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线性规划习题详细解析，包括线性规划方程求解步骤
来源：信管网
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● 某工厂生产甲、乙两种产品，生产1公斤甲产品需要煤9公斤、电4度、油3公斤，生产1公斤乙产品需要煤4公斤、电5度、油10公斤。该工厂现有煤360公斤、电200度、油300公斤。已知甲产品每公斤利润为7千元，乙产品每公斤利润为1.2万元，为了获取最大利润应该生产甲产品（66）公斤，乙产品（67）公斤。
（66）A．20 　　 B．21 　 C．22 　　 D．23
（67）A．22 　 B．23 　　 C．24 　　 D．25
信管网参考答案：A、C
信管网解析
该问题用线性规划模型求解，设X1为甲产品生产量，X2为乙产品生产量，对该问题求解最优方案可以用下列数学模型描述
解法一：如果实在不知道解这个不等方程式，可以用代入法答题
解法二：线性规划方程求解步骤（感谢信管考友缤纷提供解题说明）
对三个方程进行两两求解，例如先把第一个方程与第二个方程合成一个方程组（此时需把这两个方程中的小于等于号均看作等于号），可以求出X1=34.5，X2=40。然后将这组解代入第三个方程，发现此时第三个方程的小于等于号不成立，则这组解无效，丢弃。
再把第一个方程与第三个方程合成一个方程组（此时需把这两个方程中的小于等于号均看作等于号），可以求出X1=30.8，X2=20.7。然后将这组解代入第二个方程，发现此时第二个方程的小于等于号不成立，则这组解无效，丢弃。
再把第二个方程与第三个方程合成一个方程组（此时需把这两个方程中的小于等于号均看作等于号），可以求出X1=20，X2=24。然后将这组解代入第一个方程，发现此时第一个方程的小于等于号成立，则这组解有效，保留。
因为三组解中只有一组解是有效的，所以最终的解就是X1=20，X2=24。倘若三组解中有两组以上是有效的，则还需要分别代入7X1+12X2这个表达式里去比较，哪一组解代进去能得到最大的结果，那该组解就是题目最终的解。
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利用excel软件求解线性规划问题
数学规划模型实验指导手册怎样用Excel的规划求 解加载宏求解数学规划 问题1一、什么是规划求解加载宏？规 划 求 解 加 载 宏（ 简 称 规 划 求 解 ）是 Excel 的 一 个 加 载 项 ，可以用来解决线性规划 与非线性规划优化问题。规划求解可以用来解决最多有 200 个变量，100
个外在约束和 400 个 简单约束（决策变量整数约束的上下边界）的问题。可以设置决策变量为整型变量。 规 划 求 解 加 载 宏 的 开 发 商 是 Fronline System 公 司 。 用 户 通 过 自 定 义 安 装 MS-Office 所 使 用 的 是 标 准 版 本 规 划 求 解 加 载 宏 ， Fronline System 公 司 同 时 提 供 增 强 的 Premium Solver 工 具 。 规 划 求 解 工 具 在 Office 典 型 安 装 状 态 下 不 会 安 装 ， 可以通过自定义安装选择该项 或 通 过 添 加 /删 除 程 序 增 加 规 划 求 解 加 载 宏 。1二、怎样加载规划求解加载宏 ？加载规划求解加载宏的方法如下： （ 1） 打 开 “ 工 具 ” 下 拉 列 菜 单 ，然 后 单 击 “ 加 载 宏 ” ，打 开 “ 加 载 宏 ” 对 话 框 。（ 2）在“可用加载宏”框中，选中“规划求解”旁边的复选框 ，然后单击“确2定”按钮。1 2加 载 项 的 功 能 是 为 Microsoft Office 提 供 自 定 义 命 令 或 自 定 义 功 能 的 补 充 程 序 如果“规划求解”未列出，请单击“浏览”进行查找。2（ 3）如果出现一条消息，指出您的计算机上当前没有安装规划求解，请单击“ 是 ” 用 原 Office 安 装 盘 进 行 安 装 。 （ 4） 单击菜单栏上的“工具”。加载规划求解后，“规划求解”命令会添加到“工具”菜单中。三、怎样使用规划求解加载宏求解数学规划？规 划 求 解 加 载 宏 是 一 组 命 令 构 成 的 一 个 子 程 序 ，这 些 命 令 有 时 也 称 作 假 设 分 析 3工 具，其功能是可以求出线性和非线性数学规划问题的最优解和最优值 。 使用规划求解加载宏求解数学规划的步骤 首 先 ， 在 Excel 工 作 表 中 输 入 目 标 函 数 的 系 数 向 量 、 约 束 条 件 的 系 数 矩 阵 和 右 端 常数项（每一个单元格输入一个数据）； 其次，选定一个单元格存储目标函数（称为目标单元格），用定义公式的方式在 这个目标单元格内定义目标函数； 再次，选定与决策变量个数相同的单元格（称为可变单元格），用以存储决策变 量 ；再 选 择 与 约 束 条 件 个 数 相 同 的 单 元 格 ，用 定 义 公 式 的 方 式 在 每 一 个 单 元 格 内 定 义 一个约束函数（称为约束函数单元格）； 最后，点击下拉列菜单中的规划求解按钮，打开规划求解参数设定对话框（如图 4 所示），完成规划模型的设定模型设定方法如下： （ 1） 设 定 目 标 函 数 和 优 化 方 向 ： 光 标 指 向 规 划 求 解 参 数 设 定 对 话 框 中 的 “ 设 置 目 标 单 元 格 ” 提 示 后 的 域 ， 点 击 鼠 标 左 键 ， 然 后 选 中 Excel 工 作 表 中 的 目 标 单 元 格 。 然 后3该过程通过更改单元格中的值来查看这些更改对工作表中公式结果的影响。例如，更改分期支付 表中的利率可以调整支付金额。3根 据 模 型 中 目 标 函 数 的 优 化 方 向 ，在 规 划 求 解 参 数 设 定 对 话 框 中 的“ 等 于 ”一 行 中 选 择“最大值”或“最小值”； （ 2 ）设 定（ 表 示 决 策 变 量 的 ）可 变 单 元 ：光 标 指 向 规 划 求 解 参 数 设 定 对 话 框 中 的“ 可 变 单 元 格 ” 提 示 后 的 域 ， 点 击 鼠 标 左 键 ， 然 后 选 中 Excel 工 作 表 中 的 可 变 单 元 组 。 可 以点击“推测”按钮，初步确定可变单元格的范围，然后在此基础上进一步确定； （ 3 ） 设 定 约 束 条 件 ：直 接 点 击 规 划 求 解 参 数 设 定 对 话 框 中 的 添 加 按 钮 ， 出 现 如 下 添 加约束对话框：先用鼠标左键点击“单元格引用位置”标 题下的域，然后在工作表中选择一个约 束 函 数 单 元 格 ， 再 点 击 添 加 约 束 对 话 框 中 向 下 的 箭 头 ， 出 现 &= ， = ， &= ， int 和 bin 五 个 选 项 ，根 据 该 约 束 函 数 所 在 约 束 方 程 的 情 况 选 择 ，其 中 int 和 bin 分 别 用 于 说 明 整 型 变 量 和 0 － 1 型 变 量 。选 择 完 成 后 ，如 果 还 有 约 束 条 件 未 设 定 ，就 点 击“ 添 加 ”按 钮 ， 重复以上步骤设定约束条件，设定完所有约束条件后，点击确定完成约束条件设定， 回到规划求解参数设定对话框。 （ 4 ） 设 定 算 法 细 节 ：点 击 规 划 求 解 参 数 设 定 对 话 框 中 的 “ 选 项 ” 按 钮 ， 出 现 如 下 规 划求解选项对话框。该对话框为使用者提供了在一些可供选择的常用算法。主要是供高级用户使用， 初学者不必考虑这些选择。4选择完成后点击确定按钮回到规划求解参数设定对话框 （ 5 ）求 解 模 型 ：完 成 以 上 设 定 后 ，点 击 规 划 求 解 参 数 设 定 对 话 框 中 的“ 求 解 ”按 钮 ， 将出现如下求解结果对话框。根据需要选择右边列出的三个报告中的一部分或全部，然后点击确定按钮就可以 在 Excel 内 看 到 求 解 报 告 。四、用规划求解加载宏求解数学规划举例下 面 我 们 通 过 一 个 例 子 来 解 释 怎 样 用 “规 划 求 解 ”来 求 解 数 学 规 划 问 题 。 例1 公司通常需要确定每月（或每周）生产计划，列出每种产品必须生产的数 量 。具 体 来 说 就 是 ，产 品 组 合 问 题 就 是 要 确 定 公 司 每 月 应 该 生 产 的 每 种 产 品 的 数 量 以 使利润最大化。产品组合通常必须满足以下约束： ? ? 产品组合使用的资源不能超标。 对每种产品的需求都是有限的。我们每月生产的产品不能超过需求的数量，因为 生产过剩就是浪费（例如，易变质的药品）。 下面，我们来考虑让某医药公司的最优产品组合问题。该公司有六种可以生产的 药品，相关数据如下表所示。 消耗系数 产品 1 劳动力 （小时） 6 原料（磅） 3.2 单位利润 （元） 6 需求量（磅） 960 产品 2 5 2.6 5.3 928 表1 产品 3 4 1.5 5.4 1041 产品 4 3 0.8 4.2 977 产品 5 2.5 0.7 3.8 1084 产品 6 1.5 0.3 1.8 1055 现有 设 该 公 司 生 产 药 品 1 ～ 6 的 产 量 分 别 为 x1 , x2 , 规划模型为, x6 （ 磅 ），则 最 优 产 品 组 合 的 线 性5max z ? 6 x1 ? 5.3 x2 ? 5.4 x3 ? 4.2 x4 ? 3.8 x5 ? 1.8 x6 ? 6 x1 ? 5 x2 ? 4 x3 ? 3 x4 ? 2.5 x5 ? 1.5 x6 ?
x ? 2.6 x ? 1.5 x ? 0.8 x ? 0.7 x ? 0.3 x ?
3 4 5 6 ? ? x1 ? 960 ? x2 ? 928 ? ? x3 ? 1041 s.t. ? ? x4 ? 977 ? x5 ? 1084 ? ? x6 ? 1055 ? ? x j ? 0,1 ? j ? 6 ?下 面 用 规划求解加载宏来求解这个问题： 首先，如下如所示，在 Excel 工作表内输入目标函数的系数、约束方程的系数、右端常数 项；系数矩阵目标函数的系数右端常数 系数矩阵其次，选定目标函数单元、可变单元、约束函数单元，定义目标函数、约束函数目标函数单元约束函数单元可变单元6其中，劳动力约束函数的定义公式是“=MMULT(B3:G3, J5:J10)” ，原料约束函数的定义公 式是“＝MMULT(B4:G4,J5:J10)” ，目标函数的定义公式是“MMULT(B5:G5, J5:J10)” 。 注：函数 MMULT(B3:G3, J5:J10)的意义是：单元区 B3:G3 表示的行向量与单元区 J5:J10 表示的列向量的内积。这一要特别注意的是，第一格单元区必须是行，第二格单元区必须是列， 并且两个单元区所含的单元格个数必须相等。 最后，打开规划求解参数设定对话框设定模型 （ 1） （ 2） 目 标 函 数 和 可 边 单 元 的 设 定 很 简 单 ， 在 此 就 不 再 赘 述 （ 3） 约 束 条 件 的 设 定 (3.1) 约 束 条 件 ?? 6 x1 ? 5 x2 ? 4 x3 ? 3x4 ? 2.5 x5 ? 1.5 x6 ? 4500 的设定： 3.2 x ? 2.6 x ? 1.5 x ? 0.8 x ? 0.7 x ? 0.3 x ?
3 4 5 6 ?? x1 ? 960 ? x ? 928 ? 2 ? ? x3 ? 1041 （ 3.2 ） 约 束 条 件 ? 的设定 ? x4 ? 977 ? x5 ? 1084 ? ? ? x6 ? 10557（ 3.3 ） 约 束 条 件 x1 ? 0, x2 ? 0,, x6 ? 0 的 设 定这里值得注意的是： ? ? 我们采用向量的形式设定同向不等式，并且不等式两边可以一个时行向量， 另一个是列向量； 对所有分量都是 0 的向量，我们可以用一个 0 来代替。 （ 4） 求 解 ： 我 们 选 择 保 存 三 个 报 告得到的三张份告如下89补充说明： a) 如 果 数 学 规 划 模 型 中 包 含 整 型 变 量 或 0 － 1 型 变 量 ，只 需 要 在 设 定 约 束 条 件 一 步 中 设 定 相 应 的 变 量 是 整 型 变 量 或 0 － 1 型 变 量 即 可 。例 如 ，假 定 在 上 例 中 变 量 x1 , x2 是 整 型 变 量 ， 只 需 要 增 加 如 下 图 所 示 的 整 型 约 束 设 定 即 可 。 不 过 要 注 意 的 是 ， 含 整 型 变 量 或 0－ 1 型 变 量 的 问 题 是 不 能 进 行 敏 感 性 分 析 的 。b)求解报告中把输出目标函数单元、约束函数单元、和可边单元上方第一个输 有文字单元及左边第一个输有文字单元内全部文字都作为对解释目标函数单 元 、 约 束 函 数 单 元 、 和 可 边 单 元 的 解 释 ， 例 如 ， 把 Excel 表 改 为10则求解报告输出变为c)另外，非线性规划模型的求解方法类似，在此不再赘述。五、“规划求解”疑难解答1、尚未找到满足要求的结果，“规划求解”即停止了运行 由于下列任意一个原因，“规划求解”在找到答案前，可能停止运行： ? ? ? ? ? ? 中断了求解过程。 在单击“求解”之前，选中了“规划求解选项”对话框中的“显示迭代结果”选项。 在单步迭代过程中，或达到最长运算时间或最大迭代次数时，单击了“停止”按钮。 选中了“规划求解选项”对话框中的“采用线性模型”复选框，但问题是非线性的。 在“规划求解参数”对话框的“设置目标单元格”框中指定的数值不收敛地增加或减少。 需要让“规划求解”运行更长的时间以求得结果。请调整“规划求解选项”对话框中的 “最长运算时间”或“迭代次数”的设置。 ? 对于具有整数约束条件的问题，应该减小“规划求解选项”对话框中的“允许误差”的设 置，使“规划求解”找到更好的整数解。 ? 对于非线性问题，应该减小“规划求解选项”对话框中的“收敛度”的设置，使目标单元 格数值变化缓慢时，“规划求解”仍可以运行，最终找到较好的结果。11?应该选中“规划求解选项”对话框中的“自动按比例缩放”复选框，可能一些输入数值相 差几个数量级，或输入和输出数值相差几个数量级。 当“规划求解”停止运行时，在“规划求解结果”对话框中显示出完成信息。单击“保存规划求解结果”或“恢复为原值”，进行所需的更改，然后再运行一次。 2、可变单元格与约束条件或目标单元格中的数值差别很大 当可变单元格的典型数值与约束单元格或目标单元格中的数值相差几个数量级时，请选中 “规划求解选项”对话框中的“自动按比例缩放”复选框。对于非线性问题，在单击“规划求 解参数”对话框中的“求解”之前，请确认可变单元格的初始数值与期望的最终数值的数量级 相同。 3、未得到预期的结果 对于非线性问题， 在可变单元格中尝试不同的初始值可能会有帮助， 特别是在“规划求解” 结果与期望的数值差别很大时。预先将可变单元格的数值设置为预期的最优值，可以减少求解 时间。 对于线性模型（也就是当“规划求解选项”对话框的“采用线性模型”复选框被选中时）， 改变可变单元格的初始值不会影响最终数值或求解时间。 4、“规划求解”得到的结果与以前的结果不同 “规划求解”显示如下消息：“规划求解已收敛到当前结果。满足所有约束条件”。这表 明目标单元格中的数值在最近五次求解过程中的变化量小于“规划求解选项”对话框中“收敛 度”设置的值。“收敛度”中设置的值越小，“规划求解”在计算时就会越精细，但求解过程 将花费更多的时间。 5、“规划求解”不能达到最优解 下面列出“规划求解”显示的完整消息。 ? “规划求解”不能改进当前解。所有约束条件都得到了满足 这表明仅得到近似值，迭代过程无法得到比显示结果更精确的数值；或是无法进一步 提高精度，或是精度值设置得太小，请在“规划求解选项”对话框中试着设置较大的精度 值，然后再运行一次。 ? 求解达到最长运算时间后停止 这表明在达到最长运算时间限制时，没有得到满意的结果。若要保存当前结果并节省 下次计算的时间，请单击“保存规划求解”或“保存方案”选项。 ? 求解达到最大迭代次数后停止12这表明在达到最大迭代次数时，没有得到满意的结果。增加迭代次数也许有用，但是 应该先检查结果数值来确定问题的原因。若要保存当前值并节省下次计算的时间，请单击 “保存规划求解”或“保存方案”选项。 ? 目标单元格中的数值不收敛 这表明即使满足全部约束条件，目标单元格数值也只是有增或有减但不收敛。这可能 是在设置问题时忽略了一项或多项约束条件。请检查工作表中的当前值，确定数值发散的 原因，并且检查约束条件，然后再次求解。 ? “规划求解”未找到合适结果 这表明在满足约束条件和精度要求的条件下，“规划求解”无法得到合理的结果，这 可能是约束条件不一致所致。请检查约束条件公式或类型选择是否有误。 ? “规划求解”应用户要求而中止 这表明在暂停求解过程之后，或在单步执行规划求解时，单击了“显示中间结果”对 话框中的“停止”。 ? 无法满足设定的“采用线性模型”条件 这表明求解时选中了“采用线性模型”复选框，但是“规划求解”最后计算结果并不 满足线性模型。计算结果对工作表中的公式无效。若要验证问题是否为非线性的，请选中 “自动按比例缩放”复选框，然后再运行一次。如果又一次出现同样信息，请清除“采用 线性模型”复选框，然后再运行一次。 ? “规划求解”在目标或约束条件单元格中发现错误值 这表明在最近的一次运算中，一个或多个公式的运算结果有误。请找到包含错误值的 目标单元格或约束条件单元格，更改其中的公式或内容，以得到合理的运算结果。 还有可能是在“添加约束”或“改变约束”对话框中键入了无效的名称或公式，或者 在“约束”框中直接键入了“integer”或“binary”。若要将数值约束为整数，请在比较 运算符列表中单击“Int”。若要将数值约束为二进制数，请单击“Bin”。 ? 内存不足以求解问题 Microsoft Excel 无法获得“规划求解”所需的内存。请关闭一些文件或应用程序， 再试一次。 ? 其他的 Microsoft Excel 实例正在使用 SOLVER.DLL 这表明有多个 Microsoft Excel 会话正在运行，其中一个会话正在使用 SOLVER.DLL。 SOLVER.DLL 同时只能供一个会话使用。13
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怎么用线性规划求xy的最大值啊？收藏
详细的答案用的反比例函数相切。。但我没看懂
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有时候可以三角换元，再利用三角函数或二次函数在指定区间上的最值求解。
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