ? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) d x1 dx 2 ? dx ? ? 1 时，A(1) 如果 ? y (2) 如果 ? y? x 对一切 y ? A 成立，则 f ? x 对一切 y ? A 成立，则 fA?x； ?x。对此， 我们作一点解释。 条件 ? ? ( x1 , x 2 , ? , x ? ) d x1 dx 2 ? dx ? ? 1 是说， 随机选择行为 f 的 选择结果几乎总是出现在集合 A 中，即几乎总是选择 A 中的商品向量。(1)是说，如果 A 中每 个向量对消费者的效用都没有 x 的效用大，那么随机选择 f 的效用也就没有 x 的效用大。(2) 是说，如果 A 中每个向量对消费者的效用都不比 x 的效用小，那么随机选择 f 的效用也就不 比 x 的效用小。 预期效用的积分表示．设 (?, ?, P ) 为概率空间， ? ? S ? R ? ，{x} ? ? 对一切 x ? S 成立， 是 D (S ) 上的可测偏好关系，并且服从阿基米德公理、独立性公理和单调性公理。则存在一 个有界可测实值函数 U : S ? R 使得对一切 f , g ? D( S ) ，都有(fg ) ? ? ? U ( x ) df ( x ) ? ? U ( x ) dg ( x ) ? ? ? S ? S ?而且这个函数 U 在仿射变换下是唯一的。 预期效用函数概念是 von Neumann-Morgenstern 效用函数概念的扩展，而预期效用的积 分表示中的效用函数 U ，才是原来意义下的 von Neumann-Morgenstern 效用函数。鉴于此， ， 当一个有界可测实值函数 U : S ? R 满足如下条件时：??f , g ? D ( S ) ? ? ???(fg ) ? ? ? U ( x ) df ( x ) ? ? U ( x ) dg ( x ) ? ? ? S ? S ?? ? ? ?就称 U 是偏好关系 的 von Neumann-Morgenstern(简称 VNM)效用函数。积分表示定理说明， 一般情况下偏好关系的 VNM 效用函数都是存在的。 特别地， 当概率空间和偏好关系 满足积分表示定理的条件且 ? ? S ? R ? 时， 存在 的 VNM ? 效用函数 U : R ? R ，从而存在通常意义下的预期效用 EU ：对于任何 f ? D (S ) ，EU ? EU ( f ) ? ? ? ? U ( x1 , x 2 , ? , x ? ) df ( x1 , x 2 , ? , x ? )?? ?? ? ?一般情况下，如果我们只知道风险选择集合 D (S ) 上的某个偏好关系 的预期效用函数 u : D ( S ) ? R ，而不知道 的 VNM 效用函数是否存在，那么由于 u 具有预期效用性质，我们可 以直接认为 u ( f ) 就是随机选择行动 f ? D (S ) 的效用的预期值 EU ( f ) 。 预期效用函数存在定理和预期效用的积分表示定理告诉我们，在带有不确定性的选择环 境中，当影响人们选择的自然状态概率空间存在时，也即当不确定事件发生的概率可以确定 时，人们对各种随机选择行动的好坏评价虽然是依照个人偏好进行的，但这实际上是预期效 用在起着作用，也就是说，人们对随机行为实际上是依照预期效用大小进行评价的。管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！第三节 主观概率上一节解决了风险选择情况下偏好关系的预期效用表示问题， 建立了预期效用公理体系， 证明了服从这套公理体系的经济行为背后必然有预期效用的支持。然而，我们对进入预期效 用函数的“概率”的确切性质还不太清楚。直接的解释可以说它们是客观存在的，即“客观 概率” ，比如是在对频率观察的基础上计算出来的概率。但我们也不止一次地提到，决策者可 根据自己的经验、自己掌握的信息和知识对事件发生的概率作出判断或估计，这种判断当然 因人而异，与个人的主观感觉不无关系，因而是“主观概率” ，即决策者主观上认为的某些事 件发生的可能性。如果所涉及的只是客观概率，那么经济决策涉及的就只是风险。如果涉及 到主观概率，那么经济活动的性质就带有真正意义下的不确定性，即不肯定性。事实上，在 实际经济决策活动中，决策者涉及的的一般都是主观概率与客观概率的混合。可见对于主观 概率的研究，在不确定性问题研究中相当重要。 象用预期效用公理体系来推断预期效用函数存在一样，我们也可以问：关于选择行为的 何种公理体系能够用于推断主观概率的存在？即在什么样的公理体系下，一个人在不确定情 况下的选择行为可以视为他好象根据某种主观概率度量的预期效用来进行决策？ 幸运的是，这种公理体系确实存在并且合理似然，它是由萨维奇 1954 年构建的，1972 年又对其进行了修订、补充和完善。迄今为止，萨维奇的结果一直处于领先地位，还未见到 在不确定性决策公理化研究方面出现其完美性超过萨维奇的其它结果。下面，我们对萨维奇 的主观概率公理体系作一概要介绍。想了解具体细节的读者，可参考萨维奇的《统计分析基 础》(L.J. Savage, Foundation of Statistics, New York: Dover Publications, 1972)。一、不肯定性行为的表述不肯定性条件下决策者的选择结果依赖于某些自然状态，而事件发生的概率却未必是客 观存在的。用 ? 表示所涉及的一切自然状态构成的集合，称为状态空间。用 ? (? ) 表示 ? 的 幂集，即 ? 的所有子集之集族，也可简记为 ? ，即 ? ? ? (?) 。 ? 中的元素称为事件。 用 S 表示一切可能出现的选择结果的集合， 称为确定性选择集合。 假定 S 是实数集合 R 的 子集。 决策者的行为可用一个映射 ? : ? ? S 表示， 其意义是说决策者的选择依赖于出现哪种自 然状态：如果状态 ? ? ? 出现，那么他就选择 ? (? ) 。但究竟选择 S 中哪一个结果，则不得而 知，并且不知道选择到 S 中的一个结果的概率有多大。这样的选择行为才是真正意义上的不 确定性行为。用 X 表示一切可能的不肯定性行为的全体，即 X 是由所有从 ? 到 S 的映射构成 的集合，称为决策者的选择集合或者称为决策者的行为空间。对于不确定性行为 ? ? X ，集 合 ? [?] ? {? (? ) : ? ? ?} 称为 ? 的结果集合。 注意，结果集合 S 中的每种结果 x 都代表一种(实际上不带有不确定性的)“不确定性” 行为 ? x : ? ? S ：对任何 ? ? ? ， ? x (? ) ? x 。称这个行为 ? x 为确定性行为，并把 ? x 与 x 等 同看待。作了这个说明之后，我们今后将不在区分 ? x 与 x ，并且直接用 x 表示 ? x 。也就是说， 我们认为 S ? X 。 在不确定条件下，决策者要根据自己的判断来在选择空间 X 中选择一种行动，这意味 着决策者在 X 上有一个偏好关系 ， 它对各种行为的好坏作出了排序。 由于 S ? X ， 因此 X 上的偏好关系 确定了 S 上的偏好关系(仍用 表示)，即可用 对 S 中的各种结果排出好坏次 序来。需要注意，对于 ? ? X 和 x ? S ， ? x 和 ? (? ) x 具有不同的意义： ? x 表示行为 而 或者说把结果 y ? ? (? ) 也 ? 不比确定性行为 x 优； ? (? ) x 表示结果 ? (? ) 不比结果 x 优，管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！当成一种行为 ? y 来看待的话，确定性行为 y 不比确定性行为 x 优。(一) 状态分划为了研究不确定性，人们往往会依据某种原则对影响人们选择的各种可能的不确定性因 素(即自然状态)进行分门别类。这种做法体现为对状态空间进行分划。所谓状态空间 ? 的一 种分划，是指由 ? 的有限个互不相交的子集构成的集族 F ? ( Fi ) m ? {F1 , F2 , ? , Fm } ，满足条 件 F1 ? F2 ? ? ? Fm ? ? 。(二) 复合行为设 F ? ( Fi ) m ? {F1 , F2 , ? , Fm } 是状态空间 ? 的一个分划， ? 1 , ? 2 , ? , ? m 是一系列不确定 性行为，即 X 中的一个有限序列。我们可以把这 m 个行为复合在一起，构成一种新的不确定 性行为 ? ：对于每个 ? ? ? ? ? im 1 Fi ，当 ? ? Fi 时，? (? ) ? ? i (? ) (i ? 1,2, ? , m) 。这个新行为 ?? 叫做行为 ? 1 , ? 2 , ? , ? m 的复合行为，并记作 ? ? (? 1 F1 , ? 2 F2 , ? , ? m Fm ) 。容易看出，对于结果集合为有限集合的不确定性行为 ? ? X ，设 ? [?] ? {x1 , x 2 , ? , x m } ， 并令 Fi ? {? ? ? : ? (? ) ? x i } (i ? 1,2, ? , m) ， F ? ( Fi ) m ? {F1 , F2 , ? , Fm } 是 ? 的一个分划并 则 且 ? ? ( x1 F1 , x 2 F2 , ? , x m Fm ) 。 复合行为 ? ? (? 1 F1 , ? 2 F2 , ? , ? m Fm ) 的经济意义是什么呢？实际上，这里的复合行为类 似于上一节中所说的复合彩票。它是说：如果事件 F1 发生，则按照计划 ? 1 进行不确定性的选 择；如果事件 F2 发生，则按照计划 ? 2 进行不确定性的选择；如此等等，如果事件 Fm 发生， 则按照计划 ? m 进行不确定性的选择。 经常碰到的是两个行为的复合。设 ? , ? ? X ， F ? ? ， F c ? ? ? F 为 F 的余集。? 与 ? 的复合行为 (? F , ? F c ) ，就是通过事件 F 的发生与否来决定的一种新的不确定性行为：如果 事件 F 发生，就采取行为 ? ；否则，采取行为 ? 。(三) 条件偏好设 F ? ? (?) （即 F 为一事件） ? , ? ? X ? X ( S ) 为任意两个不确定性行为， 为 X 上 ， 的一个偏好关系。如果对任何的 ? ? X ，都有 (? F , ? F c ) 作?(? F , ? F c ) ，则称 ? 依事件 F 不F优于 ? ，或者称 ? 依事件 F 不比 ? 优，或者称为 ? 依事件 F 不次于 ? ，记作 ?F? ，或记? 。这种由事件 F 决定的偏好关系FF，称为条件偏好关系。显然，当 F ? Φ 时，F对任何 ? , ? ? X ，都有 ?? ；而当 F ? ? 时，偏好 与条件偏好一致。(四) 零事件设 F ? ? (?) 。如果对于任何 ? , ? ? X ? X ( S ) ，都有 ? 称 F 是非零事件。显然，空集 Φ 是零事件。F? ，则称 F 是零事件。否则，二、主观概率公理体系萨维奇对 X 上的偏好关系 提出了以下六条公理。 确认性公理．对任何 F ? ? (?) 及任何 ? , ? , ? , ? ? X ，(? F , ? F c )(? F , ? F c ) (? F , ? F c ) 。 (? F , ? F c ) 当且仅当管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！确认性公理蕴含着对任何事件 F ? ? ， 条件偏好F是非空偏好。 这条公理也表明了一种独立性：对于两种不确定的选择行为，决策者关心的只是这两种选择有何不同，他对这两种 行为的好坏评价也就只取决于两种选择的不同之处，而与相同之处无关。也就是说，与行为? ? X 相比，决策者是否更偏好于行为 ? ，取决于区别集合 {? ? ? : ? (? ) ? ? (? )} ，而与具有相同选择结果的集合 {? ? ? : ? (? ) ? ? (? )} 无关。简言之，不确定性选择上的差别，决定着决 策者的偏好。 状态独立公理．对任何非零事件 F ? ? (?) ，任何 x, y ? S 及任何 ? ? X ， x(x F ,? F )cy 当且仅当( y F ,? F ) 。c状态独立公理表明，决策者在结果集合上对各种结果作出的好坏排序，不依赖于任何非 零事件，从而也与自然状态无关。同时这条公理也表明，如果两种不确定行为仅仅在一种自 然状态下的选择结果不同，那么着两种不同选择结果之间的优劣比较决定了这两种行为之间 的优劣比较。 定性概率公理．对于任何 F , G ? ? (?) 及确定性行为 x, y , x ?, y ? ? S ，设 x ? y 且 x ? ? y ? ， 则 ( x F , y F c ) ( x G , y G c ) 当且仅当 ( x ? F , y ? F c )(x? G, y? G c ) 。定性概率公理保证了事件域 ? (? ) 上实质上存在着某种定性的概率关系，定义如下：对于 任何 F , G ? ? (?) ，事件 F 至少与事件 G 等可能发生，记作 Fx ? y ，使得 ( x F , y F )c* G ，是指存在 x, y ? S ，(x G, y G ) 。c非退化公理．存在 x, y ? S 满足 x ? y 。 无原子公理．对于任何 ? , ? , ? ? X ，如果 ? ? ? ，则存在 ? 的分划 F ? ?F1 , F2 , ? , Fm ? ， 使得 ? ? (? Fi c , ? Fi ) 和 (? Fi c , ? Fi ) ? ? 对一切 i ? 1,2, ? , m 成立。 无原子公理起着连续性假设的作用，它还（与非退化公理一道）蕴含着状态空间的无限 性。进一步，无原子公理与如上所述的各公理一道，蕴含着选择集合 X 按照序拓扑可成为一 个连通的拓扑空间。 条件单调性公理．对任何 ? , ? ? X 及 F ? ? (?) ，如果 ? ? ? (? ) 对一切 ? ? F 成立，则?F? ；同样，如果 ? (? ) ? ? 对一切 ? ? F 成立，则 ?F?。三、萨维奇定理函数 P : ?(?) ? R 叫做状态空间 ? 上的有限可加概率测度，是指 P 具有以下三条性质： (1) 对任何 F ? ? (?) ，都有 0 ? P ( F ) ? 1 ， (2) P (? ) ? 1 ， (3) 对于任何有限个两两不交的集合 F1 , F2 , ? , Fm ? ? (?) ，都有 P (? im 1 Fi ) ? ? i ?1 P ( Fi ) 。 ?m测度 P 叫做是无原子测度，是指对任何实数 p ? [0, 1] 及集合 A, B ? ?(?) ， A ? B ，都存 在 C ? ? (?) 满足：(1) A ? C ? B , (2) P (C ) ? pP ( A) ? (1 ? p ) P ( B ) 。 萨维奇定理．对于行为空间 X 上的任一偏好关系 来说，下面两个命题等价： 服从确认性公理、状态独立公理、定性概率公理、非退化公理、无原子公理和条件 单调性公理。 (2) ? 上存在唯一的有限可加无原子概率测度 P ，存在一个在仿射变换下唯一的有界函数 (1)管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！使得对任何 ? , ? ? X ，? u:S ? R，? 当且仅当 ?? u (? (? )) dP (? ) ? ?? u (? (? )) dP (? ) 。萨维奇定理指出了保证主观概率和 VNM 效用函数唯一存在的不确定性经济行为公理。不 过这里的概率稍不同于通常所说的概率，它只具有有限可加性，而不具有可数可加性，这是 因为在无限状态空间 ? 上，当事件域为 ? 的一切子集之集族时，满足可数可加性的概率是不 存在的。因此，经典概率论中总是要求事件域只是样本空间的一部分子集所组成的集族，然 后才要求概率具有可数可加性。如果我们仿效经典概率论的做法来研究主观概率问题，那么 我们所得到的主观概率就会同经典概率论中使用的概率具有同样的性质，因而可用经典概率 处理主观概率问题。 例 1. 主观概率的测定 我们以赌博为例，简要说明一下如何测定主观概率的问题。设赌博的结果只有两种：要 不然获得收入 b ，要不然获得收入 w ( b ? w )。因此，确定性选择集合 S ? {b, w} 。设 ? 为状 态空间， ? 为事件域，它是一个 ? ? 代数。 一切可能的赌博所构成的集合 X 可表示为： X ? { pb ? (1 ? p ) w : p ? [0, 1]} ，其中 pb ? 1 ? p ) w 是说，获得收入 b 的概率为 p ，获得收入 w 的概率为 1 ? p 。现在，消费者不 知道一次赌博中获得这两种收入的概率分布情况， 但消费者能够对各种可能的赌博作出好坏 判断，即他在 X 上有一个偏好关系 。我们看一看如何从这个偏好关系来测定消费者在赌 博评价中的主观概率 P : ? ? [0, 1] 。 任意给定 A ? ? ，考虑这样的赌博：当事件 A 发生时，获得收入 b ；当 A 不发生时，获 得收入 w 。 这个赌博可表示为 g ? (b A, w A c ) ， g : ? ? S ， ? ? A 时， (? ) ? b ； ? ? A c 即 当 当 g 时， g (? ) ? w 。显然， g ? X ，即 g 在我们考虑的赌博范围之内。这样，在 X 中必然存在 着一个赌博 g A ? p A b ? (1 ? p A ) w 满足 g 。 g A （即消费者认为 g 与 g A 无差异） 假设该消费者认为 b ? w （即高收入比低收入好，从而偏好 是非退化的） ，并且认为获 得赌博中获得高收入的可能性越大越好（即 pb ? (1 ? p ) w ? qb ? (1 ? q ) w 当且仅当 p ? q 。 从而偏好 满足独立性公理） 。于是与 g 无差异的赌博 g A 中的实数 p A 是唯一确定的，这个p A 就可认为是消费者对事件 A 发生的可能性大小的主观判断――主观概率。令 P ( A) ? p A ，可以证明这样定义的函数 P : ? ? R 服从概率的基本性质，因而可看作适赌博者的主观概率 测度，也即 (?, ?, P ) 就是赌博者的主观概率空间。 萨维奇定理和上面事例说明，只要观察到的选择行为服从某些合理似然的公理，那么主 观概率和效用函数都可从观察到的行为构建出来。其概率也必然服从贝叶斯定律：P( A B) ? P ( B A) P ( A) P(B)这里 A, B 为任意两个事件， P ( A B ) 为条件概率，即事件 B 发生的情况下事件 A 发生的概率。 比如彩票抽奖，开始时人们对中奖概率各有自己的判断，当然这个概率是很低的，前来抽彩 的人不会那么多。当抽彩进行了一段时间后，如果奖品还未被抽走，那么人们就会修正以前 作出的中奖概率判断，得出新的判断，即把先前的概率修改成为了条件概率。修改后的概率 较以前要高，从而这个时候他就可能决定抽彩。 贝叶斯定律说明了理性决策者如何根据事实(或依据得到的信息 B )来调整和修正他的主 观概率判断。 如果把贝叶斯公式中的 A 解释为某一特定的假设 H ， B 解释为推断假设 H 为 把 真的证据，把 P( A) 解释为决策者认为假设 H 为真的主观概率 P (H ) (即 P ( A) ? P ( H ) )，那么管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！贝叶斯定律说明了决策者如何根据证据 B 来调整他相信假设 H 为真的概率。 贝叶斯定律是重要的， 它把先验概率 P( A) (即在观察证据前假设为真的概率)与后验概率 P ( A B ) (即在观察证据后假设为真的概率)联系在一起，成为大多数理性学习行为模型的基 础。第四节 两个悖论到目前为止，我们的分析似乎是直观的、合乎实际的，而且所建立的理论似乎是完美的。 但要注意，我们并不能由此就说，该理论是对决策者实际行动的确切描述。且看下面的关于 预期效用和主观概率的两个悖论。 悖论 1. 阿莱悖论(Allais paradox)(关于预期效用的悖论) 现有四种彩票： A, B, C , D ，其中获奖收入与获奖概率分布情况分别如下表所示。 彩票 C A B D 奖金(元) 100 500 100 0 100 0 500 0 获奖概率 100％ 10％ 89％ 1％ 11％ 89％ 10％ 90％ 通过调查发现，很多人都认为 A ? B 且 D ? C ，即偏好于 A 而非 B ，偏好于 D 而非 C 。 这可能是因为 A 与 B 相比，购买彩票 A 可稳稳当当地得到 100 元奖金，而购买彩票 B 虽然以 极大的可能性得到 100 元奖金和以较小的可能性得到 500 元的更高奖金，但同时还冒有一文 不得的风险。既然购买 B 最可能得到的奖金仍是 100 元，因此 B 没有 A 好，或者说 A 比 B 好。 对于彩票 C 和 D 来讲， 购买 D 获得 500 元高额奖金的可能性仅比购买 C 获得 100 元低额奖金 的可能性小 1％，而且 500 元与 100 元之间的差额不算小，因此购买 D 比购买 C 要好。 设预期效用函数为 u ，那么u ( A) ? u (100 ) u ( B ) ? 0.1 ? u (500 ) ? 0.89 ? u (100 ) ? 0.01 ? u ( 0) u (C ) ? 0.11 ? u (100 ) ? 0.89 ? u ( 0) u ( D ) ? 0.1 ? u (500 ) ? 0.9 ? u (0)而且应该有 u ( A) ? u ( B) 及 u (C ) ? u ( D ) 。 从 u ( A) ? u ( B) 可 以 推 出 0.11 ? u (100 ) ? 0.1 ? u (500 ) ? 0.01 ? u (0) 。 在 此 式 两 边 加 上 0.89 ? u (0) 可得：0.11 ? u (100 ) ? 0.89 ? u (0) ? 0.1 ? u (500 ) ? 0.9 ? u (0) ，即 u (C ) ? u ( D ) ，这与 实际调查结果 D ? C 相矛盾。 阿莱悖论说明，实际中人们往往并不是按预期效用大小来对风险行为进行评价的。因此， 预期效用理论也有不切实际的地方和时候。 悖论 2. 艾尔斯伯格悖论(Ellsberg paradox)(关于主观概率的悖论) 袋中有红、蓝、绿三种颜色的球共 300 个，其中红球 100 个。现有四种形式的赌博： 赌博 A ：从带中摸出一球，如果为红球，可得 1000 元。 赌博 B ：从带中摸出一球，如果为蓝球，可得 1000 元。 赌博 C ：从带中摸出一球，若不是红球，可得 1000 元。管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！赌博 D ：从带中摸出一球，若不是蓝球，可得 1000 元。 面对这四种赌博，每个人都需要对袋中有多少蓝球和有多少绿球作出自己的主观判断，因而 涉及主观概率。通过调查发现，大多数人基本上都认为 A 优于 B ， C 优于 D 。这种偏好可能 是由于 A 的确定性程度比 B 高，C 的确定性程度比 D 高。 但这样的偏好不符合主观概率理论。 为了说明上述偏好违背主观概率理论这一事实， P 表示赌博者所依据的主观概率，u 表 用 示在这个主观概率下的预期效用函数，F 表示摸出红球这一事件，G 表示摸出蓝球这一事件。 则 F c 表示摸出的球不是红球， G c 表示摸出的球不是蓝球。 从概率论知识可知， P ( F c ) ? 1 ? P ( F ) ， P (G c ) ? 1 ? P (G ) 。计算一下四种赌博的效用：u ( A) ? P ( F ) u (1000 ) ? (1-P ( F )) u ( 0 ) u ( B ) ? P (G ) u (1000 ) ? (1-P (G )) u ( 0 ) u (C ) ? P ( F c ) u (1000 ) ? (1-P ( F c )) u ( 0 ) ? (1-P ( F )) u (1000 ) ? P ( F ) u ( 0 ) u ( D ) ? P (G c ) u (1000 ) ? (1-P (G c )) u ( 0 ) ? (1-P (G )) u (1000 ) ? P (G ) u ( 0 )A 优于 B ，即 u ( A) ? u ( B ) ，因此 ( P ( F ) ? P (G )) u (1000 ) ? ( P ( F ) ? P (G )) u (0) 。 C 优于 D ，即 u (C ) ? u ( D ) ，因此 ( P ( F ) ? P (G )) u (1000 ) ? ( P ( F ) ? P (G )) u (0) 。如此得到的两个不等式相互矛盾，这说明按照主观概率理论不可能有 A ? B 且 C ? D 。 然而事实却是如此，调查发现 A ? B 且 C ? D 却是同时发生了。因此，主观概率理论也有不 切实际的地方和时候。 以上两个悖论说明，理论与实际之间存在着矛盾。对于这些矛盾，一些经济学家认为是 由于理论的不完善所致，需要建立新的理论或模型来重新解释经济行为。另一些经济学家则 认为，出现这些悖论是因为经济人发生了“视觉错误” 。比如人们在某些情况下对判断距离无 能为力，但这不意味着需要发明一种新的距离概念。因此，预期效用理论以及建立在主观概 率基础上的预期效用理论都是正确的。第五节 风险大小的测定在带有不确定性的环境中，消费者会意识到他所做出的选择具有一定的风险性。比如说， 由于选择结果的不确定，最终的结果可能会让消费者感到满意，也可能会令消费者失望。又 如“事后诸葛”常有人在，许多在不确定条件下做出的选择，事后看起来并不一定是最优的。 怎样才能在不确定的条件下， 使决策的风险降低到最低程度？这涉及到如何衡量风险的问题。 显然，风险的大小既与环境的不确定性程度有关，又与消费者对待风险的态度有关。本节就 来讨论如何区别消费者对待风险的不同态度以及如何度量风险大小的问题。一、对待风险的不同态度第一节例 2 中对赌博的分析，适用于任何风险行为的研究。从这个例子得到的启示是， 一个人对待风险的态度完全反映在他的偏好关系上。有些人善于更多地想到会出现坏结果， 因而他们在决策时比较谨慎，表现出对风险的厌恶态度。另一些人则喜欢去想较好的结果变 成为现实，从而他们具有冒险精神，表现出对风险的喜好态度。还有一些人在风险面前表现管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！出既不怎么厌恶风险，也不太喜好风险的中立态度。应该说，大多数人对待风险的态度都是 厌恶。如果注意观察数目众多的投保人，就不难看出这一点。许多人不但购买了人寿保险、 健康保险和汽车保险，而且还要寻求一份具有相对稳定工资收入的职业或工作。 人们对待风险的这些不同态度，可以用前面建立的预期效用理论加以准确地表述。为此， 设 (?, ?, P ) 为状态概率空间，S 为确定性选择集合， S ? R ? 为一切可能的选择结果的集合， 即 X 为行为空间，即 X 为 ? 上取值于 S 中的随机向量的全体。对于 p ? [0, 1] 和 ? , ? ? X ， p? ? (1 ? p )? 表示以概率 p 采取行为 ? ，以概率 1 ? p 采取行为 ? 的复合行为。当 ? 的分布 函数为 f ， ? 的分布函数为 g 时， p? ? (1 ? p )? 的分布函数为 pf ? (1 ? p) g 。 设 为消费者在行为空间 X 上的偏好关系，并服从阿基米德公理和独立性公理，即 是 预期偏好关系，因而存在 的预期效用函数 u : X ? R 。再设确定性选择集合 S 是 R ? 的凸闭 子集。既然 S ? R ? ， 同时确定了消费者在确定性选择集合 S 上的偏好关系，即把 限制在S 上时所得到的偏好关系，记作S，称为消费者的结果偏好。当把预期效用函数 u (x ) 中S的自变量 x 限制在 S 中变化时，便得到 S 上的效用函数 U ? u 的效用表示，称为消费者的结果效用函数。: S ? R ，它是结果偏好S对于 ? ? X ，? 的数学期望 E[? ] 为 S 中的向量。u (? ) 是行为 ? 的预期效用， u ( E[? ]) 而 是 ? 的期望值 E[? ] 的效用，这二者是不同的。比较 u (? ) 和 u ( E[? ]) 的大小，就可说出消费 者在风险行动 ? 中对待风险的态度： (a)对待风险的爱好态度. 如果 E[? ] ? ? (即 u ( E[? ]) ? u (? ) )，则称消费者在行动 ? 中是 一个风险爱好者或冒险者(risk loving)。 这就是说，对于期望值相同的两种行为，一种是确定性行为，没有风险，而另一种是不 确定的，带有风险，风险爱好者要采取带有风险的行为，以不放过取得更好结果的机会。 可以看出，在行动 ? 中，风险爱好者的结果效用函数 U ? u S 在 E[? ] 处是局部严格凸函 数(如图 5-1(a)所示)，即对 E[? ] 附近的任何 x, y ? S 及任何 p ? (0, 1) ， u ( E[ px ? (1 ? p ) y ]) ? U ( px ? (1 ? p ) y ) ? pU ( x) ? (1 ? p )U ( y ) ? u ( px ? (1 ? p ) y ) (b)对待风险的厌恶态度. 如果 E[? ] ? ? (即 u ( E[? ]) ? u (? ) )，则称消费者在行动 ? 中 是一个风险厌恶者或风险厌恶者(risk aversion)。 这就是说，对于期望值相同的两种行为，一种是确定性行为，没有风险，而另一种是不 确定的，带有风险，风险厌恶者要采取无风险的确定性行为，以求获得稳妥的最终结果。 可以看出，在行动 ? 中，风险厌恶者的结果效用函数 U ? u S 在 E[? ] 处是局部严格凹函 数(如图 5-1(b)(本章第一节)所示)，即对 E[? ] 附近的任何 x, y ? S 及任何 p ? (0, 1) ， u ( E[ px ? (1 ? p ) y ]) ? U ( px ? (1 ? p ) y ) ? pU ( x) ? (1 ? p )U ( y ) ? u ( px ? (1 ? p ) y ) (c)对待风险的中立态度. 如果 E[? ]? (即 u ( E[? ]) ? u (? ) )，则称消费者在行动 ? 中是一个风险中立者(risk neutral)。 这就是说，对于期望值相同的两种行为，一种是确定性行为，没有风险，另一种是不确 定的，带有风险，风险中立者认为不论采取这两种行为的哪一种，都不会有什么差异。 可以看出，在行动 ? 中，风险中立者的结果效用函数 U ? u S 在 E[? ] 处是局部线性函数 (如图 5-1(c)所示)，即对 E[? ] 附近的任何 x, y ? S 及任何 p ? (0, 1) ， u ( E[ px ? (1 ? p ) y ]) ? U ( px ? (1 ? p ) y ) ? pU ( x) ? (1 ? p )U ( y ) ? u ( px ? (1 ? p ) y ) 如果在任何风险行动 ? ? X ? S 中，消费者都表现出对待风险的爱好态度，那么就称该消 费者是风险爱好者； 如果在任何风险行动 ? ? X ? S 中， 消费者都表现出对待风险的厌恶态度， 那么就称该消费者是风险厌恶者；如果在任何风险行动 ? ? X ? S 中，消费者都表现出对待风 险的中立态度，那么就称该消费者是风险中立者。管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！风险厌恶者的结果效用函数 U 是严格凹函数，风险爱好者的结果效用函数 U 是严格凸函 数，风险中立者的结果效用函数 U 是线性函数(即一次函数)。 例 1. 公司经理对待风险的态度 公司经理比普通人更喜欢冒险吗？ 关于这个问题， 有人对 464 名公司经理发出问卷进行 调查。问卷调查的结果表明，经理们对待风险的态度差别较大。大约 20％的经理相对表现出 对风险的中立态度，20％的人明显表现出对风险的厌恶态度，40％的人似乎更喜欢冒险一些， 还有 20％的经理们对调查问卷没有做答复。 更为重要的是，调查结果表明经理们一般都是以延期决策、再等一等看、不断搜集信息 的方式努力防范和克服风险， 各人对待风险的态度同风险行为所涉及的收益与损失情况有关。 喜欢冒险的那些经理们，在预期收益为负的情况下不甘心，要去冒险；而在预期收益为正的 情况下反倒谨慎起来，采取风险较小的行动（本例摘要选自 K.R. MacCrimmon & D.A. Donald, The risk in-basket, Journal of Business 57(1984)） 。二、风险的度量决策者对待风险的态度，反映在他对风险行动 ? 和确定性行动 E[? ] 的评价上。那么风险 的大小是否也反映在 ? 和 E[? ] 之上呢？或者说，我们如何测定风险行动的风险大小呢？一般 来说，测定风险大小的办法有两种，一种是利用风险金测量，另一种是利用方差测量。(一) 风险金风险金涉及到货币，进而涉及商品价格，因而需要首先给定商品空间 R ? 上的价格体系为 p ? ( p1 , p 2 , ? , p ? ) 。在面对风险行为时，决策者为了防范风险，会把风险行为同某种与其效 用相同的无风险行为进行比较，得出风险大小的判断。这个用来同风险行为作比较的无风险 行为，称为风险行为的确定性等价(certainty equivalent)。 1．确定性等价的确定 我们来看一看风险行为的确定性等价到底是什么样的行为。为此，设 ? ? X ，并称集合 C[? ] ? {x ? S : x ~ ? } 为 ? 的确定性等价类。 (1) 风险厌恶者的确定性等价 对于风险厌恶者(即 E[? ] ? ? )，他的结果效用函数(局部)严格凹，因而他的确定性偏好 (局部)严格凸。只要 C[? ] 非空，那么就在 C[? ] 中存在唯一的向量 c[? ] ，它是价格体系 p 下 C[? ] 中支出最小的向量(如图 5-3(a)所示)，即 pc[? ] ? min{ px : x ? C[? ]} ? min pC[? ] 。称 这个向量 c[? ] 为行为 ? 在价格体系 p 下的确定性等价(certainty equivalent)。根据第三章 关于希克斯需求的讨论可知， pE[ X ] ? pc[? ] （因为 E[ X ] ? c[? ] )。 为什么要选择 C[? ] 中支出最小的向量作为 ? 的确定性等价，而不选择 C[? ] 中的其他向 量呢？这个问题可从两个方面加以解释。从消费者角度看， ? 可看作是消费者的随机消费选 择。根据第三章关于确定性消费选择的讨论，在给定价格体系下和给定的效用水平上，消费 者的最优选择是选择这个效用水平上支出最小的向量（即希克斯需求向量） 。因此，在价格体 系 p 下， ? 的确定性等价应该是 c[? ] ，而非其他向量。 再从生产者或投资者的角度看， ? 可看作是决策者的所获，不过是随机的。作为风险厌 恶者，决策者首先要考虑的是在保持效用水平不变的情况下，选择确定性方案至少可获得多 少收益。 pc[? ] 就是决策者的选择与 ? 同等效用水平时至少可获得的价值（收益） ，因此 c[? ] 是确定性行动中与不确定性行动 ? 最好的比较。这便是从最坏处着想，谋求最好的结果。 (2) 风险爱好者的确定性等价 对于风险爱好者(即 E[? ] ? ? )，他的结果效用函数(局部)严格凸，因而他的确定性偏好管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！(局部)严格凹。只要 C[? ] 非空，那么就在 C[? ] 中存在唯一的向量 c[? ] ，它是价格体系 p 下 C[? ] 中价值最大的向量(如图 5-3(b)所示)，即 pc[? ] ? max{ px : x ? C[? ]} ? max pC [? ] 。称 这个向量 c[? ] 为行为 ? 在价格体系 p 下的确定性等价(certainty equivalent)。可以证明， pE[ X ] ? pc[? ] （因为 E[ X ] ? c[? ] )。 之所以要选择 C[? ] 中价值最大的向量作为 ? 的确定性等价，是因为风险爱好者不同于厌 恶风险者，他的行为与风险厌恶者的行为恰恰相反。风险爱好者为了获得高收入，不惜冒险 的代价。这样，在与风险行为具有同等效用的确定性商品向量中，价值最大者 c[? ] 的价值 pc[? ] 将是他不冒险时最多可得到的价值。冒险采取风险行动 ? ，尽管预期收益 pE[? ] 没有 pc[? ] 大，但没有放弃获得更高收益的机会。因此，他宁愿放弃 c[? ] ，也不愿放弃 ? 。可见， 只有价值最大的向量才能作为风险行为的确定性等价。 再从决策者作为消费者的角度看，风险爱好者认为，选择风险消费行为 ? ，预期的支出 额为 pE[? ] 。若选择与 ? 效用同等的确定性消费方案，那么最多要指出 pc[? ] 。既然 pE[? ] 小 于 pc[? ] ，因此从冒险的角度看，冒险有一定的好处。可见，从消费者角度看，也只有支出最 大的向量才能作为风险爱好者选择风险行为的确定性等价。 (3) 风险中立者的确定性等价 对于风险中立者(即 E[ X ] ~ ? )来说， 由于他认为风险行为 ? 同无风险行为 E[? ] 之间并无 差异， 因此 E[? ] 是他在 ? 的确定性等价类 C[? ] 中首当其冲的选择。 我们就把 E[? ] 规定为 ? 的 确定性等价，并也记作 c[? ] ，即 c[? ] ? E[? ] 。可以看出，风险中立者的确定性等价类 C[? ] 是 R ? 中的(超)平面，如图 5-3(c)所示。C [? ]px ? pE [? ]E [? ]C [? ] c [? ]c [? ] ? E [? ]px ? pE [? ]c [? ]px ? p c [? ]E [? ]C [? ](a) 风险厌恶者的确定性等价(b) 风险厌恶者的确定性等价 图 5-3 风险行为的确定性等价(c) 风险厌恶者的确定性等价总之，风险行为 ? 的确定性等价 c[? ] 是根据消费者对待风险的不同态度而分别定义的：?C [? ]中支出最小的向量， 当 E [? ] ? ? 时; ? c[? ] ? ?C [? ]中价值最大的向量， 当 E [? ] ? ? 时; ? E [? ] (行为 ? 的预期向量 ), 当 E [? ] ~ ? 时. ?2．风险大小的测定 认清了行为 ? 的确定性等价 c[? ] 后， 的预期向量 E[? ] 和确定性等价 c[? ] 之间的价值比 ? 较 pE[? ] : pc[? ] 便很重要，从这个比较中可得到一个价值差 pE[? ] ? pc[? ] ，这个价值差可用 来判断行为 ? 的风险大小。我们把这个价值差称为风险行为 ? 的风险金或风险升水或保险费 (risk premium)，并记作 RP (? ) ，或者更明确地记作 RP (? , p ) ，以示它与价格体系 p 的关系， 即 RP (? ) ? RP (? , p ) ? pE[? ] ? pc[? ] 。 风险金可为正，可为负，也可为零。风险厌恶者的风险金为正，风险爱好者的风险金为 负，风险中立者的风险金为零。 当决策者面对风险行为 ? 时，如果采取 ? ，则他预期可得到向量 E[? ] ，其预期价值为管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！pE[? ] ；如果不采取 ? ，而采取 ? 的确定性等价 c[? ] ，则他毫不含糊地可得到商品向量 c[? ] ， 并保持了效用水平不变。两种选择出现了价值差 RP (? ) ? pE[? ] ? pc[? ] 。对于风险厌恶者来说， ? 的确定性等价的价值 pc[? ] 小于 ? 的预期向量的价值 pE[? ] ， 即风险厌恶者采取风险行动比采取同等效用的无风险行动，可预期得到更大的价值。价值差 RP (? ) 可看作是对风险厌恶者采取风险行为的补偿，是对冒险的回报。也就是说，风险厌恶 者认为 E[? ] 比 ? 好，所以宁愿采取 E[? ] ，也不愿采取 ? 。如果非要让他采取风险行动 ? ， 那么必须对他承担风险进行补偿，其补偿额应为价值差 RP (? ) ? pE[? ] ? pc[? ] 。 对于风险爱好者来说， ? 的确定性等价的价值 pc[? ] 大于 ? 的预期向量的价值 pE[? ] ， 即风险爱好者采取风险行动比采取同等效用的无风险行动，可预期得到的价值要小。但他不 甘心放过获得更高价值的机会，宁愿放弃确定性等价比预期向量多出的价值 pc[? ] ? pE[? ] ， 也要“赌”一把去冒这个险。因此， pc[? ] ? pE[? ] 可看作是风险爱好者冒险的代价。 我们已经看到，正的风险金表示了决策者采取风险行动所得到的补偿；负的风险金表示 了决策者采取风险行动所付出的代价；零风险金表示决策采取风险行动既无需得到补偿，也 无需付出代价。这就是风险金的意义。 换个角度来理解，决策者希望把不确定的选择变成为确定性的选择，当然这种变化要求 保持效用不变。于是，风险金表示了从不确定性选择变成为效用同等的确定性选择，决策者 愿意付出的价值。这正是风险金的保险费意义，即可把风险金理解为保险费：决策者为了得 到与风险行动 ? 同等效用的确定性结果 c[? ] ，愿意付出金额 RP (? ) 。 风险金衡量着风险行为的风险大小。对于风险厌恶者来说，承担的风险越大，理应得到 更大的风险回报。否则，他就不会贸然采取风险行动；对于风险爱好者来说，风险越大，冒 险的代价也就越大。 当选择结果是以得到的货币多少来 衡量时，确定性等价及风险金就有更加直 观的意义(如图 5-4 所示)。 此时 S ? R ， u 成为货币收入的预期效用函数， U ? u S 成为货币收入的确定性效用函数，我们可 假定 U 是严格递增函数。此时的确定性等 价 类 C[? ] 也 成 为 单 点 集 ： 风险 C[? ] ? {x ? S : u ( x) ? u (? )} ? {c[? ]} 。 金 RP (? ) 是图 5-4 中粗线段 RP 所代表的 部分：RP ? E[? ] ? c[? ] 。U Uu ( E [? ]) u (? )u (? ) u ( E [? ])RPc[? ] E [? ] w?? (a) 风险厌恶者的风险金WRPw? E [? ] c[? ] w ?? (b) 风险爱好者的风险金Ww?图 5-4 货币收入的效用函数下风险金的确定(二) 方差测定风险大小的第二种尺度是随机变量的方差， 其定义为 Var (? ) ? E[(? ? E[? ]) 2 ] 。 方差 的平方根叫做标准差，记作 ? ，即 ? ? ? (? ) ? Var (? ) 。方差纯粹是从风险的本质来测定风 险大小的，因而它与风险金测量手段稍有不同。可以这样说，方差测量出来的风险大小是客 观的，描述了选择结果偏离预期值的程度，与消费者的主观评价无关；而风险金测定的风险 大小带有主观色彩，与消费者的主观评价(偏好关系)有关。 既然方差客观地反映着随机选择偏离预期值的程度，风险厌恶者自然希望随机选择行为 的方差越小越好。 比如， 某人面临两种风险职业选择， 职业 A 和职业 B 。 从事第一种职业 A 的 收入情况是：干得好，则可得 3 万元收入，获得 18 个单位的效用；干不好，只能得 1 万元收 入，只获 10 个单位的效用。能干好与干不好的概率各为 0.5，预期收入 E[ A] 为 2 万元，预期 效用 u ( A) 为 14 个单位，即 u ( A) ? EU ( A) ? 0.5 ? 18 ? 0.5 ? 10 ? 14 。如果从事一份具有稳定收管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！入 1.6 万元的工作 c[ A] ，那么他也能得到这 14 个单位的效用。因此，收入为 1.6 万元的稳定 工作 c[ A] ，是风险职业 A 的确定性等价，职业 A 的风险金 RP ( A) 也就为 0.4 万元，即 RP ( A) ? E[ A] ? c[ A] ? 2 ? 1.6 ? 0.4 。 从事第二种职业 B ，获得 4 万元收入的概率为 0.5，一无所获的概率也为 0.5。于是，从 事职业 B 的预期收入 E[B ] 仍为 2 万元。4 万元收入的效用为 20，一无所获的效用为 0，结果 职业 B 的预期效用 u (B ) 为 10 个单位，即 u ( B ) ? EU ( B ) ? 0.5 ? 20 ? 0.5 ? 0 ? 10 。由于 1 万元 收入的效用为 10 个单位，即 u (1) ? 10 ，因此，收入为 1 万元的稳定工作 c[B ] 是风险职业 B 的 确定性等价。职业 B 的风险金 RP (B ) 为 1 万元，即 RP ( B ) ? E[ B ] ? c[ B ] ? 2 ? 1 ? 1 。 计算一下 A 和 B 的方差。 Var ( A) ? 0.5 ? (3 ? 2) 2 ? 0.5 ? ( 1 ? 2) 2 ? 1 Var ( B ) ? 0.5 ? ( 4 ? 2) 2 ? 0.5 ? (0 ? 2) 2 ? 4 可见 Var ( A) ? Var ( B) 且 RP ( A) ? RP ( B ) ，即方差越大，风险金也越大，为了避免风险所愿意 付出的保险费也就越高。 例 2. 名牌效应 产品品牌对于消费者选择具有较大的影响。名牌产品常常具有质量好、性能稳定、售后 服务好等优点。质量好意味着消费者购买该产品后预期收益 E[? ] 大，性能稳定和售后服务好 又意味着消费者购买该产品后面临的风险小，因而保险费 RP (? ) 较低。根据保险费公式 RP (? ) ? pE[? ] ? pc[? ] 可知，购买名牌产品这一行为 ? 的确定性等价 c[? ] 的价值 pc[? ] 等于 pE[? ] ? RP (? ) 。对于质量同等（即预期收益相同）的非名牌产品，由于不知名而让消费者感 到购买它具有较高的风险，因而风险金较高。这说明购买非名牌产品之行为的确定性等价的 价值，低于购买名牌产品之行为的确定性等价的价值。因此，消费者愿意为名牌产品支付较 高的价格。这就是所谓的名牌效应。 不法厂商正是利用名牌效应把自己的假冒伪劣产品推向市场，坑害消费者的。在消费者 没有得到关于产品的准确信息的情况下，他信以为打着名牌的假冒产品是真正的名牌产品， 于是出现了主观概率判断上的错误，给予该产品很高的期望收益和较低的风险，从而愿意为 它支付较高的价格，结果吃亏上当。如果不对假冒伪劣产品予以制止，久而久之，就要导致 消费者对名牌的预期收益的下降和名牌风险的上升，从而风险金增大，消费者也就不再愿意 为名牌产品支付较高的价格，名牌产品生产者的效益也就要下降。 例 3. 实行处罚制度，预防不法行为 日常经济生活中，总有一些人违法乱纪，给他人及社会造成危害。比如违章行车、偷税 漏税、假冒名牌、环境污染等等，那些以这种方式采取不法行为的人一般都信息灵通，他们 的行动可视为符合理性。对他们实行处罚，要比抓起来关监禁好。 假若社会能够不费力气地将不法者抓获，挽回他们给社会造成的损失，那么就去抓不法 者并给以处罚以挽回损失好了。然而实际上，抓获不法者是一件极不容易的事情，而且会付 出巨大代价，使社会成本猛增。社会治安应该以预防为主，而实行处罚制度是预防不法行为 的有效途径，可为社会节约大量的管理成本。那么，处罚金定为多少才合适呢？这个问题可 以用本节提出的经济学方法加以解决。一般来说，人们越是厌恶风险，处罚金也就越低。 设 Law 为某一法律规定(比如不准使用他人商标)。之所以作出这一法律规定，是因为违 反规定者可以损人利己。假定经济人违反 Law 时，自己可得到价值 m 元的非法收入。 如果社会能果不费力气地抓获每一个违反 Law 的违法者，那么就给每人以 m 元的处罚好 了。然而这是做不到的，社会需要定出一个处罚金标准 M ，并要确定出违法者被抓获的概率管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！p ，使得按照这个处罚标准 M 和这个抓获违法者的可能性 p ，就可阻止不法行为的发生。 为了分析 M 和 p 应该是多少，需要用到经济人的货币收入预期效用函数 u 。用 A 表示违反 Law 的非法行为， B 表示不违反 Law 的合法行为。非法行为 A 带有风险，合法行为 B 没有 风险。 采取非法行为 A 的非法收益为 m 元， 被抓获处以 M 元罚款的概率为 p 。 因此,非法行为 A 的非法预期收益为E[ A] ? p ( m ? M ) ? (1 ? p ) m ? m ? pMA 的非法预期效用为u ( A) ? pu ( m ? M ) ? (1 ? p )u (m)当然，合法行为 B 的非法预期收益 E[B ] 和非法预期效用 u (B ) 都为零。 只有当 u ( A) ? 0 时， 经济人才会去违反 Law， 因为这时尽管违法有可能被逮住并处以 M 元 罚款，但仍然能够获得比合法行为更多的满足。可见，确定 M 和 p 的原则应是 u ( A) ? 0 ，即 pu ( m ? M ) ? (1 ? p )u ( m) ? 0 。 对于风险厌恶者及风险中立者来说，u ( A) ? u ( E[ A]) ? u ( m ? pM ) 。 所以， 只要 M 和 p 能 使 u (m ? pM ) ? 0 , 即 m ? pM ，就能保证 u ( A) ? 0 ，从而保证风险厌恶者和中立者都不去违 法。我们当中绝大多数人都是风险的恶者或中立者，可见只要处罚金定得不低于 m / p ，就能 有效地预防违反 Law 事件的发生。 比如，当 m ? 5 (元)时，把处罚金规定为 500 元，那么只要能在每 100 个违法者中抓住一 个人给以 500 元罚款，就能有效预防违法事件的发生。 按照上述原则制定的处罚金标准，对于风险中立者恰好，对于风险厌恶者来说有点太高， 而对于风险爱好者来说有点偏低。然而，要想想出个能够彻底杜绝非法行为的处罚金标准， 那么处罚金就没有一个限度。因此，实行处罚制度只能保证大多数人守法，但不能杜绝违法。第六节 风险的防范风险厌恶者面对风险选择时，往往要对风险进行防范。通常，人们防范风险的方法有三 种：决策分散化、购买保险、搜集有关信息，本节通过具体事例逐一介绍这些方法。一、决策分散化决策分散化是说“不要把鸡蛋全部放在一个篮子里” 。只要向多个方向努力，或者把投资 投向多种项目或资产，方可化减或消除风险，达到防范风险之目的。下面通过代理商的商品 销售事例和股票投资事例，来说明决策分散化的具体意义和好处。 例 1．代理商选择的分散化 假如你是一个委托代理商，可选择销售空调或暖气，但你不知道明年夏天是否特别热， 也不知道明年冬天是否特别冷，你应如何选择呢？是选择代理销售空调，还是选择代理销售 暖气，还是二者兼顾？答案是采取决策分散化，把精力投向二者兼顾的方向，既销售一部分 空调，同时又销售一部分暖气，甚至同时销其他产品。管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！假定你估计明年气温高的可能性为 50％， 气温低的可能性也为 50％。 若只选择销售空调， 那么如遇明年气温高，夏天特别炎热，则可得到 30 万元的销售净收入；如遇明年气温低，夏 天不太热，则只能得到 12 万元的净收入。若只选择销售暖气，那么如遇明年气温高，冬季不 太寒冷，则只能得到 12 万元的销售净收入；如遇明年气温低，冬季气候特别寒冷，则可得到 30 万元的净收入。表 1 列出了这一收益情况。表1 概 率 暖气销售收入 空调销售收入 销售收入情况 明年气温高 50％ 12 万元 30 万元 明年气温低 50％ 30 万元 12 万元计算预期收益可见，不论是只销售空调，还是只销售取暖设备，预期收益都是 21 万元， 但这个净收入是不确定的，你的最终净收入可能是 30 万元，也可能只有 12 万元。因此，不 论只销售空调设备，还是只销售取暖设备，都是带有风险的。 但是，你若采取分散决策，把一半放在销售空调设备上，另一半精力放在销售取暖设备 上，则不论明年天冷天热，你的销售净收入都为 21 万元，于是原来的风险净收入 21 万元变 成了无风险的 21 万元净收入。可见，分散决策完全消除了不确定性，消除了风险。 例 2．金融投资的分散化 在金融资产投资中，把资金在安全资产购买和风险资产购买之间加以分散，方可消除或 化减投资风险。分散化降低了投资者面临的总体风险，至少不会给投资增加风险，有益无害。 我们以例来说明这一点。假设有两家公司甲和乙的普通股票，投资者要在这两种股票之间进 行选择。 用Ａ表示甲公司的股票，用Ｂ表示乙公司的股票。购买Ａ股票，获得收益率 15％的可能 性为 50％，获得收益率 5％的可能性也为 50％。购买Ｂ股票的情况一样，获得 15％收益率和 5％收益率的可能性都是 50％。因此Ａ股票和Ｂ股票的预期收益率都为 10％。 第一种情况：Ａ和Ｂ两种股票价格变化方向相反。 这种情况下，当Ａ股票的收益率为 5％时，Ｂ股票的收益率则高达 15％；相反，当Ａ股 票的收益率高达 15％时，Ｂ股票的收益率仅只有 5％。可见，把资金平均用于购买这两种股 票，则总可获得 10％的稳定收益率，从而消除了收益不稳定的风险，显然要比把资金全部用 于购买一种股票，获得 10％的预期收益率(不是稳定收益率)更好。 第二种情况：Ａ和Ｂ两种股票的价格相互独立变化。 实际中更常见的是这两种股票价格相互独立变化。此种情况下，把资金平均分摊于Ａ和 Ｂ之上，不但预期收益率仍为 10％，而且由于持有两种股票，就更有可能真正实现 10％的收 益率，甚至更高。事实上，通过如下的计算就可看出这一点。表2 B 的收益率为 5％ B 的收益率为 15％ 投资于两种股票的收益率概率分布情况 A 的收益率为 5％ 50％×50％=25％ 50％×50％=25％ A 的收益率为 15％ 50％×50％=25％ 50％×50％=25％因此，把资金平均用于购买 A 股票和 B 股票，获得 5％收益率的概率为 25％，获得 15％收益 率的概率为 25％，而获得 10％收益率(即，A 的收益率为 5％，同时 B 的收益率为 15％；或 者 A 的收益率为 15％，同时 B 的收益率为 5％)的概率为 50％（=25％+25％） 。如果仅仅购买 一种股票，那么获得的收益率就只有两种可能性：要么 5％，要么 15％的收益率。而 10％只 是预期收益率，是实际上不能取得的收益率。可见，平均分摊资金的这种做法，使得 10％的 预期收益率不但仍然为预期收益率，而且成为更可能得到的实际收益率。 再看一下风险。只购买一种股票，其收益率风险为：管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！2 2 ? A ? ? B ? 0.5 ? (15 % ? 10 %) 2 ? 0.5 ? (5% ? 10 %) 2 ? 25 %% 把资金平摊，购买两种股票，其收益率风险为： 2 ? AB ? 0.25 ? (15 % ? 10 %) 2 ? 0.5 ? (10 % ? 10 %) 2 ? 0.25 ? (5% ? 10 %) 2 ? 12 .5%% 可见，把资金平均用于购买两种股票，收益率风险减少了一半。因此，分散化处理使收益情 况变好，风险变小。 第三种情况：Ａ和Ｂ两种股票价格变化方向一致。 这种情况下，把资金平均分摊于Ａ和Ｂ之上，同把资金全部投放于一种股票之上，效果 是一样的：不但这两种做法的预期收益率一样，而且真正得到的收益率也一样。所以，分散 化处理没有坏处。 总之，对于Ａ和Ｂ这两种股票来说，实际情况不外乎上述三种，而不论出现那种情况， 多样化处理不但不会使投资者的收益减少，而且更有可能使投资收益稳定或者提高。所以， 分散化可以消除或降低投资风险，至少不会使情况变坏，有益无害。以上两例说明的决策分散化，是一条一般原理。本章第八节将会继续研究这个问题。二、购买保险风险厌恶者为了避免风险，甘愿放弃一笔收入而购买保险，以求取得稳定的收益。实际 上，在保险成本(即保险费)等于预期损失的情况下，风险厌恶者愿意多多购买保险，以防他 们遭受任何财产损失。购买保险，保证了消费者的确定收入不变，而不管是否有损失发生。 由于保险成本等于预期损失，这个确定收入就等于消费者在风险场合的预期收入。这种不论 选择结果会产生多大或多小的效用，确定收入都不变的保证，在无损失时得到高收入，有损 失时得到低收入的风险情况下，对于风险厌恶者来说就显得尤其重要。下面，我们就来具体 论证这些结论。 假定保险公司为人们提供保险并不想从个别人身上赚钱，也就是说，保险公司向个人销 售保险，其预期收入为零。用 ? 表示保险价格，即个人购买一元保险所必需交纳的保险费。 显然， 0 ? ? ? 1 。用 p 表示意外事件发生的概率。如果某人购买了一元保险，那么当意外事 件发生时，他(她)将从保险公司得到一元的损失赔偿。因此，保险公司销售一元保险的预期 收入为： (1 ? p )? ? p (? ? 1) ，这表示：如果不发生意外事件，保险公司的收入就为 ? ；如果 发生意外事件，保险公司的收入为 ? ? 1 (因为要向被保险人支付１元赔偿)。既然保险公司并 不想从个别人身上赚钱， 于是保险公司的预期收入 (1 ? p )? ? p (? ? 1) 为零。 由此可知， ? p ， ? 即保险费率(保险价格)就等于意外事件发生的概率。 假定某消费者现有财产 W 元，而且他是一个风险厌恶者。如果发生意外事件，他将损失 L 元财产。那么，该消费者愿意购买多少保险呢？为了分析这个问题，用 Q 表示该消费者要 购买的保险额，用 U 表示他的财富效用函数， U ?( w) ? 0, U ??( w) ? 0 。 当该消费者购买 Q 元保险时，他的财富情况是这样：如果不意外事件发生，则财富变为 W ? ?Q ；如果发生意外事件，则财富变为 W ? ?Q ? L ? Q 。因此，购买 Q 元保险的预期效 用为： EU (Q) ? pU (W ? L ? (1 ? ? )Q) ? (1 ? p )U (W ? ?Q) 。 最优的保险购买量必然是使预期效用 EU (Q ) 达到最大的 Q 所确定的数量，因此 EU (Q ) 对 Q 的一阶导数必然为零：? EU (Q ) ?Q ? pU ?(W ? L ? (1 ? ? )Q )(1 ? ? ) ? (1 ? p )U ?(W ? ?Q )( ?? ) ? 0管理资源吧?管理人自己的下载网站管理资源吧（www.glzy8.com） ，海量管理资源免费下载！即U ?(W ? L ? (1 ? ? )Q ) ? (1 ? p ) ? ?1 U ?(W ? ?Q ) p (1 ? ? )U ?(W ? L ? (1 ? ? )Q ) ? U ?(W ? ?Q )(? ? ? p )也即注意，上式左边代表意外事件发生时财富的边际效用，右边代表意外事件没有发生时财 富的边际效用。因此，最优的保险购买量应当是使意外事件发生时的财富边际效用与意外事 件没有发生时的财富边际效用二者相等的保险量。 再注意，U ??( w) ? 0 对一切 w 成立，即 U ?(w) 是 w 的严格递减函数。因此，上面的边际效 用等式等价于 W ? L ? (1 ? ? )Q ? W ? ?Q ，又等价于 Q ? L (其实，上面的边际效用等式等价 于 Q ? L 这一事实在 U ??( w) ? 0 对一切 w 成立的情况下也是成立的)。所以，保险的最优购买 量等于意外事件发生时消费者的损失额。按照最优购买量购买保险，保险成本是 ? Q ，它等 于 pL 。即保险成本等于消费者的预期损失。当消费者按照预期损失付出了保险成本以后，即 付出了 pL 元的保险费后， 他的财富就变成了 W ? pL 元的稳定财富， 不论意外事件是否发生， 他都不会再蒙受损失。购买保险所保证的这笔稳定的财富 W ? pL ，实际上就等于没有买保险 的情况下消费者的预期财富收入。这是因为没有买保险时，消费者的预期财富收入为 ER ? (1 ? p )W ? p (W ? L) ? W ? pL 。这就证明了前面一开始所述的结论：保险所保证的稳 定财富收入等于无保险情况下的财富收入的预期值。 例 3．家庭财产保险 某家庭面临 10％的可能性被盗。该家庭财产价值 5 万元，发生盗窃后会损失 1 万元，因 此预期损失 1 千元(0.1 万元)，预期财产价值 4.9 万元(=0.9×5＋0.1×4)。如果该家庭花 1 千元购买家庭财产保险，那么 4.9 万元的财产就得到了保证，这个受保证的价值等于不参加 保险时的预期财产价值。如果不买家庭财产保险，那么就会冒有遭受 1 万元财产损失的风险。 表 3 列出了买和不买保险两种情况下，该家庭的财产价值变化情况。表3 不买保险 购买保险 家庭财产在不买保险与购买保险两种情况下的比较 安然无恙(可能性 90％) 5.0 万元财产 4.9 万元财产 预期财产 4.9 万元财产 4.9 万元财产 发生盗窃(可能性 10％) 4.0 万元财产 4.9 万元财产可见，买保险不但没有改变财产的预期价值，而且还削平了两种不同结果的差异。这一 现象的出现，正是高预期效用所产生的效应。为什么呢？我们知道，不论是发生盗窃还是安 然无恙，该家庭的效用函数不变，而且效用函数是严格凹函数。如果不买保险，那么蒙受损 失后该家庭的财产边际效用大于不受损失时的财产边际效用（因为边际效用递减） ，因此把财 产从不受损失的高价值处向受损失的低价值处转移一点，方可使预期效用水平得到提高。这 样的财产转移，正是购买保险这一行为所要完成的使命。 回到保险公司的经营问题上。从保险购买者个人的角度看，保险公司销售保险没有赚到 钱，因为销售保险的预期收入为零。再加上保险公司经营中花掉的管理费用和支出的人员工 资，保险公司就要亏本。实际情况真实如此吗？答案非也。 保险公司以追求利润最大化为目的。它之所以经营保险业务，是因为他们知道只要手中 掌握着大量的保险单，他们几乎就没有什么风险可言了。也就是说，保险公司是通过大面积 操作来规避风险的。这种以大面积操作达到规避风险之目的的能力，基于概率论中的大数定 律。该定律告诉我们，虽然在一次试验中某事件的发生是随机的，且不可预测，但是在无数 次的重复独立试验中，该事件发生的平均次数(频率)却是}