千教网-2010年高考物理实验题集锦：力学实验101464-博泰典藏网
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千教网-2010年高考物理实验题集锦：力学实验101464
导读：2010年高考物理实验题集锦：力学实验，实验题目安徽21.I题全国1卷22（1）题全国2卷22（1）题重庆22（1）题2，实验中需要调整，还需要的实验器材有――，（2）若实验中所得到的重物下落的加速度值小于当地的重物加速度值，而实验操作与数据处理均无错误，（新课标卷）22、(4分)如图为验证机械能守恒定律的实验装置示意图.现有的器材为，A、米尺B、秒表C、0～12V的直流电源D、0～12V的交2010年高考物理实验题集锦：力学实验 统计表 实验 题目 安徽21.I题 全国1卷22（1）题 全国2卷22（1）题 重庆22（1）题 2 2 题数 总13题 2 实验0：基本仪器的使用
实验一：研究匀变速直线运动
实验二：探究弹力和弹簧伸长的关系 福建19（2）题
浙江21.I题 天津9（2）题 江苏11题 山东23（1）题
四川22（2）题 安徽21.II题 上海27题 天津9（1）题 实验三：验证力的平等四边形定则
1 2 实验四：验证牛顿运动定律
实验五：探究动能定理
2 实验六：验证机械能守恒定律
实验七：卡文迪许实验 实验八：平抛运动
1 1 （全国卷1）22．（18分）图1是利用激光测转速的原理示意图，图中圆盘可绕固定轴转动，盘边缘侧面上有一小段涂有很薄的反光材料。当盘转到某一位置时，接收器可以接收到反光涂层所反射的激光束，并将所收到的光信号转变成电信号，在示波器显示屏上显示出来（如图2所示）。
（1）若图2中示波器显示屏横向的每大格（5小格）对应的时间为5.00×10-2 s ，则圆盘的转速为__________________转/s。（保留3位有效数字） （2）若测得圆盘直径为10.20 cm，则可求得圆盘侧面反光涂层的长度为 ________ cm。（保留3位有效数字） 【答案】⑴4.55转 /s
⑵2.91cm 【解析】⑴从图2可知圆盘转一圈的时间在横坐标上显示22格，由题意知图2中横坐标上每格表示1.00×10-2s，所以圆盘转动的周期是0.22s，则转速为4.55转 /s ⑵反光引起的电流图像在图2中横坐标上每次一格，说明反光涂层的长度占圆盘周长的22分之一为2?r2?3.14?10.20??2.91cm。 2222【命题意图与考点定位】匀速圆周运动的周期与转速的关系，以及对传感器所得图像的识图。 （全国卷2）22.（5分）利用图中所示的装置可以研究自由落体运动。实验中需要调整好仪器，接通打点计时器的电源，松开纸带，使重物下落。打点计时器会在纸带上打出一系列的小点。 （1）为了测试中午下落的加速度，还需要的实验器材有――。（填入正确选项前的字母） A.天平
C.米尺 （2）若实验中所得到的重物下落的加速度值小于当地的重物加速度值，而实验操作与数据处理均无错误，写出一个你认为可能引起此错误差的原因：
【答案】（1）C；（2）打点计时器与纸带之间存在摩擦。 【解析】（1）时间由打点计时器测定，用米尺测定位移，答案C。 （2）打点计时器与纸带之间存在摩擦。 （新课标卷）22、(4分)如图为验证机械能守恒定律的实验装置示意图.现有的器材为：带铁夹的铁架台、电磁打点计时器、纸带、带铁夹的重锤、天平.回答下列问题
(1)为完成此实验，除了所给的器材，还需要的器材有______.(填入正确选项前的字母)
C、0～12V的直流电源
D、0～12V的交流电源
(2)实验中误差产生的原因有______.(写出两个原因)
答案：（1）AD（2）纸带与打点计时器之间有摩擦，用米尺测量纸带上点的位置时读数有误差，计算势能变化时，选取始末两点距离过近，交流电频率不稳定。 解析：（1）用A项米尺测量长度，用D项交流电源供打点计时器使用。（2）纸带与打点计时器之间有摩擦，用米尺测量纸带上点的位置时读数有误差，计算势能变化时，选取始末两点距离过近，交流电频率不稳定。 （重庆卷）22.（1）某同学用打点计时器测量做匀加速直线运动的物体的加速度，电源频率f=50Hz在线带上打出的点中，选出零点，每隔4个点取1个计数点，因保存不当，纸带被污染，如是22图1所示，A、B、C、D是依次排列的4个计数点，仅能读出其中3个计数点到零点的距离： SA=16.6mm
SB=126.5mm
SD=624.5mm
若无法再做实验，可由以上信息推知： ①相信两计数点的时间间隔为__________S ②打C点时物体的速度大小为____________m/s(取2位有效数字) ③物体的加速度大小为__________(用SA、SB、SC、SD和f表示) (sD?3sB?2sA)f2答案：⑴①0.02s
③ 75解析：⑴①打点计时器打出的纸带每隔4个点选择一个计数点，则相邻两计数点的时间间隔为T=0.02s。 ②根据间的平均速度等于点的速度得vC?sD?sB?2.5m/s 2T③匀加速运动的位移特征是相邻的相等时间间隔内的位移以aT2均匀增大，有 BC?AB?aT2，CD?BC?aT2?AB?2aT2，BD?2AB?3aT2，所以 (sD?sB)?2?(sB?sA)(sD?3sB?2sA)f2a?? 753T2（天津卷）9．（1）如图所示，在高为h的平台边缘水平抛出小球A,同时在水平地面上距台面边缘水平距离为s处竖直上抛小球B，两球运动轨迹在同一竖直平面内，不计空气阻力，重力加速度为g。若两球能在空中相遇，则小球A的初速度VA应大于
A、B两球初速度之比vA为
vB （天津卷）（9。 2）在探究合力的方法时，先将橡皮条的一端固定在水平木板上，另一端系上带有绳套的两根细绳。实验时，需要两次拉伸橡皮条，一次是通过两细绳用两个弹簧秤互成角度地拉橡皮条，另一次是用一个弹簧秤通过细绳拉橡皮条。 1实验 对两次拉伸橡皮条的要求中，下列哪些说法是正确的
（填字母代号） ○A. 将橡皮条拉伸相同长度即可
B. 将橡皮条沿相同方向拉到相同长度 C.将弹簧秤都拉伸到相同刻度
D.将橡皮条和绳的结点拉到相同位置 2同学们在操作过程中有如下议论，其中对减小实验误差有益的说法是
（填字母○代号） A. 两细绳必须等长 B. 弹簧秤、细绳、橡皮条都应与木板平行 C. 用两弹簧秤同时拉细绳时两弹簧秤示数之差应尽可能大
D. 拉橡皮条的细绳要长些，标记同一细绳方向的两点要远些 答案：（1）s （江苏卷）11．（10分）为了探究受到空气阻力时，物体运动速度随时间的变化规律，某同学采用了“加速度与物体质量、物体受力关系”的实验装置（如图所示）。实验时，平衡小车与木板之间的摩擦力后，在小车上安装一薄板，以增大空气对小车运动的阻力。 sg，；（2）①BD；②BD 2hh （1）往砝码盘中加入一小砝码，在释放小车
（选填“之前”或“之后”）接通打点计时器的电源，在纸带上打出一系列的点。 （2）从纸带上选取若干计数点进行测量，得出各计数点的时间t与速度v的数据如下表：
请根据实验数据作出小车的v-t图像。
（3）通过对实验结果的分析，该同学认为：随着运动速度的增加，小车所受的空气阻力将变大，你是否同意他的观点？请根据v-t图象简要阐述理由。
（3）同意 在v-t图象中，速度越大时，度越小，小车受到的合力越小，则小车受空气阻力越大。 （福建卷）19.（2）（6分）某实验小组研究橡皮筋伸长与所受拉力的关系。实验时，将原长约200mm的橡皮筋上端固定，在竖直悬挂的橡皮筋下端逐一增挂钩码（质量均为20g），每增挂一只钩码均记下对应的橡皮筋伸长量；当挂上10只钩码后，再逐一把钩码取下，每取下一只钩码，也记下对应的橡皮筋伸长量。根据测量数据，作出增挂钩码和减挂钩码时的橡皮筋伸长量?l与拉力F关系的图像如图所示。从图像中可以得出_______。（填选项前的字母） 加速答案：（1）之前
（2）（见右图）
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物理试题71525
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用米尺测量某长度s,共测五次,读数均为14.6mm,误差是什么误差?误差值是多少?测
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米尺最小刻度是多少.才能告诉你后面的事情.
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&&&&&&&&误差理论与数据处理习题集&&&&&&&&误差理论与数据处理教学小组&&&&&&&&&&&&目&&&&第一章例习第二章例习第三章例习第四章例习第五章例习第六章例习第七章例习绪&&&&&&&&录&&&&&&&&论.....................................................1&&&&&&&&题...........................................................1题...........................................................2误差的基本性质与处理.......................................4题...........................................................4题..........................................................11误差的合成与分配..........................................15题..........................................................15题..........................................................22测量不确定度..............................................30题..........................................................30题..........................................................32线性参数的最小二乘法......................................33题..........................................................33题..........................................................40回归分析..................................................46题..........................................................46题..........................................................69动态测试数据处理基本方法..................................76题..........................................................76题..........................................................79&&&&&&&&第八章动态测量误差及其评定.......................................85习题...........................................................85主要参考文献......................................................87&&&&&&&&&&&&第一章&&&&例&&&&&&&&绪&&&&题&&&&&&&&论&&&&&&&&例1在万能测长仪上，测量某一被测件的长度为50mm，已知其最大绝对误差为1μm，试问该被测件的真实长度为多少？解：L=50mm&&&&&&&&δ=0.001mm故L0=L±δ=50.000±0.001mm&&&&&&&&例2用两种方法测量长度为50mm的被测件，分别测得50.005mm；50.003mm。试评定两种方法测量精度的高低。解：因对相同的被测量，可用绝对误差的大小来评定其两种测量方法之精度高低。绝对误差小者，其测量精度高。第一种方法的绝对误差为：δ1=(50.005?50.000)mm=0.005mm第二种方法的绝对误差为：δ1=(50.003?50.000)mm=0.003mm∵&&&&&&&&δ2δ1故第二种方法的测量精度高。&&&&例3若某一量值Q用乘积ab表示，a与b是各自具有相对误差fa和fb的被测量，而&&&&&&&&试求量值Q的相对误差。解：∵&&&&&&&&相对误差=&&&&&&&&绝对误差测得值?真值=真值真值&&&&&&&&∴&&&&&&&&a=a0(1+fa)&&&&&&&&b=b0(1+fb)&&&&&&&&式中a0、b0分别为a、b的真值。则&&&&&&&&Q=ab=a0(1+fa)×b0(1+fb)≈a0b0(1+fa+fb)&&&&&&&&因此，Q的相对误差约为fa+fb。例4若某一测量值Q用a与b的商a/b表示，a与b是各自具有相对误差fa和fb而&&&&&&&&的被测量，试求量值Q的相对误差。解：∵&&&&&&&&a=a0(1+fa)&&&&&&&&b=b0(1+fb)&&&&&&&&则&&&&&&&&Q=&&&&&&&&aa0(1+fa)a0=≈(1+fa+fb)bb0(1+fb)b0&&&&&&&&因此，Q的相对误差约为fa+fb。例5通过电阻R的电流I产生热量（单位J）Q=IRt式中的t为通过电流的持&&&&2&&&&&&&&续时间，已知I与R测量的相对误差为1%，t测量的相对误差为5%，试求Q的相对误差。&&&&1&&&&&&&&&&&&解：Q=IRt，δQ=2IRtδI+ItδR+IRδt，&&&&222&&&&&&&&δQ&&&&Q&&&&&&&&=2&&&&&&&&δI&&&&I&&&&&&&&+&&&&&&&&δR&&&&R&&&&&&&&+&&&&&&&&δt&&&&t&&&&&&&&=2×1%+1%+5%=8%&&&&习题&&&&&&&&1-11-21-31-41-51-61-7误差。1-8为多少？1-91-101-11&&&&&&&&研究误差的意义是什么？误差理论研究的主要内容是什么？什么叫测量误差？什么叫修正值？含有误差的某一测得值经过修正后，能否得到误差的绝对值与绝对误差是否相同？为什么？测得某三角块的三个角度之和为180°00′02〃，试求测量的绝对误差和相对误差。用量角器测得某角度样板的面角为35°18′25〃±10〃，试求其相对误差。用二等标准活塞压力计测量某压力得100.2Pa，该压力用更准确的办法测得为在测量某一长度时，读数值为2.31m，其最大绝对误差为20μm，试求其最大相对测量某一矩形的两边长，其相对误差分别为3%和4%，试求矩形面积的相对误差在满足欧姆定律的电路中，电流I由关系式I=E/R来计算，其中E是电路的电已知某电子管灯丝的电阻为21?，电子管灯丝上的电压为6.3V，若已知电阻绝对若y=x/1+x&&&&2&&&&&&&&被测量的真值？为什么？&&&&&&&&100.5Pa，问二等标准活塞压力计测量值的误差为多少？&&&&&&&&动势，R是电阻。试求由E和R的相对误差fE和fR引起的电流I的相对误差。误差为±0.01?，电压绝对误差为±0.001V，试求流过电子管灯丝的电流及其绝对误差。&&&&&&&&=0.1；x=2,δx=0.05时，δy/y。（2）求1-12某量值y按被测量x表示为y=4x?2/x，若x的相对误差为1%时，y的相对&&&&2&&&&x&&&&&&&&(&&&&&&&&)，当（1）x=3,δ&&&&2&&&&&&&&误差为多少？1-13由单摆公式g=4πl/T计算g值，若l=l0(1+fl),T=T0(1+fT)，其中fl，fT分别为l和T的相对误差，试求g值的相对误差。1-14用一旋转粘度计测量某液体的动力粘度η，所用圆柱的半径各为a和b，今用力矩M转动圆柱，则有η=&&&&&&&&M?11，其中ω为转动角速度。若已知a=0.04m，4πω?a2b2?&&&&&&&&b=0.05m，两者最大测量误差为0.0001m，M/ω的误差可忽略不计。且试求η的相对误差。&&&&1-151-161-17若y=sin(2ωt+a)，当（1）t=π/2ω，（2）t=π/ω时，已知t的相对误差若i=k?tgθ，已知θ的测量误差为δ，求当i的误差为最小及i的相对误差为最使用Kater（凯特）摆时，由公式g=4πg&&&&2&&&&&&&&为1%，试求y的相对误差，并求y的相对误差为最小时的t值。小时的θ值各为多少？今测出长度（h1+h2）(h1+h2)/T2给定。为1.005m，振动时间T为2.5s。试求g及其最大相对误差。如果（h1+h2）测出为1.005m，为了使g的误差能小于0.001m/s2，T的测量必须&&&&2&&&&&&&&&&&&精确到多少？1-18在某种状态下，简支梁的弯曲公式为f=PL/48EI。若弯曲量f的相对误差为&&&&3&&&&&&&&±0.1%，梁的跨度L的相对误差为±0.05%，惯性矩I的相对误差为±0.1%时，试求弹性模量E的相对误差？1-191-201-21按焦耳定律测定电阻R在t时间内通过电流I时所发出的热量Q=IRt，今测得&&&&2&&&&&&&&I=(4.0±0.1)A,R=(40.0±0.1)Ω,t=(10.00±0.01)s，试求热量Q的测量误差。&&&&检定2.5级（即引用误差为2.5%）的全量程为100V的电压表，发现50V刻度点检定一只3mA，2.5级电流表的全量程（满刻度）误差，现有（1）10mA，0.5级；的示值误差2V为最大误差，问该电压表是否合格？（2）10mA，0.2级；（3）15mA，0.2级；（4）5mA，0.5级标准电流表各一只，试问应选哪一只比较合理？为什么？1-221-231-241-25为什么在使用微安表等各种电表时，总希望指针在全量程的2/3范围内使用？用两种方法测量L1=50L2=80mm。分别测得50.004mm；80.006mm。试多级弹道火箭的射程为10000km时，其射击偏离预定点不超过0.1km；优秀射手若用两种测量方法测量某零件的长度L1=110mm，其测量误差分别为±11μm和&&&&&&&&评定两种方法测量精度的高低。能在距离50m远处准确地射中直径为2cm的靶心，试评述哪一个射击精度高？±9μm；而用第三种测量方法测量另一零件的长度L2=150mm，其测量误差为±12μm，试比较三种测量方法精度的高低。1-26氢原子的质量等于(1.673±0.001)×10&&&&?31?27&&&&&&&&kg，而电子的质量等于&&&&&&&&(9.11±0.01)×10&&&&1-27&&&&&&&&kg，试问这两个测量值哪一个更精确些？&&&&&&&&用毫米钢尺测量某一被测件的长度为80mm，其绝对误差为0.5mm；又用一量角&&&&&&&&器测量另一被测件的角度为90°，其绝对误差为30′，试比较二者测量精度的高低。1-28通过将液体注入U形管来求液体密度为ρ的表面张力γ，U形管两端的半径分别为r1和r2。两端高度差经测得为h，γ由公式γ(&&&&&&&&111?)=gρh计算。若h=1.06cm，r1r22&&&&&&&&r1=0.07cm,r2=0.14cm，而它们的测量误差都不大于0.005cm时，试估计γ的相对误差。&&&&1-291-301-31明之。1-32若某一被测件和标准器进行比对的结果为D=20.008mm，现要求测量的准确度、精密度及精确度均高，下述哪一种方法测量结果符合要求？（1）D=20.012±0.004mm；（2）D=20.015±0.003mm；（3）D=20.015±0.002mm；（4）D=20.005±0.002mm。若用测量范围为0～25mm的级千分尺（示值误差为±8μm）来测量某轴轴径，读什么叫系统误差？什么叫随机误差？试比较它们的异同点。如何根据系统误差与随机误差相互转化的特性来减小测量结果的误差，并举例说&&&&&&&&数为12.472mm，试写出测量结果。&&&&&&&&3&&&&&&&&&&&&第二章&&&&&&&&误差的基本性质与处理&&&&例题&&&&&&&&例1测量小轴直径共10次，得到一系列等精度测得值如下（单位mm）：25.5，25.4，25.3，25.3，25.4。若已排除了系统误差的影响和剔除了粗大误差，试求其算术平均值及标准差，并写出测量结果。解：列表计算如下：序号n=10Di/mm25.505.425.325.325.4Vi/μm-0.4+0.1-0.20+0.3-0.1+0.2-0.1+0.20Vi2/μm0.160.010..040.010.040&&&&&&&&∑d&&&&&&&&i&&&&&&&&=250.364mm&&&&&&&&∑v&&&&&&&&i&&&&&&&&=0&&&&&&&&∑v&&&&&&&&2&&&&&&&&i&&&&&&&&=0.40μm2&&&&&&&&算术平均值：标准差，按贝塞尔公式：&&&&&&&&d=&&&&&&&&∑d&&&&n&&&&&&&&i&&&&&&&&=&&&&&&&&250.364mm=25.0364mm10&&&&&&&&σ=&&&&算术平均值的标准差：&&&&&&&&∑υ&&&&&&&&2i&&&&&&&&n?1&&&&&&&&=&&&&&&&&0.4μm≈0.21μm10?1&&&&&&&&σd=&&&&&&&&σ&&&&n&&&&&&&&≈0.07μm&&&&&&&&测量结果为d=d±3σd=25.2mm例2果：对某一1等米尺，在20?C的条件下，进行不等精度测量，获得以下三组测量结&&&&&&&&L1=mm,σL1=0.5μmL2=mm,σL2=1.0μmL3=mm,σL3=0.2μm&&&&试求其最终测量结果。解：已知各组标准差，即可确定各组的权：&&&&&&&&4&&&&&&&&&&&&p1:p2:p3&&&&&&&&==&&&&&&&&1&&&&&&&&σ&&&&&&&&2L1&&&&&&&&:&&&&&&&&1&&&&&&&&σ&&&&2&&&&&&&&2L2&&&&&&&&:&&&&&&&&1&&&&2σL&&&&3&&&&&&&&1&&&&&&&&(0.5)(1.0)(0.2)&&&&2&&&&&&&&:&&&&&&&&1&&&&&&&&:&&&&&&&&1&&&&2&&&&&&&&=4:1:25&&&&加权算术平均值为&&&&&&&&q(1)=&&&&&&&&x′?x(1)&&&&&&&&σ′&&&&&&&&=&&&&&&&&10.3≈1.670.00012&&&&&&&&4×0..0040L=?+?mm4+1+25=mm&&&&各组相应的残余误差为&&&&&&&&υ1=L1?L=(00.0020)mm&&&&=+0.0025mm&&&&&&&&υ2=L2?L=(00.0020)mm&&&&=+0.0035mm&&&&&&&&υ3=L3?L=(00.0020)mm&&&&=?0.0005mm&&&&加权算术平均值的标准差为&&&&&&&&σL=&&&&==&&&&最终测量结果为&&&&&&&&∑pυ(m?1)∑p&&&&2i2&&&&&&&&i22&&&&&&&&4×(25)+1×(35)+25×(?5)(3?1)(4+1+25)9mm60&&&&&&&&L0=L±3σL=±0.0027mm&&&&例3αi34?56′对某一角度值，分两个测回进行测量，其权等于测量次数，测得值如下，第一测回pi7αi34?55′40″34?55′30″34?55′20″34?54′1&&&&5&&&&&&&&第二测回pi3211&&&&&&&&34?55′0″&&&&&&&&&&&&34?55′70″34?55′10″34?55′234?55′50″试求该角度的最可信赖值及其标准差？解：第一测回的加权平均值及标准差&&&&&&&&111&&&&&&&&α1=3454′+&&&&&&&&2′×7+1′×2=3455′36′′7+1+2&&&&&&&&υ1=24′′,υ2=?96′′,υ3=?36′′&&&&&&&&∑pυ&&&&&&&&2ii&&&&&&&&=7×(24′′)+1×(?96′′)+2×(?36′′)&&&&222&&&&&&&&2&&&&&&&&=15840×()&&&&&&&&σ1=σα=&&&&1&&&&&&&&∑pυ∑pi&&&&α1&&&&&&&&2ii&&&&&&&&m?1&&&&&&&&=&&&&&&&&15840()=88.99′′3?1&&&&&&&&=28.14′′&&&&&&&&第二测回的加权平均值及标准差&&&&&&&&α2=3454′+&&&&=3455′33′′&&&&&&&&40′′×3+30′′×2+20′′×1+70′′×1+10′′×1+50′′×13+2+1+1+1+1+1&&&&&&&&υ1=7′′,υ2=?3′′,υ3=?13′′,υ4=?33′′,υ5=?37′′,υ6=?23′′,υ7=?17′′σ2=σα=&&&&2&&&&&&&&∑pυ∑p&&&&:1&&&&2&&&&2&&&&&&&&2ii&&&&&&&&m?1&&&&i&&&&&&&&=&&&&&&&&36102()=24.53′′7?1&&&&&&&&α2&&&&&&&&=7.76′′&&&&&&&&两个测回的权比&&&&&&&&p1:p2=&&&&最可信赖值&&&&&&&&1&&&&2&&&&1&&&&&&&&σασα&&&&&&&&=&&&&&&&&1&&&&2&&&&&&&&(28.14′′)(7.76′′)&&&&&&&&:&&&&&&&&1&&&&2&&&&&&&&=19:250&&&&&&&&α=3455′′+σα=σα&&&&&&&&1&&&&&&&&36′′×19+33′′×250=′′19+250p119=28.14′′=7.5′′p1+p2269&&&&&&&&6&&&&&&&&&&&&或&&&&&&&&σα=σα&&&&&&&&2&&&&&&&&p′′=7.5′′p1+p2269&&&&&&&&例4在万能测长仪上测量某校对量具。重复测量8次，测得值（单位mm）150.0015，为150.16，150.13，150.16，150.0014。试分别以99.73%和95%的概率确定测量结果解：列表计算如下：&&&&&&&&xi/mm&&&&0...mm&&&&n&&&&&&&&x/mm&&&&&&&&υi/μm&&&&0+0.2+0.1&&&&&&&&υi2/μm2&&&&00.040.010.040..12μm&&&&2&&&&&&&&150.0015&&&&&&&&-0.2-0.10+0.1-0.10&&&&&&&&x=∑xi/n==150.0015mm&&&&1&&&&&&&&σ=&&&&&&&&∑υ/(n?1)=&&&&2i1&&&&&&&&n&&&&&&&&0.12μm≈0.13μm8?1&&&&&&&&因测量次数n较小，应按t分布。置信概率为99.73%时，置信概率为95%时，查t分布表得则算术平均值的极限误差为&&&&&&&&α1=0.0027，ν1=7α2=0.05，ν2=7&&&&&&&&tα1=4.53,tα2=2.36&&&&4.53×0.13μm≈0.21μm82.36×0.13=tα2σ/n=μm≈0.11μm8&&&&&&&&δlimx=tα1σ/n=&&&&1&&&&&&&&δlimx&&&&最后测量结果为&&&&&&&&2&&&&&&&&x1=150.2mmx2=150.1mm&&&&例5在立式光学比较仪上鉴定L0=10mm的量块。所用基准量块4等，其中心长度的实际偏差-0.1μm，检定的极限误差δlim1=±0.2μm。测量时恒温条件为t=20±2?C。10次重复测得值（单位μm）为+0.5，+0.7，+0.4，+0.5，+0.3，+0.6，+0.5，+0.6，+1.0，+0.4。试求此测量方法的极限误差，并写出最后结果。&&&&&&&&7&&&&&&&&&&&&序号n=10&&&&&&&&xiμm&&&&+0.5+0.7+0.4+0.5+0.3+0.6+0.5+0.6+1.0+0.4&&&&&&&&υiμm&&&&-0.05+0.15-0.15-0.05-0.25+0.05-0.05+0.05+0.45-0.15&&&&&&&&υi2μm2&&&&0.....&&&&&&&&υi′μm&&&&0+0.2-0.10-0.2+0.10+0.1—-0.1&&&&&&&&υi′2μm2&&&&00.040.0.01—0.01&&&&2&&&&&&&&∑x&&&&&&&&i&&&&&&&&=5.5μm&&&&&&&&∑υ&&&&&&&&i&&&&&&&&=0&&&&&&&&∑υ&&&&&&&&2i&&&&&&&&=0.345μm2&&&&&&&&∑υ′=0∑υ′&&&&ii&&&&&&&&=0.12μm2&&&&&&&&解：按测量顺序，用表格记下测得数据。（1）求算术平均值&&&&&&&&x=&&&&&&&&∑x&&&&n&&&&&&&&i&&&&&&&&0.0055=?10+?mm=10.00055mm10&&&&&&&&（2）求各测得值的残余误差&&&&&&&&υi=xi?x(数据见上表)&&&&（3）求标准差&&&&&&&&σ10=&&&&&&&&∑υ&&&&&&&&2i&&&&&&&&n?1&&&&&&&&=&&&&&&&&0.μm=μm≈0.2μm10?19&&&&&&&&（4）判断有无粗大误差1）按罗曼诺夫斯基准则，首先怀疑第9各测得值含有粗大误差，将其剔除，根据剩下的9个测得值计算算术平均值及标准差，得&&&&&&&&x9=10.0005mm&&&&&&&&σ9=0.12μm&&&&选取显著度α=0.05，已知n=10查表得&&&&&&&&k(10,0.05)=2.43&&&&则因&&&&&&&&kσ9=2.43×0.29&&&&x9?x=10.001?10.50.00029&&&&&&&&故第9个测得值含有粗大误差，应予剔除。剩下9个测得值，再重上述步骤，由判别可知不再含有粗大误差。2）按格罗布斯准则，按测得值的大小，顺序排列得&&&&8&&&&&&&&&&&&x(1)=10.0003,x(2)=10.0004,?,x(9)=10.0007,x(10)=10.001&&&&今有两测得值x(1),x(10)可怀疑，但由于&&&&&&&&x?x(1)=10.3=0.00025x(10)?x=10.001?10.45&&&&故应先怀疑x(10)是否含有粗大误差&&&&&&&&q(10)=&&&&查表得则&&&&&&&&x(10)?x&&&&&&&&σ&&&&&&&&=&&&&&&&&10.001?10..0002&&&&&&&&q0(10,0.05)=2.18&&&&&&&&q(10)=2.25q0(10,0.05)=2.18&&&&&&&&故表中第9个测得值含有粗大误差，应予剔除。剩下9个测得值，再重复上述步骤，判别x(1)是否含有粗大误差。&&&&&&&&x′=10.0005σ′=0.12&&&&&&&&q(1)=&&&&查表得&&&&&&&&x′?x(1)&&&&&&&&σ′&&&&&&&&=&&&&&&&&10.3≈1.670.00012&&&&&&&&q0(9,0.05)=2.11&&&&&&&&q(1)=1.67q0(9,0.05)=2.11&&&&而各q(i)皆小于2.11，故可认为故可判别γ11=0.5γ0(10,0.05)=0.477不含有粗大误差，其余测得值也不含有粗大误差。3）按狄克松准则，将测得值从小到大顺序排列得&&&&&&&&x(1)=10.0003,x(2)=10.0004,?,x(9)=10.0007,x(10)=10.001&&&&首先判别最大值x(10)，因n=10，故计算统计量γ11&&&&&&&&γ11=&&&&查表得则&&&&&&&&x(n)?x(n?1)x(n)?x(2)&&&&&&&&=&&&&&&&&10.001?10..001?10.0004&&&&&&&&γ0(10,0.05)=0.477γ11=0.5γ0(10,0.05)=0.477&&&&&&&&9&&&&&&&&&&&&故表中第9个测得值含有粗大误差，应予剔除。再判别最小值x(1)，计算统计量&&&&&&&&γ11&&&&=10.4=0..0007&&&&&&&&γ11=&&&&则&&&&&&&&x(1)?x(2)x(1)?x(n?1)&&&&&&&&γ11=0.25＜γ0(10,0.05)=0.477&&&&&&&&故表中第5个测得值不含有粗大误差。剔除测得值10.001后，再检查其余测得值，此时n=9，检查结果不含有粗大误差。根据以上三个粗大误差判断准则，均判断第9个测得值含有粗大误差，故应将第9个测得值予以剔除。（5）分析有无不变系统误差发现和消除不变系统误差的基本措施可用实验对比法，若不能从误差源上及在测量过程中消除不变系统误差，应确定修正值，对算术平均值进行修正。本例除所用的10mm四等量块有一修正值-0.1μm外，别无其他显著的不变系统误差。（6）检查有无变化的系统误差用残余误差校核法进行检查&&&&&&&&∑υ=0+0.2+（-0.1）+0+（-0.2）=-0.1&&&&i=1ii=k+1&&&&&&&&k&&&&&&&&∑υ&&&&&&&&n&&&&&&&&j&&&&&&&&=+0.1+0+0.1+（-0.1）=+0.1&&&&&&&&Δ=∑υi+&&&&i=1&&&&&&&&k&&&&&&&&i=k+1&&&&&&&&∑υ&&&&&&&&n&&&&&&&&j&&&&&&&&=-0.1+0.1=0&&&&&&&&因为代数和值Δ为零，故测量列中无变化系统误差。（7）计算算术平均值的极限误差δlim2&&&&&&&&σx=&&&&&&&&σθ&&&&n&&&&&&&&=&&&&&&&&0.12μm=0.04μm9&&&&&&&&因n较少，按t分布确定δlim2，取显著度α=0.0027，自由度γ=n-1=9-1=8,查t分布表得：&&&&&&&&tα=4.28&&&&则&&&&&&&&δlim2=±tασx=±4.28×0.04μm=0.17μm&&&&（8）确定此测量方法总的极限误差δlim除了算术平均值的极限误差δlim2和4等基准量块的检定的极限误差δlim1外，作为随&&&&&&&&10&&&&&&&&&&&&机量的温度误差，在有限次重复测量的短时间内不能充分反映在测量结果里，故计算时要另作考虑。但由于被检量块与基准量块材料基本相同，其线膨胀系数相差甚微，同时被检量块基本尺寸较小，故其温度误差的影响可与忽略不计。则总的极限误差δlim为&&&&22δlim=±δlim1+δlim2=±0.22+0.172μm≈±0.3μm&&&&&&&&（9）最后测量结果&&&&&&&&x+Δ±δlim=10.0005mm+(-0.0001)mm±0.0003mm=10.3mm&&&&习2-12-22-32-42-52-62-72-8概率。2-92-102-112-12测量某物体重量共8次，测得数据（单位g）236.45,236.37,236.51,236.34,为用别捷尔斯法，极差法和最大误差法计算习题2-9的标准差，并比较之。测量某电路电流共5次，测得数据（单位mA）168.41,168.54,168.59,168.40,为测定雨滴中带有电荷的概率分布密度函数为（式中x表示雨滴数）236.39,236.48,236.47,236.40。试求算术平均值及其标准差？试述服从正态分布的随机误差的特性。试述标准差σ、平均误差θ和或然误差ρ的几何意义。什么叫真误差？什么叫残余误差？什么叫母体均值？什么叫子样均值？什么叫方差？为什么算术平均值也有标准差？什么叫不等精度测量？如何处理其测量结果？设误差服从正态分布，那么误差落在[?2σ,+2σ]中的概率如何？若服从均匀分试分别求出服从正态分布、反正弦分布、均匀分布误差落在[?2σ,+2σ]中的题&&&&&&&&布，则概率又如何？&&&&&&&&168.50。试求算术平均值及其标准差、或然误差和平均误差？&&&&&&&&f(x)=&&&&试求其标准差？2-132-142-152-16试证明公式σx=&&&&&&&&c?cxe2&&&&&&&&σ&&&&n&&&&&&&&，并论述它的实际意义及其应用。&&&&&&&&在立式测长仪上测量某校对量具，重复测量5次，测得数据（单位mm）20.0015,为对某工件进行5次测量，在排除系统误差的条件下，求得标准差σ=0.005mm,用某仪器测量工件尺寸，在排除系统误差的条件下，其标准差σ=0.004mm，&&&&11&&&&&&&&20.8,20.1。试以99%的置信概率确定测量结果。若要求测量结果的置信概率为95%，试求其置信限？&&&&&&&&&&&&若要求测量结果的置信限不大于±0.005mm，当置信概率为99%时，试求必要的测量次数？2-172-18量结果。2-19已知某仪器测量的标准差为0.5μm。①若在该仪器上，对某一轴径测量一次，测得值为26.2025mm，试写出测量结果。②若重复测量10次，测得值（单位mm）为26.8，26.5，26.2，26.5，26.2，试写出测量结果。③若手头无改仪器测量的标准差值得资料，试由②问中10次重复测量的测量值，写出上述①、②问的测量结果。2-20差。2-21测定水的气化热共20次，测定结果（单位J）542.98,542.91,542.03,542.68,为542.32,543.08,541.23,542.12,540.64,541.82,541.48,540.96,542.37,541.66,542.15,541.73,541.36,541.79,541.34,541.84。试求最可信赖值、平均误差和或然误差，并写出测定结果。2-22应用基本尺寸为30mm的3等量块，检定立式测长仪的示值稳定性。在一次调整下作了9次重复测量，测得数据（单位mm）30.8,30.8,30.0013,为30.6,30.8。若测量值服从正态分布，试确定该仪器的示值稳定性。2-23某时某地由气压表得到的读数（单位Pa）为，，，，，，，，其权各为1，3，5，7，8，6，4，2，试求加权算术平均值及其标准差？2-242-252-262-27测量某角度共两次，测得值为α1=24°13′36〃，α2=24°13′24〃，其标准差分在三台测角仪器上测量某角度时，若已知它们的标准差分别为σ1=0.04′，σ2用同一台仪器对同一距离进行两组测量，测得距离分别为227.8±0.1m和甲、乙两测试者用正弦尺对一锥体的锥角α各重复测量5次，测得值如下：别为σ1=3.1〃，σ2=13.8〃，试求加权算术平均值及其标准差？=0.06′，σ3=0.03′，试确定三台仪器上所得测量值相应的权。228.3±0.1m，两者总平均值为228.05±0.14m，试求此测量结果与两组测得值的权之比。测定溴的原子量共10次，测定结果如下：79.5,79.7,79.0,79.1,79.8,试求测量结果及其平均误用某仪器测量工件尺寸，已知该仪器的标准差σ=0.001mm，若要求测量的允许极若某量具的系统误差已排除，其测量的标准差为5μm，而被测轴径的公差为限误差不超过±0.0015mm，而置信概率P为0.95时，应测量多少次？15μm，试问应用该种量具进行测量是否合适，是否可采取其它技术措施？并写出相应的测&&&&&&&&α甲：7°2′20〃,7°3′0〃,7°2′35〃,7°2′20〃,7°2′15〃α乙：7°2′25〃，7°2′25〃，7°2′20〃，7°2′50〃，7°2′45〃&&&&试求其测量结果。2-282-29对某被测量x进行间接测量得2x=43.24，3x=64.80，其权分别为9，4，试求x的对某被测量z进行间接测量得2z=1.44，3z=2.18，4z=2.90，其权分别为5，1，测量结果及其标准差？&&&&&&&&12&&&&&&&&&&&&1，试求z的测量结果及其标准差？2-302-31试证明n个相等精度测得值的平均值的权为n乘以任一个测得值的权。重力加速度的20次测量具有平均值为9.811ms，标准差为0.014ms。另外&&&&2222&&&&&&&&30次测量具有平均值为9.802ms，标准差为0.022ms。假设这两组测量属于同一正态总体。试求此50次测量的平均值和标准差。2-322-33200人的平均身高为1.705±0.006m，而另一组300人的平均身高为某量的10个测得值的平均值为9.52，标准差为0.08；同一量的20个测得值的平1.752±0.005m。试求这500人的平均身高及其标准差？均值为9.49，标准差为0.05。当权为①正比于测得值个数及②反比于标准差的平方时，试求30个测得值的平均值及其标准差？2-34测定某玻璃棱镜的折射系数，测得数据为1.53，1.57，1.54，1.54，1.50，1.51，1.55，1.54，1.56，1.53。若测得数据的权①为等权的及②权为1，2，3，3，1，1，3，3，2，1时，试求算术平均值及其标准差。2-352-36对某量进行10次测量，测得数据为14.7，15.0,15.2,14.8,15.5,14.6,14.9,对一线圈电感测量10次，前4次是和一个标准线圈比较得到的，后6次是和另一50.82,50.83,50.87,50.89；50.78，50.78，50.75，50.85，50.82，50.81。试判断前4次与后6次测量是否存在系统误差？2-37等精度测量某一电压10次，测得结果（单位V）为25.94，25.97，25.98，26.03，26.04，26.02，26.04，25.98，25.96，26.07。测量完毕后，发现测量装置有接触松动现象，为判断是否因接触不良而引入系统误差，将接触改善后，又重新做了10次等精度测量，测得结果（单位V）为25.93，25.94，26.02，25.98，26.01，25.90，25.93，26.04，25.94，26.02。试用t检验法（α=0.05）判断两组测量值之间是否有系统误差？2-38误差？2-39对某量进行两组测量，测得数据如下：对某量进行12次测量，测得数据为20.06，20.07，20.06，20.08，20.10，20.12，20.11，20.14，20.18，20.18，20.21，20.19，试用两种方法判断该测量列中是否存在系统14.8,15.1,15.0,试判断该测量列中是否存在系统误差？个标准线圈比较得到的，测得结果如下（单位mH）：&&&&&&&&xi：14.615.115.414.715.214.8yi：14.714.815.014.915.315.2&&&&试用各种方法判断两种间有无系统误差？2-40某量进行两组测量，测得数据如下&&&&&&&&xi0.620.861.131.131.161.181.201.211.221.261.301.341.391.411.57yi0.991.121.211.251.311.311.381.411.481.501.591.601.601.841.95&&&&试用秩和检验法判断两组测量值之间是否有系统误差？2-41为检定某杠杆千分表的示值误差，采用实验统计法，对20mm的量块作20次重复测量，测得数据如下（单位mm）：&&&&&&&&13&&&&&&&&&&&&20.002,20.001,20.000,20.001,20.000,19.998,19.998,20.001,19.998,19.999,20.002,20.000,20.000,20.003,20.000,20.002,19.994,19.998,20.002,19.998。试判断并剔除粗大误差及确定千分尺示值误差。2-42对某量进行15次测量测得数据为28.53,28.52,28.50,28.52,28.53,28.53,28.50,28.49,28.49,28.51,28.53,28.52,28.49,28.40,28.50,若这些测得值已经消除系统误差，试用莱以特准则、格罗布斯准则和狄克松准则分别判别该测量列中是否含有粗大误差的测量值？2-43对某一个电阻进行200次测量，测得结果列表如下：测得电阻（R/Ω）该电阻值出现次数&&&&&&&&⑴绘出测量结果的统计直方图，由次可得到什么结论？⑵求测量结果并写出表达式。⑶写出测量误差概率分布密度函数式。2-44在立式测长仪上，对某尺寸L作100次重复测量，测得其对基准尺寸的偏差ΔLi，经整理后如下表所列：&&&&&&&&ΔLi/μm&&&&n/次⑴试写出测量结果&&&&&&&&-1.51&&&&&&&&-12&&&&&&&&-0.58&&&&&&&&014&&&&&&&&+0.549&&&&&&&&+115&&&&&&&&+1.59&&&&&&&&+21&&&&&&&&+2.51&&&&&&&&⑵试确定对基准尺寸的偏差值在±0.75μm范围内的概率。2-45用三种方法测量某一锥体角度α，测得数据分别为&&&&&&&&α1=43°55′12〃α2=43°55′02〃α3=43°55′08〃&&&&2-46&&&&&&&&σ1=5〃σ2=10〃σ3=6〃&&&&&&&&试求出测量结果及标准差，并写出最终结果表达式。在卧式光学比较仪上，用4等量块检定100㎜的千分尺校对杆，共测10次。4等量块中心长度的实际偏差为+0.2μm,检定的极限误差δ1im=±0.6μm。测量时恒温条件为t=20±3℃。测量结果（单位㎜）为100.1,100.0,100.26,100.1,100.2。试求次测量方法的极限误差，并写出最后结果。&&&&&&&&14&&&&&&&&&&&&第三章&&&&&&&&误差的合成与分配&&&&例题&&&&&&&&例1相对测量时需要用54.255mm的量块组成标准件，量块组由四量块研合而成，它们的基本尺寸如下：&&&&1=40&&&&&&&&mmmm&&&&&&&&2=12&&&&&&&&mm&&&&&&&&3=1.25&&&&&&&&4&&&&&&&&=1.005mm&&&&&&&&经测量，它们的尺寸偏差及其测量极限误差分别为&&&&&&&&Δ1=-0.7μmΔ2=+0.5μmΔ3=-0.3μmΔ4=+0.1μm&&&&&&&&δ11ml1=±0.35μmδ11ml2=±0.25μmδ11ml3=±0.20μmδ11ml4=±0.20μm&&&&&&&&试求量块组按基本尺寸使用时的修正值及给出相对测量带来的测量误差？解：量块组尺寸的系统误差为&&&&&&&&Δ=（1+&&&&+（&&&&&&&&2+4+&&&&&&&&3+&&&&&&&&4）-&&&&&&&&[（1+Δ1）+（&&&&&&&&2+&&&&&&&&Δ2）+（&&&&&&&&3+&&&&&&&&Δ3）+&&&&&&&&Δ4）]&&&&&&&&=+0.4μm故量块组按基本尺寸使用时的修正值为-0.4μm。&&&&&&&&δ1iml=±δ21iml1+δ21iml2+δ21iml3+δ21iml4&&&&=±&&&&&&&&0.352+0.252+0.202+0.202μm&&&&&&&&=±0.51μm故量块组给相对测量带来的测量误差不会超过±0.51μm。例2望远镜的放大率D=f1/f2，已测得物镜主焦距f1±&&&&&&&&σ1=（19.8±0.2）cm,目镜&&&&&&&&的主焦距f2±&&&&&&&&σ2=（0.800±0.005）cm,求放大率的标准差？&&&&?D22?D22?D?D)σ1+()σ2+2()()ρf1f2σ1σ2?f1?f2?f1?f2&&&&&&&&解：由误差传递公式&&&&&&&&σ2D=(&&&&&&&&因f1、f2的测量值的随机误差是相互独立的，所以相关系数ρf1f2=0&&&&&&&&15&&&&&&&&&&&&σ2D=(&&&&=(=(&&&&&&&&?D22?D22)σ1+()σ2?f1?f2&&&&&&&&122f2)σ1+(12)2σ2f2f2&&&&&&&&.2)2cm2+(2)2(0.005)2cm20.80.8&&&&2&&&&&&&&=0.086cm&&&&&&&&σD=0.294cm&&&&D=f1/f2=&&&&测量结果为例3&&&&&&&&19.8=24.750.8&&&&&&&&D0=D+σD=24.75±0.29&&&&&&&&应用交流电桥同时测量线路电容R和电容C，由下式计算阻抗Z，&&&&&&&&Z=R2+(&&&&&&&&12)fc&&&&6&&&&&&&&若重复测量15次，可得如下所列数据。频率f=10Hz，试求阻抗Z。解：电阻的算术平均值：R=&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&1n1∑Ri=15×31963.0Ω=2130.87Ωni=1&&&&&&&&电阻偏差：ΔRi=Ri?R电容算术平均值：&&&&&&&&C=&&&&&&&&?&&&&&&&&1n1∑Ci=15×10284.4pFni=1&&&&?12&&&&&&&&=685.63pF=685.63×10电容偏差：ΔCi=Ci?C电阻测量的标准差：&&&&?&&&&&&&&F&&&&&&&&σR=&&&&电容测量的标准差：&&&&&&&&∑ΔR&&&&n?1&&&&&&&&2i&&&&&&&&=&&&&&&&&36.01Ω=1.6Ω15?1&&&&&&&&σD=&&&&&&&&∑ΔC&&&&n?1&&&&&&&&2i&&&&&&&&=&&&&&&&&50.64pF=1.9pF=1.9×10?12F15?1&&&&&&&&16&&&&&&&&&&&&i&&&&&&&&&&&&R/Ω&&&&........0&&&&&&&&Ci/pF&&&&689.87.86.85.82.0284.4&&&&&&&&ΔRi/Ω&&&&-1.27+0.03+0.93-2.76+2.13+0.23+1.83-3.37-0.07-1.17-0.87+0.63+0.93+1.03+1.632&&&&&&&&ΔCi/pF&&&&+3.37+1.37+1.37+2.37-2.63-1.63+0.77+1.67+0.67-0.03-2.03-1.03-3.33+0.27-1.03-&&&&&&&&ΔRi2/Ω2&&&&1..540.053.0.760.400.861.062.6636.01&&&&&&&&ΔCi2/pF2&&&&11.361.881.884.716.922.660.592.790.1.090.071.0650.64&&&&&&&&ΔRiΔCi/s&&&&-4.28+0.04+1.27-5.79-5.60-0.37+1.41-5.63-0.05+0.04+1.77-0.65-3.10+0.28-1.68-22.34&&&&&&&&∑&&&&&&&&阻抗算术平均值：&&&&&&&&Z=R+(&&&&&&&&1&&&&fc&&&&?&&&&&&&&)2&&&&1)2Ω?×10&&&&6&&&&&&&&=(+(&&&&&&&&=7259Ω=6667866Ω≈2582.22Ω&&&&传递系数：&&&&?&&&&&&&&?ZR2130.87KR==?==0.825?RZ2582.22&&&&&&&&KC=&&&&&&&&?Z?C&&&&?&&&&&&&&=?&&&&&&&&1zf2C&&&&3&&&&&&&&=?&&&&&&&&12582.22×(10)×(685.63×10?12)3&&&&62&&&&&&&&相关系数：&&&&&&&&ρRC=&&&&&&&&∑(Ri?R)(Ci?C)∑(R?R)∑(C?C)&&&&2ii2&&&&&&&&?&&&&&&&&?&&&&&&&&17&&&&&&&&&&&&=&&&&&&&&∑ΔRΔC∑ΔRΔC&&&&ii&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&=&&&&&&&&i&&&&&&&&i&&&&&&&&?22..64&&&&&&&&≈?0.52&&&&阻抗测量的标准差：&&&&2222σZ=KRσR+KCσC+2KRKCρRCσRσC&&&&&&&&=(0.825)2×(1.6)2+(?1.20×.9×10?12)2+2×0.825×(?1.20×1012)×(?0.52)×1.6×(1.9×10?12)Ω=1.74+5.20+3.13Ω=10.07Ω≈3.2Ω&&&&若已知阻抗Z的误差接近于正态分布，且置信系数取t=3时，则&&&&&&&&ΔlimZ=±tσZ&&&&=±3×3.2Ω=9.6Ω&&&&&&&&Δlim?=±&&&&Z?&&&&&&&&tσZ9.6=±Ω≈±2.5Ω15n&&&&&&&&则测量结果：例4&&&&&&&&Z0=Z±Δlim?=(.5)Ω&&&&Z&&&&&&&&分析用正弦间接测量锥度量规的锥角?0的误差，并对测量结果进行处理（见图&&&&&&&&3-1）。已知：被测件为M3莫氏锥度量规，其锥角的公称值为?0=2°52′32〃；正弦尺两圆柱中心距L=[100+(?0.005)±0.002]mm；量块为5等；千分尺的刻度值为1μm，示值稳定性为±0.5μm；平板为1级。&&&&&&&&2—千分表3—被测锥度量规4—正弦尺5－量块组图3－1解：⑴列出间接测量的函数式&&&&&&&&1—平板&&&&&&&&18&&&&&&&&&&&&sin?0=&&&&&&&&HL&&&&&&&&被测锥角对标准角度?0的偏差Δ?与给定距离l及圆锥母线在该长度上两点高度差&&&&&&&&Δ=a?b之间的关系为&&&&&&&&Δ?=&&&&而被测圆锥角即为&&&&&&&&Δa?b=2.06×105(〃)ll?=?0+Δ?&&&&&&&&⑵列出有关尺寸的直接测量或检定结果正弦的尺两圆柱中心距&&&&&&&&L=[100+(?0.005)±0.002]mm&&&&=99.995±0.002mm&&&&量块的组合尺寸&&&&&&&&H=Lsin?0=100mmsin2°52′32〃&&&&=100×0.0501668mm≈5.017mm&&&&选用三块5等量块组合尺寸，基本尺寸、实际偏差（按量块检定书查得）及检定误差（查有关量块的检定资料）如下：&&&&&&&&H1=[(3?0.0004)±0.0005]mmH2=[(1.01?0.0002)±0.0005]mmH3=[(1.007?0.0002)±0.0005]mm&&&&因此，该量块组修正后的尺寸有极限误差为&&&&&&&&H=5.0166±3×(0.0005)2mm&&&&=5.9mm&&&&用钢尺直接在被测锥度量规饿表面划上记号a、b，量取l=50mm，其定位误差估计为±0.3mm，则l=50.0±0.3mm用千分表5次重复测量a、b两点的读数ai与bi，得二点对平板的高度差Δi，列于下表所示（单位μm）。测量顺序12345&&&&&&&&ai&&&&00-0.5-0.50—&&&&&&&&bi&&&&-2.5-3.0-3.5-4.0-3.0—&&&&&&&&Δi＝ai-bi&&&&+2.5+3.0+3.0+3.5+3.0+15&&&&&&&&(Δ&&&&&&&&i&&&&&&&&?Δ)&&&&00&&&&&&&&2&&&&&&&&0.25&&&&&&&&0.2500.50&&&&&&&&∑&&&&&&&&高度差的平均值及其极限误差&&&&19&&&&&&&&&&&&Δ=&&&&&&&&∑Δi+15==+3.0μm5n&&&&2&&&&&&&&σΔ=&&&&&&&&∑(Δi?Δ)n?1&&&&&&&&=&&&&&&&&0.50μm＝0.35μm5?1&&&&&&&&ΔlimΔ=±&&&&因此高度差的测量结果为&&&&&&&&3σΔ3×0.35=±μm≈±0.47μmn5&&&&&&&&Δ=Δ±ΔlimΔ＝3.00±0.47μm&&&&在不垫量块的条件下，直接将正弦尺的两圆柱置于平板上，检验正弦尺工作面对平板的平行度。用千分表3次重复测量，结果是垫量块的一端平均高出1μm，其极限误差可按千分表的示值稳定性±0.5μm的1即&&&&&&&&n倍估算（n＝3）。这相当于所垫量块有一附加高度偏差，0.5μm≈1.00±0.29μm3&&&&&&&&ΔH＝1±&&&&（3）计算被测锥角的实际值&&&&&&&&计算按系统误差修正后标准角度的实际值。H＝（5.）mm＝5.0176mm，L＝[100+(-0.005)]mm＝99.995mm，所以&&&&&&&&′sin?0＝&&&&&&&&H5.0176＝≈0..995&&&&&&&&′?0＝252′34.5′′&&&&按测得的高度差平均值Δ＝+0.003mm来计算实际锥角对上述标准角度的偏差&&&&&&&&Δ?＝2.06×105×&&&&&&&&(+0.003)(′′)≈12.4′′Δ(′′)＝2.06×105l50&&&&′?=?0+Δ?&&&&＝252′34.5′′+12.4′′≈252′47′′&&&&&&&&因此，该锥度量规的锥角的实际值为&&&&&&&&（4）计算所测实际锥角的极限误差估算标准角度?实的极限误差因为&&&&&&&&sin?0＝&&&&Δ?0=&&&&&&&&HL&&&&&&&&1?1HΔH?2ΔL?Lcos?0?L?&&&&&&&&＝KHΔH+KLΔL&&&&20&&&&&&&&&&&&其中误差传递系数KH和KL分别为&&&&&&&&KH=&&&&=&&&&&&&&1111×=×mm-1cos?0Lcos252′34.5′′99.995&&&&&&&&11mm-1≈0.010mm-1×0.&&&&KL=?&&&&&&&&sin?0H11×2=?×cos?0Lcos?0L&&&&&&&&11mm-1=?tg252′34.5′′×L99.24×mm-1≈-0.0005mm-199.995&&&&=?tg?0×比较KH与KL两个误差传递系数，由于KL比KH小得多，而ΔL与ΔH相差较小，故可略去正弦尺中心距误差的影响，仅考虑高度误差ΔH的影响。高度H的极限误差ΔlimH，应由所垫量块组尺寸的测量误差±0.9μm与正弦尺工作面对平板平行度的测量误差±0.29μm随机合成，即&&&&&&&&ΔlimH=±0.92+0.292μm≈±1μm&&&&由此引起基准角度的误差为&&&&&&&&δlim1＝±KHΔlimH＝±0.01×0.001rad&&&&≈±2.06×105×0.00001(′′)≈±2〃估算锥角偏差Δ?的极限误差δlim2：&&&&&&&&因为&&&&&&&&Δ?＝2.06×105&&&&&&&&Δl&&&&&&&&?1Δ?ΔΔ?＝2.06×105?ΔΔ?2Δl?(′′)l?l?&&&&＝2.06×105(KΔΔΔ+KlΔl)(′′)式中&&&&&&&&11KΔ＝＝＝0.02mm-1l50mm&&&&Kl＝?&&&&&&&&0.003Δ＝?mm-1≈-0.00001mm-12250l&&&&&&&&比较这两个误差传递系数可知，Kl远小于KΔ，因此，给定长度l的测量误差的影响可以略去，仅考虑高度Δ的极限误差的影响。由此得锥角偏差的极限误差为&&&&21&&&&&&&&&&&&δlim2＝±2.06×105×0.02×0.00047(′′)≈±2〃&&&&实际锥角测量的极限误差δlim1，由标准角度的极限误差δlim1与锥角的极限误差δlim2随机合成，即&&&&22δlim＝±δlim1+δlim2&&&&&&&&＝±2+2(′′)≈±3〃&&&&22&&&&&&&&这样，锥角的间接测量结果为&&&&&&&&?＝?0±δlim＝252′47′′±3〃&&&&习3-1题&&&&&&&&为求长方体体积V，直接测量其各边长a、b、c，测量结果分别为a＝161.6mm，&&&&&&&&b＝44.5mm，c＝11.2mm，已知测量的系统误差分别为Δa＝1.2mm，Δb＝-0.8mm，Δc＝&&&&0.5mm，试求立方体的体积？3-2若题3-1中的测量极限误差分别为δa＝±0.8mm，b＝±0.5mm，c＝±0.5mm，δδ立方体的边长为a，测量时的标准差为σ，试求体积的标准差？长方体的边长分别为a1、a2、a3，测量时①标准差均为σ；②标准差各为σ1、2、σ测量某电路的电流I＝22.5mA，电压U＝12.6V，测量的标准差分别为σI＝已知矩形的边长为a和b，且边长的标准差相同，试求矩形对角线的标准差？用误差传递公式证明加权平均值的标准差公式：&&&&&&&&计算所得体积的极限误差？3-33-4&&&&&&&&σ3。试求体积的标准差？&&&&3-50.5mA，σU＝0.1V，求所耗功率P＝UI及其标准差σP？3-63-7&&&&&&&&σ误＝σi&&&&3-8&&&&&&&&pi∑pi&&&&&&&&一直线上有A、B、C、D四点，C点为A、B间的中点。由直接测量OA和OB&&&&&&&&的长度，然后算出OC的长度。已知OA和OB两测量值的标准差各为σ1和σ2，O为该直线的端点，试求OC的标准差。3-9某圆球的半径为r，若测得r＝3.132±0.005cm，其标准差为σ＝0.002cm，试求&&&&&&&&圆球最大截面的圆周和面积及圆球体积的极限误差和标准差？3-10已知三角形ABC的两个角A和C的标准差为σA、σC及B角的对边b的标准差为σb，试求A角的对边a的标准差？&&&&&&&&1absina计算三角形的面积，式中a、b是三角形α角的两邻边。经2测得a＝20.3±0.1cm，b＝10.5±0.2cm，α＝40°36′±24′，试求面积S的极限误差？&&&&3-11由式S＝&&&&22&&&&&&&&&&&&3-12已知x±σx＝2.0±0.1，y±σy＝3.0±0.2，相关系数ρxy＝0，试求?＝x值及其标准差？3-13已知x与y的相关系数ρxy＝-1，试求u＝x+ay的方差σu？&&&&22&&&&&&&&3&&&&&&&&y的&&&&&&&&3-14在工具显微镜上，用灵敏杠杆（光学接触器）按图3-2所示方法测量孔径，测得尺寸L＝29.5mm，C＝15.5mm。已知测头直径d＝2.5mm，试求被测孔径D及其精度？&&&&&&&&图3－2&&&&&&&&图3－3&&&&&&&&3-15用三针测量外螺纹中径d2，如图3-3所示，其关系式为d2＝&&&&&&&&1M?d0?1+α?sin?2&&&&&&&&tα?+ctg。试分析最佳测量方案。2?2?&&&&&&&&3-16通过电流表的电流I与指针偏转角?服从下列关系：I＝Ctg?。式中C为决定于仪表结构的常数，C＝5.031×10-7A，两次测得?1＝6°17′±1′；?2＝43°32′±1′。试求两种情况下的I1、I2及其极限误差，并分析最佳测量方案。3-17题3-16中，若测得C+σC＝（124.18±0.03）A，?+σ?＝19°41′30〃±40〃，试求电流I的标准差？分别为H1、H2，试求被测孔径D与各直接测量量的函数关系D＝f(d1,d2,H1,H2)及其误差传递系数。3-19若已知习题3-18中3-18如图3-4所示，用双球法测量孔的直径D，其钢球直径分别为d1、d2，测出距离&&&&&&&&d1＝45.00mmd2＝15.00mmH1＝29.921mmH2＝20.961mm&&&&&&&&Δd1＝0.002mmΔd2＝-0.003mmΔH1＝0.005mmΔH2＝0.004mm&&&&23&&&&&&&&σd1＝0.001mmσd2＝0.001mmσH1＝0.003mmσH2＝0.002mm&&&&&&&&&&&&试求被测孔径D及其测量精度。&&&&&&&&图3－4&&&&&&&&图3－5&&&&&&&&测出距离为H，试求被测孔径D与各直径测量量的函数关系D＝f(d1,d2,H)及径为d2，其误差传递系数。3-21若已知题3-20中：&&&&&&&&3-20如图3-5所示，用四球法测量孔的直径D，其中一个钢球直径为d1，三个钢球直&&&&&&&&d1＝40.00mmd2＝20.00mm&&&&&&&&Δd1＝0.002mmΔd2＝-0.002mm&&&&&&&&H＝34.985mm&&&&&&&&ΔH＝0.005mm&&&&&&&&σd1＝0.001mmσd2＝0.001mmσH＝0.003mm&&&&&&&&试求被测孔径D及其测量精度。3-22如图3-6所示，在平板上用两个相同直径d的钢球测量外圆弧半径R，测得直接测量量为M，若已知：&&&&&&&&d＝20.00mm&&&&&&&&Δd＝0.002mm&&&&&&&&M＝99.998mm&&&&&&&&ΔM＝-0.004mm&&&&&&&&σd＝0.001mmσM＝0.003mm&&&&&&&&试求被测外圆弧半径及其测量精度。&&&&&&&&图3－63-23如图3-7所示，在平板上用三个相同直径d的钢球测量内圆弧半径R，测得直接&&&&&&&&24&&&&&&&&&&&&测量量为H，若已知：&&&&&&&&d＝50.00mm&&&&&&&&Δd＝0.002mm&&&&&&&&H＝60.002mm&&&&&&&&ΔH＝0.002mm&&&&&&&&σd＝0.001mmσH＝0.001mm&&&&&&&&试求被测内圆弧半径及其测量精度。&&&&&&&&图3－73-24用间接测量法求角度α，如图3-8所示，测得尺寸l＝50.000mm，d1＝25.151mm，&&&&&&&&d2＝10.183m，相应的测量极限误差分别为δl＝±0.005mm，δd1＝±0.010mm，δd2＝±&&&&0.010mm。求角度测量结果及其极限误差？&&&&&&&&图3－8&&&&&&&&图3－9&&&&&&&&3-25若题图3-8中角度α的测量误差要求不大于±20〃，试恰当地的确定d1、d2及l的测量允许误差？3-26试分析题3-18中的最佳测量方案。3-27有m个三角形，在相同条件下，分别独立测量角度Ai、Bi、Ci，i＝1，2，…，&&&&&&&&m，当m很大时，试证明任一测量角的方差为σ2＝&&&&2&&&&&&&&1m∑(Ai+Bi+Ci?1803mi=1&&&&&&&&)&&&&&&&&3-28圆柱体按公式V＝πrh求出体积，要使体积的相对误差等于1％，若已知r约为&&&&&&&&25&&&&&&&&&&&&2cm，h约为20cm。试问r和h测量时误差应为多少？3-29测量某电路电阻R两端的电压降U，可由公式I＝UR算出电路电流I。若电压降约为16V，电阻约为4Ω，要使电流的极限误差为0.04A，试决定电阻R和电压降U的测量误差不能大于多少？3-30假定从支点到重心的长度为L的单摆振动周期为T，重力加速度可由公式T＝&&&&&&&&2πLg中给出。若要求测量g的相对标准差&&&&时，测量L和T的相对标准差应是多少？&&&&&&&&σg&&&&&&&&g&&&&&&&&≤0.1％，试问按等作用原则分配误差&&&&&&&&其参数关系式R＝3-31如图3-9所示，用弓高弦长法测量一圆弧样板半径R，&&&&&&&&s2h+。8h2&&&&&&&&系统误差和极限误差分别为：Δs＝+0.1mm，Δh＝-0.01mm，δlims若s＝50mm，h＝5mm，＝±0.001mm，δlimh＝±0.0006mm，试求该圆弧样板半径R的实际尺寸及测量极限误差。3-32用一对直径相等的标准圆棒和两块尺寸相等的量块，通过测量尺寸M1和M2（见图3-10），间接测量得锥体锥度&&&&&&&&K＝2tgα＝&&&&若&&&&&&&&M1?M2L&&&&&&&&M1＝31.480±0.004mmM2＝25.600±0.004mm&&&&&&&&L＝22.500±0.002mm&&&&试求测量结果并分析最佳测量方案？&&&&&&&&图3－10&&&&&&&&图3－11&&&&&&&&3-33如图3-11所示，用正弦尺测量角度?，sin?＝(H?h)L（1）已知测微计在a、b处的读数值na＝1μm，nb＝0，检定长度L＝100mm，若不考虑测量误差，试求锥体锥角。&&&&&&&&26&&&&&&&&&&&&（2）已知各已知值及系统误差为&&&&&&&&L＝100mm，H＝50mm，&&&&h＝20mm，&&&&（3）若各值的极限误差为&&&&&&&&ΔL＝+5μmΔH＝+2μm&&&&Δh＝-1μm&&&&&&&&试求测微计在a、b两处的读数值相等时角度?的实际值。&&&&&&&&δlimL＝±0.001mmδlimH＝±0.001mmδlimh＝±0.0007mm当测微计在a、b两处的读数值相等时，试求角度?的测量极限误差及最后测量结果。&&&&（4）试分析最佳测量方案。3-34用正弦尺检定锥角?为30°的锥度量规（见图3-12），已知正弦尺两滚柱中心距L＝100mm，其极限误差δlimL＝±3μm，刻度值为2μm的测微计的示值极限误差δlim计＝±1μm，5等量块h＝50mm，其检定极限误差δlimh＝±0.7μm，正弦尺工作面与两滚柱公切面平行性误差δlim平＝±2μm，检定长度l＝100mm，试计算测量方法的极限误差。&&&&&&&&图3－123-35对某量测量的随机误差与未定系统误差的标准差分别为σr＝0.36g，us＝0.14g，求三次测量结果的算式平均值的极限误差？若要使所得结果的极限误差不超过±0.60g，应测量多少次？3-36已知立式光学比较仪的光学刻度尺的刻度误差为±0.05μm；光学系统及传动机构调整误差为±0.03μm；用量块调整示值时引入的系统误差为±0.1μm；对刻度线瞄准和估读误差为±0.06μm.。试求立式光学比较仪总的系统误差。3-37光学法测量大尺寸是利用现有的标准线纹尺，由一列瞄准器将其衔接到所需要的尺寸。例如，为了测量10m长的尺寸，用1m线纹尺做标准尺，按次序调整各瞄准器的位置，如图3-13所示。&&&&&&&&27&&&&&&&&&&&&图3－13首先使0号瞄准器的双刻线套中线纹尺的0刻线，然后微调1号瞄准器的位置，使其双刻线套中线纹尺的1m刻线，这两个瞄准器轴线名义间距即为1m。再移动线纹尺，是0刻线被1号瞄准器的双刻线套中，然后微调2号瞄准器的位置，使其双刻线套中1m刻线。……依次进行下去，直到调好10号瞄准器的位置。于是0号瞄准器轴线与10号瞄准器轴线的名义间距l＝10×1m＝10m。现已知瞄准器的双刻线瞄准误差为±1μm，线纹尺检定结果为999.994mm±1.1μm，其它误差均忽略不计。问在上述获得l的操作中的几项误差各是何种误差？并写出0号瞄准器与10号瞄准器轴线间距L的正确表达式。3-38某压力计各误差因素的极限误差如下表所示：极限误差/mPa随机误差13.8—4.8——3.0未定系统误差13.04.0—0.10.5—&&&&&&&&序号123456&&&&&&&&误差因素有效面积专用砝码及活塞杆质量使用时温度变化结构系统安装误差加速度误差有效面积变形&&&&&&&&若各误差传递系数均为1，置信系数均为2，试求压力计的极限误差？3-39对某一质量重复四次的测量结果分别为x1＝428.6g，x2＝429.2g，x3＝426.5g，x4＝430.8g。已知测量的已定系统误差Δx＝-2.6g，测量的各极限误差分量及其相应的传递系数分别如下表所示。若各误差均服从正态分布，试求该质量的最可信赖值及其极限误差？序号1234极限误差/g随机误差2.1———&&&&28&&&&&&&&未定系统误差—1.51.00.5&&&&&&&&误差传递系数1111&&&&&&&&&&&&5678&&&&&&&&4.5—1.0—&&&&&&&&—2.2—1.8&&&&&&&&11.42.21&&&&&&&&3-40在万能工具显微镜上用影像法测量平面工件的尺寸，已知工件长L＝50mm，H高＝80mm，根据仪器的工作原理和结构可知，主要有以下误差：&&&&&&&&HLmm2μm；（1）阿贝误差＝±4000&&&&（2）光学刻度尺的刻度误差＝±?1+&&&&&&&&&&&&&&&&Lmmμm；200?&&&&&&&&（3）光学刻度尺的检定误差＝±0.5μm；（4）温度误差＝±&&&&&&&&7Lmmμm；1000&&&&&&&&（5）读数装置误差＝±0.8μm；（6）工件瞄准误差＝±1μm。试用误差合成的方法计算其测量结果的综合极限误差值。&&&&&&&&29&&&&&&&&&&&&第四章&&&&&&&&测量不确定度&&&&例题&&&&&&&&评定与表示测量不确定度的步骤可归纳为1）分析测量不确定度的来源，列出对测量结果影响显著的不确定度分量。2）评定标注不确定度分量，并给出其数值ui和自由度vi。3）分析所有不确定度分量的相关性，确定各相关系数ρij。4）求测量结果的合成标准不确定度，则将合成标准不确定度uc及自由度v.5）若需要给出展伸不确定度，则将合成标准不确定度uc乘以包含因子k，得展伸不确定度U=kuc。6）给出不确定度的最后报告，以规定的方式报告被测量的估计值y及合成标准不确定度uc或展伸不确定度U，并说明获得它们的细节。根据以上测量不确定度计算步骤，下面通过实例说明不确定度评定方法的应用。例1体积测量的不确定度计算1．测量方法直接测量圆柱体的直径D和高度h，由函数关系式计算出圆柱体的体积V＝&&&&&&&&πD2&&&&4&&&&&&&&h&&&&&&&&由分度值为0.01mm的测微仪重复6次测量直径D和高度h，测得数据如下：&&&&&&&&Di/mmhi/mm&&&&&&&&10.&&&&&&&&10.&&&&&&&&10.&&&&&&&&10.&&&&&&&&10.&&&&&&&&10.&&&&&&&&计算直径D和高度h的测量平均值得：D＝10.080mm，h＝10.110mm，则体积V的测量结果的估计值为V＝&&&&&&&&πD2&&&&4&&&&&&&&h＝806.8mm&&&&&&&&3&&&&&&&&2．不确定度评定分析测量方法可知，对体积V的测量不确定度影响显著的因素主要有：直径和高度的测量重复性引起的不确定度u1、u2；测微仪示值误差引起的不确定度u3。分析这些不确定度特点可知，不确定度u1、u2应采用A类评定方法，而不确定度u3应采用B类评定方法。下面分别计算各主要因素引起的不确定度分量。（1）直径D的测量重复性引起的标注不确定度分量u1：由直径D的6次测量值则直径D的测量标准不确定度uD＝σD＝0.0048mm。求得平均值的标准差σD＝0.0048mm，又因&&&&&&&&?VπD＝h，故直径D测量重复性引起的不确定度分量为?D2&&&&u1＝&&&&&&&&?VuD＝0.77mm3?D&&&&&&&&其自由度v1＝6－1＝5。（2）高度h的测量重复性引起的标注不确定度分量u2：&&&&30&&&&&&&&由高度h的6次测量值&&&&&&&&&&&&求得平均值的标准差σh＝0.0026mm，则高度h的测量标准不确定度uh＝σh＝0.0026mm。又因?V/?h＝πD/4，故高度h测量重复性引起的不确定度分量为&&&&2&&&&&&&&u2＝&&&&其自由度v2＝6－1＝5。（3）&&&&&&&&?Vuh＝0.21mm3?h&&&&&&&&测微仪的示值误差引起的标准不确定度分量u3由仪器说明书获得测微仪的示&&&&&&&&值误差范围±0.01mm，取均匀分布，按式（4－3）计算得测微仪示值标准不确定度u仪＝&&&&&&&&0.01mm＝0.0058mm，由此引起的直径和高度测量的标准不确定度分量分别为3u3D＝?Vu，?D仪u3h＝?Vu?h仪&&&&&&&&则测微仪的示值引起的体积测量不确定度分量为&&&&&&&&πD2πD22?V2?V2u3＝(u3D)+(u3h)＝()+()u仪＝(h)+()u仪＝1.04mm3?D?h24&&&&22&&&&&&&&取相对标注差&&&&&&&&σu&&&&&&&&3&&&&&&&&u3&&&&&&&&＝35％，对应的自由度v3＝&&&&&&&&1＝4。22×0.35）（&&&&&&&&3．不确定度合成因不确定度分量u1、u2、u3相互独立，即ρij＝0，按式（4－11）得体积测量的合成标准不确定度&&&&2222uc＝u1+u2+u3＝（0.77）+0.212+1.04）mm3＝1.3mm3（）（2&&&&&&&&按式（4－16）计算其自由度得&&&&&&&&ν＝&&&&&&&&(1.3)4uc4＝＝7.86，取ν=8。3(0.77)4(0.21)4(1.04)4ui4++∑v555i=1i&&&&&&&&4．展伸不确定度＝2.31，即包含因子k＝2.31。取置信概率P＝0.95，自由度v＝8，t分布表得t0.95（8）查于是，体积测量的展伸不确定度为U＝kuc＝2.31×1.3mm＝3.0mm5．不确定度报告&&&&31&&&&33&&&&&&&&&&&&1）用合成标准不确定度评定体积测量的不确定度，则测量结果为V＝806.8mm，uc＝1.3mm，v＝7.86。2）用展伸不确定度评定体积测量不确定度，则测量结果为V=(806.8±3.0)mm，P＝0.95，v＝8。&&&&333&&&&&&&&其中±符号后的数值是展伸不确定度U－kuc＝3.0mm，是由合成标准不确定度uc＝&&&&3&&&&&&&&1.3mm及包含因子k＝2.31确定的。&&&&&&&&3&&&&&&&&习4－14－2&&&&&&&&题&&&&&&&&某圆球的半径为r，若重复10次测量得r±σr＝（3.132±0.005）cm，试求该圆望远镜的放大率D＝f1/f2，已测得物镜主焦距f1±&&&&&&&&球最大截面的圆周和面积及圆球体积的测量不确定度（置信概率P＝99％）。&&&&&&&&σ1＝（19.80±0.10）cm，&&&&&&&&目镜的主焦距f2±4－3U±&&&&&&&&σ2＝（0.800±0.005）cm，求放大率测量中，由f1、f2引起的不确定度&&&&&&&&分量和放大率D的标准不确定度。测量某电路电阻R两端的电压U，由公式I＝U/R算出电路电流I。若测得&&&&&&&&σU=(16.50±0.05)V、R±σR＝（4.26±0.02）Ω、相关系数ρUR=－0.36，试求电流I&&&&4－4某校准书说明，标称值10Ω的标准电阻器的电阻R在20C时为&&&&。&&&&&&&&的标准不确定度。10.000742Ω±129μΩ（P＝99％），求该电阻器的标准不确定度，并说明属于哪一类评定的不确定度。4－5在光学计上用52.5mm的量块组作为标准件测量圆柱体直径，量块组由三块量块研合而成，其尺寸分别是：l1＝40mm，l2＝10mm，l3＝2.5mm，量块按“级”使用，经查手册得其研合误差分别不超过±0.45μm、±0.30μm、±0.25μm（取置信概率P＝99.73％的正态分布），求该量块组引起的测量不确定度。4－6某数字电压表的说明书指出，该表在校准后的两年内，其2V量程的测量误差&&&&?6?6&&&&&&&&不超过±（14×10×读数+1×10×量程）V，相对标注差为20％，若按均匀分布，求1V测量时电压表的标注不确定度。设在该表校准一年后，对标称值为1V的电压进行16次重复测量，得观测值的平均值为0.92857V，并由此算得单次测量的标准差为0.000036V，若以平均值作为测量的估计值，试分析影响测量结果不确定度的主要来源，分别求出不确定度分量，说明评定方法的类别，求测量结果的合成标准不确定度及其自由度。&&&&&&&&32&&&&&&&&&&&&第五章&&&&&&&&线性参数的最小二乘法&&&&例题&&&&&&&&例1已知某一铜棒的电阻－温度的函数关系为R=a+bt，通过试验，得到在七种不同温度t下的电阻值如下：序号t/CR/Ω&&&&。&&&&&&&&119.176.30&&&&&&&&225.077.80&&&&&&&&330.179.75&&&&。&&&&&&&&436.080.80&&&&&&&&540.082.35&&&&&&&&645.183.90&&&&&&&&750.085.10&&&&&&&&试求公式中的a（单位Ω）和b（单位Ω/C）。解：测量数值方程为a+19.1b=76.30a+25.0b=77.80a+30.1b=79.75a+36.0b=80.80建立正规方程[1×1]＝1×1+1×1+……+1×1＝7[1×ti]＝1×t1+1×t2+……+1×t7＝245.3[ti×ti]＝t1×t1+t2×t2+……+t7×t7＝×Ri]＝1×R1+1×R2+……+1×R7＝566.0[ti×Ri]＝t1×R1+t2×R2+……+t7×R7＝20044.5则正规方程为&&&&&&&&a+40.0b=82.35a+45.1b=83.90a+50.0b=85.10&&&&&&&&7a+245.3b=566.25.8b=20044.5&&&&解正规方程得a＝70.76Ωb＝0.288Ω/C&&&&。&&&&&&&&因此，铜棒的电阻－温度数值关系为R=70.76+0.288t例2试由下列测量方程组，求x、y、z的最可信赖值及其权。x＝0y＝0z＝0x－y＝0.92&&&&33&&&&&&&&权&&&&&&&&P1＝85P2＝108&&&&&&&&P3＝49&&&&P4＝165&&&&&&&&&&&&z－y＝1.35z－x＝1.00解：求正规方程组各系数，如下表所示。i123456&&&&&&&&P5＝78P6＝60&&&&&&&&a1&&&&10010－1&&&&&&&&a2&&&&010－1－10&&&&&&&&a3&&&&001011&&&&&&&&ti&&&&.00&&&&&&&&pi&&&&60&&&&&&&&2pia1&&&&&&&&pia1a2&&&&000－1&&&&&&&&0&&&&2pia3&&&&&&&&∑&&&&i123456&&&&&&&&pia1a3&&&&0&&&&&&&&pia1li&&&&－6091.8&&&&&&&&2pia2&&&&&&&&pia2a3&&&&－78&&&&&&&&pia2li&&&&000－151.8－105.30－257.1&&&&&&&&pia3li&&&&165.3&&&&&&&&51&&&&&&&&&&&&&&&&∑&&&&&&&&从而得正规方程组为310z－165y－60z＝91.8－165x+351y－78z＝－257.1－60x－78y+187z＝165.3&&&&&&&&310&&&&D＝?165&&&&&&&&?165?＝?78＝7&&&&&&&&?6091.8&&&&D1＝?257.1&&&&&&&&?165?60351?78&&&&&&&&165.3&&&&&&&&?D2＝?165?257.1?78＝－65.351?.1＝5.3&&&&&&&&D3＝?165?60&&&&最可信赖值：&&&&&&&&34&&&&&&&&&&&&D=≈0.184D82990Dy＝2＝≈－0.481D806.5Dz＝3＝≈0.742D&&&&x＝令正规方程组中&&&&&&&&∑pia1li＝11=129.5Z1例3交流电路的电抗数值方程为X=ωL?在角频率ωC&&&&PZ=&&&&&&&&ω1=5Hz时，测得X为X1=0.8Ωω2=2Hz时，测得X为X2=0.2Ω&&&&&&&&ω3=1Hz时，测得X为X3=?0.3Ω&&&&试求（1）L,C及其方差；（2）ω=3Hz时（σω=0.1Hz）电抗值及其方差。解：（1）根据题意列出测量方程如下：&&&&&&&&X1=5L?&&&&&&&&1=0.8Ω5C1=0.2ΩX2=2L?2C1X3=L?=?0.3ΩC&&&&&&&&根据测量方程列出误差方程组：&&&&&&&&1)=v15C10.2Ω?(2L?)=v22C1?0.3Ω?(L?)=v3C0.8Ω?(5L?&&&&列出矩阵如下：&&&&&&&&?0.8?B=?0.2?0.3?&&&&&&&&1?5?52?1?A=?21?1?&&&&35&&&&&&&&?L?y=?1C?&&&&&&&&?v1?v=?v2v3?&&&&&&&&&&&&根据最小二乘原理，测量方程的矩阵解为：&&&&&&&&y=ATAATB&&&&2?5AA=?0.2?0.5&&&&T&&&&&&&&[&&&&&&&&]&&&&&&&&?1&&&&&&&&?5?0.2?130?3?2?0.5?=31.2911?1?&&&&&&&&?30?3?ATA==29.731.29?&&&&&&&&[AA]&&&&TT&&&&&&&&?1&&&&&&&&=&&&&&&&&1?1..101=?ATA??&&&&?0.8?14.1?0.2?=?0.0410.3&&&&&&&&2?5AB=?0.2?0.5&&&&&&&&?L1?=ATA?1ATB=?0..1?=?0.0.040.455C?&&&&&&&&[&&&&&&&&]&&&&&&&&则&&&&&&&&L=0.182，&&&&&&&&1=0.455，C=2.2C&&&&&&&&v=B?Ay&&&&?0.85?2?=0.2?0.310.20..455?1?&&&&&&&&?0.80.819?0.019=?0.063=0.2?0..273?0.027?0.019?∑V=VV=[?0..027]?0.063?0.028?&&&&2&&&&&&&&T&&&&&&&&=0.0051&&&&&&&&σ&&&&&&&&2&&&&&&&&∑V=&&&&&&&&2&&&&&&&&n?t&&&&&&&&=&&&&&&&&0.13?2&&&&&&&&σ2=0.071&&&&d11=0.0434&&&&36&&&&&&&&&&&&d12=0.101d22=1.01&&&&2σL=d11σ2=0.1≈0.0002&&&&&&&&σ2=d22σ2=1.01×0.21&&&&C&&&&&&&&令C=&&&&&&&&1，z?1?41?2σC=?z?σz2=σz2=Cσ21zz?C&&&&=(2.2)×0.&&&&4&&&&2&&&&&&&&（2）当ω=3（σω=0.1）时，电抗数值&&&&&&&&x=ωL?&&&&&&&&11=3×0.182?×0.455=0.394ωC3?2x?xx?22?σ1+2ρ1σσ1+σLL1LCω?ω?CCC?d122(ω)1?σLσ1+?L+1?σω2ωC?d11d22?ωC&&&&2&&&&2&&&&&&&&σx2=?&&&&&&&&xω?&&&&&&&&2&&&&&&&&?x2σL+?1C1&&&&&&&&=ω&&&&&&&&2&&&&&&&&2σL+&&&&&&&&ω&&&&&&&&σ2+212&&&&C&&&&&&&&0.101=32×0..2×0.4×1.01&&&&&&&&12+?0.182+?×0.1=0.0&&&&例4今有两个电容器，分别测量其电容量，然后又将其串联和并联测量，得到如下结果（单位μF）：&&&&&&&&2&&&&&&&&C1=0..=0.4111&&&&&&&&37&&&&&&&&&&&&C1C2=0.&&&&试求电容量的最可信赖值及其精度。解：上述最后一个测量方程是非线性的，因为要化为线性的函数。为此将上述测量方程式表示为下面的函数形式：&&&&&&&&f1(C1,C2)=C1f2(C1,C2)=C2&&&&&&&&f3(C1,C2)=C1+C2f4(C1,C2)=C1C2C1+C2&&&&&&&&为了将f4化为线性函数关系，C1的近似值x0=0.2070，C2的近似值y0=0.2060，令并令x,y为修正值。按台劳级数将函数在x0、y0处展开，取一次项，则有&&&&&&&&f?f?fi(C1,C2)=fi(x0,y0)+?i?x+?i?yC?C12?&&&&令&&&&&&&&li=fi(C1,C2)?fi(x0,y0)?f1=1?C1&&&&?f2=0?C1?f3=1?C1?f1=0?C2?f2=1?C2?f3=1?C2&&&&&&&&2?f4C2(0.2060)2===0.249?C1(C1+C2)2(0.0)2&&&&&&&&(0.2070)?f4C12===0.+C2)(0.0)2&&&&2&&&&&&&&l1=0.0=0..0=?0.0004&&&&&&&&38&&&&&&&&&&&&l3=0.0+0.2060)=?0.0×0..25?0.0?&&&&代入得&&&&&&&&x=0.0001&&&&&&&&y=?0.0004x+y=?0.0019&&&&0.249x+0.251y=0.00025&&&&建立正规方程：&&&&&&&&[aiai]=1×1+1×1+0.249×0.249=2.062[aili]=1×0.0001+1×(?0.×0.074[aibi]=1×1+1×1+0.249×0.251=1.0625[bibi]=1×1+1×1+0.251×0.251=2.063[bili]=1×(?0.0004)+1×(?0.×0.024&&&&得正规方程组为&&&&&&&&2.062x+1.0625y=?0.5x+2.063y=?0.00224&&&&D=2...063&&&&&&&&D1=&&&&&&&&?0.5=?0.242..081.24D1?0.0012=≈?0.&&&&D2?0.0028=≈?0.D&&&&&&&&D2=&&&&&&&&x=&&&&y=&&&&则&&&&&&&&C1=x0+x=0.4=0.2066&&&&39&&&&&&&&&&&&C2=y0+y=0.9=0..125==1.51[bibi]2.063D3.125==1.52[aiai]2.062&&&&&&&&pC2=&&&&&&&&v1=0.6=0..1=0.0005&&&&&&&&v3=0.411?(0.1)=?0..6×0.60.1&&&&2i&&&&&&&&∑v&&&&σ=&&&&&&&&=1.35×10?6&&&&&&&&∑v&&&&&&&&2i&&&&&&&&n?t&&&&&&&&=&&&&&&&&1.35×10?6=0.00084?2&&&&&&&&σC1=σC2=&&&&则&&&&&&&&σ&&&&pC1&&&&&&&&=&&&&&&&&0.71.510..0007&&&&&&&&σ&&&&pC2&&&&&&&&=&&&&&&&&C1=0.7C2=0.7&&&&&&&&习5-1已知测量方程如下：&&&&&&&&题&&&&&&&&x1=16.6x2=4.2x1+x2=21.1&&&&x1+2x2=24.4&&&&试列出正规方程并给出x1,x2的最小二乘估计。&&&&40&&&&&&&&&&&&5-2&&&&&&&&给出由正规方程&&&&&&&&3x1+3x2=62.63x1+6x2=75.1&&&&所确定的最小二乘估计的精确估计。5-3已知误差方程如下&&&&&&&&v1=10.013?x1v2=10.010?x2v3=10.002?x3v4=0.004?(x1?x2)v5=0.008?(x1?x3)v6=0.006?(x2?x3)&&&&试给出x1,x2,x3的最小二乘估计及其相应的精度。5-4由测量方程&&&&&&&&3x+y=2.9x?2y=0.92x?3y=1.9试求x,y的最小二乘估计及其相应的精度。&&&&5-5由下列测量方程&&&&&&&&2x+y=5.1x?y=1.14x?y=7.4&&&&试求x,y的最可信赖值及其精度。5-6硝酸钠在100份水内的溶解度与温度的关系，根据季特的测定为温度/C溶解度/g&&&&0&&&&&&&&066.7&&&&&&&&471.0&&&&&&&&1076.3&&&&&&&&1580.6&&&&&&&&2185.7&&&&&&&&2992.9&&&&&&&&3699.4&&&&&&&&51113.5&&&&&&&&68125.1&&&&&&&&门捷列夫认为，上述关系可用直线67.5+0.87t表示（式中t为温度）。试用最小二乘法来验证。5-7测力计与测温时温度t的对应值独立测得t/0CP/N.443.043.78&&&&&&&&设t无误差，F随t的变化成线性关系&&&&&&&&F=K0+Kt&&&&试给出线性方程中系数K0和K的最小二乘估计及其精度估计。5-8对未知量x,y,z组合测量的结果如下：&&&&41&&&&&&&&&&&&x=0y=0z=0x?y=0.92z?y=1.35z?x=1.00&&&&试求x,y,z的最可信赖值及其标准差。5-9研究铂-铱米尺基准器得膨胀系数时得出，在不同温度下该米尺基准器的长度修正值可用下述公式表示：t/CL/UMt/CL/UM&&&&00&&&&&&&&17.7.&&&&&&&&0.3192.64&&&&&&&&5..&&&&2&&&&&&&&10..&&&&&&&&14.4.&&&&&&&&x+yt+zt=L&&&&式中，x表示在0C时米尺基准器的修正值（单位um）:y和z为温度系数；t为温度；L为温度t时的修正值。经研究得，在不同温度下米尺基准器长度的修正值如下表所示,试求x,y,z的最可信赖值。5-10由等精度测量方程&&&&0&&&&&&&&x+37y+x+32y+x+27y+729z=47.5x+22y+484z=54.7x+17y+289z=63.2x+12y+144z=72.9x+7y+49z=83.7试用矩阵求解x,y,z的最小二乘估计及其精度。&&&&5-11测得一直线上四段长度AB,BC,CD,DE分别为24.1cm.35.8cm,30.3cm,33.8cm,而测得AD段长度为90.0cm和DE段长度为100.0cm,试求AB,BC,CD,DE的最可信赖值。5-12测得由坐标点（1，0）（3，1）和（-1,2）到某点的距离数值分别为3.1，2.2，和3.2，试求该店坐标位置的最小二乘估计及其精度。5-13由等精度测量方程x+y+z=4.012x?y+z=1.04x+3y?2z=5.023x+y=4.97试求x,y,z的最小二乘估计及其精度。5-14测得二电容的电容值C1=2.105uF,C2=1.008uF及二电容得并联电容值C1+C2=3.121uF,试求二电容的电容C1和C2的最小二乘估计及其标准差。5-15由下列不等精度的测量方程组&&&&&&&&x1=0x2=0&&&&&&&&权：P1=8P2=10&&&&&&&&42&&&&&&&&&&&&x1+2x2=0.25x1?3x2=?0.92&&&&试求x1,x2得最小二乘估计及其标准差。由下列不等精度的测量方程组x?3y=?5.64x+y=8.12x?y=0.5试求x,y的最小二乘估计及其标准差。5-175-16&&&&&&&&P3=1P4=5&&&&&&&&权：P1=1P2=2P3=3&&&&&&&&试用矩阵由下列不等精度的测量方程组2x+y=5.1权：P1=1x?y=1.1P2=24x?y=7.2P3=2权：P1=5P2=5P3=4P4=4P5=3P6=2P7=3&&&&&&&&已知下列不等精度的测量方程组x+y=37.02x+y=61.93x+y=86.7x+2y=49.2x+3y=60.62x+3y=86.7x+2y=98.4试用矩阵求解x,y的最可信赖值及其标准差。5-19某数N是时间S得函数，其关系式为&&&&&&&&5-18&&&&&&&&N=x1+x2S+x3S2&&&&若测定是在异权情况下进行的，测定得N与S的值如下：S1/SNiPi1.56.200.0.72.-0.12.401-0.54.551-1.08.851-1.515.700.707-2.024.400.500&&&&&&&&试求x1,x2,x3的最可信赖值。5-20已知测量方程&&&&&&&&x1=l1x2=l2x1+x2=l32x1+x2=l4x1+5x2=l5&&&&&&&&43&&&&&&&&&&&&测得数据及其相应的标准差为&&&&&&&&l1=1.632l2=0.510l3=2.145l4=3.771l5=4.187&&&&&&&&σ1=0.002σ2=0.002σ3=0.003σ4=0.003σ5=0.003&&&&&&&&试求待求量x1,x2的最小二乘估计及其相应的精度。5-21试由测量方程&&&&&&&&x12=1.25&&&&&&&&x1x2=2.142x2=3.86x1+x2=3.12&&&&求待测量x1,x2及其相应的精度估计。5-22有三块三等量块，设其数值为X,Y,Z,现用技术干设法将他们和已知尺寸数值为L0的二等量块进行比较测量，比较方式有以下三种：（1）每块三等量块各与二等量块比较两次。（2）第一块三等量块与二等量块比较两次，第二块三等量块与第一块比较两次，第三块三等量块与第二块比较两次。（3）每块三等量块各与二等量块比较一次，然后它们相互按不同的组合比较一次。上述三种比较方式所得到测量数值方程式如下：试问哪一种比较方式能够得到最好测量结果（提示：可以比较不同比较方式下未知数的权）？（1）X-L0=L1X-L0=L2Y-L0=L3Y-L0=L4X-L0=L5Z-L0=L6（2）X-L0=L1X-L0=L2Y-X=L3Y-X=L4Z-Y=L5Z-Y=L6（3）X-L0=L1Y-L0=L2Z-L0=L3Y-X=L4Z-X=L5Z-Y=L6&&&&&&&&5-23今有四只大型直角尺进行全组合互验，如图4-1所示。两被检直接I和II安置的检验平板上，将测微表座紧贴在直角尺I得长边工作面上，测微表的测量头与直角尺II接触并垂直于尺II得长边工作面，自上而下移动测微表，取其最大与最小值之差记为A，则A为尺I和II得垂直误差△1和△2之代数和，所得结果如下：&&&&44&&&&&&&&&&&&△1+△2=A△1+△3=B△1+△4=C△2+△3=D△2+△4=E△3+△4=F&&&&&&&&图5－1试求各尺的垂直度误差及其标准差。&&&&&&&&45&&&&&&&&&&&&第六章&&&&例例1&&&&&&&&回归分析&&&&题&&&&&&&&某含锡合金的熔点温度与含锡量有关，实验获得如下数据：&&&&&&&&含锡量ωSn×100熔点温度/℃含锡量ωSn×100熔点温度/℃&&&&&&&&20.3416&&&&58.6282&&&&&&&&28.8&&&&&&&&35.4&&&&&&&&42.1&&&&&&&&50.3&&&&&&&&设锡含量的数据无误差，求：①熔点温度与含锡量之间的关系。②预测含锡量为60%时，合金的熔点温度（置信概率95%）。③如果要求熔点温度在310～325℃之间，合金的含锡量应控制在什么范围内（置信概率95%）？解：用x,y分别表示含锡量的百分数和熔点温度。（1）按实验数据在图6-1所示坐标系中描出散点。&&&&&&&&图6-1由图6-1可见，在实验区间内y与x的关系近似为线性关系，故设y对x的回归方程为&&&&&&&&?y=b0+bx&&&&计算系数b0、b，列表如下：序号&&&&&&&&x0.&&&&&&&&y/℃416386&&&&&&&&x20.961&&&&&&&&y2/(℃)6&&&&&&&&Xy/℃84.&&&&&&&&12&&&&&&&&46&&&&&&&&&&&&&&&&∑&&&&&&&&0.70.90.7&&&&N&&&&&&&&2960&&&&&&&&0...&&&&&&&&N=10&&&&&&&&130.154.170.161.&&&&&&&&∑xt=5.427&&&&t=1&&&&&&&&∑y&&&&t=1&&&&&&&&N&&&&&&&&t&&&&&&&&=2960°Cy=296.0&&&&°C&&&&&&&&x=0.5427&&&&&&&&∑x&&&&t=1&&&&&&&&N&&&&&&&&2t&&&&&&&&=3.409627&&&&&&&&∑y&&&&t=1&&&&2&&&&&&&&N&&&&&&&&2t&&&&&&&&=934224(°C)2&&&&&&&&1?N?∑xt?=2.94523N?t=11?N?lyy=∑y∑yt?=58064N?t=1?t=1&&&&N2t2&&&&&&&&(°C)2&&&&&&&&1?N?lxx=∑x∑xt?=0.4644N?t=1?t=1&&&&N2t&&&&&&&&2&&&&&&&&1?N?lyy=∑y∑yt?=58064N?t=1?t=1&&&&N2t&&&&&&&&2&&&&&&&&(°C)2&&&&&&&&∑xy&&&&t=1t&&&&&&&&N&&&&&&&&t&&&&&&&&=°C&&&&&&&&1?NN?∑xt∑yt?=N?t=1t=1lxy=∑xtyt?&&&&t=1N&&&&&&&&°C&&&&&&&&1?NN?∑xt∑yt?=?164.098N?i=1i=1b=lxylxx=?353.4&&&&°C&&&&&&&&°C&&&&&&&&47&&&&&&&&&&&&b0=y?bx=487.8&&&&&&&&°C&&&&&&&&?y=487.8°C?(353.4°C)x&&&&检验回归方程的显著性，列表如下：&&&&&&&&来&&&&&&&&源&&&&&&&&平方和&&&&&&&&自由度&&&&&&&&方&&&&&&&&差&&&&&&&&F&&&&&&&&显著性&&&&&&&&回归&&&&&&&&U=blxy&&&&=57992.23&&&&&&&&υU=1&&&&&&&&UυU&&&&=57992.23F=&&&&查表得&&&&&&&&残余&&&&&&&&Q=lyy?blxy&&&&=71.77&&&&&&&&υQ=N?2&&&&=8&&&&&&&&QυQ=8.97&&&&&&&&UυUQυQ&&&&&&&&F0.01（υU，υQ）=F0.01（1，8）=11.26＜F&&&&故，高度显著&&&&&&&&=6465.13&&&&&&&&总计&&&&&&&&S=lyy&&&&=58604&&&&&&&&υS=N?1&&&&&&&&（2）残余标准差&&&&&&&&σ=QυQ=8.97°C=2.99°C&&&&&&&&图6-2&&&&&&&&?由概率论知(y?y)&&&&&&&&σ1+&&&&&&&&1(x?x)2服从t(N?2)分布，故y的(1?α)置信区间为+Nlxx&&&&&&&&48&&&&&&&&&&&&?1(x?x)2?y±tα(N?2)σ1++Nlxx?&&&&利用回归方程进行预测的方法见图6-2。当含锡量为ωSn=60%时，令x1=0.6，则&&&&&&&&x×100&&&&&&&&?y1=b0+bx1=(487.8?353.4×0.6)°C≈276°C&&&&&&&&y1的95%置信区间为&&&&?1(x?x)2?y1±t1?0.05(N?2)σ1++?Nlxx?&&&&?1(x?x)2=?y1±t0.05(8)σ1++?Nlxx?&&&&°C&&&&&&&&&&&&&&&&?1(0.6?0.6±2.31×2.99×1++?100.4644?&&&&&&&&=(276±7.26)°C≈(283.269)&&&&&&&&°C&&&&&&&&即合金的熔点温度将以95%的概率落在269～283°C之间。（3）利用回归方程进行控制的方法，见图6-3。由题意知&&&&&&&&y2=310°Cy3=325°C?&&&&&&&&图6-3&&&&&&&&49&&&&&&&&&&&&由图6-3得&&&&y2±tα(N?1)σ?y3±tα(N?1)σ1+1+1(x?x)2+=y2Nlxx1(x?x)2+=y3Nlxx&&&&&&&&即&&&&1(x2?x)b0+bx2+tα(N?1)σ1++=Nlxx&&&&2&&&&&&&&y′&&&&&&&&2&&&&&&&&1(x?x)b0+bx3+tα(N?1)σ1++3=Nlxx&&&&&&&&2&&&&&&&&y′&&&&&&&&3&&&&&&&&代入数字得&&&&21(x?0.5427)?=310℃?487.8?353.4x2+2.31×2.99×1++20.4644N&&&&21(x3?0.5427)?=325℃487.8?353.4x3+2.31×2.99×1+N+?0.4644&&&&&&&&解上面两方程得&&&&&&&&?x2=50.3%x3=46.1%&&&&即当合金的含锡量ωS控制在46.1%～50.3%范围内时，它的熔点温度将以不小于95%的概率落在310～325℃之间。例2电阻应变片的输入为应变量ε，输出为电阻R。R与ε之间的关系用下式定标：&&&&&&&&R=Kε+R0&&&&式中，K为电阻应变片的灵敏系数，&&&&&&&&R0为自由状态下的电阻。对某电阻应变片在&&&&&&&&14个&&&&&&&&点上进行6次重复测试，获得以下数据。若ε的测试误差可以忽略，求该电阻应变片的定标关系式以及非线性误差与重复误差。&&&&&&&&50&&&&&&&&&&&&电测试点应变量ε/mm600.......37.......21测.......00&&&&&&&&阻试.......04&&&&&&&&Rit/Ω&&&&次.......85数.......37.......47&&&&&&&&t&&&&&&&&解：由题意知R——ε定标关系式为线性方程，故用一元线性回归分析求解。利用各测试点处电阻的平均值Rt计算系数K、R0，列表如下：&&&&&&&&N=14&&&&&&&&∑ε&&&&t=1&&&&&&&&N&&&&&&&&t&&&&&&&&=0.2244mm&&&&&&&&ε=0.01603mm&&&&&&&&∑ε&&&&t=1&&&&&&&&N&&&&&&&&2t&&&&&&&&=0.004175mm?&&&&2&&&&&&&&1?N?∑εt?=0.003597N?t=1&&&&&&&&mm?&&&&&&&&51&&&&&&&&&&&&1?N?lεε=∑ε∑εt?N?t=1?t=1&&&&N2t&&&&&&&&2&&&&&&&&=0.0005782mm?&&&&&&&&t&&&&1121314∑&&&&&&&&εtmm&&&&0........2244&&&&&&&&RtΩ&&&&134........1&&&&&&&&εmm&&&&2&&&&&&&&2&&&&&&&&RtΩ2&&&&6.....&&&&&&&&2&&&&&&&&εtRt(mm?Ω)&&&&0.921.391.222.492.303.004.&&&&&&&&0.....&&&&&&&&m=6&&&&&&&&∑R=2168.1Ω&&&&t=1t&&&&&&&&N&&&&&&&&R=154.86ΩlRR&&&&&&&&1?N?=∑R∑Rt?N?t=1?t=1&&&&N2t&&&&&&&&2&&&&&&&&=5050.60Ω&&&&&&&&∑εR&&&&t=1t&&&&&&&&N&&&&&&&&t&&&&&&&&=36.3961mm·Ω&&&&&&&&52&&&&&&&&&&&&1?NN?∑εt∑Rt?=34.7515mm·ΩN?t=1t=1lεR=∑εtRt?&&&&t=1N&&&&&&&&1?NN?∑εt∑Rt?=1.6446mm·ΩN?t=1t=1lεR=2844.34Ω/mmlεε&&&&&&&&K=&&&&&&&&R0=R?Kε=109.27Ω&&&&故该应变片的R—ε定标关系式为&&&&&&&&R=（2844.34Ω/mm）ε+109.27Ω&&&&检验回归方程的显著性，列表如下：&&&&&&&&(R&&&&t&&&&.220.05-0.28-0.110.090.020.80-0.11-1.39-1.12-0.12-0.200.60-0.-0.07-0.140.040.060.50-0.281.40-1.33-0.40-1.280.22-1.00&&&&&&&&it&&&&&&&&?Rt&&&&&&&&)&&&&&&&&Ω&&&&&&&&i&&&&30.130.11-0.030.06-0.07-0.630.540.302.000.50-0.23-1.460.070.044-0.04-0.200.150.23-0.11-0.72-0.440.16-1.800.50-0.100.600.630.855-0.06-0.050.200.24-0.200.47-0.400.30-1.570.950.231.30-0.500..060.03-0.270.250.79-1.00-0.371.370.500.621.04-1.000.47&&&&&&&&U=mKlεR=&&&&&&&&,vU=1&&&&&&&&QL=mlRR?U=,vQL=N?2=12QE的计算需要先求出各个测试值的(Rit?Rt)&&&&&&&&53&&&&&&&&&&&&QE=∑∑(Rit?Rt)2=37.9774Ω2&&&&t=1i=1&&&&&&&&N&&&&&&&&m&&&&&&&&vQE=N(m?1)=70&&&&来源回失误总归拟差计平方和/Ω2自由度方差/Ω2&&&&&&&&F&&&&10112.48&&&&&&&&.837.&&&&&&&&1127083&&&&&&&&.40.5425&&&&&&&&F1=&&&&&&&&QLνQLQEνQE&&&&&&&&=344F0.01(12，70)≈2.48&&&&&&&&F2=&&&&&&&&UνU=(1，82)≈7(QL+QE)(νQL+νQE)&&&&F2=&&&&&&&&UνU=(1，70)≈7QEνQE&&&&&&&&F1检验高度显著，说明相对于试验误差而言，失拟误差较大。其原因在于应变片的电&&&&阻与应变量之间严格说来是曲线关系，而通常用线性方程为应变片定标只是一种实用上的近似方法。其次，试验过程中其他影响电阻的因素（如环境温度）的变化也是引起失拟误差的可能原因。两种F2检验均高度显著，说明采用线性方程为应变片定标的近似方法是可取的。&&&&&&&&?测试范围内的非线性误差Δ非线性为Rt?Rt中绝对值最大者。现列表计算，如下表。&&&&由表知，非线性误差为&&&&&&&&(&&&&&&&&)&&&&&&&&Δ非线性=10.23Ω&&&&它与自由状态下电阻的比值为&&&&&&&&δ非线性=Δ非线性R0&&&&重复误差的标准差为&&&&&&&&=9.3%&&&&&&&&σ重复=&&&&&&&&QEνQE=0.74Ω&&&&&&&&54&&&&&&&&&&&&t1121314&&&&例3&&&&&&&&RtΩ&&&&134.......84198.00&&&&&&&&?Rt/Ω&&&&126.......95187.77&&&&&&&&?(R?R)/Ω&&&&tt&&&&&&&&8.304.451.691.25-4.79-2.94-2.39-3.16-8.22-2.51-5.713.97-0.1110.23&&&&&&&&在制订公差标准时，必须掌握加工的极限误差随被加工件尺寸变化的规律。例如，&&&&&&&&对用普通车床切削外圆进行了大量实验，得到加工极限误差Δ与被加工件直径D的统计资料如下：&&&&&&&&D/mm&&&&Δ/μm&&&&&&&&58&&&&&&&&1011&&&&&&&&5019&&&&&&&&10023&&&&&&&&15027&&&&&&&&20029&&&&&&&&25032&&&&&&&&}