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第三章 立体的投影与相交.ppt
第三章 点、直线和平面的投影§1 点的投影一、点在一个投影面上的投影过空间点A向投影面 P做垂线，垂足即为点A 在P面上的投影。P●Aa●点在一个投影面上 的投影不能确定点的空 间位置。P B2●B1●●bB3●采用多面投影 !二、点的三面投影投影面◆正面投影面（简称正 面或V面） ◆水平投影面（简称水 平面或H面） ◆侧面投影面（简称侧 面或W面）V ZXoWHY投影轴OX轴 V面与H面的交线 OY轴 H面与W面的交线 OZ轴 V面与W面的交线 三个投影面 互相垂直空间点A在三个投影面上的投影a? 点A的正面投影Z V a? ●●a点A的水平投影A●Xa? Wo a●Ha? 点A的侧面投影空间点用大写字母 表示，点的投影用 小写字母表示。Y投影面展开不动Z Z向右翻Va?●azO●a?WVa?●az●XaxayYXaxA O●a? WaH●ayYa 向下翻●ayYH点的投影规律:长对正高平齐宽相等a?a?⊥OZ轴 ① a?a⊥OX轴 ② aax= a?az =y =Aa?（A到V面的距离） aay= a?az =x =Aa?（A到W面的距离） a?ax= a?ay=z =Aa（A到H面的距离）例：已知点的两个投影，求第三投影。解法一:a?● axaz●a?通过作45°线 使a?az=aaxa●解法二: 用分规直接量 取a?az=aaxa?● ax az●a?a●三、两点的相对位置两点的相对位置指两 点在空间的上下、前后、 左右位置关系。Xa?●Z a?●b?● ●●b? YWa▲ x 坐标大的在左 ▲ y 坐标大的在前▲ z 坐标大的在上b●YHB点在A点之前、 之右、之下。根据一个点相对于另一个点上下、前 后、左右坐标差，可以确定该点的空间位 置并作出其三面投影。[例] 已知点A在点B之前5毫米，之上9毫米，之右8毫米， 求点A的投影。a? 9 a?85 a四、重影点空间两点在某一投影面上的投影重合 为一点时，称此两点为该投影面的重影点。重影点的可见性判别若两点位于同一条垂直某投影面的投射线 上，则这两点在该投影面上的投影重合，这两 点称为对该投影面的一对重影点。两重影点在三对坐标值中，必定有两对相 等。从投影方向看，重影点必有一个点的投影 被另一个点的投影遮住而不可见。判断重影点 的可见性时，需要看重影点在另一个投影面上 的投影，坐标值大的点投影可见，反之不可见， 不可见点的投影加括号表示。五、各种位置点的投影四分角中的点二一三 四位于一、三分角的点， 它的V、H两投影分布 在X轴的两侧； 而位于二、四分角的 点，它的V、H投影分 布在X轴的同侧。四个分角中点的投影1.一般位置点:（X、Y、Z）2.投影面上的点：空间点的坐标值有一个为零。特 殊 位 置 点V 面上点（X、0、Z） H 面上点（X、Y、0） W 面上点（0、Y、Z）3.投影轴上点: 空间点的坐标值有两个为零。X 轴上点（X、0、0） Y 轴上点（0、Y、0） Z 轴上点（0、0、Z） 4.原点上的点:（0、0、0）特殊点的投影Bb? XVb? a? b c? c a Oa?bCc? cAaH§2 直线的投影两点确定一条直线，将两 点的同名投影用直线连接， 就得到直线的同名投影。a? ●●●a?●b?b?a● b●直线对一个投影面的投影特性A● M● B● a≡b≡m●●B A● α●BA●●ba●●ba●直线垂直于投影面 投影重合为一点 积聚性直线平行于投影面 投影反映线段实长 ab=AB 实形性直线倾斜于投影面 投影比空间线段短 ab=Abcosα 类似性直线在三个投影面中的投影特性一般位置直线与三个投影面都倾斜的直线正平线（平行于Ｖ面）投影面平行线 侧平线（平行于Ｗ面）水平线（平行于Ｈ面）统称特殊位置直线 正垂线（垂直于Ｖ面）平行于某一投影面而 与其余两投影面倾斜投影面垂直线侧垂线（垂直于Ｗ面）铅垂线（垂直于Ｈ面）垂直于某一投影面1 一般位置直线b?b? B a? b? X b A a? O b? Y Z a?ba? a Y投影特性a直线的各投影均与投影轴倾斜 各投影的长度均小于直线的实长各投影与投影轴的夹角不反映夹角的真实大小水平线a?a?Az b? a? b?b??a??XOYWBb?a??a bbYH投影特性：1．a?b??? OX ; a?b??? OYW 2． ab=AB 3．反映?、? 角的真实大小正平线Z b? a? b?b?a??Ba?b?a??O? ?AXYWabab YH投影特性： 1． ab ?? OX ; a? b??? OZ 2． a? b?=AB 3． 反映?、?角的真实大小侧平线a? a? A b?Za??a?b? X O a b??b?? ?aYWB bb YH投影特性：1． a?b??? OZ ; ab ?? OYH 2． a?b? =AB 3． 反映 ?、? 角的真实大小2 投影面平行线水平线a?b? Z a? b?实长a? Zα γ正平线侧平线XYWaβb? Xba? a? b? b? YW X abZ a? 实长βαb?YWγb YHa YHYH实长投 影 特 性1）在其平行的那个投影面上的投影反映实长，倾斜于 投影轴，反映直线与另两个投影面的夹角。 2）另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴，到 相应投影轴距离反映直线与它所平行的投影面之间 的距离。铅垂线a? A b? a?a?Za?b?X Ob?YWb?B a(b)a(b) YH投影特性：1． a b 积聚 成一点 2． a? b??OX ; a? b? ? OYW 3． a? b? = a? b? = AB正垂线a?b? AB a? a?b? z a? b?b?XaOYWabb YH投影特性： 1． a?b? 积聚 成一点 2． ab ? OX ; a?b? ?OZ 3． ab = a?b? =AB侧垂线a?a?b?Za?b?b? a?b? A BXOYWa ab YHb投影特性： 1． a?b? 积聚 成一点 2． ab ? OYH ; a?b?? OZ 3． ab = a?b? =AB3 投影面垂直线铅垂线a?正垂线c?(d?)●侧垂线e? f? e?(f?)●a?b?d? c?b?●da(b)cef投影特性① 在其垂直的投影面上，投影有积聚性。 ② 另外两个投影反映线段实长。且垂直 于相应的投影轴。从属于V 面的直线B b? b? Zb?A a? a b a? a?a?b?Xa bO YHYW投影特性所属面上的投影与自身重合，另两面投影在相应投影轴上从属于V 面的铅垂线Za?a?b? Xa(b) Ob? YWYH从属于OX轴的直线ZX a? ab?bO a?b?YWYH投影特性：两投影重合于直线本身，另一投影积聚在原点上SA―― 一般位置直线SB――BC―― AB―― AC――侧平线?SC―― 一般位置直线 水平线 水平线 侧垂线a? as?s? ?b? s ? bc? a?(c?) cb?AB为正平线； AC为正垂线； AD为铅垂线 。求线段的实长和倾角1.特殊位置直线的投影，能反映线段的实长及其 对投影面的倾角。 2.一般位置直线的投影，既不能反映该线段的实 长，又不能反映对投影面的倾角。―――直角三角形法1．求直线的实长及对水平投影面的夹角?角AB|zA-zB||zA-zB|ab??|zA-zB |?ABAB |zA-zB| ab?2．求直线的实长及对正面投影面的夹角? 角AB b???|yA-yB| Xa? b|yA-yB|?a?b?ABa AB|yA-yB|?|yA-yB|a?b?3．求直线的实长及对侧面投影面的夹角? 角b?Ba?b??b a?A a|xA-xB|求线段的实长和倾角1.直角三角形法的作图要领：用线段某一投影长 作为一条直角边，再以线段的两端点相对于此投 影面的坐标差（距离差）作为另一条直角边，所 作直角三角形的斜边即为线段的实长，斜边与投 影长之间的夹角即为线段与该投影面的夹角。 2.直角三角形的四个要素：即：实长、投影长、 坐标差及直线对投影面的倾角。已知四个要素中 的任意两个，便可确定另外两个。 3.解题时，直角三角形画在任何位置，都不影响 解题结果。但用哪个长度来作直角边不能搞错。[例1]已知线段的实长AB，求它的水平投影。|zA-zB|AB |zA-zB| ab a?ab例2：求直线的实长及对正面投影面的夹角? 角。方法一AB?ΔYABa?b? ΔYb??a? bX?a?b? ΔY aAB方法二［例3］已知线段AB＝25mm及其投影ab和a′， 试求该线段的V 投影a′b′。ΔYΔY a?b? a?b? ΔYa?b?2525ΔY解： 利用ab和AB＝25mm，确定A、B两点的高标差bB1，从而求出b′(有两解) ，或利用ΔY和AB ＝25mm，确定a′b′的长度，求出b′ 。小 结ΔXΔY?ab??a?b?ΔZa?b?知二求二:任何一个直角三角形都可以找出四个条件,只要知道其中两个条件,就能求出另外两个条件。 实长AB---H 投影长（ab) ----ΔZ --- ? 角实长AB---V 投影长（a?b?） ----ΔY --- ?实长AB---W 投影长（a?b?）----ΔX --- ?角角直线与点的相对位置Vb′ c′ a′C A Bb′b″ c ″W a″XZa′c′Ob″ c″ a″Yc bb ca HaY◆若点在直线上,则点的投影必在直线的同名投影上。 ◆点的投影将线段的同名投影分割成与空间线段 相同的比例。即：AC/CB=ac/cb=a?c?/c?b?=a?c?/c?b?定比定理例1：判断点C是否在线段AB上。① a? c?●b?②在ba?c?●不在b?a ③ a? c? ● b? a c● b●cac●ba?●不在b?c?对于一般位置直 线,只要观察两个投 影即可确定。 但对于投影面平 行线,则应察看直线 所平行的那个投影面 上的投影。例2：已知点K在线段AB上，求点K正面投影。解法一： （应用第三投影）a? k? b?●解法二： （应用定比定理）a? a?●k?● b?k? b?●●b k● ab k●a[例3] 已知线段AB的投影图，试将AB分成2s1两段，求分点 C的投影c、c? 。c?c[例4] 已知线段AB的投影，试定出属于线段AB的点C的投影， 使BC 的实长等于已知长度L。 L AB c? zA-zB abc两直线的相对位置空间两直线的相对位置分为： 平行、相交、交叉（异面）。 ⒈ 两直线平行V c?d? a?C c A ab? B Db d X a c c?? a?d?b?O bdH空间两直线平行，则其各同名投影必 相互平行，反之亦然。例：判断图中两条直线是否平行。①a?c? a c b c? a? d? c b d a b? b? d c? b? d? a? c? b? d?AB与CD平行。对于一般位置直线， 只要有两组同名投影互 相平行，空间两直线就 平行。②a?d?AB与CD不平行。对于特殊位置直线， 只有两组同名投影互相 平行，空间直线不一定 平行。⒉ 两直线相交V c? a? C A X ak?Kb? d? D O d B交点是两直 线的共有点b? c? a?k?d?ckbHac kd b若空间两直线相交，则其同名投影必 相交，且交点的投影必符合空间一点的投 影特性。例1：过C点作水平线CD与AB相交。b?c?● a? k? d?a c k●d b先作正面投影例2：判断直线AB、CD的相对位置。c′ b′相交吗？ 不相交！ 为什么？ 交点不符 合空间一个点 的投影特性。 判断方法？ ⒈ 应用定比定理 ⒉ 利用侧面投影a ′d′ad b c⒊ 两直线交叉b′ c′ d ′ O a d c b V c′ a′ A a b′ d′ Ba′XCcD d b H不相交！ 为什么？ 交点不符合一个 点的投影规律！两直线相交吗？b′ V 1′ ′ ′ c ′ 3(4 ) d′ 2 ′Ⅳ Ⅰ B a′ A ⅢⅡ D C a 4 d● ● ● ● ● ● ● ● ● ●c′a′ X a′ 3(4 ′)●1′● ●b′ d′ O2′●4●d bc3 1(2)b H●c3 1(2)投影特性：★ 同名投影可能相交，但 “交点”不符合空间一 个点的投影规律。 ★ “交点”是两直线上的一 对重影点的投影，用其 可帮助判断两直线的空间位置。直角的投影直角投影定理若直角的两边 (相交或相错)，有 一边平行于某个投 影面(另一边不垂 直于该投影面)， 则此直角在该投影 面上的投影仍为直 角。逆定理：若两直线(相交或相错)在某个投影面上的投影互相垂直，且其中有一直线平行于 该投影面，则此两直线必互相垂直。垂直相交的两直线的投影a? c?b?Xa cbAB垂直于AC,且AB平行于H 面,则有ab ? ac交叉垂直的两直线的投影AB垂直于AC,且AB平行于H 面,则有ab ? ac［例1］试求A点至水平线BC的距离(投影和实长)。1）作ak⊥bc，ak∩bc＝k； 2）由k求得k′∈b′c′，则ak、a′k′为距离的 两投影；3）求距离的实长。[例2] 过点A作线段EF的垂线AB，并使AB平行于V 面。 b?b[例3] 过点E作线段AB、CD的公垂线EF。f? e?ef[例4] 作三角形ABC，?ABC为直角，使BC在MN上， 且BC?AB =2?3。a?b?c?=BC b? c? a?b?ABcb|yA-yB|a§3平面的投影平面的表示法c?● a? ●c?c? ●● a? ● a? ●c? ●● a?c? ●● d? a? ● ● ●●●●b? ●b a● ●b? ●b a●●b? ●b a● c● ●b? ● b a● d●b? ● ba●●cccc不在同一 直线上的 三个点直线及 线外一 点两平行直 线两相交 直线平面 图形各种位置平面平面对于三投影面的位置可分为三类：垂直于某一投影面， 倾斜于另两个投影面投影面垂直面正垂面 侧垂面 铅垂面正平面 侧平面 水平面特殊位置平面平行于某一投影面， 垂直于另两个投影面投影面平行面与三个投影面都倾斜一般位置平面平面的投影特性平行垂直倾斜 实形性 积聚性 类似性投 影 特 性★ 平面平行投影面-----投影就把实形现★ 平面垂直投影面-----投影积聚成直线★ 平面倾斜投影面-----投影类似原平面正垂面b? QV a? c? A B c' a' ? b' a& c& a c b&?QC投影特性 (1) a?b?c? 积聚为一条线b(2) ? abc、 ? a?b?c?为? ABC的类似形 (3) a?b?c?与OX、 OZ的夹角反映α、? 角的真实大小侧垂面b' S B SW b& a' c&b&βc'?a&C Ac&ba& ca 投影特性 (1) a?b?c?积聚为一条线 (2) ? abc、 ? a?b?c?为? ABC的类似形 (3) a ? ?b? ? c ? ?与 OZ, OY的夹角反映α,β角的真实大小铅垂面b' P b& a& c' A a b C PH c a c&Ba'?b?c投影特性 (1) abc积聚为一条线(2) ? a?b?c?、 ? a?b?c?为?ABC的类似形 (3) abc与OX、 OY的夹角反映?、?角的真实大小投影面垂直面为什么？类似性b? c? c?b?类似性a?是什么位置 的平面？ a?积聚性aγβcb铅垂面 两面一斜线投影特性： 在它垂直的投影面上的投影积聚成直 线。该直线与投影轴的夹角反映空间平面 与另外两投影面夹角的大小。 另外两个投影面上的投影有类似性。b' a' B A正平面b'b&a' a& c&b&a& c'c'C c b ac&cba投影特性：(1) abc 、 a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 正平面投影? a?b?c?反映? ABC实形侧平面c'B b' a' A a b C c b&b'a'b& a&c&a&c'c&a b c投影特性：(1) abc 、 a?b?c? 积聚为一条线，具有积聚性 (2) 侧平面投影? a?b?c? 反映? ABC实形水平面a' A b' c' B a? b& b' c? b&a&c&a&C c& b a cb ac投影特性：(1) a?b?c?、 a?b?c?积聚为一条线，具有积聚性 (2) 水平投影? abc反映? ABC实形投影面平行面积聚性 积聚性a? b? c? a? c? b?a实形性bc水平面投影特性： 在它所平行的投影面上的投影反映实形。 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应 的投影轴平行的直线。一面两直线一般位置平面b'a'b' Bb& a' c'b& a& c&A C c& b ca& b c aa投影特性：三个投影都类似。S一般位置平面――三个面 投影面垂直面――两面一斜线 投影面平行面――一面两直线SAB―― 一般位置平面 SBC―― 一般位置平面 SAC――A s? ?C B s? ?侧垂面水平面ABC――a? ab? s ? bc? a?(c?) cb?平面上的直线和点⒈ 平面上取任意直线 位于平面上的直线应满足的条件：若一直线过平面上 的两点，则此直线 必在该平面内。NM● ●若一直线过平面上 的一点且平行于该 平面上的另一直线， 则此直线在该平面 内。BAM●例1：已知平面由直线AB、AC所确定，试在 平面内任作一条直线。 解法一： 解法二：b? b? m? ●●d?n? c?c?a?m● ba?b d can●ac有无数解！例2：在平面ABC内作一条水平线，使其到 H面的距离为10mm。a?m? 10 b? bn? c?唯一解！c n m a⒉ 平面上取点面上取点的方法：首先面上取线先找出过此点而又在平面内的一条直线作为 辅助线，然后再在该直线上确定点的位置。例1：已知K点在平面ABC上，求K点的水平投影。①k? ● a? a k●b? c?②●b? k?d?c?da?bba●kc 利用平面的积聚性求解c 通过在面内作辅助线求解例2：已知AC为正平线，补全平行四边形 ABCD的水平投影。解法一：a? k? b?解法二：c? a?b?c?d? d a k b c ad? d c b例3：在△ABC内取一点M，并使其到H面V面的 距离均为10mm。a? m? d? b? a d e●e? c? 10 OXm●bc10[例4] 已知? ABC给定一平面，试判断点D是否属于该 平面。e'd'ed[例5] 已知点E在?ABC上，试求点E的正面投影e'e平面上的特殊位置直线平面上的投影面平行线，有平面上的水平 线、正平线和侧平线三种平面上的投影面平行线[例1]已知?ABC给定一平面，试过点C作属于该平面的正平线，过点A作属于该平面的水平线。m?n'nm[例2] 已知点E 在?ABC平面上，且点E距离H面15，距离V 面10， 试求点E的投影。m'r'e'n'15s'10nre ms本 章结束【图文】4 第四次
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两直线在两个投影都相交，他们一定相交吗收藏
这还有一道题 帮看看
肯定不是啊。。
必须不是啊
异面，初中还是高中数学……
不是，，，
即使两直线在三个投影面都相交，他们在空间也不一定相交。
看他们的交点是否满足点的三面投影特性
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第一章投影基本知识讲义.ppt 101页
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第一章 投影基本知识
第二章 平面立体
第三章曲面立体
第四章轴测图
第五章 制图基本知识
第六章 组合体的投影图
民用建筑建筑施工图
民用建筑结构施工图
建筑给水排水施工图 绪论 绪论 二、本课程的目的和任务
本课程是一门既有理论又有实践的技术基础课。 主要目的是培养学生绘制和阅读工程图样的能力以及几何形体的设计能力。同时培养和发展学生的空间想像能力和分析能力。其主要任务是： （1）学习投影法（主要是正投影法）的基本理论及其应用。 （2）学习、贯彻制图国家标准和有关规定。 （3）培养绘制和识读本专业及其相关专业工程图样的基本能力。 （4）培养空间想象能力和空间几何问题的分析、图解能力。 （5）培养认真负责的工作态度和严谨细致的工作作风。 （6） 培养计算机绘图的基本能力 绪论 三、本课程的主要内容 1、制图基本知识 介绍制图工具、仪器及用品的使用与维护，基本制图标准，绘图的一般步骤及几何作图方法。 2、投影作图 介绍投影的基本知识和基本理论，包括正投影、轴测投影及透视投影。 3、专业制图 包括房屋建筑施工图、结构施工图、室内设备施工图及装饰施工图等。主要介绍各专业施工图的特点、识读方法与绘制方法。 4、计算机绘图 包括基本绘图命令，图形编辑，图层，线型与颜色的设置，文字与尺寸标注等。
绪论 四、本课程的学习方法 1、学画法几何，要理解基本概念，掌握基本理论，多画图、多识图，从物到图，从图到物，理论联系实际，培养空间想象能力养成空间思维的习惯。 2、学制图基础， 要正确使用绘图工具，遵守国家制图标准，养成自学能力和图形表达能力。 3、学工程施工图，要掌握工程图的图示要求，掌握绘制和阅读工程图的基本方法和基本技能。 4、学习计算机绘图——学习基本理论掌握基本命令，尽可能多上机操作实践。?????? 第一章　投影的基本知识 §1－1
投影概念 投影的形成 投影法的分类 中心投影法 平行投影法 §1-2
正投影的基本性质 立体的三面投影图 §1-３　点的投影 点的单面投影 点的两面投影 点的三面投影及投影规律 点的投影与直角坐标的关系 两点的相对位置
点的两面投影
点的三面投影 点的投影与直角坐标的关系 两点的相对位置 §1-４ 直线的投影
特殊位置直线
一般位置直线
一般位置直线
两直线的相对位置
空间两直线平行
空间两直线相交 空间两直线交错 直角的投影
平面的投影 平面的表示方法 各类平面的投影特性 平面内的点和直线 平面内的特殊直线
平面的表示方法
各种位置平面的投影特性 投影面平行面 投影面垂直面 一般位置平面
平面内的点和直线
平面内的特殊直线 平面内的投影面平行线 平面内的最大斜度线 空间两直线的相对位置 两直线平行 两直线相交 两直线交错
两直线在空间互相平行，则它们的同面投影也相互平行。反之，若两直线的各个同面投影均相互平行，则该两直线在空间也一定相互平行。 A D C B a b d c a' d' c' b' X O a' d' c' b' a b d c X O 空间两直线平行
注意：对于一般位置的两直线，仅根据它们的水平投影及正面投影是否平行，就可判定它们在空间是否平行。但是对于侧平线，则必须考察它们的侧面投影，才可以断定它们在空间的真实位置。 a& d& c& b& a d c b a' c' d' b' X Z O YH YW AB、CD不平行 空间两直线平行
当互相平行的两直线垂直于某一投影面时，则在该投影面上的投影（积聚为两点），反映它们在空间的真实距离。 A D C B a(b) c(d)
两直线相交必有一个公共交点，因此：若空间两直线相交，则它们的各同面投影均相交，且交点符合点的投影规律。反之亦然。 X O a' d' c' b' k' a d c k b X O a d c b a' d' c' b' k k' A D C B K 空间两直线相交
同平行的两直线一样，对于一般位置的两直线，只要根据水平投影及正面投影的相对位置，就可判别它们在空间是否相交。但是对于其中有一条是侧平线的两直线，则必须考察它们的侧面投影是否相交。 X Z c' d& O YH YW a a' c d b d' b' a& b& c& 空间两直线相交
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