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首先介绍什么是边缘。在数字图像中，边缘是指图像局部变化最显著的部分，边缘主要存在于目标与目标，目标与背景之间，是图像局部特性的不连续性，如灰度的突变、纹理结构的图标、颜色的图标等。尽管图像的边缘点产生的原因各不相同，但他们都是图形上灰度不连续或灰度几句辩护的点，图像边缘分为阶跃状、斜坡状和屋顶状。边缘检测的基本方法一般图像边缘检测方法主要有如下四个步骤：图像滤波传统边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数，但导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。需要指出的是，大多数滤波器在降低噪声的同时也造成了了边缘强度的损失，因此，在增强边缘和降低噪声之间需要一个折衷的选择。图像增强增强边缘的基础是确定图像各点邻域强度的变化值。增强算法可以将邻域(或局部)强度值有显著变化的点突显出来。边缘增强一般是通过计算梯度的幅值来完成的。图像检测在图像中有许多点的梯度幅值比较大，而这些点在特定的应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种方法来确定哪些点是边缘点。最简单的边缘检测判断依据是梯度幅值。图像定位如果某一应用场合要求确定边缘位置，则边缘的位置可在子像素分辨率上来估计，边缘的方位也可以被估计出来。近20多年来提出了许多边缘检测算子，在这里我们仅讨论集中常见的边缘检测算子。常见边缘检测算子分析1) &差分边缘检测处理数字图像的离散域时，可以用图像的一阶差分来代替图像函数的导数。定义二维离散图像函数在 X 轴方向的一阶差分为：f(i+1,j)-f(i,j) & & & & & & & & & & & & &(2.3.1)Y轴方向上的一阶差分定义为：f(i,j+1)-f(i,j) & & & (2.3.2)&利用图像灰度的一阶导数算子在灰度值变化显著的地方得到的极值来检测边缘点。它在某一个点的值就代表了该点的边缘强度值，可通过设置阈值来进一步得到边缘图像。但用差分的方法进行边缘检测必须使差分的方向和边缘的方向相垂直，这就需要对图像的不同方向分别进行差分运算，增加了运算量。一般可将边缘分为水平边缘、垂直边缘和对角线边缘：显然，差分边缘是最原始、最基础的方法，这种算子具有方向性，并且由于计算不方便等原因，在现在已经很少应用了，但其思想还是很多其他算法的基础。2）Reborts算子Reboerts算子是一种利用局部差分来寻找边缘的算子，Roberts 梯度算子所采用的是对角方向相邻两像素值之差，算子形式如下：Gx = f(i,j) - f(i-1,j-1) & & & & & (2.3.3)Gy = f(i-1,j) - f(i,j-1) & & & & & (2.3.4)|G(x,y)| = sprt(Gx^2-Gy^2) & & & & (2.3.5)Roberts梯度算子对应的卷积模版为：用以上两个卷积算子与图像运算后，可求出图像的梯度幅值 G ( x,y)，然后选择适当的阈值τ ,若 G ( x,y)&τ，则 (i &,j)为边缘点，否则，判断 (i &,j)为非边缘点。由此得到一个二值图像 { g (i,j)}，即边缘图像。Roberts 算子采用的是用对角线方向上相邻两像素的差近似梯度幅值来检测边缘，它的定位精度高，对于水平和垂直方向的边缘，检测效果较好，而对于有一定倾角的斜边缘，检测效果则不理想，存在着许多的漏检。另外，在含噪声的情况下，Roberts 算子不能有效的抑制噪声，容易产生一些伪边缘。因此，该算子适合于对低噪声且具有陡峭边缘的图像提取边缘。3）Sobel算子Sobel算子在边缘检测算子扩大了其模版，在边缘检测的同时尽量削弱了噪声。其模版大小为3×3，其将方向差分运算与局部加权平均相结合来提取边缘。在求取图像梯度之前，先进行加权平均，然后进行未分，加强了对噪声的一致。Sobel算子所对应的卷积模版为：&图像中的每个像素点和以上水平和垂直两个卷积算子做卷积运算后，再计算得到梯度幅值 G ( x,y)，然后选取适当的阈值τ ，若 G ( x,y)&τ，则 (i &,j)为边缘点，否则，判断 (i &,j)为非边缘点。由此得到一个二值图像 { g (i,j)}，即边缘图像。Sobel 算子在空间上比较容易实现，不但产生较好的边缘检测效果，同时，由于其引入了局部平均，使其受噪声的影响也较小。若使用较大的邻域，抗噪性会更好，但也增加了计算量，并且得到的边缘比较粗。在对精度要求不是很高的场合下，Sobel 算子是一种较为常用的边缘检测算法。4）Prewitt 算子同 Sobel 算子相似，Prewitt 算子也是一种将方向的差分运算和局部平均相结合的方法，也是取水平和垂直两个卷积核来分别对图像中各个像素点做卷积运算，所不同的是，Sobel 算子是先做加权平均然后再微分，Prewitt 算子是先平均后求微分，其对应的卷积模版为：图像中的每个像素点和以上水平和垂直两个卷积算子做卷积运算后，再计算得到梯度幅值 G ( x,y)，然后选取适当的阈值τ ，若 G ( x,y)&τ，则 (i &,j)为边缘点，否则，判断 (i &,j)为非边缘点。由此得到一个二值图像 { g (i,j)}，即边缘图像。在此基础上，有人提出了改进的Prewitt算子，将其扩展到八个方向，依次用这些边缘模板去检测图像，与被检测区域最为相似的样板给出最大值。用这个最大值作为算子的输出值 P[ i ,j],这样就可将边缘像素检测出来。八个方向的 Prewitt 算子模板及其所对应的边缘方向如下所示：Prewitt 算子通过对图像上的每个像素点的八方向邻域的灰度加权差之和来进行检测边缘，对噪声有一定抑制作用，抗噪性较好，但由于采用了局部灰度平均，因此容易检测出伪边缘，并且边缘定位精度较低。5）Kirsch 算子Kirsch 算子是一种 3×3 的非线性方向算子。其基本思想是希望改进取平均值的过程，从而尽量使边缘两侧的像素各自与自己同类的像素取平均值，然后再求平均值之差，来减小由于取平均值所造成的边缘细节丢失。通常采用八方向 Kirsch 模板的方法进行检测，取其中最大的值作为边缘强度，而将与之对应的方向作为边缘方向。常用的八方向 Kirsch 模板如下所示：实际的应用中，通常都是利用简单的卷积核来计算方向差分的，不同的算子对应着不同的卷积核。它们在图像的像素点上所产生的两个方向的偏导数用均方值或者绝对值求和的形式来近似代替梯度幅值，然后选取一个合适的阈值，用所得到的梯度幅值和所设定的阈值进行比较来判断边缘点。若大于所取的阈值，则判断为边缘点；否则，判断为非边缘点。很显然，在提取边缘的过程中，阈值的选取特别重要，尤其在含噪图像中，阈值的选择要折衷考虑噪声造成的伪边缘和有效边缘的丢失。6）Laplace 算子拉普拉斯算子是不依赖于边缘方向的二阶导数算子，它是一个标量而不是向量，具有旋转不变即各向同性的性质。若只关心边缘点的位置而不需要了解一其周围的实际灰度差时，一般选择该算子提取图像的边缘。Laplace算子的定义为：用差分方程近似二阶偏倒数的结果如下:&将这两个式子合并，可以得到近似Laplace算子的模版：当Laplace算子输出出现过零点时就表明有边缘存在，其中忽略无意义的过零点(均匀零区)。原则上，过零点的位置精度可以通过线性内插方法精确到子像素分辨率。但是拉普拉斯算子在图像边缘检测中并不常用。主要原因有：任何包含有二阶导数的算子比只包含有一阶导数的算子更易受噪声的影响，一阶导数很小的局部峰值也能导致二阶导数过零点，所以Laplace算子对噪声具有无法接受的敏感性； Laplace算子的幅值产生双边元，这是复杂的分割不希望有的结果;最后，Laplace算子不能检测边缘的方向。为了避免噪声的影响，必须采用特别有效的滤波方法。所以，人们提出了改进的功LOG算子。7）LOG算子（高斯拉普拉斯算子）LOG算子基本思想是：先在一定的范围内做平滑滤波，然后再利用差分算子来检测在相应尺度上的边缘。滤波器的选择要考虑以下两个因素：其一是滤波器在空间上要求平稳，即要求空间位置误差 Δ x要小；其二是平滑滤波器本身要求是带通滤波器，并且在有限的带通内是平稳的，即要求频域误差 Δω 要小。根据信号处理中的测不准原理， Δx 和 Δ ω是相互矛盾的，而达到测不准下限的滤波器就是高斯滤波器。Marr 和 Hildreth 提出的这种差分算子是各向同性的拉普拉斯二阶差分算子。该边缘检测器的基本特征是：（1） 所用的平滑滤波器是高斯滤波器（2） 增强步骤采用的是二阶导数（即二维拉普拉斯函数）（3） 边缘检测的判据是二阶导数过零点并且对应一阶导数的极大值该方法的特点是先用高斯滤波器与图像进行卷积，既平滑了图像又降低了噪声，使孤立的噪声点和较小的结构组织被滤除。然而由于对图像的平滑会导致边缘的延展，因此只考虑那些具有局部梯度极大值的点作为边缘点，这可以用二阶导数的零交叉来实现。拉普拉斯函数可用作二维二阶导数的近似，因为它是一种标量算子。为了避免检测出非显著的边缘，所以应该选择一阶导数大于某一阈值的零交叉点来作为边缘点。实际应用中，常用的LOG算子的模版为：说明: 高斯平滑运算不但可以滤除噪声，还会导致图像中的边缘和其它尖锐不连续部分模糊，而模糊程度取决于空间尺度因子σ 的大小。σ 越大，高斯滤波对噪声的滤除效果越好，但同时也会丢失重要的边缘信息，影响到边缘检测器的性能。如果σ 较小，又可能导致平滑作用不完全而留有较多的噪声。因此在实际应用中，要根据情况选择适当的σ。8） Canny算子1986年，Canny从边缘检测算子应该满足的三个准则出发，推导出了最优边缘检测算子Canny算子，该算子是目前理论上相对最完善的一种边缘检测算法。Canny提出的评价边缘检测性能优劣的三个准则分别是:（1）好的信噪比准则。即将非边缘点判为边缘点的概率要低，将边缘点判为非边缘点的概率要低;（2）好的定位性能准则。即检测出的边缘点要尽可能在实际边缘的中心;（3）单边缘响应准则。即单一边缘具有唯一响应，单一边缘产生的多个响应的概率要低，并且对虚假边缘的响应应得到最大抑制。利用Canny算子检测边缘的土体算法如下:（1）用式所示的高斯函数h(r)对图像进行平滑滤波，去除图像中的噪声。（2）在每一点计算出局部梯度和边缘方向，可以利用Sobel算子、Roberts算子等来计算。边缘点定义为梯度方向上其强度局部最大的点。（3）对梯度进行“非极大值抑制”。在第二步中确定的边缘点会导致梯度幅度图像中出现脊。然后用算法追踪所有脊的顶部，并将所有不在脊的顶部的像素设为零，以便在输出中给出一条细线。（4）双阐值化和边缘连接。脊像素使用两个闽值Tl和竹做阂值处理，其中Tl&T2.值大于竹的脊像素称为强边缘像素，Tl和T2之间的脊像素称为弱边缘像素。由于边缘阵列孔是用高闽值得到的，因此它含有较少的假边缘，但同时也损失了一些有用的边缘信息。而边缘阵列Tl的闽值较低，保留了较多信息。因此，可以以边缘阵列几为基础，用边缘阵列Tl进行补充连接，最后得到边缘图像。Canny算子也存在不足之处:（1）为了得到较好的边缘检测结果，它通常需要使用较大的滤波尺度，这样容易丢失一些细节（2）Canny算子的双阈值要人为的选取，不能够自适应实验与结果分析实验在MATLAB R2007a平台下进行，实验的结果如下图所示：&&&&&其他博文参照：& & & & & & & & & & & & &
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blogTitle:'图像算法 - 常用边缘检测算法对比分析',
blogAbstract:'边缘的定义首先介绍什么是边缘。在数字图像中，边缘是指图像局部变化最显著的部分，边缘主要存在于目标与目标，目标与背景之间，是图像局部特性的不连续性，如灰度的突变、纹理结构的图标、颜色的图标等。尽管图像的边缘点产生的原因各不相同，但他们都是图形上灰度不连续或灰度几句辩护的点，图像边缘分为阶跃状、斜坡状和屋顶状。边缘检测的基本方法一般图像边缘检测方法主要有如下四个步骤：图像滤波传统边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数，但导数的计算对噪声很敏感，因此必须使用滤波器来改善与噪声有关的边缘检测器的性能。需要指出的是，大多数滤波器在降低噪声的同时也造成了了边缘强度的损失，因此，在增强边缘和降低噪声之间需要一个折衷的选择。',
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图像边缘检测算法研究
科技信息高校理科研究图像边缘检测算法研究安徽财经大学信息工程学院 门秀萍［摘 要］ 边缘是图像最基本的特征， 包含图像中用于识别的有用信息， 边缘检测是图像分析识别前必不可少的环节，是一种重要的 图像预处理技术。本文介绍了经典的边缘检测算子和近年来出现的新的边缘检测方法，并对其性能和算法特点进行了分析。 ［关键词］ 图像 边缘检测 小波变换 １．引言 所谓边缘是指其周围像素灰度有阶跃变化或屋顶状变化的那些像 素的集合，为人们描述或识别目标以及解释图像提供了一个有价值的 提取 和重要的特征参数， 边缘信息是图像的一种紧描， 它是图像分割、 纹理特征和形状特征的重要基础。 边缘检测技术是图像处理和计算机视觉等领域最基本的技术， 由 于目标边缘、 图像纹理甚至噪声都可能成为有意义的边缘， 因此很难找 到一种普适性的边缘检测算法， 如何快速、 精确地提取图像边缘信息一 直是国内外研究的难题。 ２．基于算子的边缘检测算法分类及研究 由于边缘发生在图像灰度值变化比较大的地方，对应连续情形就是 说是函数梯度较大的地方，所以研究比较好的求导算子就成为一种思 路。梯度算子是其中之一。如 Ｒｏｂｅｒｔｓ 算子、 Ｓｏｂｅｌ 算子、 Ｐｒｅｗｉｔｔ 算子、 Ｌａｐｌａｃｅ 算子、 算子、 ＬｏＧ Ｃａｎｎｙ 算子等都是比较常用的例子。 ２．１ 梯度算子法 梯度边缘检测算法有如下四个步骤： （１ 滤波： ） 边缘检测算法主要是基于图像强度的一阶和二阶导数， 由于导数计算对噪声的敏感性所以必须使用滤波器来改善与噪声有关 的边缘检测器的性能。 （２ 增强： ） 增强边缘的基础是确定图像各点领域强度的变化值。增 强算法可以将领域强度值有显著变化的点突显出来。 （３ 检测： ） 在图像中有许多点的梯度幅值比较大， 而这些点在特定 的应用领域中并不都是边缘，所以应该用某种方法来确定哪些点是边 缘点。 （４ 定位： ） 如果某一应用场合要求确定边缘位置， 则边缘的位置可 在子像素分辨率上来估计， 边缘的方位也可以被估计出来。 由边缘的定义可知边缘的锐利程度由图像灰度的梯度决定。梯度是 一个向量， 荦ｆ＝（ 鄣ｆ ， 鄣ｆ ）， 它指出灰度变化的最快的方向和数量。‖荦ｆ‖ 鄣ｘ 鄣ｙ ＝ 鄣ｆ 鄣ｆ ＋ 鄣ｘ 鄣ｙ 姨 鄣 鄣 鄣 鄣确定梯度的大小和方向。２ ２子的性能比较好； 否则检测结果较差。另外 ＬｏＧ 算子对噪声比较敏感， 它检测出的是梯度图像具有局部最大值和最小值的点，所以说 ＬｏＧ 算 子多算了一些点。 ２．５ Ｃａｎｎｙ 算子 Ｃａｎｎｙ 算子［１］检测边缘的方法是寻找图像梯度的局部极大值， 梯度 是用高斯滤波器的导数计算的。 Ｃａｎｎｙ 方法使用两个阈值来分别检测强 边缘和弱边缘， 而且仅当弱边缘与强边缘相连时， 弱边缘才会包含在输 出中。因此， 此方法不容易受噪声的干扰， 能够检测到真正的弱边缘。 ２．６ 各种算子检测实验及分析 用上述几个边缘检测算子在 Ｍａｔｌａｂ 下对 Ｌｉｎａ 图像边缘特征的提 取结果如图 １ 所示：原图Ｒｏｂｅｒｔｓ 算子Ｓｏｂｅｌ 算子Ｐｒｅｗｉｔｔ 算子Ｌａｐｌａｃｅ 算子Ｃａｎｎｙ 算子根据模板的大小以及权值的不同，人们提出了很多梯度算子。 ２．２ Ｒｏｂｅｒｔ 算子 Ｒｏｂｅｒｔｓ 算子为梯度幅值计算提供了一种简单的近似方法： Ｒ（ｉ，ｊ）＝ ｆ（ｉ，ｊ）－ｆ（ｉ＋１，ｊ＋１） ＋ ｆ（ｉ＋１，ｊ）－ｆ（ｉ，ｊ＋１） 它是一个 ２×２ 模板： １ ０ ０ １ ０ －１ －１ ０ Ｒｏｂｅｒｔｓ 算子对具有陡峭边缘的低噪声图像响应最好。 ２．３ Ｐｒｅｗｉｔｔ 算子和 Ｓｏｂｅｌ 算子 Ｒｏｂｅｒｔｓ 算子对于噪声较敏感，经常会出现孤立点。于是，人们提出 了 Ｐｒｅｗｉｔｔ 算子和 Ｓｏｂｅｌ 算子。Ｐｒｅｗｉｔｔ 算子采用以下卷积模板分别计算 一阶 ｘ 方向和 ｙ 方向的图像差分： －１ ０ １ －１ －１ －１ －１ ０ １ ０ ０ ０ －１ ０ １ １ １ １ Ｓｏｂｅｌ 算子也是一种梯度幅值：也包含水平和垂直方向的卷积模 板， 只是平滑部分的权值有些差异： －１ ０ １ －１ －２ －１ －２ ０ ２ ０ ０ ０ －１ ０ １ １ ２ １ 这两种算子对噪声都具有一定的抑制能力。与 Ｐｒｅｗｉｔｔ 算子相比， Ｓｏｂｅｌ 算子对于像素位置的影响作了加权， 因此效果更好。Ｓｏｂｅｌ 这一算 子把重点放在接近于模板中心的像素点。 ２．４ Ｌａｐｌａｃｅ 算子和 ＬｏＧ 算子 Ｌａｐｌａｃｅ 算子的卷积是一个二阶算子， 将在边缘处产生一个陡峭的 零交叉。拉普拉斯算子是一个线性的、 移不变的算子， 它的传递函数在 频域空间的圆点是零， 因此经拉普拉斯滤波过的图像具有零平均灰度。 ＬｏＧ 算子先用高斯低通滤波器将图像进行预先平滑，然后用拉普 拉斯算子找出图像中的陡峭边缘，最后用零灰度值进行二值化产生闭 合的、 连通的轮廓， 消除了所有内部点。 当沿着和平行于 “Ｏｐｅｎ” 边缘的灰度变化是局部线性的时候， ＬｏＧ算鄣 鄣 鄣 鄣姨 姨姨姨姨姨姨姨图 １ 各种经典算子的边缘检测效果对比 Ｒｏｂｅｒｔｓ 算子检测水平和垂直边缘的效果好于斜向边缘，定位精度 提供较为精确的边缘方 高。Ｓｏｂｅｌ 和 Ｐｒｅｗｉｔｔ 算子对噪声具有平滑作用， 向信息， 边缘定位精度不够高， 边缘较粗。Ｌａｐｌａｃｅ 算子对灰度突变敏 感， 定位精度高， 同时对噪声敏感， 且不能获得边缘方向等信息。Ｃａｎｎｙ 算子对边缘提取的结果明显优于前几种算子，特别是提取的边缘比较完 整，位置比较准确，能够检测出图像较细的边缘部分。 ３．新的边缘检测方法 ３．１ 统计变点算法 １９８８ 年 Ｊｕｎ Ｓ． Ｈｕａｎｇ 和 Ｄｏｎｇ Ｈ． Ｔｓｅｎｇ 在文献［２］中从概率统计的角 他们指出，边缘检测中最大的问题是噪声对检 度对边缘检测进行了讨论。 测结果的影响。 比如说，在边缘检测中一个很大的问题是阈值的选择， 要 想有好的检测结果就要十分恰当地选择阈值， 和 Ｃｈｅｎ［３］提出利用图 Ｆｒｅｉ 像的几何性质得到一种避免了调节阈值的方法，但这种方法还是对噪 声十分敏感。Ｊ．Ｐｒａｇｅｒ 提出了松弛方法， “何时停止” 但是 这个问题没有 其本质是实用量 解决并且效率较低； Ｈａｒａｌｉｃｋ［４］提出了 Ｓｌｏｐｅ Ｆａｃｅｔ 模型， 三个参数的回归分析，但其中的回归变点问题（ｒｅｇｒｅｓｓｉｏｎａｌ ｃｈａｎｇｅ－ｐｏｉｎｔ） 没有解决。 ３．２ 小波多尺度边缘检测方法 多尺度边缘检测方法是先磨光原信号，再由磨光后信号的一阶或 者二阶导数检测出原信号的剧变点， 即图像的边缘。 通过小波多尺度提 取图像边缘是一种非常有效的方法。由于小波变换［５］具有的多尺度特 性，图像的每个尺度的小波变换都提供了一定的边缘信息。当尺度小 时， 图像的边缘细节信息较为丰富， 边缘定位精度较高， 但易受噪声的 干扰； 大尺度时， 图像的边缘稳定， 抗噪性好， 但定位精度差。将各尺度 的边缘图像的结果综合起来， 发挥大小尺度的优势， 就能得到精确的图 像。 多尺度边缘检测的基本思想就是沿梯度方向，分别用几个不同尺 度的边缘检测算子在相应点上检测模极大值的变换情况，并通过对阈 值的选取， 再在不同尺度上进行综合， 得到最终边缘图像， 可以较好地 解决噪声和定位精度之间的矛盾。 ３．３ 数学形态学方法 数学形态学作为一种用于数字图像处理和识别的新理论和新方 法， 它的理论虽然很复杂， 被称为 “惊人数学”但它的基本思想却是简 ， 单而完美的。 形态学运算是物体形状集合与结构元素之间的相互作用， 对边缘方向不敏感， 并能在很大程度上抑制噪声和探测真正的边缘。 因 此， 将数学形态学用于边缘检测， 既能有效地滤除 （下转第 ４９６ 页 ）― ４９５ ―科技信息高校理科研究《数学分析》 学习方法的探索湛江师范学院数学与计算科学学院 栾 姝［摘 要］ 本文对数学专业基础课程数学分析的学习方法，提出了一些实践探索的建议。 ［关键词］ 数学分析 学习方法 实践探索 １．引言 数学分析是数学专业最重要的一门理论基础课。不仅因为这门课 程本身对于培养学生的逻辑思维能力尤为重要， 更重要的是很多后继 课程都是以数学分析为基础， 比如实变函数、 泛函分析等。那么如何来 引导学生学好数学分析呢？ 这是高校教师在教学之余必须要思考与面 对的问题。 ２．学习兴趣的培养 学生学习的主动性首先取决于对这门课的兴趣， 当然这是建立在 对这门课的内容与性质的充分了解的基础之上，因此教师首先应结合自 身经历， 充分向学生灌输数学分析的重要性， 介绍数学分析课程与其他 学科联系和作用， 让学生明白， 数学分析课程是培养逻辑思维能力的重 要途径， 教师要讲清楚所学内容对后继课程和专业课程的作用， 变被动 学习为主动学习， 以此激发学生对数学分析课程发生兴趣， 产生求知欲 望； 另外， 教师要给学生以积极的引导， 激发他们的兴趣与爱好， 教师可 以适当的结合数学史的知识来增加数学的趣味性 ［１］ ，比如讲到数学的经 典结果可以一并介绍相关数学家的研究经历， 使学生从中受到启迪与 教育。 ３．学习方法（关键之处） 有了学习兴趣， 只是有了初步的动力， 至于能否达到预期的学习效 果， 还要讲究学习方法。 这是学生经常爱问的问题。 结合自身经历， 现总 结如下： 第一步， 学习任何一门新课， 要学会预习， 大致了解本节课的内容， 然后就是上课认真听讲， 跟上老师的 理解不到位的知识点要重点标记。 思路， 在课本上标记一些书上没有的但老师强调的或者总结的内容， 不 要单纯地抄写老师的板书。 第二步， 要保证有充分的时间复习当天上课的内容， 比如要利用好 上晚自习的时间。先把书上的内容看懂， 若遇到看不懂的地方， 要翻阅 老师介绍的参考书对照来看， 还可以利用网络资源， 观看优秀教师的讲 课视频。若再不懂一定要及时找同学或老师讨论。看懂了内容之后， 然 后从课本上跳出来，按自己的理解默写重要知识点的概念及定理并记 忆。 内容学懂了， 然后就是做题。 因为只有通过做题才能检验自己是否 但还是 真的学懂了， 只是看懂不一定是真的会了。如果内容弄清楚了， 不会做题， 那就要钻研课本和参考习题集中的相关例题， 因为例题多数 具有代表性。从例题中得到启示， 然后模仿例题自己完成作业。在做题 的过程中要记住具有代表性的习题的解法， 会模仿， 才能会发挥。除作 业之外， 还要再尝试做与例题相关的典型习题， 因为学数学只有通过多 做题， 才能更好的掌握所学的知识点。但也不要盲目地搞题海战术， 关 键是要记住典型方法。 第三步， 还有最重要的一点就是要锻炼自己归纳总结的能力。 每一 章结束老师可能会有总结课， 这很重要。如果觉得老师总结的不够好， 不够详细具体， 还要自己尝试总结本章一共学习了哪些知识点， 各个知 识点之间的关系是什么， 它们都有什么用途， 重点内容等等。列出知识 网络， 写成提纲或画出图表。 如果你通过自己总结， 能把某章的内容清晰地体现在自己的脑海 然后学过了几章之后你可能会发现各章之间 里， 那说明你真的学会了。 又是联系的， 然后再找出章与章之间的关系， 这样坚持下去你就会把整 本书都印在脑子里了。真正的变成了属于你自己的知识。 ４．结束语 学习总是枯燥的， 学习数学更是枯燥的。学好数学分析， 除了讲究 科学的学习方法， 还要有恒心与毅力，要学会忍受寂寞， 也要抵制很多 诱惑。这就需要你树立理想， 有理想才会有动力。 参考文献 ［１］ 李京华．关于数学分析教学的几点建议．科技信息，２００８．３５．基金项目： 本文系湛江师范学院博士基金资助项目（ＺＬ０９０４） 。 作者简介： （１９７９－ ， 吉林省松原市人， 栾姝 ） 女， 博士， 讲师， 主要从事偏微分方程控制理论的研究。 （上接第 ４９５ 页 ） 噪声， 又可保留图像中的原有细节信息。用数学形 态学运算进行边缘检测也存在着一定的不足，比如结构元素单一等问 题。 ３．４ 基于分形理论的边缘检测［６］ 任意一幅图像局部上存在一定程度近似的分形结构。由此可构造 图像的迭代函数。分形几何中的压缩映射定理，可以保证局部迭代函数 的收敛， 而分形几何中的拼贴定理， 允许一个完整图像分成若干个分形 结构， 即构成一个迭代函数系统。 这个迭代函数系统决定了唯一的分形 图形。该图形被称为迭代函数系统的吸引子。 对于给定的一幅图像， 寻找一个迭代函数系统， 使它的吸引子与原 图像尽量地吻合，因为迭代函数系统的吸引子与原图像间必然存在着 差异， 图像中的每个子图分形结构也不同程度上存在差异， 因此子图的 分形失真度大小不一， 处在边缘区的子图的分形失真度比较大， 而处在 平坦区或纹理区子图的分形失真度相对比较小。 因此， 可以利用图像边 缘在分形中的这一性质来提取图像的边缘。 ３．５ 基于人工智能的边缘检测 人工神经网络是进行模式识别的一种重要工具和方法。它需要的 输入知识较少，也比较适合于并行实现。 近年来， 人工神经网络正广泛地 被用于模式识别、 信号与图像处理、 人工智能及自动控制等领域。神经 网络的主要问题是输入与输出层的设计问题、 网络数据的准备问题、 网 络权值的准备及确定问题、 隐层数及结点的问题、 网络的训练问题。在 各种神经网络模型中， 应用最广泛的一类是前馈神经网络， 用于训练前 馈网络的最常用的学习方法是 ＢＰ 算法。目前已有了很多基于 ＢＰ 网络 的边缘检测算法， 但是 ＢＰ 网络收敛速度很慢， 容易收敛于局部极小点， 且数值稳定性差， 参数难以调整， 很难满足实际应用的要求。 ３．６ 其他方法 除了上面介绍的方法，还有基于纹理的边缘检测方法、 基于模糊理 论的边缘检测方法［７］、 样板匹配法、 边界及曲线增强技术、 基于积分变换 的边缘检测方法等。 ４．结论 尽管在图像边缘检测领域从经典的算子边缘提取算法到多分辨分 析，再到较新的多尺度小波分析，基于分形的方法以及人工智能分析和 神经网络方法。但是每种方法都是在一定条件范围内才具有较好的效 果， 还不存在一种普适的边缘检测方法。因而，寻求算法简单、 能较好解 决边缘检测精度与抗噪声性能协调问题的边缘检测算法一直是图像处 理与分析研究的一个重要方向。 参考文献 ［１］ Ｒ．Ｄｅｒｉｃｈｅ， Ｕｓｉｎｇ Ｃａｎｎｙ＇ｓ Ｃｒｉｔｅｒｉａ ｔｏ Ｄｅｒｉｖｅ ａ Ｒｅｃｕｒｓｉｖｅｌｙ Ｉｍｐｌｅ－ “ ｍｅｎｔｅｄ Ｏｐｔｉｍａｌ Ｅｄｇｅ Ｄｅｔｅｃｔｏｒ， ” Ｊ． Ｃｏｍｐｕｔ． Ｖｉｓｉｏｎ， ｖｏｌ．１， ｎｏ．２， １９８７ Ｉｎｔ． ［２］ Ｓ．Ｈｕａｎｇ ａｎｄ Ｄｏｎｇ Ｈ．Ｔｓｅｎｇ，“Ｓｔａｔｉｓｔｉｃａｌ Ｔｈｅｏｒｙ ｏｆ Ｅｄｇｅ Ｄｅ－ Ｊｕｎ ｔｅｃｔｉｏｎ， ” Ｃｏｍｐｕｔｅｒ Ｖｉｓｉｏｎ，Ｇｒａｐｈｉｃｓ，Ａｎｄ Ｉｍａｇｅ Ｐｒｏｃｅｓｓｉｎｇ ４３，３３７－３４６， １９８８ ［３］ Ｗ．Ｆｒｅｉ ａｎｄ Ｃ．Ｃｈｅｎ，“Ｆａｓｔ Ｂｏｕｎｄａｒｙ Ｄｅｔｅｃｔｉｏｎ： Ａ Ｇｅｎｅｒａｌｉｚａｔｉｏｎ ａｎｄ ａ Ｎｅｗ Ａｌｇｏｒｉｔｈｍ， ”ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓａｃｔｉｏｎｓ Ｏｎ Ｅｌｅｃｔｒｏｎｉｃ Ｃｏｍｐｕｔｅｒｓ， Ｖｏｌ． Ｃ－２６， Ｏｃｔ． １９７７ ［４］ Ｒｏｂｅｒｔ Ｍ．Ｈａｒａｌｉｃｋ， ＦＥＬＬＯＷ， ＩＥＥＥ， “Ｄｉｇｉｔａｌ Ｓｔｅｐ Ｅｄｇｅｓ ｆｒｏｍ Ｚｅｒｏ Ｃｒｏｓｓｉｎｇ ｏｆ Ｓｅｃｏｎｄ Ｄｉｒｅｃｔｉｏｎａｌ Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ， ”ＩＥＥＥ Ｔｒａｎｓ． Ｐａｔｔｅｒｎ Ａｎａｌｙｓｉｓ ａｎｄ Ｍａｃｈｉｎｅ Ｉｎｔｅｌｌｉｇｅｎｃｅ， Ｖｏｌ． ＰＡＭＩ－６， Ｎｏ． １， ｐｐ．５８－６８， ＪＡＮ－ ＵＡＲＹ １９８４ ［５］ 王建中，赵军．图像边缘提取的小波多孔算法及改进．武汉理工大 学学报，２００４，２６（１）：７６－７９ ［６］ 白建明，王之琼．分形理论在 ｘ 光片图像边缘增强中的应用．黑龙 江医药科学，２００６，２９（１）：７８－７９ ［７］ 张世华，宋振明．一种基于模糊增强的图像边缘提取改进算法．湖 南工程学院学报，２００６，６５－６８― ４９６ ―
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该文首先介绍了常用的边缘检测算子有 Roberts 算子、 Canny 算子、Prewitt 算子、Sobel 算子、LOG 算子,接着从这些方法出发深入的研究了图像 边缘检测的内在含义。 ...基于matlab的图像边缘检测算法研究和仿真_信息与通信_工程科技_专业资料。基于 matlab 的图像边缘检测算法研究和仿真 目录 第 1 章 绪论 1.1 序言 1.2 数字图像...图像边缘检测算法研究_专业资料。龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn 图像边缘检测算法研究 作者:陆兴娟 吴震宇 来源:《现代电子技术》2010 年第 06 期 摘要:...数字图像边缘检测算法研究毕业论文 - 本科毕业论文 论文题目 数字图像边缘检测算法研究 数字图像边缘检测算法研究 毕业设计(论文)原创性声明和使用授权说明 原创性声明...图像边缘检测算法探究及实现毕业设计论文 - 毕业设计论文 图像边缘检测算法探究及实现 1 目引 录 言 ......本科毕业设计(论文) 题目:基于 matlab 的图像边缘 检测算法研究 2013 届毕业设计(论文) 毕业论文(设计)原创性声明 本人所呈交的毕业论文 (设计) 是我在导师的...基于MATLAB的数字图像边缘检测算法研究申报表 - 黄河科技学院毕业设计课题申报表 课题名称 课题来源 命题人姓名 该课题是否 需要实习 否 基于 MATLAB 的数字图像边缘...基于Matab 的数字图像边缘检测算法研究 专业:自动化 班级:2006 级 4 班 姓名: 沈阳大学毕业设计(论文) 目 录 引言......【强烈推荐】图像边缘检测毕业论文 - 毕业论文,单片机论文,毕业论文设计,毕业过关论文,毕业设计,毕业设计说明,硕士论文,研究生论文数字图像边缘检测算法的研究和实现 - 毕题目: 业 设 计 数字图像边缘检测算法的研究和实现 学院: 计算机与通信学院 毕业论文 毕业设计(论文)任务书 题目: 数字...
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