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微分与经济函数的密切联系
上传: 周梦婷 &&&&更新时间： 17:16:17
微分与经济函数的密切联系
【摘要】数学在经济学中的应用是非常广泛的，特别是微分学，在经济分析的众多领域它都作为方便而重要的工具帮助解决实际问题，诠释和检验经济模型。微分与经济函数联系最为密切的就在于它的极值部分，用于成本最小化、利润最大化分析，本文主要介绍了微分学在经济学中的基本应用，其中应用微分学的全微分等相关理论，对经济函数进行了较为详细的分析.分别利用对不同的经济理论模型的分析过程，展示了相关微分理论在经济函数中的具体运用.为将基本思想和基本方法移植到对其他的应用提供了方便.
【关键词】微分&& 函数&& 边际&& 弹性
on the close contact of differential and economic function
zhou& mengting
【abstract】mathematics application is very extensive in economics, differential calculus, in particular, in many areas of economic analysis as a convenient and important tool to help it to solve practical problems, interpret and test the economic model.differential most closely associated with economic function is its extreme value part of the analysis for cost minimization, profit maximization, this article mainly introduced the basic applications of differential calculus in economics, the application of differential calculus of total differential and related theory, analysis of economic functions are discussed in detail.respectively using the analysis process of different economic theory model, shows the relevant concrete application of differential theory in the economic function. for transplanting the basic thoughts and basic methods to provide convenience for other applications.
【keywords】differential& function& boundary& elasticity
1 引言&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
2 微分学的相关理论成果&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
& &2.1一元函数微分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&1
&2.2多元函数的微分&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&2
3 常用的经济函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3
& 3.1需求函数与供给函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&3&&&&
& 3.2总成本函数、总收入函数和总利润函数&&&&&&&&&&&&&&&&4
4 微分在经济中的边际分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&6
& 4.1一元经济函数的边际函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&6&&&&
& 4.2多元经济函数的边际函数&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&8
5 微分在经济中的弹性分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&10
&&5.1弹性分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&10
5.2需求弹性分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&10
5.3供给弹性分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&13
6 微分在经济中的最优化分析&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&13
& 6.1最小平均成本&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&14
& 6.2最大利润问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&15
6.3最优价格问题&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&17
7 结论&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&18
参考文献&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&19
微分是微积分里的一个分支.微积分思想的萌发出现的比较早，中国战国时代的《庄子&天下》篇中的&一尺之锤，日取其半，万事不竭&就蕴涵了无穷小的思想.经查阅文献《晏能中.微积分&&数学发展的里程牌》得知：到了十七世纪，欧洲许多数学家也开始运用微积分的思想来写极大值与极小值，以及曲线的长度等等.帕斯卡在求曲边形面积时，用到&无穷小矩形&的思想，并把无穷小概念引入数学，为后来莱布尼兹的微分的产生奠定了基础.
随着数学科学的发展，微分得到了进一步的发展，其中欧拉对于微积分的贡献最大，他的《无穷小分析引论》、《微分学》、《积分学》三部著作对微积分的进一步丰富和发展起了重要的作用.之后，洛必达、达朗贝尔、拉格朗日、拉普拉斯、勒让德、傅立叶等数学家也对微积分的发展作出了较大的贡献.由于这些人的努力,微分方程、级数论得以产生，微积分也正式成为了数学一个重要分支.
微分是高等数学最基本的内容,常与其它学科、其它专业知识相联系,而联系一般是以函数为载体,并最终落在微分的应用上,如微分在函数的单调性、极值、最值方面的应用.随着我国经济的不断发展,微分在经济领域中的应用也越来越广泛,在当今激励的竞争环境中,企业所从事的经济活动时刻面临着最优化问题的决策,如满足最大化利润时其最大化产量,而此讨论过程中主要涉及到的是对边际成本和边际收益的探讨.基于此,本文着重研究微分在经济活动中的实际问题进行边际分析、弹性分析、最值分析的应用，以及微分在最优化问题、资金流量的现值问题中的应用，从而为企业经营者进行科学决策提供量化依据.
2 微分学的相关理论成果
2.1 一元函数的微分
设函数 ，在数集 上有连续的 阶导数，记为 .则
1、 的微分记为 ，且
2、 的几何意义是曲线 在点 处切线的斜率.
3、 可微 存在 ，其中 .
当 很小时， .
4、无论 是自变量或 为 的可微函数， 恒成立，此性质称为微分形式的不变性.
5、若在区域 内 ，则 为严格增函数，曲线上任意点的切线向右上方倾斜，可简记为 ；若在区域 内 ，则 为严格减函数，曲线上任意点的切线向右下方倾斜，可简记为 .
6、 的 阶导数 ，记为 .
2.2 多元函数的微分
设 有连续二阶偏导数.则：
称 式为 的全微分，其中 为将 视为常数时 对 导数，称为 对的 一阶偏导数.以下符号可通用 .又称
为 的二阶偏导数，记为 .当 时，称为二阶纯偏导数，记为 ，当 时，称为二阶混合偏导数.
2、当 且 可微时，有：
称 为 对x 的全导数.
3 常用的经济函数
3.1 需求函数与供给函数
需求量是指在特定时间内，消费者打算并能够购买的某种商品的数量，用 表示，它与商品价格 密切相关，通常降低商品价格使需求量增加；提高商品价格会使需求量减少.
如果不考虑其它因素的影响（或其它因素不变），则 是 的函数，称为需求函数，记作 它通常是一个单调减少函数.
常见的需求函数有以下几种类型：
（1）线性需求函数
（2）二次需求函数
（3）指数需求函数
有时也把 的反函数 也称为需求函数.
2、供给函数
供给量是指在特定时间内，厂商愿意并能够出售的某种商品的数量，用 表示，假设除了商品的价格 外影响供给的其它因素均不变，则 是 的函数, 它通常是一个单调增函数.常见的供给函数有以下几种类型：
（1）线性供给函数
（2）指数供给函数
当 时，市场的供需处于平衡状态，此时的价格称为均衡价格，需求（或供给）量称为均衡数量.当商品由某厂商独家生产时，厂商是价格的制定者，它自然会考虑消费者对价格的反应,并依需求规律组织生产，其产量即需求量，价格与产量（需求量）的关系由需求函数确定，称该商品市场为完全垄断市场；当商品由众多互不占优势的厂商共同生产时，各厂商之间、消费者之间展开竞争并最终使市场处于均衡状态，此时商品价格即为均衡价格,单一厂商或消费者的行为（改变产量或需求量）不再影响市场均衡，称该商品市场为完全竞争市场.
例1:当鸡蛋收购价为每公斤4.5元时，某收购站每月能收购5000公斤.若收购价每公斤提高0.1元，则收购时可增加400公斤，求鸡蛋的线性供给函数.
解 ：设鸡蛋的线性供给函数为&
&&&&&&& 由题意知&&&&&&&&&&&&&&&
解得： ， 所求供给函数为：
3.2 总成本函数、总收入函数和总利润函数
1、总成本函数
在生产和经营活动中,如果投入的各要素价格不变,则成本 是产量或销售量 的函数 ,称为总成本函数.
一般地,总成本由固定成本 和可变成本 两部分组成
其中固定成本与产量无关,如厂房、设备的折旧费、企业管理费等,可变成本随产量的增加而增加,如原材料、动力、工人的工资等.
常见的成本函数有&&&&
以总成本除以产量,得平均成本函数
其中 与 分别称为平均固定成本与平均可变成本.
2、总收入函数
厂商销售 单位的商品所得收入为 ,称为总收入(益)函数.设商品的价格为 ,则总收入函数为&
若商品的需求函数为 ,且产销均衡,则总收入函数为
3、总利润函数
总利润 是总收入 与总成本 之差, 故总利润函数为
例2:生产某产品的固定成本为1万元,可变成本与产量(单位:吨)的立方成正比,已知产量为20吨时,总成本为1.004万元.求总成本函数和平均成本函数.
解:总成本函数&&&&&&&&&&& &
将 代入上式,得 ,则总成本函数为
平均成本函数为&&&&
例3：某工厂生产某种产品，固定成本2000元，每生产一单位产品，成本增加100元。已知总收益r为年产量q的函数，且
问每年生产多少产品时，总利润最大？此时总利润是多少？
解：由题意总成本函数为：
从而可得利润函数为：
所以q=300时总利润最大，此时l(300)=25000，即当年产量为300个单位时，总利润最大，此时总利润为25000元.
4 微分在经济中的边际分析
4.1 一元经济函数的边际函数
经济学上将函数的导数称为边际函数.以总成本函数 为例,
其导数&&&&&&&&&
称为边际成本函数,也记为 ,显然 .
为在 到 产量间隔内的平均成本,当 很小时
取 (经济学上通常认为1个单位已经相当小了),则
说明在产量为 时,生产最后一个单位的产品花费的成本 约为 ,或者说在产量为 时, 再生产一个单位的产品花费的成本 约为 .
2、下面讨论边际成本与平均成本的关系.平均成本函数为
由于产量 ,则当 时, ,此时增加产量将使平均成本减少；当 时, ,故增加产量将使平均成本增加.
例4:某电视机厂生产5万台电视机，在成本为6000万元，平均成本为每台1200元。当它生产第50001台时，如其成本(即边际成本)也是1200元，则平均成本不变；若此台电视机的成本为1150元，即边际成本小于平均成本，则多生产此台电视机使平均成本下降；若此台电视机的成本为1250元，即边际成本大于平均成本，则多生产此台电视机使平均成本增加.
总收入函数 的导数 称为边际收入函数，也记为 ，是企业在产量为 时，再生产一个单位的产品增加的收入的近似值，也是销售最后一个单位的产品所得到的收入的近似值，即最后哪个单位产品的售价.
例5：某商品由一企业垄断生产，产品的需求函数为
&&&&&&&& (1)计算需求的变化速度并说明其意义；
&&&&&&&& (2)计算 时，企业的边际收入.
解 (1)需求的变化速度 为常数，说明价格每上涨1单位，需求量将减少0.5单位.
& (2)总收入函数为 ，边际收入 & .当 时，边际收入分别为 ， ， 时， ，此时增加产量将使总收入增加， 时， ，此时增加产量总收入反而减少，由此可见，在 时，总收入最大，此时价格为 .由总收入函数 的图形亦可得相同结论.
如果经济量 是时间 的函数 ，则其导数 表示 时刻经济量的绝对变化速度，即单位时间内经济量变化值的近似值.
总利润函数 的导数 称为边际利润函数，是企业销售最后一个单位的产品所得到的利润的近似值，或多销售一个单位的产品所得到的利润的近似值。由于 ，则有&
&&&&&&&&&&
即边际利润等于边际收入与边际成本之差.
例6:某企业生产某种产品，每月的总成本 （千元）是产量 （件）的函数，如果每件产品的销售价格为 万元，求每月生产 件、 件、 件、 件时的边际利润，并说明其经济含义.
&解：依题意得，每月生产 件产品的总收入函数为
因此，生产 件产品的利润函数为：
&于是，边际利润函数为
& 则每月生产 件、 件、 件、 件时的边际利润分别是：
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&
其经济含义是：当月产量为 件时，再增产 件，利润将增加 元；当月产量为 件时，再增产 件，利润将增加 元；当月产量为 件时，再增产 件，利润则不会增加；当月产量为 件时，再增产 件，利润反而会减少 元.
效用函数 的导数 称为边际效用函数，记作 ，表示消费者消费第 单位的商品所获得的效用，效用函数为为增函数，则 。边际效用 为单调减函数，称为边际效用递减规律.若 的二阶导数存在，则 .
6、设消费函数与储蓄函数分别为 与 ， 称为边际消费倾向，记为 ，表示收入增加一单位时消费相应的增加量，即这一单位收入中被用来消费的部分 称为边际储蓄倾向，记为 ,表示收入增加一单位时储蓄的增加量,由变量的实际含义及三者之间的关系不难得到 且 .
4.2 多元经济函数的边际函数
与一元经济函数的边际函数类似，多元经济函数的偏导数有相应经济意义.
1、设需求函数为 ，这里 为商品的需求量， 为该商品的价格， 为与此商品有关的另一商品的价格, 为消费者的收入.偏导数 分别称为价格 的边际需求、相关价格 的边际需求和收入 的边际需求.在全微分 中，令 ，即相关价格和收入不变，商品自身价格上涨1单位，则 ，即在相关价格和收入不变，商品自身价格上涨1单位时，需求量近似减少 单位(因 )，对 有类似解释.如果 ，说明两商品是相互竞争的(也称相关商品为替代品),如果 ，说明两商品是相辅的(也称相关商品为互补品)。如果 ，说明需求量与收入同方向变化，商品为正常品，如果 ，说明需求量与收入反方向变化，收入增加后需求量反而减少，说明商品为劣质品.
2、若厂商生产 两种产品, 产量分别为 .总成本函数为 ，其偏导数 分别称为两种产品的边际成本，记作 其中 表示在原有生产规模下， 产品的产量不变，多生产1单位的 产品所增加的成本， 有类似意义.称总收入函数 的偏导数 为两种产品的边际收入，记为 分别表示在另一产品产量不变时，多生产一个单位的产品所引起的收入的改变量.
3、生产函数 的偏导数 分别称为资本 的边际产量和劳动 的边际产量，分别记为 与 ，表示在另一投入要素不变时，单位要素对产量的贡献.
4、效用函数 的偏导数 分别为两商品的边际效用,记为 表示在另一商品的消费量不变时，多消费一个单位的商品所增加的效用，通常情况下 .
&例7： 生产函数为 ，求 时资本和劳动的边际产量。
解: 资本和劳动的边际产量分别为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
5 微分在经济中的弹性分析
5.1 弹性分析
商品价格的变化会引起这种商品需求量发生变化，但价格变化以后，需求量所作出的反应或增减变化程度，不同的商品时不同的，同一种商品在不同的价格水平上也是不同的.所以需求的弹性可以用来衡量价格变动的比率所引起的需求量变动的比率,也就是两者之间的灵敏程度.
在经济学中，弹性可以理解为：它是一个因变量的相对变动和一个自变量的相对变动之比，即：
这两个经济变量之间的函数关系为 ,则弹性的一般公式还可以表示为：
式中， 为弹性系数； 分别为 的变动量.该式表示：当自变量 变化百分之一时，因变量 变化百分之几.
若经济变量的变化率趋于无穷小，即：当 式中的 且 时，则弹性公式为：
通常将 式称为弧弹性公式，将 称为点弹性公式.
5.2 需求弹性分析
需求价格弹性表示在一定时期内一种商品的需求量变动对于该商品的价格变动的反应程度.
&& 其公式表示为：
2、需求的价格弹性可以分为弧弹性和点弹性
需求价格弧弹性表示商品需求曲线上两点之间的需求量的变动对于价格的变动的反应程度.假定需求函数为 , 分别表示需求量的变动量和价格的变动量，以 表示为需求的价格弹性系数，则需求的价格弧弹性的公式为：
在通常情况下，由于商品的需求量和价格是成反方向变动的， 为负值，所以需求的价格弹性系数 取正值.
当需求上两点之间的变化量趋于无穷小时，需求的价格弹性要用点弹性来表示，也就是说，它表示需求曲线上某一点上的需求量变动对于价格变动的反应程度。需求的价格点弹性的公式为：
3、需求的价格弧弹性的五种类型
设收益 ,则根据微分学可知，当 不大时，有
（1）若 ，表示需求量的相对变化率高于价格的相对变化率，即需求量对于价格变动的反应是比较敏感的，在商品的价格变化 ，需求量的变化将大于 ，称为富有弹性，一般高档消费品属此类.
（2）若 ，表示需求量的相对变化率低于价格的相对变化率，即需求量对于价格变动的的反应欠敏感的，在商品的价格变化 ，需求量的变化将小于 ，称为缺乏弹性，一般生活必需品多属此类.不会由于商品涨价而少消费很多，也不会由于降价而增加多大消费，缺乏替代品的商品也往往缺乏弹性.
（3）若 ，表示需求量的相对变化率与价格的相对变化率刚好相等，需求对价格的反应按相同比例反方面进行，称为单位弹性.
（4） 时，价格的任何变动都不会改变需求量，称为完全无弹性.
（5） 时，相对于无穷小的价格变化率，需求量的变化率是无穷大的，称为完全弹性.这样的商品也不多见.但在完全竞争市场上，单个厂商的价格变化，在其余厂商作出反应之前，它面临的需求曲线具有无穷大的弹性.
对其余一元经济函数，可类似地定义其弹性，如供给弹性、成本弹性等.
综上：当 时， 此时涨(降)价会使总收入减少(增加).
当 时, 此时涨(降)价会使总收入增加 (减少).
当 时， 此时涨(降)价，总收入几乎无变化.由可导函数取极值的必要取极值的必要条件，在 的驻点唯一时，单位弹性可使总收入最大.
4、收入的价格弹性为：
在价格变化很小时&&&&&&& & &&&&&&&&&&&&&&&
边际收入与弹性的关系为
例8：设需求函数为
求出： 价格为2元和4元的需求价格弧弹性.&&&
&&&&& 价格为2元是的需求价格点弹性.
解： &根据中点公式&&
&&& 由于当 时，
&&&&& 所以，有：
5.3 供给弹性分析
供给的价格弹性表示在一定时期内一种商品的供给量的变动对于该商品的价格的变动的反应程度.它是商品的供给量变动率与价格变动率之比.其也分为弧弹性和点弹性.
供给的价格弧弹性表示某商品供给曲线上两点之间的弹性，供给的价格点弹性表示某商品供给曲线上某一点的弹性.假定供给函数为 ,以 表示为供给的价格弹性系数，则供给的价格弧弹性的公式为：
供给的价格点弹性的公式为：
在通常情况下，商品的供给量和商品的价格是成同方向变动的，供给量的变化量是和价格的变化量是相同的.
例9：设供给函数
&求出： 价格为3元和5元的供给价格弧弹性.&&&&
&&&&&&& 价格为3元时的供给价格点弹性.
解： &根据中点公式
&&& 由于当 时， ，所以，有：
6 微分在经济中的最优化分析
最优化问题是经济活动的核心，经济学分析中的主要优化问题有产出最大化分析、收入最大化分析、利润最大化分析、资源合理利用的优化分析、成本最小化分析以及最优组合分析等，伴随一些约束条件，通常是利用函数的微分求经济问题中的平均成本最低、总收入最大、总利润最大等问题.通过优化分析可以帮助企业管理者寻求最大化企业的收益，并尽量降低生产成本和管理费用，意义非常深远.将微分作为分析工具，可以给企业经营者提供精确的数值和新的思路和视角.下面介绍函数的微分在经济效益最优化方面的若干应用.
6.1 最小平均成本问题
由平均成本和边际成本定义可知，任何产量水平上的平均成本 值都可用连接原点到总成本曲线上相应点的线段的斜率给出.任何产量水平的边际成本，可用总成本曲线相应点曲线的切线的斜率给出.由于随着产量的增加，企业投入的成本必定增加，所以总成本曲线是一条向右上方倾斜的曲线.由西方经济学研究知，在达到一定的产量水平之前，总成本的增量是递减的；在达到这个水平之后，总成本的增量是递增的，所以总成本曲线存在拐点，所以平均成本曲线和边际成本曲线都呈 型.
一般地,若成本函数为 ，则平均成本函数为
得 ，故平均成本在 处最小的必要条件为 处的平均成本等于边际成本&&&&&&&&&&&&&&&
又因为&&&&&&& &
在驻点 处， , 则 ,则 等价于 ，从而平均成本在 处最小的充分条件为 为唯一正驻点且 。
例10：设成本函数为 ,求平均成本最小时的产量、边际成本及最小平均成本.
解:平均成本函数为
令 得唯一驻点 ，又因为
则在 时，平均成本最小，最小平均成本为
边际成本函数为&&&&&&&&& &
&在 时， .
6.2 最大利润问题
利润最大化是企业决策考虑的根本目标.由微分基本原理知道：利润最大化的点在边际利润等于零的点获得.在经济研究中, 生产某种产品的总成本 、总收入 、与总利润 都是产量 的函数，因而 , 即总利润是总收入中除去总成本的那一部分价值.从数学的角度上来讲, 利润就是 的函数, 从而将研究经济中的最大化问题转化为求函数的最大值问题 .由于发生最大值的点往往是函数的驻点(即:导数为0的点).
一般地,因为 ，则在 处利润最大的必要条件为 处的边际收入等于边际成本&&&&&&&&&& &&&
由边际收入与需求价格弹性的关系&
&&&&&&& 可将上式改写为&&&&&&&&&&& &
其中 为 处的价格， 为价格为 时的需求弹性.这也是厂商确定商品价格的方法之一.
由 得在 处利润最大的一个充分条件为
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
当企业生产两种产品时，总收入函数与总成本函数分别为 ,则总利润函数为
令&&&&&&&&&&&&&&&&&&
得总利润最大的必要条件为&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& &
即两产品的边际收入分别等于各自的边际成本.
若两产品的市场都是完全竞争市场，其价格分别为常数 ，则两产品的边际收入即为各自价格，从而总利润最大的必要条件为两产品的边际成本分别等于各自的价格&&&&&&&&&&&&&&& &
此时&&&&&&&&& &
则利润最大的充分条件为&&&&&
例11：一玩具经销商独家销售某种玩具，经销商的的收入函数为
&其中 为销售量.
成本函数为 &
求该经销商的最佳销售方案及最大利润.
解：总利润函数
令 得唯一驻点 .又因为 则在销售量为 时，总利润最大.最大利润为 .
例12：某工厂预备生产 两种产品，当产量分别为 时，总成本为
已知两产品售价分别为 元和 元，问两种产品各生产多少时,工厂可获最大利润？最大利润是多少？
解：总利润函数为
令&&&&&&&&&& &
解得驻点 .又
,则在两产品分别生产 与 时，工厂可获最大利润.最大利润为
6.3 最优价格问题
多元函数的条件极值
对自变量有附加条件的极值称为条件极值.
定义& 设函数 的定义域 ， 为 的内点.若存在 的某个领域 使得对于该领域异于 的任何点 ，都有&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ，
则称函数 在点 有极大值 ，点 成为函数 的极大值点；若对于该领域异于 的任何点 ，都有
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&& ，
则称函数 在点 有极小值 ，点 成为函数 的极小值点；极大值、极小值统成为极值.使得函数取得极值的点成为极值点.
定理1（必要条件）设函数 在点 具有偏导数，且在点 处有极值，则有&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&& .
定理2（充分条件）设函数 在点 某领域内连续且有一阶或二阶连续偏导数，又 ，令&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&& ,
则 在 处是否取得极值的条件如下：
时具有极值，且当 时有极大值，当 时有极小值；
时没有极值；
时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论.
2、拉格朗日乘数法
要找函数 在附加条件 下的可能极值点，可以先作拉格朗日函数& ，
其中 为参数.求其对 与 的一阶偏导数，并使之为零，然后与方程 联立起来：&&&&&&&&&
由这方程组解出 及 ，这样得到的 就是函数 在附加条件 下的可能极值点.
这方法还可以推广到自变量多于两个面条件多于一个的情形.例如，要求函数&&&
在附加条件&&&&&&
下的极值，还可以先作拉格朗日函数&
其中 均为参数，求其一阶偏导数，并使之为零，然后与上面的两个方程联立起来求解，这样得出的 就是函数 在附加条件下的可能极值点.
至于如何确定所求的的点是否极值点，在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判定.
例13 &设某电视机厂生产一台电视机的成本为 ，每台电视机的销售价格为 ，销售量为 .假定该厂的生产处于平衡状态，即电视机的生产量等于销售量.根据市场预测，销售量 与销售价格 之间有下面的关系：
其中 为市场最大需求量， 是价格系数.同时，生产部门根据对生产环节的分析，对每台电视机的生产成本 有如下测算：
其中 是只生产一台电视机时的成本， 是规模系数.
根据上述条件，应如何确定电视机的售价 ，才能使该厂获得最大利润？
解& 设厂家获得的利润为 ，每台电视机售价为 ，每台生产成本为 ，销售量为 ，则&&&
于是问题化为求利润函数 在附加条件 下的极值问题.
作拉格朗日函数&&
令&&&&&&&&&&&&&&&&&& &&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
&&&&&&&&&&&&&&&&&&&&
将 代入 得&&&&
由 及 知 ，&& 即
由 知 ，即&&& .
将 代入 ，得&&&&
由此得&&&&&&&&&&&&&&&&&
因为由问题本身可知最优价格必定存在，所以这个 就是电视机的最优价格.只要确定了规模系数 ，电视机的最优价格问题就解决了.
本文阐述了相关的微分理论，常用的经济函数，以及微分在经济中的边际分析和弹性分析.在掌握概念的前提下，通过微分在经济分析中例子，运用微分对经济活动中的实际问题进行边际分析、需求弹性分析和最值分析，从而为企业经营者决策提供科学量化依据.
对企业经营者来说，对经济环节进行定量分析是非常必要的，将数学作为分析工具，可以给企业经营者提供客观、精确的数据，在分析的演绎和归纳过程中，可以给企业经营者提供新的思路和视角.因此，在当今国内外，越来越多地应用数学知识，使经济学走向了定量化、精密化和准确化.利用数学工具对经济的各个环节进行定量分析，有利于对经济管理工作作定性分析，从而更科学地进行经济管理，这是我国深化体制改革使经济管理工作于国际接轨必不可少的一步.
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