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游戏开发中的经典算法
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(最多只允许输入30个字)2,843被浏览123,202分享邀请回答cse.iitb.ac.in/~paragc/teaching/2011/cs475/papers/bresenham_line.pdf[2] Bresenham, Jack. "A linear algorithm for incremental digital display of circular arcs." Communications of the ACM 20.2 (1977): 100-106. [3] Catmull, Ed, and Alvy Ray Smith. "3-D transformations of images in scanline order." ACM SIGGRAPH Computer Graphics. Vol. 14. No. 3. ACM, 1980. [4] Pineda, Juan. "A parallel algorithm for polygon rasterization." ACM SIGGRAPH Computer Graphics. Vol. 22. No. 4. ACM, 1988. [5] Sloan, Peter-Pike, Jan Kautz, and John Snyder. "Precomputed radiance transfer for real-time rendering in dynamic, low-frequency lighting environments." ACM Transactions on Graphics (TOG). Vol. 21. No. 3. ACM, 2002. [6] Chen, Hao, and Xinguo Liu. "Lighting and material of Halo 3." ACM SIGGRAPH 2008 Games. ACM, 2008. [7] Mittring, Martin. "Finding next gen: Cryengine 2." ACM SIGGRAPH 2007 courses. ACM, 2007. [8] Ritschel, Tobias, Thorsten Grosch, and Hans-Peter Seidel. "Approximating dynamic global illumination in image space." Proceedings of the 2009 symposium on Interactive 3D graphics and games. ACM, 2009. [9] Kaplanyan, Anton. "Light propagation volumes in cryengine 3." ACM SIGGRAPH Courses 7 (2009): 2. [10] Kaplanyan, Anton, and Carsten Dachsbacher. "Cascaded light propagation volumes for real-time indirect illumination." Proceedings of the 2010 ACM SIGGRAPH symposium on Interactive 3D Graphics and Games. ACM, 2010. [11] Crassin, Cyril, et al. "Interactive indirect illumination using voxel cone tracing."Computer Graphics Forum. Vol. 30. No. 7. Blackwell Publishing Ltd, 2011. [12] Crow, Franklin C. "Shadow algorithms for computer graphics." ACM SIGGRAPH Computer Graphics. Vol. 11. No. 2. ACM, 1977. [13] Heidmann, Tim. "Real shadows, real time." Iris Universe 18 (1991): 28-31.[14] Carmack, John, "e-mail to Mark Kilgard on Shadow Volume", 23 May 2000. [15] Zhang, Fan, et al. "Parallel-split shadow maps for large-scale virtual environments." Proceedings of the 2006 ACM international conference on Virtual reality continuum and its applications. ACM, 2006.[16] Zhang, Fan, Hanqiu Sun, and Oskari Nyman. "Parallel-split shadow maps on programmable gpus." GPU Gems 3 (2007): 203-237. [17] Dimitrov, Rouslan. "Cascaded shadow maps." Developer Documentation, NVIDIA Corp (2007). [18] Donnelly, William, and Andrew Lauritzen. "Variance shadow maps."Proceedings of the 2006 symposium on Interactive 3D graphics and games. ACM, 2006. 1.1K42 条评论分享收藏感谢收起GameDev.net上得到了广泛的讨论（可见我实在非常火星了，当然不排除还有其他尚在冥王星的人，嘿嘿）。而尝试探究该话题则完全是出于本人的兴趣和好奇心（换句话说就是无知）。我只是个beginner，所以这种大是大非的问题我也说不清楚（在上也有很多类似的争论）。但无论如何，Carmack在DOOM3中还是使用了软件算法，而多知道一点数学知识对3D编程来说也只有好处没坏处。3D图形编程其实就是数学，数学，还是数学。=========================================================约翰-卡马克（John Carmack）是Quake-III Arena (雷神之锤3)的3D引擎的开发者。QUAKE的开发商ID SOFTWARE 遵守GPL协议，公开了QUAKE-III的原代码，让世人有幸目睹Carmack传奇的3D引擎的原码。这是QUAKE-III原代码的下载地址： 。在3D图形编程中，经常要求平方根或平方根的倒数，例如：求向量的长度或将向量归一化。C数学函数库中的sqrt具有理想的精度，但对于3D游戏程式来说速度太慢。我们希望能够在保证足够的精度的同时，进一步提高速度。Carmack在QUAKE3中使用了下面的算法，它第一次在公众场合出现的时候，几乎震住了所有的人。据说该算法其实并不是Carmack发明的，它真正的作者是Nvidia的Gary Tarolli（未经证实）。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－//// 计算参数x的平方根的倒数//float InvSqrt (float x){float xhalf = 0.5f*x;int i = *(int*)&x;i = 0x5f3759df - (i && 1); // 计算第一个近似根x = *(float*)&i;x = x*(1.5f - xhalf*x*x); // 牛顿迭代法}－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－该算法的本质其实就是牛顿迭代法（Newton-Raphson Method，简称NR），而NR的基础则是泰勒级数（Taylor Series）。NR是一种求方程的近似根的方法。首先要估计一个与方程的根比较靠近的数值，然后根据公式推算下一个更加近似的数值，不断重复直到可以获得满意的精度。其公式如下：－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－函数：y=f(x)其一阶导数为：y'=f'(x)则方程：f(x)=0 的第n+1个近似根为x[n+1] = x[n] - f(x[n]) / f'(x[n])－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ NR最关键的地方在于估计第一个近似根。如果该近似根与真根足够靠近的话，那么只需要少数几次迭代，就可以得到满意的解。现在回过头来看看如何利用牛顿法来解决我们的问题。求平方根的倒数，实际就是求方程1/(x^2)-a=0的解。将该方程按牛顿迭代法的公式展开为：x[n+1]=1/2*x[n]*(3-a*x[n]*x[n]) 将1/2放到括号里面，就得到了上面那个函数的倒数第二行。接着，我们要设法估计第一个近似根。这也是上面的函数最神奇的地方。它通过某种方法算出了一个与真根非常接近的近似根，因此它只需要使用一次迭代过程就获得了较满意的解。它是怎样做到的呢？所有的奥妙就在于这一行：i = 0x5f3759df - (i && 1); // 计算第一个近似根超级莫名其妙的语句，不是吗？但仔细想一下的话，还是可以理解的。我们知道，IEEE标准下，float类型的数据在32位系统上是这样表示的（大体来说就是这样，但省略了很多细节，有兴趣可以GOOGLE）：－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－bits：31 30 ... 031：符号位30-23：共8位，保存指数（E）22-0：共23位，保存尾数（M）－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－所以，32位的浮点数用十进制实数表示就是：M*2^E。开根然后倒数就是：M^(-1/2)*2^(-E/2)。现在就十分清晰了。语句i& &1其工作就是将指数除以2，实现2^(E/2)的部分。而前面用一个常数减去它，目的就是得到M^(1/2)同时反转所有指数的符号。至于那个0x5f3759df，呃，我只能说，的确是一个超级的Magic Number。那个Magic Number是可以推导出来的，但我并不打算在这里讨论，因为实在太繁琐了。简单来说，其原理如下：因为IEEE的浮点数中，尾数M省略了最前面的1，所以实际的尾数是1+M。如果你在大学上数学课没有打瞌睡的话，那么当你看到(1+M)^(-1/2)这样的形式时，应该会马上联想的到它的泰勒级数展开，而该展开式的第一项就是常数。下面给出简单的推导过程：－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－对于实数R&0，假设其在IEEE的浮点表示中，指数为E，尾数为M，则：R^(-1/2)= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)将(1+M)^(-1/2)按泰勒级数展开，取第一项，得：原式= (1-M/2) * 2^(-E/2)= 2^(-E/2) - (M/2) * 2^(-E/2)如果不考虑指数的符号的话，(M/2)*2^(E/2)正是(R&&1)，而在IEEE表示中，指数的符号只需简单地加上一个偏移即可，而式子的前半部分刚好是个常数，所以原式可以转化为：原式 = C - (M/2)*2^(E/2) = C - (R&&1)，其中C为常数所以只需要解方程：R^(-1/2)= (1+M)^(-1/2) * 2^(-E/2)= C - (R&&1)求出令到相对误差最小的C值就可以了－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－上面的推导过程只是我个人的理解，并未得到证实。而Chris Lomont则在他的论文中详细讨论了最后那个方程的解法，并尝试在实际的机器上寻找最佳的常数C。有兴趣的朋友可以在文末找到他的论文的链接。所以，所谓的Magic Number，并不是从N元宇宙的某个星系由于时空扭曲而掉到地球上的，而是几百年前就有的数学理论。只要熟悉NR和泰勒级数，你我同样有能力作出类似的优化。在上有人做过测试，该函数的相对误差约为0.177585%，速度比C标准库的sqrt提高超过20%。如果增加一次迭代过程，相对误差可以降低到e-004 的级数，但速度也会降到和sqrt差不多。据说在DOOM3中，Carmack通过查找表进一步优化了该算法，精度近乎完美，而且速度也比原版提高了一截（正在努力弄源码，谁有发我一份）。值得注意的是，在Chris Lomont的演算中，理论上最优秀的常数（精度最高）是0x5f37642f，并且在实际测试中，如果只使用一次迭代的话，其效果也是最好的。但奇怪的是，经过两次NR后，在该常数下解的精度将降低得非常厉害（天知道是怎么回事！）。经过实际的测试，Chris Lomont认为，最优秀的常数是0x5f375a86。如果换成64位的double版本的话，算法还是一样的，而最优常数则为0x5fe6ec85e7de30da（又一个令人冒汗的Magic Number - -b）。这个算法依赖于浮点数的内部表示和字节顺序，所以是不具移植性的。如果放到Mac上跑就会挂掉。如果想具备可移植性，还是乖乖用sqrt好了。但算法思想是通用的。大家可以尝试推算一下相应的平方根算法。下面给出Carmack在QUAKE3中使用的平方根算法。Carmack已经将QUAKE3的所有源代码捐给开源了，所以大家可以放心使用，不用担心会受到律师信。－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－//// Carmack在QUAKE3中使用的计算平方根的函数//float CarmSqrt(float x){union{int intPfloat floatP}union{int intPfloat floatP} convertor2;convertor.floatPart =convertor2.floatPart =convertor.intPart = 0x1FBCF800 + (convertor.intPart && 1);convertor2.intPart = 0x5f3759df - (convertor2.intPart && 1);return 0.5f*(convertor.floatPart + (x * convertor2.floatPart));}－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－故事还没完，普渡大学的数学家Chris Lomont看了以后也觉得很有趣，决定要研究一下卡马克弄出来的这个猜测值有什么奥秘。Lomont也是个牛人，在精心研究之后从理论上也推导出一个最佳猜测值，和卡马克的数字非常接近, 0x5f37642f。Lomont计算出结果以后非常满意，于是拿自己计算出的起始值和卡马克的神秘数字做比赛，看看谁的数字能够更快更精确的求得平方根。结果居然还是卡马克赢了... 最后Lomont怒了，采用暴力方法一个数字一个数字试过来，终于找到一个比卡马克数字要好上那么一丁点的数字，虽然实际上这两个数字所产生的结果非常近似，这个暴力得出的数字是0x5f375a86。Lomont为此写下一篇论文，"Fast Inverse Square Root"。论文详见：。除此之外还有卡马克卷轴算法等，更多关于卡马克的事迹可以在google上找到很多。你们还可看看他儿子的主页 :
，这稚嫩的笔触，极高的颜值，和这编程技术让人感慨大神就是不一样。332 条评论分享收藏感谢收起2,843被浏览123,202分享邀请回答1添加评论分享收藏感谢收起}