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时间：2018-04-09 10:11
满舒克的满舒克 - 歌单 - 网易云音乐
满舒克的满舒克
歌单里网易云里能够有版权的几乎都有收录 欢迎私信哪里不全或出错
从歌单创建到现在初心都是源于对舒克的喜欢
没想过会有这么多人关注 更没想过自己要做一个“成功”的创建者
收藏量是源于各位对舒克...
歌单里网易云里能够有版权的几乎都有收录 欢迎私信哪里不全或出错
从歌单创建到现在初心都是源于对舒克的喜欢
没想过会有这么多人关注 更没想过自己要做一个“成功”的创建者
收藏量是源于各位对舒克的喜欢 成就非我所有
你可以有自己对于舒克的爱 对音乐的感受 但是没必要跑来和我Ky
很开心能有这么多人也一样喜欢发光发亮的他
也希望你们一直都爱他
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举报邮箱：&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&520& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_r.jpg&&&/figure&&p&进步本适用于一切知识和技术的学习，适用于一切考试准备（中高考、考研、公考、资格考试等等，凡是你能想到的笔考）。&/p&&p&知乎上有人问“自强学习法的进步本怎么做啊？”提问者看了我的许多文章，但是没看明白怎么操作。实际上在“我的史诗般的高考逆袭路”那篇文章里已经写的很清楚了。有些高三的同学（表示自己是手机控），看懂了文章，立即卸载了知乎，全力以赴用进步本准备高考去了(目前为止，我收到的反馈不多的原因之一)。还有不少同学没有很清晰的看到进步本的具体操作。我在这篇文章用最精炼的语言再次明确一下。随后，我附上所有我收到的跟进步本有关的效果反馈。有些同学的成绩提升幅度是惊人的。&/p&&h2&&b&1.进步本的操作方法&/b&&/h2&&p&进步本的操作并不复杂，只有简单的3句话：&/p&&blockquote&&p&&b&第1步，记录阶段，尽量记录下当天你认为你学到了、弄懂了的东西，这些是你的潜在进步。&/b&&/p&&br&&p&&b&第2步，复习阶段，及时的周期性的复习记录在进步本上的内容，通过不断的重做、复现、标注，直到记住，直到不忘，直到理解，你会感受到踏实的进步。&/b&&/p&&br&&p&&b&第3步，应用和检验阶段，在自测、考试、讨论、教别人，或者在实际工作中运用记录本上所学内容，你的进步有了客观的检验和标志。&/b&&/p&&/blockquote&&p&许多同学实施之后不见效的最重要的原因是，他们在阅读文章之中忽略了关键信息。尤其是上述第2步。因为第1步是显然的，第3步几乎是被迫的。第2步是最让人难受，但你终会喜欢上的。&br&&/p&&p&许多同学大量的问及这3句话以外的问题。我每天都收到大量的类似留言、来信等等，以至于我回不过来，只能选择性回复。、&/p&&p&凡是想要运用进步本，但问了这3句话以外的任何问题的同学，请注意：你没有把握进步本的操作要点，你的注意力偏离了。用一句常用语，你想多了（语气是强烈批评的，其实是善意的）。&/p&&p&如果你认认真真按照进步本的做法，哪怕完整、准确的掌握一道题目。你的许多问题就不存在了。所以，对这些同学和朋友，我的建议，强烈的建议是：先行动，在行动中思考。如果你踏踏实实实践一个月，那么你想到的绝大部分问题都将荡然无存。&/p&&p&《道德经》云：&/p&&blockquote&&b&“上士闻道，勤而行之；中士闻道，若存若亡；下士闻道，大笑之，不笑不足以为道。”&/b&&/blockquote&&p&这句话，用在学习之道上，同样且精确的适用。&/p&&p&许多事情，你在行动前是根本无法想清楚的。即便是别人明明白白讲出来的道理和过程，你仍然无法准确的理解。&/p&&p&要注意这个巨大的、明显的、而又非常重要的事实：&b&针对任何事物，你总是可以提出无穷个问题。&/b&&/p&&p&但当你问了关于进步本的1000个问题，并终于得到逐个解答的时候，由于上述机制，许多解答不可能让你满意。而那时，高考（或者考研、公考等等）已然过去了。&/p&&h2&&b&2.进步本的效果&/b&&/h2&&p&这段时间，我收到了一些热心网友、热心读者有关进步本效果的反馈。作为科研工作者，我非常期待着能够收到大家的反馈。&/p&&p&对我来说，这些反馈就是一份份的学习研究报告。我以截图、珍藏、纳入文章的形式，珍惜珍重大家的学习研究报告。&/p&&p&期待大家检验进步本的方法，检验其原理。期待大家用批判的态度去对待。&/p&&p&我们都知道没有永恒的真理，只有对真理的永恒的追求。科学也是如此。科学中许多东西永远在变，只有一种东西是不变的，那就是真诚。这被量子力学的创始人薛定谔认为是科学的唯一不变的特性。&/p&&p&大家的有关进步本的学习报告，以及简短反馈，全部整理如下：&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1bd79d89aacc7c0fc6b_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1bd79d89aacc7c0fc6b_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4c39f0b96d2fd_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4c39f0b96d2fd_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2eba42f704e9a19ae8121_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2eba42f704e9a19ae8121_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-65ef63df643e7ed19d6e133a4a56d7a9_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-65ef63df643e7ed19d6e133a4a56d7a9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce50c98df5043_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce50c98df5043_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-23702ffd266c2bcde199f6_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-23702ffd266c2bcde199f6_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac2cde8bcf020eeb5d32d382ccee5a73_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac2cde8bcf020eeb5d32d382ccee5a73_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-294664ddb67beb160f1972_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-294664ddb67beb160f1972_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a0c0f923d6c4bde10b251ed8b5bfc886_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a0c0f923d6c4bde10b251ed8b5bfc886_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-bb8422860d_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-bb8422860d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e9d333f31db8d_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e9d333f31db8d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-81cdd9ce1407e4acfaf83_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-81cdd9ce1407e4acfaf83_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1c4dcbe9f88b4edd84e48d_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&1067& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1c4dcbe9f88b4edd84e48d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0fe26f6d3df0c_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0fe26f6d3df0c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a5d1e7fcd8_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a5d1e7fcd8_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c2c3a03f517be66da4e2dfbacffe1ed7_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c2c3a03f517be66da4e2dfbacffe1ed7_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ce36ff1cf7ab28e68d118e_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ce36ff1cf7ab28e68d118e_r.jpg&&&/figure&&br&&p&欢迎亲爱的网友们，百忙之余，再给我提供更多的反馈，我和大家都会很开心的。&/p&&p&从上面的反馈来看：&/p&&p&（1）进步本适用于所有学科，甚至AP，还有保送，等等。从原理上，进步本适用于一切知识和技术的学习。适用于会写字之后的所有阶段。以后，我会从认知神经科学，从记忆的神经生理学本质来论述这一点。&/p&&p&（2）进步本在成绩上的见效速度是以&b&周&/b&为单位的。&/p&&p&（3）进步本的使用跟使用者本人当时的学业水平无关。成绩稍差的，可以用来奋起逆袭。成绩好一些的，可以用来精益求精，用来精进。&/p&&p&从原理上看，这些都是显然的。&br&&/p&&br&&h2&&b&3.进步本到底如何操作，举个例子？&/b&&/h2&&p&有位网友给我提了这个问题。&br&&/p&&p&下面就是例子。&/p&&p&&b&【简答题(总分30分)】请问，自强学习法的进步本的3个操作是什么？&/b&&/p&&p&即便你在几分钟之前刚刚阅读过本文开头的3个操作要点。请问，你有把握将这道题答到满分吗？&/p&&p&绝大多数人做不到。&/p&&p&绝大多数人都会按照自己的理解去答。&/p&&p&结果就是，答案千奇百怪。&/p&&p&然后，在进步本的具体运用过程中产生的效果也是千奇百怪。&/p&&p&并且这些千奇百怪的效果，也因此得到了理解。&/p&&p&如若不信。现在请拿出一张白纸，默写一下本文开头部分进步本的3个操作。将你默写下来的内容与原文对照。你会发现，有许多关键词、关键短语，都是错误的。&/p&&p&你会发现，你所有的知识和技能学习都是这样的。&/p&&p&以后，我会从神经科学、认知科学的原理来解释为什么必然如此。&/p&&p&如果你决定用自己进步本进行知识学习。那么你应该拿出一个新本子，将原文抄写一遍。等到晚上睡觉之前，再默写一遍对照原文，你发现你还会犯错。于是，一而再再而三的重复，你终于能够完整准确的把握这3点了。&/p&&p&于是，这就是你的进步本的第1个内容。&/p&&p&踏踏实实的进步开始了！&/p&&p&遗忘很容易。进步很难，但方法恰当却又是如此简单，而且惊人。&br&&/p&&p&最后，我不惜附上一张很俗的图片，为你加油。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&520& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_r.jpg&&&/figure&图片内容虽然很俗，但你会一次又一次的发现，其内涵是何等深刻。&/p&&p&祝你勇猛精进，自强不息！&/p&&p&期待你的好消息。&/p&
进步本适用于一切知识和技术的学习，适用于一切考试准备（中高考、考研、公考、资格考试等等，凡是你能想到的笔考）。知乎上有人问“自强学习法的进步本怎么做啊？”提问者看了我的许多文章，但是没看明白怎么操作。实际上在“我的史诗般的高考逆袭路”那篇…
&blockquote&&b&&i&本文里的亲身经历，包含了全部的方法和细节。&br&每个普通中国人的英语学习之路，都是史诗。只不过，相当部分都是壮烈的悲剧，我这个经历算是经历曲折的正剧。&/i&&/b&&/blockquote&&br&&p&这篇文章写到一半儿的时候，我发现，这简直是一部可歌可泣的血泪纵横史，跌宕起伏的投资逆袭史，外加言情小说，差点写到职场。写得再细致一些可以变成爱情小说了。算了，不要写言情，还是当成史诗吧。&/p&&br&&p&只要想一下，从接触英语以来，每个普通的青年所有用过的英语书、辅导资料、做过的卷子、课外读物，摞在一起会有多高（我估算了一下至少两米），然后就会发现：每个普通中国人的英语学习之路，都是史诗。只不过，相当部分都是壮烈的悲剧，我这个经历算是经历曲折的正剧。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-807bd119e9d9ef1aed45e4d_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&629& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-807bd119e9d9ef1aed45e4d_r.jpg&&&/figure&&p&大多数人都会在英语学习的道路上经历那些典型的桥段，比如中考、高考、考研、出国、就业，等等。英语是噩梦，还是成为人生资本，在很多时候就差那一点点儿。然而这一点点儿足以改变一个人的命运，包括人生会遇到什么样的人，还有你的收入水平。&/p&&br&&p&回顾这个漫长的英语学习经历，有下面几个教训：&/p&&blockquote&&ol&&li&&b&考试成绩好绝不意味着掌握了那项技能（不包括考试技能）。&/b&&br&&/li&&li&&b&掌握了一项技能考试成绩必然好。&/b&&br&&/li&&li&&b&学习一项技能并且在生活中运用那项技能的时候，你的人生轨迹必然发生改变。&/b&是必然，不是也许、可能、大概，都不是。是必然。&br&&/li&&li&&b&是否掌握了一项技能是有客观标准的。&/b&内在标准是，你发现了其中的多少秘密，又在何种程度上运用了这些秘密。这就是专家与非专家的区别。自己都能直接感知到差别。&br&&/li&&li&&b&掌握任何技能的过程中，投入和产出绝不成正比（一分耕耘一分收获是个谎言）。&/b&当没有掌握基本规律和技巧的时候，回报率令人沮丧，这就是绝大多数人放弃的根本原因，因为学习是人的天性，每个人自带学习动力。而掌握其中的规律和技巧之后，回报率高的连自己的不相信。&br&&/li&&li&&b&知识和技能是两回事儿。&/b&绝大多数人死在把知识当知识学，或者把技能当知识学，于是跌入一个又一个大坑和迷宫。我这里说的死，是指，放弃、半死不活、或者投入与产出严重不成比例的失败。&br&&/li&&li&&b&一个人在学习任何技能的时候，只要努力，包括动脑的努力，都会阶段性的感觉到有所进步和突破。&/b&问题是，这突破是真突破还是假突破？真正的突破有内在标准，永恒不变的标准。&br&&/li&&li&&b&任何知识和技能的学习过程，都隐含着秘密，关于学习本身的秘密。&/b&比如，你认为究竟什么是学习？一句话能说得清吗？说得清是顶尖高手，说不清的就是糊涂。&br&&/li&&/ol&&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b3eeb4bead5e156ffee080f1c026012e_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&&b&有网友在后台给我留言：&/b&&br&&/p&&blockquote&&p&&i&这两篇文章（欲罢不能的学习——技巧和学习方式），让我反思起正在自学英语的我，不知道啥时候才能拨开迷雾云淡风轻。&/i&&/p&&/blockquote&&br&&p&在我18岁的时候，甚至在整个大学期间都会时不时的想到这个问题。英语曾经是我学习中的难言之痛。&/p&&br&&p&这个问题，让我想起从中学、到大学、到研究生，到工作，整个的学习和工作生涯中的学习经历。在英语学习法满天飞的时代，无数方法曾经让我躺枪。好在，我活过来了。&/p&&br&&p&从性价比上来说，我和我周围的同学、朋友，乃至更多我认识的人，在整个的英语学习过程中，投入产出比低的离谱程度让人惊叹。&/p&&br&&p&我是很晚才意识到这个问题的。带着这个问题，我回顾一下我的整个英语学习的经历。希望对你有所启发，有些坑你可以避免，有些方法人人都可以借鉴。&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&考试第一又能如何？&/u&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&中学的英语学习主要是应试，中考和高考，绝大部分的青少年都会经历的人生转折点。我在初高中的英语学习都是很老的套路：背单词，做作业，做卷子。当然也会把课文的发音模仿一下。模仿的像不像就很难说了。比较起来，我发音不是最难听的，也算不上顶尖。勉强过得去。总之，在整个的中学英语学习阶段，我从来没有很喜欢过自己的发音。&/p&&br&&p&到了初三的时候，我开始觉得奇怪：我为什么从来没有觉得学英语是件愉快的事儿？事实上一点儿都没有。我学的英语，除了考试之外，有用吗？好像没什么用。后来我偶尔读到一篇课外的英语小故事，篇幅还是蛮长的，有3到4页的篇幅。那篇文章的难度刚好在我的词汇量以内。我发现，这文章我读得懂。这就是我整个初中三年的英语学习中最大的收获。可惜，同样类型的的文章，我没有找到很多。初中就过去了。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7f4b1f598d674de5ef49c_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&高中的时候，是紧张的应试学习。如从前一样，我从未感觉到英语学习是快乐的。但我知道，英语学习是非常非常重要的，因为高考。英语是一门拉分的科目，因为有些同学英语是短板。比如说，我们隔壁班有个兄弟，物理竞赛全国一等奖，但是英语不及格。这位同学后来保送到了北大。所以，我的英语学习最低目标是绝不能往下拉分，最高目标是越高越好，150分的题目至少要到120。&/p&&br&&p&我们班主任是英语老师。其实他的英语真不怎么样，我从来没有喜欢过他的英语，无论是发音，还是讲课。上课就是讲课文，讲课后题，然后就是大量的讲卷子。讲课文的时候，会让同学们轮流读课文，然后翻译。我记得，有一次叫到我，读课文里的一句话，然后翻译成中文。那句话里面有这样一个词，Beautiful girl。我读完之后，翻到这里，我顿了一下。我刚刚想脱口而出，“一位漂亮的女孩”，但马上打住了。我在想，形容女孩子，这个beautiful不应该翻成“漂亮”，而是应该用“美丽”啊。就在我停顿的这一刻，英语老师替我补上了：“漂亮的女孩嘛”。然后全班哄堂大笑。我也不知道大家在笑什么。既然老师说漂亮了，我还能跟他争？这个必须翻成“美丽”？总之，老师没品，不跟他争了。&/p&&br&&p&为了学好英语，我买了各种参考书，包括好几本好玩儿的词典，还有几本流行的语法书。印象最深的是买了一本英语词根的单词书。当时好像发现了新大陆。原来英语单词这么有规律啊。但新鲜劲儿一过也就彻底过去了。到了大学的时候，我也买过几本词根方面的书。但至今我都认为，词根对我背单词、学英语没起到过明显的作用。&/p&&br&&p&我的高中英语全都是在应试的套路里度过的。只不过我学的更努力，所以高考的分数不低。当然我也考上了一所很牛的大学。当然整个高中学习也是一个逆袭的过程，我虽然没有掌握英语的奥秘，但我发现了知识学习的秘密。这个故事太长，以后有机会说。&/p&&br&&p&回首高中生涯，我的英语水平实际上坑里，在下面的这个坑里。考试成绩好，只能代表掌握了考试技能，并不代表着掌握了英语技能。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9afc028cb1c5ef6c54f130_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-9afc028cb1c5ef6c54f130_r.jpg&&&/figure&&p&成绩考得好，当然有他的好处，这个无需多说。但是，即便如此，我的英语学习还是图中的二愣子。所谓二愣子就是简单的认为，付出和回报成正比。实际上，任何知识和技能的学习都不是这样。&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&以为在学，但不得其门而入 &/u&&br&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&大学阶段的英语还是应试。很牛的大学，老师的水平很高。无论是听力、精读、泛读，老师的水平比高中老师高太多。而且还有很美的女老师。非常有助于注意力集中。当时我们宿舍的兄弟们，给我们的美丽的英语老师起了个很有感觉的名字，叫“失恋者儿”。因为，她在上课的时候，总是淡淡的，她的课是带着感情的，当然有对英语的感情，对课文的感情，此外还有一丝淡淡的忧伤。我们这般兄弟很敏感的捕捉到了这一丝丝的忧伤，我们怀疑，她失恋了。所以，一旦我们中的某一个人在课堂上被叫起来回答问题，课后，这都是我们在宿舍里会聊很久的话题。&/p&&br&&p&我顺利的考了四六级。还是应试的套路。&/p&&br&&p&但大学阶段和高中有着本质的不同。因为大学的时间自由。关于英语，我读了很多课外的资料。听英文歌，看英文电影，还有卖英文杂志，《疯狂英语》、《英语学习》之类的东西。当然也买一些按照难度分级的小丛书。这些东西对我的英语学习肯定有帮助，比如潜移默化的多学了一些单词，培养了语感，但是有帮助到什么程度，我真说不出来。但可以肯定的是，这些学习模式，没有让我达到我向往的那种英语学习的境界：愉快、从容。&/p&&br&&p&大学二年级的时候，英语四六级就考完了。所以，后来的英语都是靠看杂志维持水平。没有花更多的时间。&/p&&br&&p&我埋首图书馆的时候，大家在学各种出国英语。我的不少同学在那时候都出国了。&/p&&p&然后，就进入了考研的阶段。&br&&/p&&p&我研究生考了两次，第一次没过。中间有个很长的故事。篇幅有限，这次不说了。所以，我从本科到研究生，中间有一年的时间在出版社兼职工作。&/p&&br&&p&回顾大学阶段的英语学习，我还在那个坑里。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d911ce72b8ca531b50ca152ffbbc62d3_b.jpg& data-rawwidth=&985& data-rawheight=&680& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&985& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d911ce72b8ca531b50ca152ffbbc62d3_r.jpg&&&/figure&&p&只不过这时候，通过英文电影、歌曲、杂志等等，有增加了不少英语学习的新奇感和乐趣。所以，虽然是在坑里，但并不认为自己在这个坑里。 &br&&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&考研英语的逆袭 &/u&&br&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&考研英语的难度很大，尤其是要考很好的学校和很好的专业，英语还有单独的分数线，不但看总分。&br&&/p&&br&&p&但那个时候，我考虑的不是这个问题。我回顾了我整个青少年时代的英语到底是怎么学过来的。到底学到了怎样的水平？算一下时间，把自己吓了一跳。自从青少年以来，我已经至少学了十年英语了！即便从初中算起，初高中六年，再加上大学四年，总共学了十年。&/p&&br&&p&我问了自己这样一个问题：学了十年的英语，你能不能很流利的讲十句标准的英语？当然得是像样的英语。我发现，我做不到。然后，我立即发现，我问对了问题。这个就是关键，十年的学习不会讲十句标准的英语，这件事儿本身让我大卫震惊，久久不能退去的震惊。&/p&&br&&p&我很好奇其他人是什么情况。随后，我在业余时间做了大量的调查问卷，一句话的调查。就问这句话：学了十年的英语，你能不能讲出十句标准的英语？&/p&&br&&p&即便在火车上，遇到聊的很嗨的同龄人我也会偶尔问一下。让我吃惊的是，绝大部分人一听到这个问题，马上脸就红了，然后摇摇头。这种感觉我是很熟悉的，最初我问自己的时候，简直吓出了一身冷汗。十年时间啊，那是生命啊，人生总共有几个十年。虽然，没有人对我图财害命，但是自己在杀死自己的十年。用不恰当的方式学英语，就是在杀死自己的时间！不但如此，学了十年都不会讲十句标准的英语，简直就是耻辱！尤其对一个智力正常的人来说，这种耻辱配得上任何糟糕的词汇，比如脑子进水、猪脑子等等。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-61818bda212a9d729f8b22_b.jpg& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&517& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-61818bda212a9d729f8b22_r.jpg&&&/figure&&p&于是，我下定决心，考研的过程绝不能再像以前那样应试学英语。找回我的时间，找回我的生命，找回我的智力尊严！&br&&/p&&br&&p&&b&怎么学呢？我简单的算了一下。&/b&&/p&&p&如果我背文章，背了10句，那就踏踏实实的学了10句。如果说我踏踏实实的学上一天英语，比如牢牢的背下10句话，那么我多年来的目标，一天就实现了。一雪前耻。超过了99%的人。&/p&&br&&p&背了100句，就踏踏实实的学了100句。如果这样学上10天，果真掌握了100句英语，那么英语就应该突破了。当然，考研英语里面最难的是作文。最让人头疼的也是作文。填空、阅读理解，这些都是有技巧的。作文也是有技巧的，但是前提是你写出来的句子必须语法没问题，否则要扣分。如果按照背诵文章的方法，我的作文会达到什么水平呢？我算了一下，把自己吓了一跳。&/p&&br&&p&10个标准句子，如果排列成文章。其排列组合的数量是10的阶乘。10的阶乘等于多少？362万8800种。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-449bc5fa0c298ffe87c0588_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-449bc5fa0c298ffe87c0588_r.jpg&&&/figure&&p&100个标准句子，如果排列成文章，会有多少种可能的文章呢？那是个天文数字，不知道要写多少行，估计要占满一页纸了。把其中糟糕的组合去掉，那么剩下来优秀组合形成的文章也会不计其数。世界上再打的图书馆都装不下。正是如此。不然，文学作品为什么会层出不穷，似乎永远都写不完呢？就是这个道理。就像棋盘里的棋子虽然有限，象棋才几十颗棋子，还必须马走日、象走田、卒子永远不回头，即便加上这些规则，还是能够产生近乎无穷种棋局。这些都是一个道理。&/p&&br&&p&算完之后，更加强了我的背诵文章学习英语的信心。&/p&&br&&p&&b&找什么文章呢？&/b&&/p&&p&随便找，听说别人背新概念，我就找新概念上的文章。从中挑选了一篇比较喜欢的，篇幅不长的，开始背。&/p&&br&&p&背之前，我发现这个想法有问题。我得知道，我的水平长没长。一旦水平不长，到考试的时候再发现，已经晚了。不仅晚了而且是悲剧。考研不是开玩笑，我花的是时间。考不过不但损失了时间，损失的东西太过了，还包括面子等等。&/p&&br&&p&所以，我得想办法检验学习效果。最简单的就是先做几套模拟题，测试当前的水平。连作了几套模拟题，测了之后发现，平均40多分。考研的同学都知道，40多分不算很低。成功考上研究生的，英语达到60分的不算多。我刚刚还查了一下，至今如此，比如“2016年考研英语是什么让他们难过60分-搜狐教育”。那么40多分就是我的基础水平。距离考上很牛的学校还有很大的距离。&/p&&br&&p&测完基础水平之后，我就开始背了。第一天，我就发现，这个方法有问题。理性上来看，这个方法很绝，简直滴水不漏。操作起来却是痛苦的。谁背谁知道。当然，最痛苦的不是背不下来。而是背下来之后，很快会忘掉。于是，就只能不断的重复。&/p&&br&&p&我决定，背完一篇文章，可以连续抽两支烟。在那之前，已经染上抽烟的恶习了。就这样，在我背英语的小房间，常常烟雾缭绕。切勿模仿。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fcefc7cda878b416aeeae5ad75eadac4_b.jpg& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&377& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fcefc7cda878b416aeeae5ad75eadac4_r.jpg&&&/figure&&p&一个月之后，我能背下4到5篇文章。为什么是4到5篇呢。因为4篇是背的很熟的，张口就来。而第五篇还没那么熟。不是张口就来的不能算数。因为，在写作的时候，你必须轻松的就能想到一个句子，否则你没有时间去设计标题、篇章结构、言之有据等等这些内容。所以，背下来，但不熟的句子，严格说来不算数。如果背英语，就必须学一句是一句。只有数到张口就来的程度，语感才能出来。看文章，一扫而过，迅速捕捉他的意思，还有考试中你需要捕捉到的东西。&/p&&br&&p&这样一个月算下来，平均每个星期背一篇。每篇文章的长度在20到30句之间。实际上，以那个时候的水平，每天背10句还真是挺困难的。因为还有其他的学习任务。&/p&&br&&p&对于准备考研来说，一个月的时间已经很长了。因为通常大家都是用半年的时间准备考研的，我是用了4个月准备考研。一个月等于过去了四分之一。我必须马上检验这种学习方法到底是否是有效。于是拿出一个周末的时间，连续做了三套模拟题。我一看成绩，平均分50多。一个月已经提升十多分了。这里要注意，在这一个月的时间里，我没有背单词，也没有做卷子，也没有看任何有关考研英语的辅导书。顶多，偶尔看个英语小文章。比如新概念里的其他文章，背诵之余肯定会看一看的，但80%以上的英语学习时间都是在背文章。&/p&&br&&p&一个月提升10几分，即便线性增长下去，到考研的时候考70多分是没问题的。这足以让我坚定信心，英语就得这么学——背诵文章！&/p&&br&&p&当然，这一个月是最关键的。对于学习任何技能来说，尤其是发奋学习，那么第一个月甚至是决定性的。我已经看到希望了。回顾下来，关键是，方法是对的，肯定比以往我用过的任何方法都高明。&/p&&br&&p&另外一个关键之处是，我成功的度过了痛苦期。度过痛苦期有几条经验：&/p&&p&&b&第一，我想拿这个英语学习过程做测试&/b&。检验一下，这个方法到底可不可行。如果可行，它将彻底改变我的英语学习生涯。&/p&&br&&p&&b&第二，在背的过程中，我发现我能够品味语言的细节了&/b&。以前糊里糊涂的学的时候，注意不到语言的品味。背的过程中就会捉摸，这句话的意思为什么是这样表达的，而不是另外一种表达方式。近义词、同义词有很多嘛，他为什么选择了这个。对语言的品味增加了乐趣。这些品味语言的乐趣，使得背文章的过程不是绝对的痛苦。&/p&&br&&p&&b&第三，咬牙切齿加抽烟。&/b&告别脑子进水式的学习，告别耻辱，给自己励志。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-31e225c15f48dd667ece4_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&当然，抽烟是个习惯问题，不值得模仿。如果大家在学一个不得不学，又想快速突破，但是又不得不面对人性的那种趋乐避苦、容易放弃、三天打鱼两天晒网的弱点，可以模仿一下罗永浩。&br&&/p&&br&&p&当年，老罗把自己关在西二旗的一个出租屋里练英语，准备去当新东方英语老师。&/p&&br&&p&闭关之前，他跑到中关村地摊上，买了一麻袋励志书。论斤卖的那种。老罗先后去了三次，总共买了一堆，放在门口，以备受不了煎熬的时候翻出来看看。&/p&&br&&p&凡事三天热度，几乎是所有人的通病。老罗平均苦读三四天的时候，就动摇一次。遥想城里的红尘滚滚。每当此时，老罗走到门口准备开门冲入红尘。恰在此时看到门口躺着的那堆书。随手翻开一本，李傲写道：不怕苦，吃苦半辈子；怕吃苦，吃苦一辈子。这样的句子让老罗立马关上门，一通撞墙打滚儿、掉眼泪、抽自己嘴巴。然后又能苦学三天。&/p&&br&&p&三天之后，在他准备放弃当英语老师的人生计划之后。走到门口，又看到这堆书，随手翻到另外一本儿没看过的书。翻不到三页，从书里劈头盖脸跳出这么一句：失败只有一种，那就是半途而废。老罗瘫倒在地，嚎啕大哭，冲到卫生间洗了个澡，出来继续背单词，做题目。就这样，一而再再而三，最后老罗干脆把光鲜一点儿的衣服全都用剪刀剪掉，只剩下秋衣秋裤。就这样，老罗过了俞敏洪那关，当上了新东方的英语老师。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-deee0593d32_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-deee0593d32_r.jpg&&&/figure&&p&如果我早知道这个故事，说不定我也会弄几麻袋励志书，然后背单词。当时，我不知道这个故事，我继续背英语文章。&br&&/p&&br&&p&我第一个月的英语背诵学习取得了空前胜利。简直是一个惊喜。最大的收获是，这个方法确实可行。用我的理工科思维，拿自己做了一个全面的实验。尤其是不用上辅导班，不用买很多参考书。这是我最得意的地方。&/p&&br&&p&下一步相对简单了。这个方法继续用，考研英语最低目标70分。但每天学英语的时间不得超出2小时。因为还有别的工作，我不是全天候复习考研的。&/p&&br&&p&另外一个要改进的地方是，不能学的太痛苦。我发现，新概念上的文章，不怎么好。大多数文章都没什么意义，都是在讲猫、狗啊，什么比赛啦，等等，反正跟我的生活没什么关系。我到网上去找，找那些有优美的发音，内容又好的文章。什么是好文章？打动我心、打动人性的文章是最好的了，最好还有实用功能。另外，有音频的文章，睡觉、走路的时候多听几遍，能够加深印象。&/p&&br&&p&我马上行动了。找了好几篇不错的文章。比如下面这篇罗素的《我为何而生》。&/p&&blockquote&&i&对爱情的渴望，对知识的追去，对人类苦难不可遏制的同情，是支配我一生的单纯而强烈的三种感情。这些感情有如阵阵飓风，吹拂在我动荡不定的生涯中，有时甚至吹过深沉痛苦的海洋，直抵绝望的边缘。&/i&&/blockquote&&br&&p&文章的三种感情，前两种立刻打动了我，这不就是我的心声嘛。赶紧背下来。整篇文章也不长，总共才十几个句子。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6c23c54346c7bdf1d66fe9_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&如此又坚持了一个月，功力大涨。&/p&&br&&p&在这期间，有几个哥们儿来过我宿舍，立即被这雾霭沉沉的小黑屋打动了。当然，我学的英语他们不感兴趣。他们的主要贡献是增加更多的烟雾。&/p&&p&如此，我每个月定期测试，有时候半个月也要拿模拟卷测试一下。证明水平确实有提高。然后我就放心了。成绩提升的步伐很稳定。我后来把更多的时间拨给了其他科目。每天学英语的时间保持在一个半小时左右。&/p&&br&&p&背了七八篇文章之后，我发现，我的听力大有长进。首先是我背过的文章。我平时走路听起来，不但觉得格外的流畅，而且能听到很多的细节。包括很细微的发音的细节，都会注意到。其次，对那些陌生音频的听力似乎也加强了。&/p&&br&&p&这个过程中我又发明了几种新方法来背诵。&/p&&p&比如，抄写是必要的。因为单词量是要增加的，另外写作文的时候不能有错字。抄写的时候，琢磨单词结构，句子结构，篇章结构。抄写的过程中容易容易缓解急躁情绪。因为，一旦决定背文章，而且发现了背文章的好处。那么这种心理就产生了：背的越快越好。但在朗读的时候，常常会发现，没有想象的被的那么快。然后就急躁，急躁状态下，背的更慢。抄写的时候，这种情绪就不大容易出现。因为，抄写的时候很容易进入一种新的体验，比如体验单词结构的细节，语法的细节，篇章结构的细节，乃至文章的含义、逻辑，作者的心态等等。抄着抄着就不急躁了，甚至忘却了时间。或者抄写一两遍之后，再大声的诵读。感觉又有不同。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3f90ab8e2cbe4812ce37c_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&读熟、背熟悉了之后，还有一道必备工序就是默写。默写是对单词的检验，也是对书写工整，书写速度的检验。当然在默写的过程中，还会体验到上面说的那些细节。&br&&/p&&p&越临近考试的时候，我的英语信心就越强。后来根本没有信心这回事儿了，我相信我的英语成绩肯定没问题。于是，我把大量的时间多放到政治和专业课上了。我是理工科，专业课是绝对拉分的。&/p&&p&考研那天的场景我至今记得。走出考场的时候浑身轻松。&/p&&br&&p&我的考研成绩是这样的：专业课是第一，总分第一，英语成绩没有达到80分，仍然是第一。当然，是在我所报考的学院和专业，很牛的学校。&/p&&p&就这样，我步入了我的研究生生涯。这段经历，如今回顾，仍然荡气回肠。&/p&&p&但后面我才发现，我的英语学习仍然没有完全突破。我仍然在坑里，只不过是在坑的比较靠右上方的位置。换句话说，已经接近突破了。&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&难忘的英语角还有英语角的女生 &/u&&br&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&按道理说，我可以高歌猛进、迈着欢快的步伐进入我理想的大学、理想的专业，开启我的研究生的学习生涯了。确实如此。但中间发生了一件事，给我带来不大不小的打击。&/p&&br&&p&刚刚入读研究生的时候，有一位同学是从东北的某大学保送过来的。他对科研很感兴趣。他给我讲了一个故事，他在高中的时候看了一个外国人写的爱因斯坦传记，马上就对物理学感兴趣了。听了这个故事，我们一拍即合，聊的越来越频繁。&/p&&p&他对北京充满了好奇，在网上找了一圈学习资源。发现北京有不少英语角，海淀中关村周边好几所学校都有英语角，北大、人大、中央民族大学都有。然后，他鼓动我去英语角，结伴而行。我一开始不明原因，后来到了英语角，我马上明白了。&/p&&p&人大英语角是首选之地，据说人最多，而且女生多，最合适浑水摸鱼，滥竽充数。总之，我俩心照不宣。那个周五的黄昏，出发。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-526b5f170fa94e44fefc_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&骑着自行车10分钟就到了。在夜色降临之时，英语角已经人山人海。不知道大家怀着学英语的热情，还是别的，比如像罗素那样的，对爱情的单纯而又强烈的渴望。人大英语角果然名不虚传，最重要的是名副其实，除了人比我们想象的多意外，其他方面跟网上的描述一致，比如女生的确很多。&/p&&p&大家三五成群，虽然没有达到人声鼎沸的程度，但也绝不是叽叽喳喳，那种声响难以形容，却让人不能忘怀。英语角在人大主楼前的一个芬芳四溢的小广场，周围满是花木，但这些对我们来说毫不重要，我们要找的是人，绝不是什么花花草草。&/p&&p&人是三五成群甚至10多个人围在一起的。比较大的圈子，想加入都得挤进去。但是大家说英语的声音还是能听的到的。到了英语角，我才发现，原来世界上有这么多的英语。仅仅是在大中华区里，英语的语种简直可以用数不胜数来形容。以前听大学老师说过，有Chinglish，我一直以为这个描述有点儿道理，但是总觉得不大对头。原来Chinglish里还有如此多的语种，与英语角相比，从中学到大学，我们班上同学的各种Chinglish根本算不上什么了。在欢喜之余，我有点跃跃欲试了。准备扎到一个圈子里，拉个人聊。&/p&&p&正在我下定决心之时，我听到了，英语角里不但有Chinglish，还有很标准的英语。这个英语角有外国人，而且不只一位。我站在圈外听他们在说什么，基本全都听得懂。于是，我的耳朵开始留意标准的英语了。从这个圈，走到另外一个圈。然后发现，这里竟然有这么多标准的英语，英式的，美式的英语都有。&/p&&p&令我惊讶的是，有很多中国人讲的英语发音非常好，当然句子也好。侃侃而谈，运用自如，神态自然。我不再跃跃欲试了，而是心理打鼓，不敢张嘴了。也不敢到圈子里面去说了。我和我的那位哥们儿不约而同，做出了一个聪明的决定，看看散户吧，那些刚来的，还没来得及加入任何一个圈子的。或者是和我们一样在四下张望，还在犹豫要不要加入任何一个圈子。这样的人，往往跟我们的水平差不多。当然最好取交集，找女生聊，异性相吸，一箭双雕。想法很好，但是手心直冒汗。&/p&&p&眼看快到晚上8点钟了，再过一个小时，9点钟的时候，人群将散去。眼看第一次来英语角就要无功而返。我们哥俩儿不知道是谁先出手的，看着两个女生就过去开聊。还好还好，大家的水平差不多。那两位女生是坐公交来的，路上花了半个多小时。是大学生。第一次聊天，都是没话找话。好在是四个人，总能说出让对方听得懂的英语。这第一次聊天，我都不知道聊了什么。无非是，你上几年级了，在哪个学校，你的家乡在哪里，等等，说出来的全都是中学英语。后来发现，这两个女孩儿都是信基督的，后来还约了有机会去教堂，等等。时间很快就到九点钟了。两位女生准备回学校，我们就此道别。我们俩再到别的圈子凑了一会儿，然后就回学校了。&br&&/p&&br&&p&路上，我们谈笑风生。回到学校的时候，这哥们儿跟我说了一句：我还以为你的英语有多好呢，名校毕业的嘛，原来也不怎么样。当然关系好，有话直说非常好。但是，我当时还是很震惊。这哥们儿告诉我一件事儿，我的英语绝没有我想象的那么好！他说完之后，我呆了半天。很受打击，很受挫折。等到我一个人儿的时候，我抽了时间，把我说的英语录了很长一大段，仔细听。果然，我发现我的发音真不行。很沮丧。有个直言相告的朋友真不错。怎么办？一个字，练！&/p&&br&&p&考研考过了，而且学习压力又不大。我可以有大把的时间练英语了，照着音频里面的发音练。目标是什么？英语角。主要是英语角里的女生们。每周六天，每天至少拿出三个小时练发音，然后顺便听听各种英语对话。&/p&&br&&p&第二次到英语角。找不到之前的女生了，反正彼此印象平平，找不到就算了。这次的经历跟第一次差不多。不过这次，我俩决定单独行动。这样，彼此更能放得开。不然，对方的英语彼此都受不了。这次，我无意间发现了一个人大的女生。聊天开始了，她是四川人，我是哪里的，她在读经济，我在读理工。什么兴趣爱好，朋友多少，等等。每个想到的日常话题都聊一遍。连比带画，急了用中文，反正双方还是能听懂的。聊着聊着，就没什么话题了。然后彼此告别，再找下一个。偶尔也旁听一下别人的英语。&/p&&br&&p&这次回去之后。我二话没说，继续苦练发音。&/p&&br&&p&第三次到英语角。基本延续了上述过程。这时候，我发现自己已经不那么紧张了。无论跟陌生人搭讪，还是开口说英语，都比第一次好上10倍。这次“遇到”的又是一位女生。起初的时候，她从远处走来，一身职业装。气质优雅，而是很美丽的职业装。趁着没人留意，我赶紧上前搭讪。搭讪是有风险的，就是被拒。拒就拒了吧，反正黑灯瞎火，没人看得见，脸红都没事儿。还好，这位女生很友好，聊了之后才知道，她也是人大的。都说近水楼台先得月，果然如此。我就问，那你为什么看起来像是在工作呢？其实我是想问，你为什么穿着职业装呢？可惜，职业装这个单词我不会。你看，这就是多学英语句子的好处，你可以换个句式、绕开不会的单词，却问了同样的问题。&br&&/p&&br&&p&她说她在兼职，在公司上班。才下班回来。我一看手表，8点半。下班够晚的。总之相谈甚欢，这种欢快是在心里的，不能表现出来。这位女生给我的感觉是很稳重，聊起天儿来很淡然，既不是生硬，也不是三心二意，总之就是淡淡的，谈起什么事儿都是波澜不惊，但确实又在很专注的聊天儿。&/p&&br&&p&多年之后，我才知道，那是经历过职场的从容，哪怕还仅仅是个大学生。她跟我说，兼职是为了增加收入，不想给家里增加负担。我表示理解和认同，其实我根本不理解，这是多年之后我才发现的。聊着聊着，她把高跟儿鞋脱掉了。当时是初夏，而且是坐着。她跟我说，穿着高跟儿鞋很不舒服。我表示理解和赞同，其实女生穿高跟儿鞋到底有多难受，很多年之后我还是不能了解。总之，海阔天空，相聊甚欢。我发现，生命中遇到一个陌生人聊天，是一件很奇妙的事。不知不觉就到了忘我的境界。然后，9点钟到了。我们彼此告别。&/p&&br&&p&回学校的路上，我和我那哥们儿聊当天的“收获”。说到我的收获，我滔滔不绝。跟英语无关，聊的全都是那位女生。我一通摆货，说那个女生如何如何与众不同，无论是职业装，还是那气质，还有说话的语气。然后，那兄弟问我，你跟她要电话号码了吗。我愣了一下儿，没要。然后，后悔的直想跺脚。可惜跺不了，我们在骑车。我猛的拍了两下车把，开始埋怨我那兄弟。我说，你怎么不早跟我说呢。早说，我肯定要号码呀。他说，你跟这样的女生聊天怎么不叫上我呢，你叫上我，我肯定要号码呀。我说，我就知道你要号码，所以不叫你啊。......就这样回到了学校。&/p&&br&&p&下个星期再去的时候，我在人群之中找了很久再也没有找到那位女生。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3c3f2ecd37b009a36e024fdd_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&h2&&bloc}
满舒克的满舒克
歌单里网易云里能够有版权的几乎都有收录 欢迎私信哪里不全或出错
从歌单创建到现在初心都是源于对舒克的喜欢
没想过会有这么多人关注 更没想过自己要做一个“成功”的创建者
收藏量是源于各位对舒克...
歌单里网易云里能够有版权的几乎都有收录 欢迎私信哪里不全或出错
从歌单创建到现在初心都是源于对舒克的喜欢
没想过会有这么多人关注 更没想过自己要做一个“成功”的创建者
收藏量是源于各位对舒克的喜欢 成就非我所有
你可以有自己对于舒克的爱 对音乐的感受 但是没必要跑来和我Ky
很开心能有这么多人也一样喜欢发光发亮的他
也希望你们一直都爱他
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违法和不良信息举报电话：6
举报邮箱：&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&520& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_r.jpg&&&/figure&&p&进步本适用于一切知识和技术的学习，适用于一切考试准备（中高考、考研、公考、资格考试等等，凡是你能想到的笔考）。&/p&&p&知乎上有人问“自强学习法的进步本怎么做啊？”提问者看了我的许多文章，但是没看明白怎么操作。实际上在“我的史诗般的高考逆袭路”那篇文章里已经写的很清楚了。有些高三的同学（表示自己是手机控），看懂了文章，立即卸载了知乎，全力以赴用进步本准备高考去了(目前为止，我收到的反馈不多的原因之一)。还有不少同学没有很清晰的看到进步本的具体操作。我在这篇文章用最精炼的语言再次明确一下。随后，我附上所有我收到的跟进步本有关的效果反馈。有些同学的成绩提升幅度是惊人的。&/p&&h2&&b&1.进步本的操作方法&/b&&/h2&&p&进步本的操作并不复杂，只有简单的3句话：&/p&&blockquote&&p&&b&第1步，记录阶段，尽量记录下当天你认为你学到了、弄懂了的东西，这些是你的潜在进步。&/b&&/p&&br&&p&&b&第2步，复习阶段，及时的周期性的复习记录在进步本上的内容，通过不断的重做、复现、标注，直到记住，直到不忘，直到理解，你会感受到踏实的进步。&/b&&/p&&br&&p&&b&第3步，应用和检验阶段，在自测、考试、讨论、教别人，或者在实际工作中运用记录本上所学内容，你的进步有了客观的检验和标志。&/b&&/p&&/blockquote&&p&许多同学实施之后不见效的最重要的原因是，他们在阅读文章之中忽略了关键信息。尤其是上述第2步。因为第1步是显然的，第3步几乎是被迫的。第2步是最让人难受，但你终会喜欢上的。&br&&/p&&p&许多同学大量的问及这3句话以外的问题。我每天都收到大量的类似留言、来信等等，以至于我回不过来，只能选择性回复。、&/p&&p&凡是想要运用进步本，但问了这3句话以外的任何问题的同学，请注意：你没有把握进步本的操作要点，你的注意力偏离了。用一句常用语，你想多了（语气是强烈批评的，其实是善意的）。&/p&&p&如果你认认真真按照进步本的做法，哪怕完整、准确的掌握一道题目。你的许多问题就不存在了。所以，对这些同学和朋友，我的建议，强烈的建议是：先行动，在行动中思考。如果你踏踏实实实践一个月，那么你想到的绝大部分问题都将荡然无存。&/p&&p&《道德经》云：&/p&&blockquote&&b&“上士闻道，勤而行之；中士闻道，若存若亡；下士闻道，大笑之，不笑不足以为道。”&/b&&/blockquote&&p&这句话，用在学习之道上，同样且精确的适用。&/p&&p&许多事情，你在行动前是根本无法想清楚的。即便是别人明明白白讲出来的道理和过程，你仍然无法准确的理解。&/p&&p&要注意这个巨大的、明显的、而又非常重要的事实：&b&针对任何事物，你总是可以提出无穷个问题。&/b&&/p&&p&但当你问了关于进步本的1000个问题，并终于得到逐个解答的时候，由于上述机制，许多解答不可能让你满意。而那时，高考（或者考研、公考等等）已然过去了。&/p&&h2&&b&2.进步本的效果&/b&&/h2&&p&这段时间，我收到了一些热心网友、热心读者有关进步本效果的反馈。作为科研工作者，我非常期待着能够收到大家的反馈。&/p&&p&对我来说，这些反馈就是一份份的学习研究报告。我以截图、珍藏、纳入文章的形式，珍惜珍重大家的学习研究报告。&/p&&p&期待大家检验进步本的方法，检验其原理。期待大家用批判的态度去对待。&/p&&p&我们都知道没有永恒的真理，只有对真理的永恒的追求。科学也是如此。科学中许多东西永远在变，只有一种东西是不变的，那就是真诚。这被量子力学的创始人薛定谔认为是科学的唯一不变的特性。&/p&&p&大家的有关进步本的学习报告，以及简短反馈，全部整理如下：&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1bd79d89aacc7c0fc6b_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e1bd79d89aacc7c0fc6b_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-4c39f0b96d2fd_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-4c39f0b96d2fd_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-2eba42f704e9a19ae8121_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-2eba42f704e9a19ae8121_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-65ef63df643e7ed19d6e133a4a56d7a9_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-65ef63df643e7ed19d6e133a4a56d7a9_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce50c98df5043_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ce50c98df5043_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-23702ffd266c2bcde199f6_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-23702ffd266c2bcde199f6_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac2cde8bcf020eeb5d32d382ccee5a73_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac2cde8bcf020eeb5d32d382ccee5a73_r.jpg&&&/figure&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-294664ddb67beb160f1972_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-294664ddb67beb160f1972_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a0c0f923d6c4bde10b251ed8b5bfc886_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a0c0f923d6c4bde10b251ed8b5bfc886_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-bb8422860d_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-bb8422860d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-e9d333f31db8d_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-e9d333f31db8d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-81cdd9ce1407e4acfaf83_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-81cdd9ce1407e4acfaf83_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-1c4dcbe9f88b4edd84e48d_b.jpg& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&1067& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-1c4dcbe9f88b4edd84e48d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-0fe26f6d3df0c_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-0fe26f6d3df0c_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-a5d1e7fcd8_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-a5d1e7fcd8_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-c2c3a03f517be66da4e2dfbacffe1ed7_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-c2c3a03f517be66da4e2dfbacffe1ed7_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-ce36ff1cf7ab28e68d118e_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&1280& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-ce36ff1cf7ab28e68d118e_r.jpg&&&/figure&&br&&p&欢迎亲爱的网友们，百忙之余，再给我提供更多的反馈，我和大家都会很开心的。&/p&&p&从上面的反馈来看：&/p&&p&（1）进步本适用于所有学科，甚至AP，还有保送，等等。从原理上，进步本适用于一切知识和技术的学习。适用于会写字之后的所有阶段。以后，我会从认知神经科学，从记忆的神经生理学本质来论述这一点。&/p&&p&（2）进步本在成绩上的见效速度是以&b&周&/b&为单位的。&/p&&p&（3）进步本的使用跟使用者本人当时的学业水平无关。成绩稍差的，可以用来奋起逆袭。成绩好一些的，可以用来精益求精，用来精进。&/p&&p&从原理上看，这些都是显然的。&br&&/p&&br&&h2&&b&3.进步本到底如何操作，举个例子？&/b&&/h2&&p&有位网友给我提了这个问题。&br&&/p&&p&下面就是例子。&/p&&p&&b&【简答题(总分30分)】请问，自强学习法的进步本的3个操作是什么？&/b&&/p&&p&即便你在几分钟之前刚刚阅读过本文开头的3个操作要点。请问，你有把握将这道题答到满分吗？&/p&&p&绝大多数人做不到。&/p&&p&绝大多数人都会按照自己的理解去答。&/p&&p&结果就是，答案千奇百怪。&/p&&p&然后，在进步本的具体运用过程中产生的效果也是千奇百怪。&/p&&p&并且这些千奇百怪的效果，也因此得到了理解。&/p&&p&如若不信。现在请拿出一张白纸，默写一下本文开头部分进步本的3个操作。将你默写下来的内容与原文对照。你会发现，有许多关键词、关键短语，都是错误的。&/p&&p&你会发现，你所有的知识和技能学习都是这样的。&/p&&p&以后，我会从神经科学、认知科学的原理来解释为什么必然如此。&/p&&p&如果你决定用自己进步本进行知识学习。那么你应该拿出一个新本子，将原文抄写一遍。等到晚上睡觉之前，再默写一遍对照原文，你发现你还会犯错。于是，一而再再而三的重复，你终于能够完整准确的把握这3点了。&/p&&p&于是，这就是你的进步本的第1个内容。&/p&&p&踏踏实实的进步开始了！&/p&&p&遗忘很容易。进步很难，但方法恰当却又是如此简单，而且惊人。&br&&/p&&p&最后，我不惜附上一张很俗的图片，为你加油。&/p&&p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_b.jpg& data-rawwidth=&720& data-rawheight=&520& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&720& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d246fe6ee65ca3a2455bf_r.jpg&&&/figure&图片内容虽然很俗，但你会一次又一次的发现，其内涵是何等深刻。&/p&&p&祝你勇猛精进，自强不息！&/p&&p&期待你的好消息。&/p&
进步本适用于一切知识和技术的学习，适用于一切考试准备（中高考、考研、公考、资格考试等等，凡是你能想到的笔考）。知乎上有人问“自强学习法的进步本怎么做啊？”提问者看了我的许多文章，但是没看明白怎么操作。实际上在“我的史诗般的高考逆袭路”那篇…
&blockquote&&b&&i&本文里的亲身经历，包含了全部的方法和细节。&br&每个普通中国人的英语学习之路，都是史诗。只不过，相当部分都是壮烈的悲剧，我这个经历算是经历曲折的正剧。&/i&&/b&&/blockquote&&br&&p&这篇文章写到一半儿的时候，我发现，这简直是一部可歌可泣的血泪纵横史，跌宕起伏的投资逆袭史，外加言情小说，差点写到职场。写得再细致一些可以变成爱情小说了。算了，不要写言情，还是当成史诗吧。&/p&&br&&p&只要想一下，从接触英语以来，每个普通的青年所有用过的英语书、辅导资料、做过的卷子、课外读物，摞在一起会有多高（我估算了一下至少两米），然后就会发现：每个普通中国人的英语学习之路，都是史诗。只不过，相当部分都是壮烈的悲剧，我这个经历算是经历曲折的正剧。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-807bd119e9d9ef1aed45e4d_b.jpg& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&629& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-807bd119e9d9ef1aed45e4d_r.jpg&&&/figure&&p&大多数人都会在英语学习的道路上经历那些典型的桥段，比如中考、高考、考研、出国、就业，等等。英语是噩梦，还是成为人生资本，在很多时候就差那一点点儿。然而这一点点儿足以改变一个人的命运，包括人生会遇到什么样的人，还有你的收入水平。&/p&&br&&p&回顾这个漫长的英语学习经历，有下面几个教训：&/p&&blockquote&&ol&&li&&b&考试成绩好绝不意味着掌握了那项技能（不包括考试技能）。&/b&&br&&/li&&li&&b&掌握了一项技能考试成绩必然好。&/b&&br&&/li&&li&&b&学习一项技能并且在生活中运用那项技能的时候，你的人生轨迹必然发生改变。&/b&是必然，不是也许、可能、大概，都不是。是必然。&br&&/li&&li&&b&是否掌握了一项技能是有客观标准的。&/b&内在标准是，你发现了其中的多少秘密，又在何种程度上运用了这些秘密。这就是专家与非专家的区别。自己都能直接感知到差别。&br&&/li&&li&&b&掌握任何技能的过程中，投入和产出绝不成正比（一分耕耘一分收获是个谎言）。&/b&当没有掌握基本规律和技巧的时候，回报率令人沮丧，这就是绝大多数人放弃的根本原因，因为学习是人的天性，每个人自带学习动力。而掌握其中的规律和技巧之后，回报率高的连自己的不相信。&br&&/li&&li&&b&知识和技能是两回事儿。&/b&绝大多数人死在把知识当知识学，或者把技能当知识学，于是跌入一个又一个大坑和迷宫。我这里说的死，是指，放弃、半死不活、或者投入与产出严重不成比例的失败。&br&&/li&&li&&b&一个人在学习任何技能的时候，只要努力，包括动脑的努力，都会阶段性的感觉到有所进步和突破。&/b&问题是，这突破是真突破还是假突破？真正的突破有内在标准，永恒不变的标准。&br&&/li&&li&&b&任何知识和技能的学习过程，都隐含着秘密，关于学习本身的秘密。&/b&比如，你认为究竟什么是学习？一句话能说得清吗？说得清是顶尖高手，说不清的就是糊涂。&br&&/li&&/ol&&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-b3eeb4bead5e156ffee080f1c026012e_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&&b&有网友在后台给我留言：&/b&&br&&/p&&blockquote&&p&&i&这两篇文章（欲罢不能的学习——技巧和学习方式），让我反思起正在自学英语的我，不知道啥时候才能拨开迷雾云淡风轻。&/i&&/p&&/blockquote&&br&&p&在我18岁的时候，甚至在整个大学期间都会时不时的想到这个问题。英语曾经是我学习中的难言之痛。&/p&&br&&p&这个问题，让我想起从中学、到大学、到研究生，到工作，整个的学习和工作生涯中的学习经历。在英语学习法满天飞的时代，无数方法曾经让我躺枪。好在，我活过来了。&/p&&br&&p&从性价比上来说，我和我周围的同学、朋友，乃至更多我认识的人，在整个的英语学习过程中，投入产出比低的离谱程度让人惊叹。&/p&&br&&p&我是很晚才意识到这个问题的。带着这个问题，我回顾一下我的整个英语学习的经历。希望对你有所启发，有些坑你可以避免，有些方法人人都可以借鉴。&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&考试第一又能如何？&/u&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&中学的英语学习主要是应试，中考和高考，绝大部分的青少年都会经历的人生转折点。我在初高中的英语学习都是很老的套路：背单词，做作业，做卷子。当然也会把课文的发音模仿一下。模仿的像不像就很难说了。比较起来，我发音不是最难听的，也算不上顶尖。勉强过得去。总之，在整个的中学英语学习阶段，我从来没有很喜欢过自己的发音。&/p&&br&&p&到了初三的时候，我开始觉得奇怪：我为什么从来没有觉得学英语是件愉快的事儿？事实上一点儿都没有。我学的英语，除了考试之外，有用吗？好像没什么用。后来我偶尔读到一篇课外的英语小故事，篇幅还是蛮长的，有3到4页的篇幅。那篇文章的难度刚好在我的词汇量以内。我发现，这文章我读得懂。这就是我整个初中三年的英语学习中最大的收获。可惜，同样类型的的文章，我没有找到很多。初中就过去了。&/p&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-7f4b1f598d674de5ef49c_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&高中的时候，是紧张的应试学习。如从前一样，我从未感觉到英语学习是快乐的。但我知道，英语学习是非常非常重要的，因为高考。英语是一门拉分的科目，因为有些同学英语是短板。比如说，我们隔壁班有个兄弟，物理竞赛全国一等奖，但是英语不及格。这位同学后来保送到了北大。所以，我的英语学习最低目标是绝不能往下拉分，最高目标是越高越好，150分的题目至少要到120。&/p&&br&&p&我们班主任是英语老师。其实他的英语真不怎么样，我从来没有喜欢过他的英语，无论是发音，还是讲课。上课就是讲课文，讲课后题，然后就是大量的讲卷子。讲课文的时候，会让同学们轮流读课文，然后翻译。我记得，有一次叫到我，读课文里的一句话，然后翻译成中文。那句话里面有这样一个词，Beautiful girl。我读完之后，翻到这里，我顿了一下。我刚刚想脱口而出，“一位漂亮的女孩”，但马上打住了。我在想，形容女孩子，这个beautiful不应该翻成“漂亮”，而是应该用“美丽”啊。就在我停顿的这一刻，英语老师替我补上了：“漂亮的女孩嘛”。然后全班哄堂大笑。我也不知道大家在笑什么。既然老师说漂亮了，我还能跟他争？这个必须翻成“美丽”？总之，老师没品，不跟他争了。&/p&&br&&p&为了学好英语，我买了各种参考书，包括好几本好玩儿的词典，还有几本流行的语法书。印象最深的是买了一本英语词根的单词书。当时好像发现了新大陆。原来英语单词这么有规律啊。但新鲜劲儿一过也就彻底过去了。到了大学的时候，我也买过几本词根方面的书。但至今我都认为，词根对我背单词、学英语没起到过明显的作用。&/p&&br&&p&我的高中英语全都是在应试的套路里度过的。只不过我学的更努力，所以高考的分数不低。当然我也考上了一所很牛的大学。当然整个高中学习也是一个逆袭的过程，我虽然没有掌握英语的奥秘，但我发现了知识学习的秘密。这个故事太长，以后有机会说。&/p&&br&&p&回首高中生涯，我的英语水平实际上坑里，在下面的这个坑里。考试成绩好，只能代表掌握了考试技能，并不代表着掌握了英语技能。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9afc028cb1c5ef6c54f130_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&360& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-9afc028cb1c5ef6c54f130_r.jpg&&&/figure&&p&成绩考得好，当然有他的好处，这个无需多说。但是，即便如此，我的英语学习还是图中的二愣子。所谓二愣子就是简单的认为，付出和回报成正比。实际上，任何知识和技能的学习都不是这样。&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&以为在学，但不得其门而入 &/u&&br&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&大学阶段的英语还是应试。很牛的大学，老师的水平很高。无论是听力、精读、泛读，老师的水平比高中老师高太多。而且还有很美的女老师。非常有助于注意力集中。当时我们宿舍的兄弟们，给我们的美丽的英语老师起了个很有感觉的名字，叫“失恋者儿”。因为，她在上课的时候，总是淡淡的，她的课是带着感情的，当然有对英语的感情，对课文的感情，此外还有一丝淡淡的忧伤。我们这般兄弟很敏感的捕捉到了这一丝丝的忧伤，我们怀疑，她失恋了。所以，一旦我们中的某一个人在课堂上被叫起来回答问题，课后，这都是我们在宿舍里会聊很久的话题。&/p&&br&&p&我顺利的考了四六级。还是应试的套路。&/p&&br&&p&但大学阶段和高中有着本质的不同。因为大学的时间自由。关于英语，我读了很多课外的资料。听英文歌，看英文电影，还有卖英文杂志，《疯狂英语》、《英语学习》之类的东西。当然也买一些按照难度分级的小丛书。这些东西对我的英语学习肯定有帮助，比如潜移默化的多学了一些单词，培养了语感，但是有帮助到什么程度，我真说不出来。但可以肯定的是，这些学习模式，没有让我达到我向往的那种英语学习的境界：愉快、从容。&/p&&br&&p&大学二年级的时候，英语四六级就考完了。所以，后来的英语都是靠看杂志维持水平。没有花更多的时间。&/p&&br&&p&我埋首图书馆的时候，大家在学各种出国英语。我的不少同学在那时候都出国了。&/p&&p&然后，就进入了考研的阶段。&br&&/p&&p&我研究生考了两次，第一次没过。中间有个很长的故事。篇幅有限，这次不说了。所以，我从本科到研究生，中间有一年的时间在出版社兼职工作。&/p&&br&&p&回顾大学阶段的英语学习，我还在那个坑里。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-d911ce72b8ca531b50ca152ffbbc62d3_b.jpg& data-rawwidth=&985& data-rawheight=&680& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&985& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-d911ce72b8ca531b50ca152ffbbc62d3_r.jpg&&&/figure&&p&只不过这时候，通过英文电影、歌曲、杂志等等，有增加了不少英语学习的新奇感和乐趣。所以，虽然是在坑里，但并不认为自己在这个坑里。 &br&&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&考研英语的逆袭 &/u&&br&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&考研英语的难度很大，尤其是要考很好的学校和很好的专业，英语还有单独的分数线，不但看总分。&br&&/p&&br&&p&但那个时候，我考虑的不是这个问题。我回顾了我整个青少年时代的英语到底是怎么学过来的。到底学到了怎样的水平？算一下时间，把自己吓了一跳。自从青少年以来，我已经至少学了十年英语了！即便从初中算起，初高中六年，再加上大学四年，总共学了十年。&/p&&br&&p&我问了自己这样一个问题：学了十年的英语，你能不能很流利的讲十句标准的英语？当然得是像样的英语。我发现，我做不到。然后，我立即发现，我问对了问题。这个就是关键，十年的学习不会讲十句标准的英语，这件事儿本身让我大卫震惊，久久不能退去的震惊。&/p&&br&&p&我很好奇其他人是什么情况。随后，我在业余时间做了大量的调查问卷，一句话的调查。就问这句话：学了十年的英语，你能不能讲出十句标准的英语？&/p&&br&&p&即便在火车上，遇到聊的很嗨的同龄人我也会偶尔问一下。让我吃惊的是，绝大部分人一听到这个问题，马上脸就红了，然后摇摇头。这种感觉我是很熟悉的，最初我问自己的时候，简直吓出了一身冷汗。十年时间啊，那是生命啊，人生总共有几个十年。虽然，没有人对我图财害命，但是自己在杀死自己的十年。用不恰当的方式学英语，就是在杀死自己的时间！不但如此，学了十年都不会讲十句标准的英语，简直就是耻辱！尤其对一个智力正常的人来说，这种耻辱配得上任何糟糕的词汇，比如脑子进水、猪脑子等等。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-61818bda212a9d729f8b22_b.jpg& data-rawwidth=&790& data-rawheight=&517& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&790& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-61818bda212a9d729f8b22_r.jpg&&&/figure&&p&于是，我下定决心，考研的过程绝不能再像以前那样应试学英语。找回我的时间，找回我的生命，找回我的智力尊严！&br&&/p&&br&&p&&b&怎么学呢？我简单的算了一下。&/b&&/p&&p&如果我背文章，背了10句，那就踏踏实实的学了10句。如果说我踏踏实实的学上一天英语，比如牢牢的背下10句话，那么我多年来的目标，一天就实现了。一雪前耻。超过了99%的人。&/p&&br&&p&背了100句，就踏踏实实的学了100句。如果这样学上10天，果真掌握了100句英语，那么英语就应该突破了。当然，考研英语里面最难的是作文。最让人头疼的也是作文。填空、阅读理解，这些都是有技巧的。作文也是有技巧的，但是前提是你写出来的句子必须语法没问题，否则要扣分。如果按照背诵文章的方法，我的作文会达到什么水平呢？我算了一下，把自己吓了一跳。&/p&&br&&p&10个标准句子，如果排列成文章。其排列组合的数量是10的阶乘。10的阶乘等于多少？362万8800种。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-449bc5fa0c298ffe87c0588_b.jpg& data-rawwidth=&1920& data-rawheight=&1200& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1920& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-449bc5fa0c298ffe87c0588_r.jpg&&&/figure&&p&100个标准句子，如果排列成文章，会有多少种可能的文章呢？那是个天文数字，不知道要写多少行，估计要占满一页纸了。把其中糟糕的组合去掉，那么剩下来优秀组合形成的文章也会不计其数。世界上再打的图书馆都装不下。正是如此。不然，文学作品为什么会层出不穷，似乎永远都写不完呢？就是这个道理。就像棋盘里的棋子虽然有限，象棋才几十颗棋子，还必须马走日、象走田、卒子永远不回头，即便加上这些规则，还是能够产生近乎无穷种棋局。这些都是一个道理。&/p&&br&&p&算完之后，更加强了我的背诵文章学习英语的信心。&/p&&br&&p&&b&找什么文章呢？&/b&&/p&&p&随便找，听说别人背新概念，我就找新概念上的文章。从中挑选了一篇比较喜欢的，篇幅不长的，开始背。&/p&&br&&p&背之前，我发现这个想法有问题。我得知道，我的水平长没长。一旦水平不长，到考试的时候再发现，已经晚了。不仅晚了而且是悲剧。考研不是开玩笑，我花的是时间。考不过不但损失了时间，损失的东西太过了，还包括面子等等。&/p&&br&&p&所以，我得想办法检验学习效果。最简单的就是先做几套模拟题，测试当前的水平。连作了几套模拟题，测了之后发现，平均40多分。考研的同学都知道，40多分不算很低。成功考上研究生的，英语达到60分的不算多。我刚刚还查了一下，至今如此，比如“2016年考研英语是什么让他们难过60分-搜狐教育”。那么40多分就是我的基础水平。距离考上很牛的学校还有很大的距离。&/p&&br&&p&测完基础水平之后，我就开始背了。第一天，我就发现，这个方法有问题。理性上来看，这个方法很绝，简直滴水不漏。操作起来却是痛苦的。谁背谁知道。当然，最痛苦的不是背不下来。而是背下来之后，很快会忘掉。于是，就只能不断的重复。&/p&&br&&p&我决定，背完一篇文章，可以连续抽两支烟。在那之前，已经染上抽烟的恶习了。就这样，在我背英语的小房间，常常烟雾缭绕。切勿模仿。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-fcefc7cda878b416aeeae5ad75eadac4_b.jpg& data-rawwidth=&510& data-rawheight=&377& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&510& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-fcefc7cda878b416aeeae5ad75eadac4_r.jpg&&&/figure&&p&一个月之后，我能背下4到5篇文章。为什么是4到5篇呢。因为4篇是背的很熟的，张口就来。而第五篇还没那么熟。不是张口就来的不能算数。因为，在写作的时候，你必须轻松的就能想到一个句子，否则你没有时间去设计标题、篇章结构、言之有据等等这些内容。所以，背下来，但不熟的句子，严格说来不算数。如果背英语，就必须学一句是一句。只有数到张口就来的程度，语感才能出来。看文章，一扫而过，迅速捕捉他的意思，还有考试中你需要捕捉到的东西。&/p&&br&&p&这样一个月算下来，平均每个星期背一篇。每篇文章的长度在20到30句之间。实际上，以那个时候的水平，每天背10句还真是挺困难的。因为还有其他的学习任务。&/p&&br&&p&对于准备考研来说，一个月的时间已经很长了。因为通常大家都是用半年的时间准备考研的，我是用了4个月准备考研。一个月等于过去了四分之一。我必须马上检验这种学习方法到底是否是有效。于是拿出一个周末的时间，连续做了三套模拟题。我一看成绩，平均分50多。一个月已经提升十多分了。这里要注意，在这一个月的时间里，我没有背单词，也没有做卷子，也没有看任何有关考研英语的辅导书。顶多，偶尔看个英语小文章。比如新概念里的其他文章，背诵之余肯定会看一看的，但80%以上的英语学习时间都是在背文章。&/p&&br&&p&一个月提升10几分，即便线性增长下去，到考研的时候考70多分是没问题的。这足以让我坚定信心，英语就得这么学——背诵文章！&/p&&br&&p&当然，这一个月是最关键的。对于学习任何技能来说，尤其是发奋学习，那么第一个月甚至是决定性的。我已经看到希望了。回顾下来，关键是，方法是对的，肯定比以往我用过的任何方法都高明。&/p&&br&&p&另外一个关键之处是，我成功的度过了痛苦期。度过痛苦期有几条经验：&/p&&p&&b&第一，我想拿这个英语学习过程做测试&/b&。检验一下，这个方法到底可不可行。如果可行，它将彻底改变我的英语学习生涯。&/p&&br&&p&&b&第二，在背的过程中，我发现我能够品味语言的细节了&/b&。以前糊里糊涂的学的时候，注意不到语言的品味。背的过程中就会捉摸，这句话的意思为什么是这样表达的，而不是另外一种表达方式。近义词、同义词有很多嘛，他为什么选择了这个。对语言的品味增加了乐趣。这些品味语言的乐趣，使得背文章的过程不是绝对的痛苦。&/p&&br&&p&&b&第三，咬牙切齿加抽烟。&/b&告别脑子进水式的学习，告别耻辱，给自己励志。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-31e225c15f48dd667ece4_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&当然，抽烟是个习惯问题，不值得模仿。如果大家在学一个不得不学，又想快速突破，但是又不得不面对人性的那种趋乐避苦、容易放弃、三天打鱼两天晒网的弱点，可以模仿一下罗永浩。&br&&/p&&br&&p&当年，老罗把自己关在西二旗的一个出租屋里练英语，准备去当新东方英语老师。&/p&&br&&p&闭关之前，他跑到中关村地摊上，买了一麻袋励志书。论斤卖的那种。老罗先后去了三次，总共买了一堆，放在门口，以备受不了煎熬的时候翻出来看看。&/p&&br&&p&凡事三天热度，几乎是所有人的通病。老罗平均苦读三四天的时候，就动摇一次。遥想城里的红尘滚滚。每当此时，老罗走到门口准备开门冲入红尘。恰在此时看到门口躺着的那堆书。随手翻开一本，李傲写道：不怕苦，吃苦半辈子；怕吃苦，吃苦一辈子。这样的句子让老罗立马关上门，一通撞墙打滚儿、掉眼泪、抽自己嘴巴。然后又能苦学三天。&/p&&br&&p&三天之后，在他准备放弃当英语老师的人生计划之后。走到门口，又看到这堆书，随手翻到另外一本儿没看过的书。翻不到三页，从书里劈头盖脸跳出这么一句：失败只有一种，那就是半途而废。老罗瘫倒在地，嚎啕大哭，冲到卫生间洗了个澡，出来继续背单词，做题目。就这样，一而再再而三，最后老罗干脆把光鲜一点儿的衣服全都用剪刀剪掉，只剩下秋衣秋裤。就这样，老罗过了俞敏洪那关，当上了新东方的英语老师。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-deee0593d32_b.jpg& data-rawwidth=&640& data-rawheight=&340& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&640& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-deee0593d32_r.jpg&&&/figure&&p&如果我早知道这个故事，说不定我也会弄几麻袋励志书，然后背单词。当时，我不知道这个故事，我继续背英语文章。&br&&/p&&br&&p&我第一个月的英语背诵学习取得了空前胜利。简直是一个惊喜。最大的收获是，这个方法确实可行。用我的理工科思维，拿自己做了一个全面的实验。尤其是不用上辅导班，不用买很多参考书。这是我最得意的地方。&/p&&br&&p&下一步相对简单了。这个方法继续用，考研英语最低目标70分。但每天学英语的时间不得超出2小时。因为还有别的工作，我不是全天候复习考研的。&/p&&br&&p&另外一个要改进的地方是，不能学的太痛苦。我发现，新概念上的文章，不怎么好。大多数文章都没什么意义，都是在讲猫、狗啊，什么比赛啦，等等，反正跟我的生活没什么关系。我到网上去找，找那些有优美的发音，内容又好的文章。什么是好文章？打动我心、打动人性的文章是最好的了，最好还有实用功能。另外，有音频的文章，睡觉、走路的时候多听几遍，能够加深印象。&/p&&br&&p&我马上行动了。找了好几篇不错的文章。比如下面这篇罗素的《我为何而生》。&/p&&blockquote&&i&对爱情的渴望，对知识的追去，对人类苦难不可遏制的同情，是支配我一生的单纯而强烈的三种感情。这些感情有如阵阵飓风，吹拂在我动荡不定的生涯中，有时甚至吹过深沉痛苦的海洋，直抵绝望的边缘。&/i&&/blockquote&&br&&p&文章的三种感情，前两种立刻打动了我，这不就是我的心声嘛。赶紧背下来。整篇文章也不长，总共才十几个句子。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-6c23c54346c7bdf1d66fe9_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&如此又坚持了一个月，功力大涨。&/p&&br&&p&在这期间，有几个哥们儿来过我宿舍，立即被这雾霭沉沉的小黑屋打动了。当然，我学的英语他们不感兴趣。他们的主要贡献是增加更多的烟雾。&/p&&p&如此，我每个月定期测试，有时候半个月也要拿模拟卷测试一下。证明水平确实有提高。然后我就放心了。成绩提升的步伐很稳定。我后来把更多的时间拨给了其他科目。每天学英语的时间保持在一个半小时左右。&/p&&br&&p&背了七八篇文章之后，我发现，我的听力大有长进。首先是我背过的文章。我平时走路听起来，不但觉得格外的流畅，而且能听到很多的细节。包括很细微的发音的细节，都会注意到。其次，对那些陌生音频的听力似乎也加强了。&/p&&br&&p&这个过程中我又发明了几种新方法来背诵。&/p&&p&比如，抄写是必要的。因为单词量是要增加的，另外写作文的时候不能有错字。抄写的时候，琢磨单词结构，句子结构，篇章结构。抄写的过程中容易容易缓解急躁情绪。因为，一旦决定背文章，而且发现了背文章的好处。那么这种心理就产生了：背的越快越好。但在朗读的时候，常常会发现，没有想象的被的那么快。然后就急躁，急躁状态下，背的更慢。抄写的时候，这种情绪就不大容易出现。因为，抄写的时候很容易进入一种新的体验，比如体验单词结构的细节，语法的细节，篇章结构的细节，乃至文章的含义、逻辑，作者的心态等等。抄着抄着就不急躁了，甚至忘却了时间。或者抄写一两遍之后，再大声的诵读。感觉又有不同。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-3f90ab8e2cbe4812ce37c_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&读熟、背熟悉了之后，还有一道必备工序就是默写。默写是对单词的检验，也是对书写工整，书写速度的检验。当然在默写的过程中，还会体验到上面说的那些细节。&br&&/p&&p&越临近考试的时候，我的英语信心就越强。后来根本没有信心这回事儿了，我相信我的英语成绩肯定没问题。于是，我把大量的时间多放到政治和专业课上了。我是理工科，专业课是绝对拉分的。&/p&&p&考研那天的场景我至今记得。走出考场的时候浑身轻松。&/p&&br&&p&我的考研成绩是这样的：专业课是第一，总分第一，英语成绩没有达到80分，仍然是第一。当然，是在我所报考的学院和专业，很牛的学校。&/p&&p&就这样，我步入了我的研究生生涯。这段经历，如今回顾，仍然荡气回肠。&/p&&p&但后面我才发现，我的英语学习仍然没有完全突破。我仍然在坑里，只不过是在坑的比较靠右上方的位置。换句话说，已经接近突破了。&/p&&br&&h2&&blockquote&&ul&&li&&u&难忘的英语角还有英语角的女生 &/u&&br&&/li&&/ul&&/blockquote&&/h2&&p&按道理说，我可以高歌猛进、迈着欢快的步伐进入我理想的大学、理想的专业，开启我的研究生的学习生涯了。确实如此。但中间发生了一件事，给我带来不大不小的打击。&/p&&br&&p&刚刚入读研究生的时候，有一位同学是从东北的某大学保送过来的。他对科研很感兴趣。他给我讲了一个故事，他在高中的时候看了一个外国人写的爱因斯坦传记，马上就对物理学感兴趣了。听了这个故事，我们一拍即合，聊的越来越频繁。&/p&&p&他对北京充满了好奇，在网上找了一圈学习资源。发现北京有不少英语角，海淀中关村周边好几所学校都有英语角，北大、人大、中央民族大学都有。然后，他鼓动我去英语角，结伴而行。我一开始不明原因，后来到了英语角，我马上明白了。&/p&&p&人大英语角是首选之地，据说人最多，而且女生多，最合适浑水摸鱼，滥竽充数。总之，我俩心照不宣。那个周五的黄昏，出发。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-526b5f170fa94e44fefc_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&p&骑着自行车10分钟就到了。在夜色降临之时，英语角已经人山人海。不知道大家怀着学英语的热情，还是别的，比如像罗素那样的，对爱情的单纯而又强烈的渴望。人大英语角果然名不虚传，最重要的是名副其实，除了人比我们想象的多意外，其他方面跟网上的描述一致，比如女生的确很多。&/p&&p&大家三五成群，虽然没有达到人声鼎沸的程度，但也绝不是叽叽喳喳，那种声响难以形容，却让人不能忘怀。英语角在人大主楼前的一个芬芳四溢的小广场，周围满是花木，但这些对我们来说毫不重要，我们要找的是人，绝不是什么花花草草。&/p&&p&人是三五成群甚至10多个人围在一起的。比较大的圈子，想加入都得挤进去。但是大家说英语的声音还是能听的到的。到了英语角，我才发现，原来世界上有这么多的英语。仅仅是在大中华区里，英语的语种简直可以用数不胜数来形容。以前听大学老师说过，有Chinglish，我一直以为这个描述有点儿道理，但是总觉得不大对头。原来Chinglish里还有如此多的语种，与英语角相比，从中学到大学，我们班上同学的各种Chinglish根本算不上什么了。在欢喜之余，我有点跃跃欲试了。准备扎到一个圈子里，拉个人聊。&/p&&p&正在我下定决心之时，我听到了，英语角里不但有Chinglish，还有很标准的英语。这个英语角有外国人，而且不只一位。我站在圈外听他们在说什么，基本全都听得懂。于是，我的耳朵开始留意标准的英语了。从这个圈，走到另外一个圈。然后发现，这里竟然有这么多标准的英语，英式的，美式的英语都有。&/p&&p&令我惊讶的是，有很多中国人讲的英语发音非常好，当然句子也好。侃侃而谈，运用自如，神态自然。我不再跃跃欲试了，而是心理打鼓，不敢张嘴了。也不敢到圈子里面去说了。我和我的那位哥们儿不约而同，做出了一个聪明的决定，看看散户吧，那些刚来的，还没来得及加入任何一个圈子的。或者是和我们一样在四下张望，还在犹豫要不要加入任何一个圈子。这样的人，往往跟我们的水平差不多。当然最好取交集，找女生聊，异性相吸，一箭双雕。想法很好，但是手心直冒汗。&/p&&p&眼看快到晚上8点钟了，再过一个小时，9点钟的时候，人群将散去。眼看第一次来英语角就要无功而返。我们哥俩儿不知道是谁先出手的，看着两个女生就过去开聊。还好还好，大家的水平差不多。那两位女生是坐公交来的，路上花了半个多小时。是大学生。第一次聊天，都是没话找话。好在是四个人，总能说出让对方听得懂的英语。这第一次聊天，我都不知道聊了什么。无非是，你上几年级了，在哪个学校，你的家乡在哪里，等等，说出来的全都是中学英语。后来发现，这两个女孩儿都是信基督的，后来还约了有机会去教堂，等等。时间很快就到九点钟了。两位女生准备回学校，我们就此道别。我们俩再到别的圈子凑了一会儿，然后就回学校了。&br&&/p&&br&&p&路上，我们谈笑风生。回到学校的时候，这哥们儿跟我说了一句：我还以为你的英语有多好呢，名校毕业的嘛，原来也不怎么样。当然关系好，有话直说非常好。但是，我当时还是很震惊。这哥们儿告诉我一件事儿，我的英语绝没有我想象的那么好！他说完之后，我呆了半天。很受打击，很受挫折。等到我一个人儿的时候，我抽了时间，把我说的英语录了很长一大段，仔细听。果然，我发现我的发音真不行。很沮丧。有个直言相告的朋友真不错。怎么办？一个字，练！&/p&&br&&p&考研考过了，而且学习压力又不大。我可以有大把的时间练英语了，照着音频里面的发音练。目标是什么？英语角。主要是英语角里的女生们。每周六天，每天至少拿出三个小时练发音，然后顺便听听各种英语对话。&/p&&br&&p&第二次到英语角。找不到之前的女生了，反正彼此印象平平，找不到就算了。这次的经历跟第一次差不多。不过这次，我俩决定单独行动。这样，彼此更能放得开。不然，对方的英语彼此都受不了。这次，我无意间发现了一个人大的女生。聊天开始了，她是四川人，我是哪里的，她在读经济，我在读理工。什么兴趣爱好，朋友多少，等等。每个想到的日常话题都聊一遍。连比带画，急了用中文，反正双方还是能听懂的。聊着聊着，就没什么话题了。然后彼此告别，再找下一个。偶尔也旁听一下别人的英语。&/p&&br&&p&这次回去之后。我二话没说，继续苦练发音。&/p&&br&&p&第三次到英语角。基本延续了上述过程。这时候，我发现自己已经不那么紧张了。无论跟陌生人搭讪，还是开口说英语，都比第一次好上10倍。这次“遇到”的又是一位女生。起初的时候，她从远处走来，一身职业装。气质优雅，而是很美丽的职业装。趁着没人留意，我赶紧上前搭讪。搭讪是有风险的，就是被拒。拒就拒了吧，反正黑灯瞎火，没人看得见，脸红都没事儿。还好，这位女生很友好，聊了之后才知道，她也是人大的。都说近水楼台先得月，果然如此。我就问，那你为什么看起来像是在工作呢？其实我是想问，你为什么穿着职业装呢？可惜，职业装这个单词我不会。你看，这就是多学英语句子的好处，你可以换个句式、绕开不会的单词，却问了同样的问题。&br&&/p&&br&&p&她说她在兼职，在公司上班。才下班回来。我一看手表，8点半。下班够晚的。总之相谈甚欢，这种欢快是在心里的，不能表现出来。这位女生给我的感觉是很稳重，聊起天儿来很淡然，既不是生硬，也不是三心二意，总之就是淡淡的，谈起什么事儿都是波澜不惊，但确实又在很专注的聊天儿。&/p&&br&&p&多年之后，我才知道，那是经历过职场的从容，哪怕还仅仅是个大学生。她跟我说，兼职是为了增加收入，不想给家里增加负担。我表示理解和认同，其实我根本不理解，这是多年之后我才发现的。聊着聊着，她把高跟儿鞋脱掉了。当时是初夏，而且是坐着。她跟我说，穿着高跟儿鞋很不舒服。我表示理解和赞同，其实女生穿高跟儿鞋到底有多难受，很多年之后我还是不能了解。总之，海阔天空，相聊甚欢。我发现，生命中遇到一个陌生人聊天，是一件很奇妙的事。不知不觉就到了忘我的境界。然后，9点钟到了。我们彼此告别。&/p&&br&&p&回学校的路上，我和我那哥们儿聊当天的“收获”。说到我的收获，我滔滔不绝。跟英语无关，聊的全都是那位女生。我一通摆货，说那个女生如何如何与众不同，无论是职业装，还是那气质，还有说话的语气。然后，那兄弟问我，你跟她要电话号码了吗。我愣了一下儿，没要。然后，后悔的直想跺脚。可惜跺不了，我们在骑车。我猛的拍了两下车把，开始埋怨我那兄弟。我说，你怎么不早跟我说呢。早说，我肯定要号码呀。他说，你跟这样的女生聊天怎么不叫上我呢，你叫上我，我肯定要号码呀。我说，我就知道你要号码，所以不叫你啊。......就这样回到了学校。&/p&&br&&p&下个星期再去的时候，我在人群之中找了很久再也没有找到那位女生。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-3c3f2ecd37b009a36e024fdd_b.jpg& class=&content_image&&&/figure&&h2&&bloc}
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