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第6章 层流的解析解与近似解 105第6章层流的解析解与近似解粘性流动基本方程组的解析解有着它固有的数学困难，真正能做解析解的流动为数不多，而且都是比较简单的流动。本章将介绍几种粘性流动的解析解，有助于我们开阔思路，认识多种实际流动的性质。首先先介绍一下粘性流研究的意义和研究的特点以及粘性流动的基本方程组，接着介绍一些解析解。在介绍解析解时先考虑常特性不可压缩流体，通过基本方程，解得流场的速度和温度分布，最后求出摩擦阻力系数和热交换系数。为了认识可压缩流动的特性，介绍两种简单的可压缩流动的解析解。另外本章只限于雷诺数不大的流动。61粘性流研究的意义一切流体都具有粘性，但是人类最经常接触的流体，如水和空气其粘性都很小，要考虑粘性的影响就会使数学问题变得非常复杂；另外，对于这些粘性小的流体，忽略其粘性所得到的结果又能在一定程度上符合实际情况，因此，理想无粘性流体理论最先得到了发展，它比粘性流体理论要成熟得多。应当指出，虽然理想流体理论取得了重大的成就，但在某些方面却有不可逾越的先天性缺陷。例如，它不能预估管道流动的压力损失，也不能计算在流体中运动的物体所受到的阻力。后一问题与著名的达朗伯疑题有关。达朗伯对理想流体进行了严谨的研究后得出了如下结论当任意形状的固体在静止的充满无限空间的无粘性流体中作匀速直线运动，它不承受沿运动方向的作用力，即物体所受阻力为零。在他所做假设的前提下，这一结论的逻辑推理是完全正确的，但它却与实际完全不符，因为所有的物体在流动中运动时都受到阻力作用。这从反面说明了考虑粘性的必要性。例1圆柱绕流对于理想不可压缩流体，??2214SINSPCU?????其中P?远前方静压，?流体密度。图61给出了上述理想流体的压力系数与实际测量值的比较。图中的实验曲线对应于两个不同的RE数。图61圆柱表面的压力分布，理想流体理论与实验测量数据的比较由图61可见，在圆柱的前缘（0???和36）附近，理想流体的理论结果与实际符合较好。但在后缘（180???）附近两者差别则相当大。对于理想流体，圆柱前后的流动是完全对称的，所以理论阻力为零。但是实测的压力分布前后不对称，圆柱后部的实测压力系数低与前部对应点处的值，使圆柱受到向后作用的力，106即压差阻力。另外，实际流体也引起表面摩擦阻力。理想流体理论不能计算出这些阻力，这是它与实际流动情况的重要差别。图62真实流绕圆柱的流动由图61还可看出，理想流体结果与亚临界雷诺数流动的差别较大，与超临界雷诺数流动的差别较小。实际上流体在圆柱体后部处于减速增压流动阶段，由于粘性耗散，使边界层内底层流体动能不断消耗，无力克服迎面高压。这股流体将在该处与固体壁面脱离，这种现象称为边界层分离。流体分离后，静压不易再有较大的回升，并在其后形成宽的尾迹，见图62。在图61中实际流体在圆柱体后缘呈现出的低压区就是这样产生的。分离点的位置以及尾迹流的宽度和特性取决于雷诺数RE的数值。亚临界雷诺数通常对应于层流流动，流体易于分离，而超临界雷诺数通常对应于湍流流动，流体有较强的承受逆压力梯度的能力，不易分离。这就是图61中不同的雷诺数有不同的压力分布曲线的原因。图63圆柱的阻力系数随雷诺数的变化图63表示无量纲阻力系数??2/DCFUR???与雷诺数E/UD??的关系曲线，其中F为单位长度圆柱所受到的阻力，D为圆柱直径。由图可见，亚临界雷诺数时，阻力系数很大，随着雷诺数增加，阻力系数下降，在5RE10??附近，阻力系数急剧降低，这对应于由层流边界层转变为湍流边界层。阻力系数的这种变化与图61中压力系数分布随雷诺数的变化是一致的。例2二维机翼绕流二维机翼是指沿展向无限长，且翼型不变的机翼。圆柱绕流是非线性体的典型例子，机翼绕流则是流线型体的典型例子。107图64给出了儒科夫斯基翼型表面的压力分布。这是在理想流体与实际测量有相同的升力条件下进行的比较。由图可见，这里的理想流动的结果比圆柱绕流的情况好得多。几乎沿翼型的整个表面理想流体的结果都与实验符合，只是在翼型的尾部的上表面有较大的差别，这也是沿流动升压使边界层分离的结果。图65给出了儒科夫斯基翼型的升力系数和阻力系数随攻角的变化。由图可见，攻角在10C??到?的范围内，理想流体导出的升力系数与实验符合得很好，这时没有发生严重的分离。至于阻力的计算，则和圆柱绕流的情况一样，理想流体理论不能得出有用的结果。图64儒科夫斯基翼型表面的压力分布在流体理想与实际测量有相同的升力条件下图65儒科夫斯基翼型的升力系数理论值与实测值的比较和阻力系数随攻角的变化从上面两个例子可见，理想流体理论虽在某些方面（如圆柱体前缘附近的压力分布，翼型的压力分布和升力等）能得出与实际情况大体符合的结果，但不能用这种理论来预估阻力，它也不能处理不同雷诺数引起的差别以及分离等问题，而在许多工程技术问题中人们是很关心这些问题的。因此需要研究有粘性的实际流体的运动和力的作用关系，即粘性流体的运动学和动力学。62粘性流体研究的特点（以不可压粘性流?不变为例）621粘性流体有旋（只要壁面相对流场运动就是有旋运动）理想流体运动一般为无旋运动，但也可作有旋运动。根据亥姆霍兹定理，质量力有势的正压理想流体的涡量和环量具有守恒性，如果初始时刻或入口截面上运动是无旋的，则整个流场都是无旋的，反之则都有旋。均匀流绕物体流动或物体在静止介质中运动时，从理想流动的观点来看，全流场都是无旋流动。理想流体的有旋运动出现在质量力无势的斜压流体中，这类运动在气象学中会碰到。与此相反，粘性流体运动除个别情况外，都是有旋运动，而且涡量和环量没有守恒性，在流动过程中，涡量不断生成，传输和衰减。粘性运动的有旋性可通过实验观察到，也可从基本方程出发，从数学上得到证明。下面从不可压缩流体的NS方程出发，用反证法来证明有旋性。根据矢量分析和不可压缩流体的连续方程，可得??????????????VV2108因而不可压缩流体的NS方程D1FPT???????VV可写成2T????????????V621如果流体作无旋运动，则0?，上式变为2PVFT??????????V622在无旋流场中必有速度势?，当质量力为重力时，则速度和质量力可表为,FGZ????则上式可写成20VPGZT??????????623式中G单位质量的重力，Z与重力平行的轴对上式沿任一方向积分得伯努利方程2VPGZCTT?????624式622和623与不可压理想流动的方程完全相同。由此可见，粘性流体作无旋运动时，其微分形式和积分形式的方程都与理想流动相同，如果不考虑边界条件，则两者的解完全相同，但边界条件必须满足。理想流动的边界条件只对固壁上的法向速度有规定，而粘性流动除规定法向速度外，还要求切向无滑动，比理想流动多一个边界条件。理想流动EULER方程或伯努利方程的解是唯一的，不满足壁面无滑条件，故粘性流体作无旋运动与边界上的无滑条件相矛盾，是不可能的。另外，从两种流动的微分方程看，EULER方程是一阶方程，只要求一个边界条件就可定解，而NS方程是二阶方程，要有两个边界条件。当粘性流体作无旋运动时，二阶项消失，降为一阶方程，无滑条件成为多余的约束，根据微分方程定解理论就得不到解。由此可知，除个别情况外，粘性流体运动总是有旋运动。622旋涡的扩散性（对应无粘，不可压，质量有势）质量力有势的不可压缩粘性流体的涡量方程（涡旋传输方程）在可压缩条件下，要加正压条件。DT?????V?625以R和?分别表示柱坐标的径向和周向坐标，各速度分量与坐标和时间有关0T?0R??Z0TZTV002TTVR????T?RT,,RV1090Z???0R??Z?Ω则??ΩV0RZVV?????Ω故涡量方程为???T???????626在极坐标系中，本流动的涡量方程可写为RT????????627作相似变换0F????628其中2R???可得002RRTT???????02RFRRT?????????????????????30024FRTT????????3RTT???RFTTTTT????????????????????和6210代入627可得??4F?????6211??DD0????6212得1C????62130??F与??有限制，则有??40F???2LNLNCE??242RTCE????代入62824RT???6215其中20C??，为积分常数。/40D1RTRTCRECE??????6216将涡量分量用速度表示，并应用斯托克斯定理，将面积分变为线积分DLA????VL式中A为封闭曲线围成的面积，或流管的任意截面积；L为封闭曲线微元线段。上式表示任意涡管强度等于沿涡管周线的速度环量。??22/401D1RRTCVE????????6217因0T?时，0?，故积分常数为04C??得整个流场的涡量和速度分布为204RTE??????RTV6219623旋涡的耗散由粘性流体的能量方程??D1IPTTSTS?????6220其中????VIJUMX?223211UX??????????????????UUUXXX???????????????????????????????23123UX??UUXX???????????????????????????2233112X???????????????6221公式6221的第二个等式可用张量形式写出2223JIIJIUUXX???????????????????对于不可压缩流动，0IUX??，则上式可化为22JIJIUX??????????6222B?表示单位体积的耗散率。单位质量的耗散率?可写为223JIIJIUUXX????????????????????6223A不可压缩流为22JIJIX?????????6223B由于粘性内摩擦，能量方程中出现耗散项，其量值始终为正值，这在物理上表示作变形运动的流体将部分机械能不可逆地变为热能，使绝热系统的熵值增加，所以变形率和粘性系数越大，耗损越大；另一方面，也表示外力对流体作的功不可能全部变为动能，总有一部分转化为无用的热而损耗。粘性流体运动的耗散功与变形率的平方成正比，也与粘性系数成正比，因此一般粘性流体作高速运动时，能量耗散很大，温度很高，而低速流动耗散很小，可以忽略。63粘性流体运动的基本方程简介631连续方程在流场中任取一体积为V，边界为S的流体系统。根据质量守恒定律，在流动过程中，系统内的总质量保持不变，即质量在系统中体积分的随体导数等于零，写为DD0VT???上式可写成DTVSVNT????631或??I0VVT????????632上式称为积分形式的质量方程或连续方程。因为体积V是任取的，故微分形式的连续方程为DIVT??633或DI0T?634对不可压缩流体，上式变为DIV635可压缩流体的连续方程634表示流体微元单位体积质量的相对增加率等于体积减小率；不可压缩流体连续方程635表示流体体积保持不变。112632动量方程1直角坐标系中的动量方程按动量定律，流场中任意系统的总动量变化率应等于作用于该系统上所有外力的合力。作用于流体系统上的外力有质量力和表面力。质量力作用于流体质点，如重力、电介流体在电磁场中的电磁力等；表面力是周围流体作用于外表面的力。如图66所示，在流场中任取一封闭系统，系统的边界面为S，体积为V。设单位质量流体所受的质量力为F，界面上作用的应力张量为?。以N为界面外法线单位矢量。图66流体系统示意图按动量定律，系统的动量方程可写为DDDVVSPT???????VFNΤ636上是又可写为??VSVST????????637方程（637）称为积分形式的动量方程。根据质量守恒定律，方程（636）的第一项可写成DDDVVTT????VV638根据奥高定理，方程636可写成0VT?????????FΤ639因为系统是任取的，且被积函数连续，便得DT???V6310方程6310称为矢量形式的动员微分方程。将广义牛顿应力关系式代人上式，得???2PT????????FV6311代入上式，则式6311成为分量形式的动量方程??DJIIIIJJIIUTXXX??????????????????V6312如果U，V，W分别表示直角坐标X，Y，Z轴的速度分量，以ZYF，,分别表量力在三个轴上的单位质量力，则式6312变为113????D22DXYZUPUUVFTXYXWZZVPUVVTXYXYZWPFTX??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????2UWVWXYZYZ???????????????????????????????????????????V6313对不可压缩流体，?为常数时，微分形式的动量方程为DPT?????VF6314写成分量形式为DXYZUUTVPFVWWT????????????6315方程（6313）称为NAVIERSTOKES方程，或简称NS方程。方程等号左边第一项表示单位体积流体的动量变化率；等号右边第一项表示单位体积流体所受的质量力，第二项为热力学压力，其余为表面所受的粘性力。如果采用STOKES假定，则32????，热力学压力等于平均压力。对于液体来说，可以看作不可压缩流体，但液体的粘性系数随温度变化比气体大得多，故方程6315对非等温液体是较差的近似方程。2非惯性坐标系中的NS方程研究涡轮、风扇和地球周围的流体运动时，在惯性坐标系上观察的流动是非定常的复杂流动，而且边界条件也异常复杂。为简化研究，必须采用随涡轮叶片等一起旋转的非惯性坐标系相对坐标系作为参考坐标系。为建立非惯性坐标系中的NS方程，必须应用速度和加速度的迭加原理来处理绝对运动与相对运动之间的关系，找出惯性与非惯性坐标系中速度和加速度之间的关系式。图67惯性坐标系与非惯性坐标系114如图67所示，假定X，Y，Z为惯性直角坐标系的坐标轴ZYX?,为非惯性直角坐标系的坐标轴；R为非惯性坐标系原点在惯性坐标系中的平移矢量，?为非惯性坐标系相对于惯性坐标系的角速度矢量。按速度合成关系，流场中任意质点M的绝对速度由牵连速度和相对速度组成，而牵连速度是由移动和转动组成，即DRRT??????RVΩV6316移动转动相对式中?V为质点的绝对速度；E为牵连速度；T为相对速度；R为质点在非惯性坐标系中的矢径。质点M的绝对速度为DERCT???VA6317式中ERCA、分别为牵连加速度，相对加速度和哥氏加速度。牵连加速度包括移动和转动两项。各加速度可表为??2DD2ERRCRT???RΩARV将式（6317）带入方程（6310），整理后的非惯性坐标系中的运动方程为??2DDIV2RRTT?????????????VRΩFΤRΩV6318式中Τ为非惯性坐标系中的应力张量。方程多了一串附加的加速度项。实际问题是在给定R和?条件下，按定解条件求解。633能量方程能量方程是运动流体能量守桓的数学表式。在粘性流体的能量守但关系式中，要考虑粘性应力作的功和热传导。在流场中任取一封闭系统，其外表面积为S，体积为V。系统内流体的能量是动能和内能，所受的外力是质量力和表面力，边界面上有热传导。根据能量守恒定率，在流动过程中，系统总能量的增量等于外力对系统作的功与外界传进的热量之和，或者说系统总能量的变化率（随体导致等于单位时间外力对它作的功与外部传进的热量之和，可表为DEWQ??6319或DTT6320式中E为系统的总能量，2DVVEE??????????，由内能和动能组成，另外总能量的随体导数可写为22DDDVVEVTT??????????6321单位时间内外力对系统作的功为115DDNVSWT???????FVΤV6322式中F为单位质量的质量力，N为系统界面的外法线单位矢量；为外法线为N界面所受的应力张量。应力所作的功可写为??DNSSV????????ΤVΤVΤV6323单位时间内，外界通过界面传人的热量为DDSQT?Q6324根据FOURIER定律，单位时间内通过单位面积传导的热量Q为KT??因传入系统的热量使系统增加能量，故式6324变为DDST????N6325根据高斯定律，上式可写为??VQKTT6326将式（6321），（6322），（6323）和（6324）代入式（6320），得????2DDDDDVVVVVEKTT?????????????????????FVΤV6327上式称为积分形式的能量方程。由于系统的体积是任取的、且被积函数连续，故得微分形式能量方程为???2VEKT?????????ΤV6328用求和约定符号表示为D2IIIJIIUTEFUKTXX??????????????????????6329上式左边一项表示单位体积流体总能量的变化率；右边第一项为单位体积流体质量力作的功，第二项为表面力作的功，第三项为热传导传给系统的热量。根据场论分析，可得??????????ΤVΤVΤV6330按动量方程得2DT???????????F6331因为速度梯度张量可分解为对称和反对称两部分，对称部分为??IJ?，反对称部分为??IJ?故??IJIJIJUX????????ΤV6332等号右边第二项为零，第一项可展开为???22IJIJIJIJIJIJP????????????VVΦ式中116???2222XYZXYZX??????????ΦV6333将式（6330），（6331），（6332）代入式（6328），得??DEKTPT?????VΦ6334上式称为微分形式的能量方程。式中?称为耗散函数，表示粘性作用使部分机械能不可逆地变为热能，始终为正值，故绝能条件下粘性流动的熵总是增加的。如果采用STOKES假定2/3????，则耗散函数可写成??????2224XYZXXYYXZX??????????????Φ6335上式表明，0?的条件是1?IJ?，相当于没有变形运动。2ZYX和0?IJ?（IJ?）,相当于各向同性膨胀或压缩。为便于今后应用，下面列出几种常用的能量方程的其它形式用焓表示因?PEH?，则DDHEPTTT?????根据连续方程，得下式T??V因而能量方程（6334）变为??DHPKTT????Φ6336用总焓表示因为总焓2VH，故能量方程变为??2DPVKTTT?????????????6337用温度表示DPCT?Φ6338用熵表示因为??D1EPQST???故能量方程变为??DTKT???Φ6339对不可压流体，当K看作常数时，能量方程可写成2ET??DTCKT????Φ6340B式中C不可压缩流体的比热。方程（6340）在计算不可压缩流体的温度分布时很有用。634状态方程粘性流体运动的基本变量是速度，压力、温度和密度，因此三个基本方程连续方程、动量方程和能量方程不足以建立封闭方程组、需补充状态方程来建立压力、密度和温度之间的关系。温度的变化还涉及一系列热力学参数的变化，还需其它热力学参数之间的关系式。根据分子运动论，粘性流体的运动状态属于热力学非平衡状态。但实验表明，除高超音速流动和有强烈的化学反应流动外，实际粘性流动十分接近平衡状态均匀热力学体系，可用均匀系统平衡状态的热力学理论建立状态方程和热力学参数之间的关系。在均匀的热力学平衡状态的流体系统中，流体状态变量可发生种种变化，但各变量的变化不是独立的，而是相互制约和联系的。通常描述平衡状态流体的物理量是压力体积V和温度T，联系这三个变量之间的关系式称为状态方程，可表示为??,0FPVT??6341对完全气体，上式可写成0MRM?6342式中M为质量，M为分子量；0为气体普适常数。单位质量的完全气体状态方程可写成TP?6343式中R为气体常数，R0。空气的气体常数为29310KGM/K2876J/KG???完全气体的状态方程适用于密度不太大、分子间的作用力及分子体积可以忽略的气体。压力很高时，必须考虑分子之间的作用力和分子体积，这时应采用范德瓦尔斯公式??2APVRT????????6344式中2VA表示分子间的引力；表示分子体积。对空气，??,分别为3201P???，301V???0,P为标准状态下的压力和比容。对均质液体，通常看作不可压缩流体，故状态方程简化为CONST?。有化学反应和离解的流体是由不同的组分组成的混合物，其状态方程应考虑各组分的浓度、分子量和气体常数等因素。至此，已根据三个基本定律导出了流体运动的三个基本方程连续方程、动量方程和能量方程，加上完全气体的状态方程，可归结为118????0D2PTHKTTRC??????????????????VFΕVΦ6345在三个基本方程中，一般情况下，流体的比热是流体性质决定的常致，质量力是已知的，第二粘性系数采用STOKES假定，粘性系数和导热系数采用只与温度相关的公式。剩下的未知数是V，P，T，?四个，三个基本方程加上状态方程正好封闭。上述方程组所适用的范围是1流体是连续介质，流场参数都是空间和时间的连续函数，不能应用于流场个别奇点；2牛顿流体3热传导遵循FONRIER定律4流体基本处于热力学平衡状态5只适用于惯性坐标系，但连续方程和状态方程除外，如果用于非惯性坐标系，则必须加相应的惯性力。能量方程未考虑热辐射。64平行板之间的定常不可压缩流动平行板之间的流动是一个经典问题，两块平行板可以都是刚性平板，也可一块是刚性平板，另一边是自由液面。641不渗透平行板之间的流动假定两平行板之间的距离为2B,上平板的温度为ET，X向的速度为EU；下平板的温度为WT，速度为WU；压力梯度为DPX。忽略入口和出口边界对流动的影响。因而，平行板之间的速度只有沿X向的分速，速度和温度只是Y的函数。对图68所表示的流动，NS方程中惯性项和能量方程中的对流迁移项均为零，NS方程只有X向分量方程，即连续、动量和能量方程分别为图68平行板之间的流动0U??6412D0PUXY?????64222TK??????643式中P为流体的剩余压力，定义为^PG????644边界条件为1190,WEEYBUTU??????645根据流动特性和式（641），只是的函数，故XP?只能是Y的函数或常数。因Y向无运动，故DPX不可能是Y的函数，只能是常数。积分动量方程（642）得212DPUYCX???按边界条件（645）确定积分常数21,C后，上式变为2DEUYBUX???????????????646可见，上板运动和压力梯度引起的运动具有线性迭加性。顺压梯度（0PX?）促进流动。将式（646）代入能量方程（643），积分并利用边界条件的温度分布为????D61^DPWEEWPEPEWWCTUYYBKBTXCYBKCTYUXB???????????????????????????????????647如果定义下述无量纲量,,EEWTUYB??则式（646）和（647）的无量纲形式为??2112AUYY??648????2234186BRRBRATY???649式中2DEBPUUX????????RPRECPEWCUKT???其中BR称为布伦克曼（BRINKMAN）数；是PR数与EC数的乘积。由式（646）和（647）分别得下壁面的摩擦应力和热流量为D2EWYBUPX?????6410??21BRR43EWYBTAQKKTBB??????????和图610分别表示无量纲速度和温度分布。图69COUETTE流动的速度分布图610COUETTE流的温度分布从速度关系看，平行板之间的流动速度是分别由平板的移动和压力梯度引起的速度迭加而成。D0PX?时，速度分布曲线右凸；D0PX?时，速度呈线性分布，2DEUPXB??时，出现回流；如果上下平板都静止，则速度是抛物线分布，相当于圆管中的速度分布。温度分布关系式中右边第一项表示两板的温度差引起的温度变化，后三项是粘性耗散引起的温度增加。在同一流速下，粘性大的流体耗散大，温度变化剧烈，对壁面的热交换大。空气和水的粘性系数很小，在一般低速流动中，粘性耗散不大，在没有外部热源的条件下，可看作等温流动。高速流动的粘性耗散大，必须考虑温度变化和热交换。图610所示的温度曲线表明，A0和?TE?时，若BR2?，摩擦不改变热量的传播方向，只从上平板传向下平板；但BR2?时，热量从高温流体传向上下平板，改变了上平板的热流方向。641有渗透平行板之间的流动若两平行平板具有均匀渗透性，即外部流体自下平板均匀吸入，自上平板均匀吸入，而且吸入和吹出的速度相等，均为0V。按图611所示，该流动的速度为CONSTVYU?0,故基本方程为121图611有渗透的平行板之间的流动20D1UXPUVYXY????????????6412边界条件为0,EEYBUVU?????6413方程（6412）表明压力沿X向不变，故动量方程变为20DDCONSTUPVYX???积分上式，由边界条件确定积分常数后得00RE201EVYBUEEEUAAU??????????6414式中??2DEPXAUB??，REB??式（6414）仅适用于吹出和吸入速度相等的渗透平行板之间的流动。如果吹出和吸入的速度不相等，则结果不同。65充分发展的管流（HAGENPOISEUILLE）流动651直圆管如图612所示，流体沿直圆管流动时，在入口一段是粘性区不断发展，势流区逐渐缩小最后消失的区域，称为管流的入口区。过了入口区，在等温壁条件下，流动速度和温度分布沿轴向保持不变，只有轴向分速，称为充分发展区。这122一节只讨论充分发展区的流动情况。设直圆管直径为D，半径为R，图612直圆管流动的速度变化压力梯度为DPX，壁温为?T。因研究的流动是轴对称流动，故用圆柱坐标系,?RX较方便，对应的速度分量为WVU,。充分发展管流的基本方程为22D0D10UXPURKTR?????????????????651边界条件为??MAX,0WRUR???、652积分方程（651）中的动量方程，得212DLN4PRUC???利用边界条件确定积分常数因0R时，U为有限值，故0?，确定后，上式变为??214DRRX?653上式表示充分发展管流的速度分布是抛物线形，中心轴线上的速度最大。最大速度为2MAXPU??654体积流量为??RRVRPQRRXX???????????????655平均速度为2MAX18DVQPUU?????????656壁面摩擦应力为2WRRX????????657定义圆管摩擦因子为28U???658则将式（656）代入上式后，得64RE659123其中REUD???，D为直径。上式表示直圆管流动的阻力系数与RE成反比。如果RE数超过临界E数，则层流可能变为湍流。将式（653）代入式（651）中的能量方程后积分，按边界条件（652）确定积分常数，得温度分布为241WURTK??????????充分发展管流的温度分布上式表明，如图613所示等温管壁的温度分布与径向位置成四次方关系，在轴心处温度最高，这是粘性引起的温度升高。空气的粘性系数很小，当流速不高时，可不考虑粘性引起的温度变化。如平均速度为30M/S的空气管流，温度只升高05C?，而同一速度的水，温度升高15C?。由式（659）得圆管流动的最高温度为2MAXWUTK???6511壁面热流量为4WWQRR??6512根据热交换系数NU的定义，壁面热交换系数为??MAX28WKT??6513上式符号表示壁面吸热。652非圆截面直管的充分发展管流图614表示几种典型的非圆直管的横截面形状。对于非圆管流，根据问题情况而选用柱坐标或直角坐标。在直角坐标中，以X轴为流动方向，在充分发展条件下，只有X方向分速,ZYU?，而0?WV，故直角坐标系中的流体运动方程为图614非圆截面12420DUXPUYZ????????????????6514边界条件为壁面0?U方程6513是非因域上的POISSON方程的第一边值问题，可以用分离变量法、保角转结绘等方法求解。这类问题已有许多现成的解供借用，下面给出几种截面形状的速度分布和流量公式。1矩形截面若矩形截面的边长分别为2A和2B，X轴沿流动方向，坐标原点与矩形中心重合，则矩形截面充分发展管流的运动方程和边界条件为20DUPUXYZ????????????????6515边界条件为0YABU????6516根据流动情况，设方程（6515）的解为??21D,PUZFYX???????6517式中,ZYF为待定函数，由式（6515）和式（6516）得出，它所满足的方程和边界条件为220FYZ??6518AFB?????6519方程（6518）为矩形域上LAPLACE方程的DIRICHLET问题，可用分离变量法求解。令F的解为??FYYZZ?6520则方程（6518）可写成???6521式中撇号表示ZY,对各自自变量的导数，因上式等号两边只与自己的自变量有关，故只能等于某一常数，因而Z满足的方程和边界条件为12520NZZB?????????6522为使方程（6522）由非零解，常数必取正值，故用N的平方。因Z是Z的偶函数，故方程（6522）的解为??COSNZNB?????6524按方程（6521），函数YY应满足的方程和边界条件为??2201NAZBZ?????????6525方程（6525）的解为CHSNNNYAYBY??6526根据边界条件的对成性，常数0D将式（6523）和式（6526）代入式（6520），得????0,CHOSNNFYZYZ????6527按边界条件，在AY??处，上式变为??20,CHOSNNNFZBAAZ????6528其中??CHNNAA??6529利用,COSZN?在（B，B）域上的正交性及完备性，把2BZ?在（B，B）域上展成,COSZN?的级数20OSNZB????6530式中???21CSDBNNCZZ???6531比较式（6528）和式（6531），A应为134NNCB???6532代入式（6517），则速度分布为??????122330CHOS1D,NNNYZPUYZZXA????????????????6533126流量TH42VNBAPABQXAB???????????????????????????65342．椭圆形截面设椭圆形截面的长半轴为A，短半轴为B，则截面形状方程为21YZA??运动方程仍为式（6513）解方程（6513），得速度分布为??221D,2PBZUYZXB????????????????6535流量324DVAQX????????65363．等边三角形截面若等边三角形截面的边长为A，解得速度分布为????211,3D23PUYZZAYZX??????????????6537流量为40VAQX??????65384同心圆环截面若同心圆环的外环半径为A，内环半径为B，则截面形状在其坐标系中的表达式为RA?解柱坐标形式的动量方程，得速度分布为??22LN1D4BPUBRX?????????????????6539流量为??24D8LNVAPQBBX????????????????654066同轴旋转圆柱面间的流动设两同轴旋转圆柱面的半径、转速和壁温分别为1,TR?和2,，中间充满不可压流体，如图615所示。127图615同轴圆柱面之间的流动假定圆柱很长，忽略质量力和端部的影响，可看作平面运动。取坐标系???,RZ，根据流动分析，流动具有轴对称性，速度和压力只随半径变化。即??0,ZURPRZ???故基本方程为21UPR????66122D0UR????6622DKTR???????????????663边界条件为111222,RUTR??????664方程（662）是EULER型方程，其解为12UCR??665式中1C、2为特定常数。上式表示两同心圆柱面间的流动速度相当于由刚体旋转的切向速度和理想流体中的直线涡的诱导速度迭加而成。根据边界条件，积分常数为RC?????????故速度为????222111RRRU???????666把?U代入方程（661），积分得压力分布为128??????12LNRRPRRRRCR???????????????667积分常数C按特定边界上的压力确定。根据速度分布，摩擦应力为??1212D2RRURRR??????????????????668半径为R的单位长液柱所受的摩擦力矩为RMR?????669上式表示摩擦力矩与内外圆柱面半径有关，而与该柱所在半径R无关，故内外圆柱面所受的摩擦力矩大小相等，方向相反。把式（666）代入能量方程（663），积分得温度分布为????LN/L/PRECRRRRTR????????????????????????）式中??21PRECPRKT????图616和图617分别给由计算所得的速度和温度分布。图616仅内圆柱旋转时的速度分布129图617同轴圆筒间的温度分布讨论1按照速度分布式（666），当1R趋于零和01??，只有外圆柱以等角速度2?旋转时，可求得??22D,MRURU?????这相当于流体绕Z轴作刚体转动，无变形，无内摩擦。2若01?R，而21??时，则结果也相当于刚体转动。3若??2和时，相当于内圆柱在无界介质中作等速旋转，可求得??2RRURURMR???????????????其中21R????这种流动相当于强度为21的点涡在理想流场中的诱导速度场。流体虽在粘性力作用下作旋转和变形运动，但流体质点并不旋转。这是粘性流体作无旋运动的特例。67旋转圆盘附近的流动VONKARMAN1921研究了旋转圆盘附近的流动，并用NS方程作了解析解。如图618所示，假定半径为无限大的平面圆盘在不可压流体中以等角速度旋转，忽略质量力。图618旋转圆盘附近的流动由于粘性，圆盘带动圆盘附近的流体旋转，离心力的作用使流体产生径向分速，压力下降。为补充径向分130速流出的流体，自然出现轴向分速最终形成轴对称螺旋形流动。在惯性坐标系中，速度分量为?UR,2，流动为轴对称，故流动各量不随轴向角?变化。基本微分方程为??10RZU???671A222RRRRRZUUUPZ????????????????????671B22RRZUR????????671C2211ZZZZZRUUUP?????????????671D边界条件00ZRRU?????????、672方程671中，ZRU,?是二阶微商，P是一阶微熵，要有七个边界条件才能适定。边界条件不够，因此在求解之前必须对流动作进一步的分析，作出合理的假定。显然，决定流动速度和压力分布的因素是圆盘旋转速度，流体粘性系数V及空间点的坐标R和Z，故可得速度和压力为??IIUVRZP??????、673下面先估算圆盘旋转带动的粘性层厚度?。因为距旋转轴距离为R的粘性层流体单位体积所受的离心力为2R??，，所以在底面积为DRS、高为粘性层厚度的流体元上，所受的离心力为2DRS???。同一流体元还受到圆盘面上切应力W?的作用，这个力与流体流动方向相反且与周向速度成一角度，比如?。该流体元的切应力的径向分量必与离心力平衡，因此2SINDDWRRS??????或2I???674另一方面，切应力的周向分量必须正比于壁面上周向速度的轴向梯度，其数量级以符号“～”表示数量级关系为COSWUR????675从以上两个方程中消去，得2CTU??因为圆盘半径无限大，所以紧贴壁面流体流动的方向与半径R无关，故圆盘带动的流体厚度为??V676将上式代入式（674），得圆盘上的摩擦应力为131WR???V677为了求解方程671，根据切向应力引起?U，离心力引起RU，和圆盘无限大的流动特点，VONKARMAN假设????0RZUFZGVHPZ????????、、678对上式应用?定理，选V,?为量纲独立量，得123045,,,/RZURVPV?????????可见，5?是无量自变量，用?表示为/ZV?679因此，式（678）可写成????0,,RZUUFGRPHPVV?
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本文标题：第6章 层流的解析解与近似解 链接地址：
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