一个人的喜欢就是把自己对偶然间闪过的念想坚持，直到它变成一种习惯
模拟信号采样与AD转换
因为Github上的branch被删，这里有些图片可能看不到，请跳转1 著名的Nyquist采样定理尽管大家都知道，但还是提一提。大牛奥本海姆的《信号与系统》中是这样描述的：Let x(t) be a band-limited signal with X(jw) = 0 for |w|& wM. Then x(t) is uniquely determined by its samples x(nT),n=1,±1,±2,...,ifws & 2wM where ws = 2 pi/T.Given these samples, we can reconstruct x(t) by generating a periodic impluse train in which successive impluse have amplitudes that are successive sample values. This impluse train is then processed through an ideal lowpass filter with gain T and cutoff frequency greater than wM and less than ws-wM. The resulting output signal will exactly equal x(t).来捋一捋，几个点：带宽有限(band-limited)采样频率大于2倍信号最高频率后可以无失真的恢复出原始信号实际中，信号往往是无线带宽的，如何保证带宽有限？所以，我们在模拟信号输入端要加一个低通滤波器，使信号变成带宽有限，再使用2.5~3倍的最高信号频率进行采样。关于此我们下面将模拟数字转换过程将会看到。虽说是不能小于等于2倍，但选2倍是不是很好呢，理论上，选择的采样频率越高，越能无失真的恢复原信号，但采样频率越高，对后端数字系统的处理速度和存储要求也就越高，因此要选择一个折中的值。如果后端数字信号处理中的窗口选择过窄，采样率太高，在一个窗口内很难容纳甚至信号的一个周期，这从某方面使得信号无法辨识。比如，数字信号处理的窗口大小为1024个点，采样率为50KHz，则窗口最多容纳KHz)=20.48ms的信号长度，若信号的一个周期为30ms&20.48ms，这就使得数字信号的处理窗口没法容纳一个周期信号，解决的办法就是在满足要求的前提下使用减小采样率或增加窗口长度。2 模数转换记得有一次参加中科院计算所的实习笔试，里面就有这么一道题：模拟信号转换到数字信号要经历哪两个步骤？还好，早有准备，立刻填上了采样和量化。我们下面就来详细分析下这两个过程，但在分析之前，我们先给出一张整个过程的流图，您可以先想想为什么需要各模块。程控放大器我们实际中的模拟信号都是通过传感器采集进来的，做过单片机的人应该熟知DS18B20温度传感器，不好意思，那是数字传感器，也就是说人家做传感器的时候把AD转换也放到传感器里面了。但这并不是普遍的情况，因为温度量是模拟信号中最容易测量的量了，而大多数的传感器并没有集成AD转换过程，如大多数的加速度传感器、震动传感器、声音传感器、电子罗盘，甚至有的GPS（别懵了，GPS也算是一种传感器哦）等，都是模拟输出的。而且由于物理制作的原因，传感器返回的电信号非常微小，一般在几mV（如果是电流，也一般在几mA），这么微弱的信号，如果经过导线或电缆传输很容易就湮灭在噪声中。因此，我们常常见到模拟传感器的输出线都会使用套上一层塑胶的线，叫屏蔽线（如图）。屏蔽线只能保证在信号传输到系统之前受到的干扰最小，但信号仍要经过处理才能为数字系统使用。在模拟信号（尤其是高频信号）的输入端首先要使用低噪声放大器对信号进行放大，这个放大器有特殊的要求，一定是低噪声，我们已经知道，模拟信号信号已经非常微弱，如果放大器还存在一定的噪声，在噪声叠加之后放大出来的信号可能已经不再是原信号了。既然说到低噪声，那么低噪声是如何衡量的呢？这可以通过放大器噪声系数（NF）来定，噪声系数定义为放大器输入信号与输出信号的信噪比。其物理含义是：信号通过放大器之后，由于放大器产生噪声，使信噪比变坏；信噪比下降的倍数就是噪声系数。噪声系数通常用dB表示，实际中除了考虑低噪声系数外，还要考虑放大器的带宽和频率范围以及最重要的放大增益。由于输入信号的强度可能时变，采用程序可控（程控）的放大增益保证信号能达到满度而又不会出现饱和（实际中要做到这一点还是很难的）。低通滤波器在Nyquist采样定理中已经提过，要满足采样定理必须要求信号带宽有限，使用大于2倍的最高信号频率采样才能保证信号的不混叠。低通滤波器的一个考虑就是使信号带宽有限，以便于后期的信号采样，这个低通滤波器是硬件实现的。另一方面，实际情况中我们也只会对某个频频段的信号感兴趣，低通滤波器的另一个考虑就是滤波得到感兴趣的信号。比如，测量汽车声音信号，其频率大部分在5KHz以下，我们则可以设置低通滤波器的截止频率在7KHz左右。程控的实现方法就是使用模拟通道选择芯片（如74VHC4051等）。NOTES:有关滤波与程控的电路设计请参考文献[1].在采样之前的所有电路实现方案叫信号调理电路。这样，我们就可以根据这个词到处Google/Baidu文献了。采样及采样保持采样貌似有一套完整的理论，就是《数字信号处理》书中的一堆公式推导，我们这里当然不会那么去说。其实采样最核心的问题就是采样率选择的问题。根据实际，选择频率分辨率df选择做DFT得点数N，因为DFT时域点数和变换后频域点数相同，则采样率可确定，Fs=N*dfFs是否满足Nyquist的采样定理？是，OK，否则增加点数N，重新计算2。我们希望df越小越好，但实际上，df越小，N越大，计算量和存储量随之增大。一般取N为为2的整数次幂，不足则在尾端补0。这里给出我的一个选择Fs的方案流程图，仅供参考。采样后还有一个重要的操作是采样保持(S/H)操作，采样脉冲采样后无法立刻量化，这个过程要等待很短的一个时间，硬件上一般0.几个us，等待量化器的量化。注意，在量化之前，所有的信号都是模拟信号，模拟信号就有很多干扰的问题需要考虑，这里只是从总体上给出我对整个过程的理解。更多细化的方案还需要根据实际信号进行研究。量化我们可以先直观的看一下量化的过程，&量化有个关键的参数，叫量化位数，在所有的AD转换芯片（如AD7606）上都能看到这个关键的参数，常见的有8bit，10bit，12bits，16bit和24bit。如上图，以AD7606为例，AD7606是16bit的AD芯片，量化位数指用16bit来表示连续信号的幅值。因此，考虑AD的测量范围（AD7606有两种：±5V和±10V）,则AD分辨率是±5V: (5V-(-5V)) / (2^16) = 152 uV±10V: (10V-(-10V)) / (2^16) = 305 uV量化位数越高，AD分辨率越高，习惯上，AD分辨率用常用LSB标示。因此，AD7606中对于某个输入模拟电压值，因为存在正负电压，若以0V为中间电压值，范围为±5V时AD转换电压可计算为AD7606若使用内部参考电压，Vref=2.5V。哦对了，这又出现个参考电压。参考电压与AD量化的实现方式有关，从速度上分串行和并行，串行包括逐次逼近型，并行方式包括并行比较式，如下图（左：串行，右：并行）。AD7606是使用逐次逼近型的方式。AD转换芯片另外两个重要参数是转换时间（转换速率）。并行AD的转换速率比串行的要高。但并行比较的方式中电阻的精度对量化有影响。接着，我们还将介绍一个重要的概念：量化噪声。量化噪声对应量化信噪比,SNRq = (6.02N + 4.77) dB其中N为量化位数，且不去管这个公式是怎么得到的（详细推导可参考文献[2]），对于N=12, SNRq ≈ 70dBN=16, SNRq ≈ 94dB从中可以看出：每增加1bit量化位数，SNRq将提高6.02dB，在设计过程中，如果对方有信噪比的要求，则在ADC选型时就要选择合适位数的ADC芯片。明显的，并不是量化位数越高越好，量化位数的提高将对成本、转换速度、存储空间与数据吞吐量等众多方面提出更高的要求。同时，我们尽量提高量化噪声的前提是信号的SNR已经比较低了，如果信号的SNR比量化噪声还高，努力提高量化噪声将是舍本求末的做法。到最后，给点福利吧，下面是我参考AD7606数据手册设计的原理图，经过实践检验可用：参考文献[1] [2] [3] 彭启宗老师的DSP视频[4] 胡广书，数字信号处理(第三版)
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请问从电压互感器、电流互感器出来的信号怎样送到单片机中呢？
要在单片机中对互感器读出的电流、电压进行处理，可是从互感器中出来的信号是交流信号，需要中间加什么才能把信号送到单片机中呢？（单片机内有AD转换），是把交流信号转成直流信号吗？用什么电路转呢？
还有如果可以找到直接以直流输出的互感器，是不是...
我有更好的答案
单片机进行流电流的采样，是通过电流互感器实现的，输出要接一个额定电阻作为负载，检测负载电压就可以了，不是直接检测电流。互感器（instrument transformer）又称为仪用变压器，是电流互感器和电压互感器的统称。能将高电压变成低电压、大电流变成小电流，用于量测或保护系统。其功能主要是将高电压或大电流按比例变换成标准低电压（100V）或标准小电流（5A或1A，均指额定值），以便实现测量仪表、保护设备及自动控制设备的标准化、小型化。同时互感器还可用来隔开高电压系统，以保证人身和设备的安全。
你可以去读一些测量技术方面的书。例如数字万用表电路中就有交流电流或电压的测量方法。通常方法是1，将互感器送来的信号。进行衰减成需要的信号，2进行线性整流变换成与信号成比例变化的直流信号。3进行AD转换电压互感器输出是100伏需要先衰减，电流互感器输出是5A电流需要电流电压变换
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如果是带AD转换电路的话就简单多了，你只要加上个整流滤波电路就可以，另外还有点特别值得注意的就是（因为不知道你选的那个型号的片子）你的AD输入的最大输入电压是多少，因为整流滤波后的电压要大于互感器的输出电压，因为此时的U=U2*0。9*1.414，保险起见最好加个电压变换电路。如果有直接以直流输出的话也要注意他的最大电压回不会大于单片机的要求最大电压，否则会烧坏芯片。
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交流电信号转换为直流电信号，有两种方法，一是整流、滤波，这个得看你想要做什么；一是叠加上一个直流信号，就是如同示波器把信号波形上下移动一样，并可以通过衰减来控制其峰峰值不大于AD的允许范围；
电压互感器、电流互感器出来的信号经整流和滤波后可以作为单 片机的ad输入但直流电压和交流电流是非线性关系，需进行修正或补偿，特别是小信号状态下，误差很大可以用精密整流电路来改善现在还有用霍尔传感器，直接将交流或直流电流变为电压信号，但成本较高
直接一个变压器调整为单片机AD所需电压范围，然后编程序对信号进行采集处理，还能知道电压的波形、峰值、有效值等，只是程序比较复杂～
你可以参考一下数字万用表测量交流的方式，你到网上搜ICL7107芯片的资料，如果资料完整的，里面会有个测量交流的电路。大概原理使用一个运放把交流信号放大后再整流滤波。因为电流信号比较弱直接整流的话误差太大。
先整流滤波---&校零电路---&幅度控制电路--&A/D
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计算机控制系统习题及部分解答 (1)
习 题 及 部 分 习 题 解 答 第1章 习 题1-1 1-2 1-3 举例说明 2~3 个你熟悉的计算机控制系统，并说明与常规连续模拟控制系统相比的优 点。 利用计算机及接口技术的知识，提出一个用同一台计算机控制多个被控参量的分时巡 回控制方案。 题图 1-3 是模拟式雷达天线俯仰角位置伺服控制系统原理示意图，试把该系统改造为 计算机控制系统，画出原理示意图及系统结构图。题图 1-3 模拟式雷达天线俯仰角位置伺机控制系统原理示意图1-4水位高度控制系统如题图 1-4 所示。 水箱水位高度指令由 W1 电位计指令电压 ur 确定， 水位实际高度 h 由浮子测量，并转换为电位计 W2 的输出电压 uh。用水量 Q1 为系统 干扰。当指令高度给定后，系统保持给定水位，如打开放水管路后，水位下降，系统 将控制电机，打开进水阀门，向水箱供水，最终保持水箱水位为指令水位。试把该系 统改造为计算机控制系统。画出原理示意图及系统结构图。题图 1-4水箱水位控制系统原理示意图 d-11-5题图 1-5 为一机械手控制系统示意图。将其控制器改造为计算机实现，试画出系统示 意图及控制系统结构图。题图 1-5 机械手控制系统示意图1-6现代飞机普遍采用数字式自动驾驶仪稳定飞机的俯仰角、滚转角和航向角。连续模拟 式控制系统结构示意图如题图 1-6 所示。图中所有传感器、舵机及指令信号均为连续 模拟信号。试把该系统改造为计算机控制系统，画出系统结构图。题图 1-6飞机连续模拟式姿态角控制系统结构示意图第2章 习 题2-1 下述信号被理想采样开关采样，采样周期为 T，试写出采样信号的表达式。 (1) f (t ) = 1(t ) 解： (1) f * (t ) = ∑1(kT )δ (t ? kT ) ；k =0 ∞ ∞(2) f (t ) = te ? at(3) f (t ) = e ? at sin(ωt )(2) f (t ) = ∑ (kT )e ? akT δ (t ? kT )* k =02-2已知 f(t) 的拉氏变换式 F(s) ，试求采样信号的拉氏变换式 F* (s)（写成闭合形式) 。d-2(1) F ( s ) = 解：1 s ( s + 1)(2) F ( s ) =1 ( s + 1)( s + 2)(1) 首先进行拉氏反变换，得 f (t ) = 1 ? e ? t ；F * ( s) = ∑ f ( kT )e? kTs =∑ (1 ? e? kT )e? kTs = ∑ e ? kTs ? ∑ e? kT ( s +1)k =0 k =0 k =0 k =0∞∞∞∞因为∑ek =0 ∞k =0∞kTs= 1 + e ?Ts + e?2Ts 11 , e ?Ts & 1 ，(依等比级数公式) + ????? = 1 ? e ?Ts， e ?T ( s +1) & 1 ，所以有类似， ∑ e ? k ( s +1)T =1 ? e? (1+ s )TF * ( s) =1 1 ? ?Ts 1? e 1 ? e ?T ( s +1)2-3试分别画出 f (t ) = 5e ?10t 及其采样信号 f * (t ) 的幅频曲线（设采样周期 T＝0.1s） 。解：连续函数 f (t ) = 5e ?10t 的频率特性函数为： F ( jω ) = 连续幅频曲线可以用如下 MATLAB 程序绘图：step=0.1; Wmax=100; w2=-W y2=5*abs(1/(10+w2*i)); W=[w2]; Y=[y2]; for w=-Wmax:step:Wmax y=5*abs(1/(10+w*i)); W=[W,w]; Y=[Y,y]; end plot(W,Y); axis([-Wmax Wmax 0 0.6]) grid5 。 10 + jω结果如图 2-3-1 所示。图 2-3-1d-3该函数的采样信号幅频谱数学表达式为1 ∞ ∑ F ( jω + jnωs ) T n =?∞ 1 ∞ 1 N F * ( J ωs ) ≈ ∑ F ( jω + jnωs ) ≈ ∑ F ( jω + jnωs ) T n =?∞ T n =? N 显然，采用的项数 N 越大，则计算得到的值越逼近于实际值。这里采用 N = 9 来进行 计算。采样幅频曲线可以用如下 MATLAB 程序绘图： F * ( jω ) =T=0.1; ws=2*pi/T; num=50; step=ws/ Wmax=150; GW=4*W %采样周期 %采样频率 %每个采样周期的计算点数 %计算步长 %画图显示的频率范围 %计算的频率范围g0=(1/T)*5*abs(1/(1+10*GW*i)); G00=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+ws)*i)); G11=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-ws)*i)); G12=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+2*ws)*i)); G21=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-2*ws)*i)); G22=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+3*ws)*i)); G31=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-3*ws)*i)); G32=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+4*ws)*i)); G41=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-4*ws)*i)); G42=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+5*ws)*i)); G51=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-5*ws)*i)); G52=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+6*ws)*i)); G61=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-6*ws)*i)); G62=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+7*ws)*i)); G71=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-7*ws)*i)); G72=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+8*ws)*i)); G81=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-8*ws)*i)); G82=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW+9*ws)*i)); G91=[g0]; g0=(1/T)*5*abs(1/(10+(GW-9*ws)*i)); G92=[g0];其余类似，最后可得，结果如图 2-3-2 所示。1086420 -150-100-50050100150图 2-3-2d-42-4若数字计算机的输入信号为 f (t ) = 5e ?10t ，试根据采样定理选择合理的采样周期 T，设 信号中的最高频率为 ωm 定义为 F ( jωm ) = 0.1 F (0) 。解：F (s) =5 5 ； F ( jω ) = ； jω + 10 s + 10所以有5ω2 max+ 102= 0.1 F (0) =0.1 × 5 = 0.05 ， 102 0.052 (ωmax + 102 ) = 25由此可得 依采样定理得：ωmax = 99.5 ； ωs & 2ωmax = 199 rad/s。2-5已知信号 x＝ A cos(ω1t ) ， 试画出该信号的频谱曲线以及它通过采样器和理想滤波器以 后的信号频谱。设采样器的采样频率分别为 4ω1，1.5ω1，和ω1 这 3 种情况。解释本 题结果。解： cos(ω1t ) 的频谱为脉冲，如题图 2-5-1 所示。d-5F ( jω )Aπ?ω10ω1F1* ( jω )ω (rad / s )Aπ / T = Aωs / 2 = 2 Aω1ωs = 4ω1?ω10ω1ωsω (rad / s )F2* ( jω )Aπ / T = 3 Aω1 / 4ωs = 1.5ω1ω (rad / s )?ω10ω1ωsF3* ( jω ) 2 Aπ / T = Aω1ωs = ω1ω?ω1ω1题图 2-5-1ω (rad / s )当采样频率 ωs = 4ω1 时，采样频谱如题图 2-5-1 所示。由于满足采样定理，通过理想滤波 器后，可以不失真恢复原连续信号。 （见题图 2-5-2）d-6Fh ( jω )Aπωs = 4ω1ω (rad / s )?ω1oω1 ωs / 2Fh 2 ( jω ) Aπωs = 1.5ω1ω (rad / s )oω1 / 2Fh 3 ( jω )2 Aπωs = ω1oω (rad / s )题图 2-5-2当采样频率 ωs = 1.5ω1 时，采样频谱如题图 2-5-1 所示。由于不满足采样定理，采样频 率发生折叠，当通过理想滤波器后，只保留了折叠后的低频信号，其频率为1.5ω1 ? ω1 = 0.5ω1 。 （见题图 2-5-2）当采样频率 ωs = ω1 时，采样频谱如题图 2-5-1 所示。由于不满足采样定理，采样频率发 生折叠，折叠后的低频信号位于 ω = 0 处，当通过理想滤波器后，只保留了折叠后的低频信 号，其频率为 ω = 0 ，即直流信号。 （见题图 2-5-2） 已知信号 x = A cos(ω1t ) ，通过采样频率 ωs = 3ω1 的采样器以后．又由零阶保持器恢复 成连续信号，试画出恢复以后信号的频域和时域曲线；当 ωs = 10ω1 时，情况又如何? 比较结果。 解：本题信号的频谱为脉冲，如题图 2-6(a)所示。2-6d-7F ( jω )Aπω1ω1ω (rad / s )F * ( jω ) Aπ / T = 1.5 Aω1ωs = 3ω1ω1Aπωsωs ? ω12ωsFh ( jω )3ωs ω (rad / s ) ωs + ω1ω1F2* ( jω )ω (rad / s)ωs = 10ω1Aπ / T = 5 Aω1ω1Aπ9ω1 ωsω (rad / s)Fh 2 ( jω )ω19ω1 ωsω (rad / s)题图 2-6该信号通过采样频率 ωs = 3ω1 的采样器，又由零阶保持器恢复成连续信号，该恢复信号 的频域频谱如图 2-6(b)所示。 该信号通过采样频率 ωs = 10ω1 的采样器，又由零阶保持器恢复成连续信号，该恢复信号 的频域频谱如图 2-6(c)所示。 结果表明，当采样频率较低时，零阶保持器输出阶梯较大，高频分量较大。 时域曲线（这里省略） 已知信号 x = sin(t )和y = sin(4t ), 若ωs = 1,3, 4, 试求各采样信号的 x(kT)及 y(kT)， 并说明2-7d-8由此结果所得结论。 解： x(kT ) = sin(kT ) = sin(2π k / ωS ) ； y ( kT ) = sin(4kT ) = sin(8π k / ωS )ωs = 1, x(kT ) = sin(2π k / ωS ) = sin(2π k ) = 0 ； y ( kT ) = sin(8π k ) = 0 ωs = 3, x(kT ) = sin(2π k / ωS ) = sin(2π k / 3) ；y ( kT ) = sin(4kT ) = sin(8π k / ωs ) = sin(8π k / 3) = sin(2π k + 2π k / 3) = sin(2π k / 3) 。ωs = 4, x(kT ) = sin(2π k / ωS ) = sin(2π k / 4) = sin(π k / 2) ；y (kT ) = sin(4kT ) = sin(8π k / ωs ) = sin(8π k / 4) = sin(2π k )结果表明，不满足采样定理，高频信号将变为低频信号。2-8试证明 ZOH 传递函数 Gh ( s ) =1 ? e ? sT 1 ? e? sT 中的 s＝0 不是 Gh (s)的极点，而 Y ( s ) = s2 s中，只有一个单极点 s＝0。 1 ? e ? sT 1 ? (1 ? sT + (? sT ) 2 / 2 + ??? T 2s 证明： Gh ( s ) = ≈ =T ? + ???? s s 2 1 ? e ? sT 可见，ZOH 传递函数 Gh ( s ) = 中的 s＝0 不是 Gh (s)的极点，表明该传递函数s实际上不存在积分环节。 类同的方法可以证明 Y ( s ) =1 ? e? sT 只有一个 s=0 极点。 s2 1 ? cos(ωT )e? sT ，试问 1 ? 2cos(ωT )e? sT + e ? sT2-9若 已 知 f (t ) = cos(ωt ) 的 采 样 信 号 拉 氏 变 换 F * ( s ) =ωs = ω ,ωs = 4ω 时， F * ( s ) =？，并就所得结果进行说明。2-10 若 F ( s ) = 1/ s ， 试由此证明，s = ± jmωs 均为 F * ( s ) 的极点(m 为正整数)， 并说明 F * ( s ) 的零点与 F ( s ) 零点的关系。 2-11 若飞机俯仰角速度信号ωz 测试得到的频谱如题图 2-11 所示，若采样周期 T=0.0125s， 试画出采样信号ωz* 的频谱图形， 由此可得什么结论。d-9ωz ( jω )ffωz = 2 Hzf m = 7 Hzf n = 400 Hz题图 2-11 飞机俯仰角速度信号ωz 测试频谱2-12 若连续信号的频谱如题图 2-12 所示，若采样频率分别为 ωs & 2ωc , ωs = 2ωc ,ωs & 2ωc 时，试画出采样信号的频谱。题图 2-12 连续信号的频谱2-13 若信号 f (t ) = cos ω1t 被理想采样开关采样，并通过零阶保持器，试画出零阶保持器输 出信号的频谱。假定 ω1 分别大于和小于奈奎斯特频率 ω N 。 2-14 若 f (t ) = 5sin 3t 加到采样-零阶保持器上，采样周期 T = π / 6 。 (1) 该保持器在ω=3rad/s 处有一输出分量，试求它的幅值与相位； (2) 对ω=15rad/s、ω=27rad/s，重复上述计算。 零阶保持器所产生的相移为 2-15 已知采样周期 T=0.5s，试问在系统截止频率ωc=2rad/s 处， o 多少？若使零阶保持器所产生的相移为-5 ，试问应取多大的采样周期。 2-16 已知连续信号 x(t)=sin(ω1t ) ，ωs =4ω1 ，试画出题图 2-16 上 A、B、C 点的波形图。图 2-16采样――保持示意图2-17 已知连续信号 f (t ) = cos(50t ) ，采样频率 ωs = 50rad / s ，试说明该信号采样后又通过 零阶保持器后，恢复为一直流信号。 2-18 一阶保持器在数学仿真中常有应用，试推导一阶保持器的传递函数。第3章 习 题3-1 求下列各连续函数的采样信号的拉普拉斯变换式（写成闭合形式） 。d-10(1) f (t ) = 1(t )∞(2) f (t ) = a t解：(1) F ( s ) = ∑1 ? e ? kTs = 1 + e ?Ts + e ?2Ts + ???? =k =0 ∞1 eTs = Ts , e?Ts & 1 1 ? e ?Ts e ? 1 1 eTs ， aT e ?Ts & 1 = Ts T ? Ts T 1? a e e ?a(2) F ( s ) = Z [a t ] = ∑ a kT e ? kTs = 1 + aT e ?Ts + a 2T e ?2Ts + ??? =k =03-2根据 z 变换定义，求 3-1 题各函数的 z 变换，并与 3-1 题的结果相比较。 ∞ 1 z (1) F ( z ) = ∑1 ? z ? k = 1 + z ?1 + z ?2 + ???? = = , z ?1 & 1 ; ?1 z ?1 1? z k =0 ∞ 1 z (2) F ( z ) = ∑ a kT z ? k = 1 + aT z ?1 + a 2T z ?2 + ??? = , aT z ?1 & 1 = T ?1 z ? aT 1? a z k =0 试用 z 变换定义求下列脉冲序列的 z 变换。 (2) f ( k ) = 1, ? 1,1, ? 1, (1) f ( k ) = 0, 1, 0, 1,∞ ∞3-3解：(1) F ( z ) = ∑ f ( kT ) z ? k = z ?1 + z ?3 + z ?5 + ??? = ∑ z ? (2 k ?1) =k =0 k =1z ?1 z = 2 ?2 1? z z ?13-4利用 z 变换性质求下列函数的 z 变换。 (1) f (t ) = t (2) f (t ) = t ? 1(t ? T )∞ ∞(3) f (t ) = t 2∞(4) f (t ) = t 2 e ? at解：(1) Z [t ] = Z [t ? 1(t )] = Z [kT ] = ∑ kTz ? k =∑ kTz ? k ?1 z =∑ (?T )k =0 k =0 k =0= ?Tz ∑依微分定理，进一步可得d ?k z k = 0 dz∞d ?k (z )z dz d ∞ = ?Tz (∑1 ? z ? k ) dz k = 0Z [ kT ] = ?Tzd ∞ d [1( z )] d z z ?1? z Tz (∑1 ? z ? k ) = ?Tz = ?Tz ( ) = ?Tz = 2 dz k = 0 dz dz z ? 1 ( z ? 1) ( z ? 1) 2 d ?1 z Tz (z )= ( z ? 1) ( z ? 1) 2 dz∞(2) Z [t ? 1(t ? T )] = ?Tz∞(3) Z [t 2 ] = ∑ k 2T 2 z ? k = T 2 ∑ ( ?1) zk =0 k =0d d ∞ (kz ? k ) = ? T 2 z ∑ kz ? k dz dz k = 0= ?T 2 zd z T 2 z ( z + 1) [ ]= ( z ? 1)3 dz ( z ? 1) 23-5利用不同方法求下列函数的 z 反变换。 (1) F ( z ) =z z ? 0.5(2) F ( z ) =(1 ? e ?T ) z ( z ? 1)( z ? e ?T )d-11(3) F ( z ) =z ( z ? 2)( z ? 1) 2解：(1) 查表， f (k ) = 0.5k ， f * (t ) = ∑ 0.5k δ (t ? kT )k =0∞(3)F ( z) 1 1 1 1 = = ? ? ，查表可得 2 z ( z ? 2)( z ? 1) z ? 2 z ? 1 ( z ? 1) 2∞f (kT ) = 2k ? 1 ? k ， f * (t ) = ∑ (2k ? 1 ? k )δ (t ? kT )k =03-6试确定下列函数的初值及终值。 (1) E ( z ) =z2 ( z ? 0.5)( z ? 1)(2) E ( z ) =z2 ( z ? 0.8)( z ? 0.1)解： (1) 初值e(0) = lim E ( z ) = limz →∞z2 =1 z →∞ ( z ? 0.5)( z ? 1) z2 =2 ( z ? 0.5)( z ? 1)终值 e(∞) = lim( z ? 1) E ( z ) = lim( z ? 1)z →1 z →13-7用 z 变换法求解下列差分方程。 (1) c(k + 1) ? bc(k ) = r (k ) ，已知输入信号 r (k ) = a k ，初始条件 c(0) = 0 。 (2) c(k + 2) + 4c(k + 1) + 3c(k ) = 2k ，已知初始条件 c(0) = c(1) = 0 。 (3) c(k + 2) + 5c(k + 1) + 6c(k ) = 0 ，已知初始条件 c(0) = 0, c(1) = 1 。 求 c(k ) 。解： (1) 对差分方程进行 z 变换，得( z ? b)C ( z ) =z 1 z z z ，所以， C ( z ) = ( )， = ? z?a ( z ? a )( z ? b) (a ? b) z ? a z ? b1 (a k ? bk ) a ?b (2) 对差分方程进行 z 变换，得z 反变换，得c(k ) =( z 2 + 4 z + 3)C ( z ) =2 2z 2z ， C ( z) = ， Z [kT ] = 2 2 ( z ? 1) ( z ? 1) ( z 2 + 4 z + 3) TC ( z) 2 A B C D = = + + + 2 2 z ( z ? 1) ( z + 1)( z + 3) ( z ? 1) ( z ? 1) ( z + 1) ( z + 3) A = limz →1d 2 C ( z) = 1/ 4 ； [ ] = ?3/16 ； B = lim( z ? 1) 2 z →1 dz z 2 + 4 z + 3 z2 z =?1C=2 ( z ? 1) ( z + 3)= 1/ 4 ； D =2 ( z ? 1) 2 ( z + 1)d-12Z =?3= ?1/16 。C ( z) =1 z 3 z 1 z 1 z ? + ? 2 4 ( z ? 1) 16 ( z ? 1) 4 ( z + 1) 16 ( z + 3) 1 [4k ? 3 + 4(?1) k ? (?3) k ] 16z 反变换， c(k ) =3-8已知以下离散系统的差分方程，求系统的脉冲传递函数。 (1) c(k ) + 0.5c( k ? 1) ? c(k ? 2) + 0.5c(k ? 3) = 4r (k ) ? r (k ? 2) ? 0.6r ( k ? 3) ； (2) c(k + 3) + a1c(k + 2) + a3c( k ) = b0 r (k + 3) + b2 r ( k + 1) + b3 r (k ) 且初始条件为零。解： (1) 对差分方程进行 z 变换，得(1 + 0.5 z ?1 ? z ?2 + 0.5 z ?3 )C ( z ) = (4 ? z ?2 ? 0.6 z ?3 ) R ( z )G( z) =C ( z) (4 ? z ?2 ? 0.6 z ?3 ) = R ( z ) (1 + 0.5 z ?1 ? z ?2 + 0.5 z ?3 )3-9试列出题图 3-9 所示计算机控制系统的状态方程和输出方程。图中D( z ) = (1 + 0.5 z ?1 ) /(1 + 0.2 z ?1 ), G0 ( s ) = 10( s + 5) / s 2 , T = 0.1s 。题图 3-9题 3-9 系统框图解：(1) 被控对象离散化：G( z) = Z[1 ? e ? sT 10( s + 5) Tz 5T 2 z ( z + 1) 1.25( z ? 0.6) ] = 10(1 ? z1 )[ + ]= s s2 ( z ? 1) 2 ( z ? 1)3 ( z ? 1) 2依串行法写状态方程：G( z) =1.25 ( z ? 0.6) ( z ? 1) ( z ? 1)x1 (k + 1) = x1 (k ) + 1.25u ( k ) x2 (k + 1) = x2 (k ) + x1 (k + 1) ? 0.6 x1 (k ) = x2 (k ) + [ x1 (k ) + 1.25u (k )] ? 0.6 x1 (k ) = 0.4 x1 (k ) + x2 (k ) + 1.25u (k )? x1 (k + 1) ? ? 1 0 ? ? x1 ( k ) ? ?1.25? ? x (k + 1) ? = ? 0.4 1 ? ? x (k ) ? + ?1.25? u (k ) ?? 2 ? ? ? ? 2 ? ?y (k ) = x2 (k )d-13(2) 控制器离散化D( z ) =状态方程为0.3 z + 0.5 =1+ z + 0.2 z + 0.2x3 (k + 1) = ?0.2 x3 (k ) + 0.3e(k ) u ( k ) = x3 (k ) + e(k )e( k ) = r ( k ) ? y ( k )(3) 闭环系统方程x1 ( k + 1) = x1 (k ) + 1.25 x3 (k ) + 1.25r (k ) ? 1.25 x2 (k ) x2 (k + 1) = 0.4 x1 (k ) + x2 (k ) + 1.25 x3 (k ) + 1.25r (k ) ? 1.25 x2 (k ) x3 (k + 1) = ?0.2 x3 (k ) + 0.3r (k ) ? 0.3 x2 (k )? x1 (k + 1) ? ? 1 ?1.25 1.25 ? ? x1 ( k ) ? ?1.25? ? ? ? ? ? ?? ? ? x2 (k + 1) ? = ? 0.4 ?0.25 1.25 ? ? x2 (k ) ? + ?1.25? r (k ) ? x3 (k + 1) ? ? 0 ?0.3 ?0.2 ? ? x2 (k ) ? ?0.3 ? ? ?? ? ? ? ? ? ? x1 (k ) ? y ( k ) = [ 0 1 0] ? x2 (k ) ? ? ? ? x3 ( k ) ? ? ?3-10 试用 C ( z ) 表示题图 3-10 所列系统的输出，指出哪些系统可以写出输出对输入的脉冲 传递函数，哪些不能写出。题图 3-10 习题 3-10 所示系统解： (a) 不能， C ( z ) = RG ( z ) ； (b) 能（输出加虚拟开关） C ( z ) = R ( z )G ( z ) ； ， (c) 能（输出加虚拟开关） C ( z ) = ，R ( z )G ( z ) ； 1 + GH ( z )d-14(d) 不能， C ( z ) =RG ( z ) ； 1 + GH ( z )(e) 能， C ( z ) =R ( z )G ( z ) ； 1 + G( z)H ( z) RG1 ( z )G2 ( z ) 1 + G2 HG1 ( z )(f) 不能， C ( z ) =3-11 试分别求如题图 3-11 所示的两个系统的阶跃响应采样序列， 并比较其结果可得什么结 论（设 T=1 秒） 。题图 3-11 系统方块图解：(a) G ( z ) = Z ?1 ? z (1 ? e?T ) = ; ? ?T ? s ( s + 1) ? ( z ? 1)( z ? e ) ? C ( z) =R(z)=z z -1G( z) 0.632 z 2 R( z ) = ； 2 1 + G( z) ( z ? 1)( z ? 0.735 z + 0.368)通过长除法，得 C ( z ) = 0.632 z ?1 + 1.096 z ?2 + 1.205 z ?3 + 1.2 z ?4 + 1.104 z ?5 + 0.98 z ?6 + ???? 1 ? e ?Ts ? 0.368 z + 0.264 (b) G ( z ) = Z ? 2 ； ?= ? s ( s + 1) ? ( z ? 1)( z ? 0.368) C ( z) = (0.368 z + 0.264) z G( z) R( z ) = 1 + G( z) ( z ? 1)( z 2 ? z + 0.632)通过长除法，得 C ( z ) = 0.368 z ?1 + 1.0 z ?2 + 1.4 z ?3 + 1.4 z ?4 + 1.147 z ?5 + 0.894 z ?6 + ??? 比较可见，加入零阶保持器后，系统响应升起较慢，振荡性加强，稳定性差。 3-12 热蒸汽加热系统如题图 3-12(a)所示。进气阀门开度由线圈控制的铁心带动。水箱内水 温由热电偶检测。系统方块图如题图 3-12(b)所示。若 D ( z ) = 1 ，T=0.2 秒，试求闭环 传递函数、单位阶跃响应和稳态值。d-15题图 3-12习题 3-12 加热系统结构图?1 ? e ?Ts 20 ? 1.28 解： G ( z ) = Z ? 1.25 × 0.8 ?= s 3s + 1 ? z ? 0.936 ? Φ( z ) = 1.28 G ( z ) D( z ) = 1 + 0.04G ( z ) D( z ) z ? 0.885 1.28 z = 11.1 z ? 0.885 z ? 1c(∞) = lim( z ? 1)z →13-13 题图 3-13(a)是以太阳能作动力的“逗留者号”火星漫游车，由地球上发出的路径控制 信号 r (t ) 对该装置实施摇控，控制系统结构如题图 3-13 (b)所示，其中 n(t ) 为干扰（如 岩石）信号。控制系统的主要任务就是保证漫游车对斜坡输入信号 r (t ) = t ( t & 0) 具有 较好的动态跟踪性能， 并对干扰信号具有较好的抑制能力。 若令数字控制器 D ( z ) = 1 和 。 增益 K = 2 ，试求输出对输入信号及干扰信号 n 的输出表达式（设 T=0.1 秒）d-16题图 3-13 火星漫游车控制系统解： G ( z ) = (1 ? z ?1 ) Z ??1 ? 1× 3 ? ? 3 s ( s + 1)( s + 3) ?? z ? 3z z 0.004125( z + 1) = 0.333(1 ? z ?1 ) ? ? + = ?T ?3T ? z ? 1 2( z ? e ) 2( z ? e ) ? ( z ? 0.74)( z ? 0.905) ?φ ( z) =2 × 0.004125( z + 1) 0.00825( z + 1) KD( z )G ( z ) = = 2 1 + KD( z )G ( z ) ( z ? 0.74)( z ? 0.905) + 2 × 0.004125( z + 1) z ? 1.640 z + 0.678 GN ( z ) ； 1 + KD( z )G ( z )YN ( z ) =? ? ? z ? 1 3z z GN ( z ) = Z ? ? = 0.33 ? z ? 1 ? 2( z ? e ?T ) + 2( z ? e?3T ) ? ? s ( s + 1)( s + 3) ? ? ? 0.004125( z + 1) z = ( z ? 0.74)( z ? 0.905)( z ? 1)YN ( z ) = GN ( z ) 0.004125( z + 1) z = 2 1 + KD( z )G ( z ) ( z ? 1.640 z + 0.678)( z ? 1)3-14 气体成分控制系统如题图 3-14(a)所示。其中阀门开度由线圈控制的铁心位移控制。培 育室内二氧化碳含量由气体分析仪测定，气体分析仪是一个时滞环节。系统动态结构 图如题图 3-14(b)所示。若采样周期 T = 45 s ，试求闭环传递函数。令 k=1，D(z)=1。d-17题图 3-14习题 3-14 气体成分控制系统解：?1 ? e ?Ts 30 ? 30Tz 30T ?1 ； = G( z) = Z ? ? = (1 ? z ) 2 s ? ( z ? 1) ( z ? 1) ? s ?1 ? e ?Ts 30 ?Ts ? ? 30 ? GH ( z ) = Z ? e ? = (1 ? z ?1 )Z ? 2 e ?Ts ? s s s ? ? ? ?其中 Z ?? ? 30 Tz T ? 30 ?Ts ? ?? = 30 e ? = Z ? L?1 ? 2 e?Ts ? ? = Z [30t (t ? T ) ] = 30 z ?1 2 2 ( z ? 1) ( z ? 1) 2 ?s ? ?? ? ?s30T 30T = 2 ( z ? 1) z ( z ? 1)所以， GH ( z ) = (1 ? z ?1 )Φ( z ) =30Tz D ( z )G ( z ) = 1 + D( z )GH ( z ) z ( z ? 1) + 30T 1350 z z 2 ? z + 1350若采样周期 T = 45 s ，则有 Φ ( z ) =3-15 车床进给伺服系统如题图 3-15(a)所示。电动机通过齿轮减速机构带动丝杠转动，进而 使工作台面实现直线运动。该系统为了改善系统性能，利用测速电机实现测速反馈。 试将该系统改造为计算机控制系统。连续系统的结构框图如题图 3-15(b)所示。若 D( s ) = 1 ，试求数字闭环系统传递函数。令 T=0.1s，K1 =Kx =1，K2 =0.1，Km =40，a=2。d-18题图 3-15 习题 3-15 车床进给伺服系统解：在控制器之后加入 D/A 变换器，在转角及测速传感器之后加入 A/D 变换器，输入信号 可以认为是数字信号。?1 ? e ?Ts 40 ? ? 40 ? ?1 G( z) = Z ? ? = (1 ? z ) Z ? 2 ? ? s ( s + 2) ? ? s s ( s + 2) ? ? Tz (1 ? e ?2T ) z ? 0.2( z + 0.92) = 20(1 ? z ?1 ) ? ? = ?2T ? 2 2( z ? 1)( z ? e ) ? ( z ? 1)( z ? 0.818) ? ( z ? 1)因为 H ( s ) = (0.1s + 1) ，所以有?1 ? e ?Ts 40(0.1s + 1) ? ? ( s + 10) ? ?1 GH ( z ) = Z ? ? = 4(1 ? z ) Z ? 2 ? s ( s + 2) ? ? s ( s + 2) ? ? s该式的 z 变换，在一般 z 变换表难于查到，但稍做处理即可求得：? Tz ? ( s + 10) ? ? 1 10 ? 0.5 z (1 ? e ?2T ) 0.5(1 ? e ?2T ) z ? Z? 2 ? = Z ? s ( s + 2) + s 2 ( s + 2) ? = ( z ? 1)( z ? e ?2T ) + 5 ? ( z ? 1) 2 ? ( z ? 1)( z ? e ?2T ) ? ? s ( s + 2) ? ? ? ? ? =所以5Tz 2z 2z ? + ( z ? 1) 2 ( z ? 1) ( z ? e ?2T )GH ( z ) = 4(1 ? z ?1 )[5Tz 2z 2z 0.544( z ? 0.33) ? + ]= 2 ?2T ( z ? 1) ( z ? 1) ( z ? e ) ( z ? 1)( z ? 0.818)d-19Φ( z ) =D ( z )G ( z ) 0.2( z + 0.92) = 2 1 + D( z )GH ( z ) z ? 1.274 z + 0.6383-16 采用部分分式展开法求以下函数的 z 变换。 (1) F ( s ) =a?b ( s + a )( s + b)(2) F ( s ) =5 s ( s + 1)23-17 序列 f(k) 的 z 变换为 F ( z ) =z ?1 ( z ? 1)( z + 1)(1) 用终值定理求 f(k) 的终值； (2) 通过求 F(z) 的反变换检验上述结果。 3-18 已知采样系统的脉冲传递函数为C ( z) = G( z) = R( z )∑b zk =0 N k k =0Mk∑ ak z kN≥M试证明c(k ) = ∑N ?1 bk a r ((k ? N + k )T ) ? ∑ k c((k ? N + k )T ) k = 0 aN k = 0 aN M并用该式求取C ( z) z +1 的 c(k ) 值。 = 2 R( z ) z ? z + 1 ?1 ? e ? sT ? 2 ，试求取 G ( z ) = Z ? G ( s ) ? ，并讨论其零 ( s + 1)( s + 2) ? s ?3-19 已知连续传递函数 G ( s ) =点随采样周期的变化情况。 3-20 已连续传递函数 G ( s ) =6(1 ? s ) ， 如采用零阶保持器时， 试求取其脉冲传递函数， ( s + 3)( s + 2)并确定当采样周期为多大时，其零点均在单位园内。 3-21 通常，直流电动机可用下述连续传递函数或状态空间模型描述G ( s) =km Θ( s ) = U ( s ) s (Tm s + 1) 0 ? ? x1 ? ? km ? + u 0 ? ? x2 ? ? 0 ? ?? ? ? ?? x1 ? ? ?T ?x ? = ? 1 ? 2? ?式中 Θ 为电机转角，U 为电机控制电压。若令 km = 1, Tm = 1 ，试确定 (1) 通过零阶保持器采样时，系统的离散状态空间模型； (2) 脉冲传递函数； (3) 输入与输出的差分方程；d-20(4) 脉冲传递函数极点与零点随采样周期变化的关系。1 3-22 已知 G ( s ) = e ?Ts ，试求其脉冲传递函数，并分析采样系统的极点和零点。 s3-23 试用级数展开法求题图 3-23 系统离散状态方程，并画出结构图。题图 3-23 系统结构图3-24 试推导下述连续系统相对应的具有零阶保持器的离散状态方程。(T=1s) d2y dy du (1) + 3 + 2y = + 3u 2 dt dt dt d3y =u (2) dt 3 3-25 很多物理系统可以用下述方程描述? x1 ? ? ? a b ? ? x1 ? ? f ? ? x ? = ? c ? d ? ? x ? + ? g ? u (t ) ?? 2? ? ? ? 2? ?式中 a、b、c、d 是非负数，试求采用零阶保持器时采样系统的方程。(注：首先应证 明系统极点为实极点)第4章 习 题4-1s 平 面 上 有 3 对 极 点 ， 分 别 为 s1,2 = ?1 ± j1.5, s3,4 = ?1 ± j8.5, s5,6 = ?1 ± j11.5,ωs = 10 ，试求在 z 平面上相应极点的位置，并绘出示意图。解：(1) 对 s1,2 = ?1 ± j1.5 ，有：z1,2 = e( ?1± j1.5)T ,T = 2π / ωs = 0.628; R1,2 = e ?0.628 = 0.534;θ = ±1.5 × 0.628 = ± 0.942 rad = ±54 ； z1,2 = 0.53∠ ± 54o(2) z3,4 = e( ?1± j 8.5)×0.628 = 0.53∠ ± 306o = 0.53∠ ± 54o (3) z5,6 = e( ?1± j11.5)×0.628 = 0.53∠ ± 414o = 0.53∠ ± 54o 由上面的计算结果可见，这三对 s 平面的极点都映射到 z 平面的同一对极点的位置上。 4-2 已知 s 平面上实轴平行线上点的位置（ A、B、C ）如题图 4-2（a）和（b）所示，试 分别画出映射到 z 平面上点的位置。d-21题图 4-2(σ ± jω )T习题 4-2 图解：依据 z = e = e ∠ωT 进行判断。 (1) 题图 4-2 -1(a) ： Ai 各点均映射在 z 平面单位园内正实轴上同一点。 Bi 各点均映射在 z 平面单位园内正实轴上同一点，但更靠近 z=1 点。 Ci 各点均映射在 z 平面单位园外正实轴上同一点。 (2) 题图 4-2 -1(b) ： Ai 各点均映射在 z 平面单位园内负实轴上同一点。 Bi 各点均映射在 z 平面单位园内负实轴上同一点，但更靠近 z=-1 点。 Ci 各点均映射在 z 平面单位园外负实轴上同一点。σT(a) 题图 4-2-1(b)4-3已知 z 平面上的点 z1,2 = ?0.5 ± j 0.5 ，试求其映射至 s 平面上的位置，设采样周期T = 0.1s 。画出 s 平面极点位置示意图。解：因为 z = e(σ ± jω )T = ?0.5 ± j 0.5 ，所以有 R = eσ T = 0.5 2 ， σ =1 ln 0.5 2 = ?3.47 Tθ = ωT = 1350 (tgθ = ?0.5 / 0.5) ，所以有 ω =1 ∠135 / 57.3 = 23.6rad / s Ts = ?3.47 ± j (23.6 + kωs ),ωs = 2π / T = 62.8 rad/s4-4 已知 s 平面上封闭曲线如题图 4-4 所示（①→②→③→④→⑤→①） ，试画出映射至 z 平面的封闭曲线。d-22题图 4-4 习题 4-4 图解：图 4-4 所示 s 平面封闭曲线映射至 z 平面的封闭曲线如题图 4-4-1 所示。图形对横轴是 对称的。jωz平面等阻尼比线 2 31等频率线题图 4-4-1 习题 4-4 图解答4-5已知离散系统闭环特征方程分别为 (1) Δ( z ) = ( z + 1)( z + 0.5)( z + 2) = 0 (2) Δ( z ) = 2 z 2 + 0.6 z + 0.4 = 0 (3) Δ( z ) = z 3 + 2 z 2 + 1.31z + 0.28 = 0 ，试判断其稳定性。解：(2) 依 2 阶系统稳定条件，Δ( z ) = 2 z 2 + 0.6 z + 0.4 = z 2 + 0.3 z + 0.2 = 0 Δ (0) = 0.2 & 1； (1) = 1.5 & 0； (?1) = 0.9 & 0 Δ Δ系统稳定。 (3) 对于 3 阶系统，本书没有提供代数判断条件，可利用 MATLAB 求特征根 P=[1 2 1.31 0.28] ; rs=roots(P)' 运行结果为： rs = -0.0 -0.5000 即系统的极点为： z1 = ?0.5;z2 = ?0.7;z3 = ?0.8 其模值均小于 1，系统稳定。4-6已知系统的结构图如题图 4-6 所示，其中 k = 1, T = 0.1s ，输入 τ ，试用稳态误差系数 法求稳态误差，并分析误差系数与 T 的关系。d-23题图 4-6? T ? k ? 1 ? e ?T ? T ( z ? e ?T ) ? (1 ? e ?T )( z ? 1) 解： G ( z ) = (1 ? z ?1 ) Z ? 2 ? = k ? z ? 1 ? z ? e ?T ? = ( z ? 1)( z ? e ?T ) ? s ( s + 1) ? ? ?k p = lim G ( z ) = ∞z →1kv =1 T ( z ? e?T ) ? (1 ? e?T )( z ? 1) lim( z ? 1) =1 T z →1 ( z ? 1)( z ? e ?T )可见加入该信号，稳态误差为 1，且与采样周期无关。 4-7 汽车行驶速度控制系统的结构图如题图 4-7 所示。设 D( z ) = k ，试判断干扰力矩 Mf 为单位阶跃时所产生的稳态误差（依图直接判断） T = 0.2 s ，求使系统稳定的 k 值 。若 范围。若该系统为连续系统时，结果又如何。并比较说明之。题图 4-7习题 4-7 汽车行驶速度控制系统的结构图解：(1) 从图中可见，稳态时为对消 Mf 的干扰，综合点处误差e = M f / 0.64k如折算到速度 v，则 Δv = 50 M f / 0.64 × 0.03k = 2604 / k?1 ? e ?Ts 0.64 10 ? 8 40 ? ? 32 ?1 (2) G ( z ) = Z ? ? ? = (1 ? z ) Z ? + ? ? s s + 1 s + 0.2 ? ? s s + 1 s + 0.2 ?8z 40 z ? 32 z + ? = (1 ? z ?1 ) ? ?T z ? e ?0.2T ? z ?1 z ? e? 0.11824( z + 0.923) ? = ( z ? 0.819)( z ? 0.96) ?Δ( z ) = ( z ? 0.819)( z ? 0.96) + 0.03 × 0.11824k ( z + 0.923) = 0= z 2 ? (1.779 ? 0.00355k ) z + (0.78624 + 0.00327 k ) = 0Δ (0) = 0.78624 + 0.00327 k & 10.78624 + 0.00327 k & 1; k & 65.98 0.78624 + 0.00327 k & ?1; k & 0Δ (1) = [1 ? (1.779 ? 0.00355k ) + 0.78624 + 0.00327 kd-24= (0.00724 + 0.00682k ) & 0; k & 0 Δ (?1) = [1 + (1.779 ? 0.00355k ) + 0.78624 + 0.00327 k ] = (3.565 ? 0.00028k ) & 0; k & 12732所以， 0 & k & 65.98 (3) 若为连续系统，由于闭环系统为 2 阶系统，故有 0 & k & ∞ 4-8 已知单位反馈离散系统开环传递函数为G( z) =k (1 ? e?T Tm)z? T Tm( z ? 1)( z ? e)试求使系统稳定时，k 与 T 的关系式。 解：闭环系统特征方程为Δ ( z ) = 1 + G ( z ) = ( z ? 1)( z ? e ?T / Tm ) + kz (1 ? e ?T / Tm ) = 0 Δ ( z ) = z 2 + [(k ? 1) ? e ?T / Tm (k + 1)] z + e ?T / Tm = 0依 2 阶系统稳定条件，有Δ (0) = e?T / Tm & 1 ，此条件成立。Δ (1) = 1 + (k ? 1) ? e ?T / Tm (k + 1) + e ?T / Tm & 0 k (1 ? e ?T / Tm ) & 0;k &0Δ (?1) = 1 ? k + 1 + e ?T / Tm (k + 1) + e ?T / Tm & 0 2 ? k + e ?T / Tm (k + 2) & 02(1 + e?T / Tm ) 由此解得 k & 1 ? e?T / Tm2(1 + e?T / Tm ) ，所以可得 0&k & 1 ? e?T / Tm k ?2 k+2 ，即 T & Tm ln 进一步，由第 3 条件，可得 e ?T / Tm & k+2 k ?2令采样周期 T 趋于 0，k 值又如何？ 试确定题图 4-9 所示系统使系统稳定的 k 值范围， 若将该系统作为连续系统，结果又如何？对上述结果进行讨论？4-9题图 4-9习题离散系统结构图1 ? 1 1 k (e ?T ? e ?2T ) z ?1 ? k ? ? =k? ? = 解：(1) G1G2 ( z ) = Z ? ?T ?1 ? 1 ? e?2T z ?1 ? (1 ? e?T z ?1 )(1 ? e ?2T z ?1 ) ? s + 2 s + 1? ?1 ? e z ?d-25Δ ( z ) = (1 ? e ?T z ?1 )(1 ? e ?2T z ?1 ) + k (e ?T ? e ?2T ) z ?1 = 0 Δ ( z ) = z 2 + [k (e ?T ? e ?2T ) ? (e ?T + e ?2T )]z + e ?3T = 0Δ (0) = e ?3T & 1 Δ (1) = {1 + [k (e?T ? e?2T ) ? (e ?T + e ?2T )] + e?3T } & 0k&(e?T + e?2T ) ? e?3T ? 1 (e?T ? e?2T )Δ (?1) = {1 ? [ k (e ?T ? e?2T ) ? (e?T + e?2T )] + e ?3T } & 0k&(e?T + e?2T ) + e?3T + 1 (e?T ? e?2T )(2) 当 T 趋于 0 时，从上式的极限值为 0 & k & ∞ (3) 若为连续系统，则特征方程为 s 2 + 3s + 2 + k = 0 为使系统稳定要求(k+2) &0；故 ?2 & k & ∞ 结论：(1) 离散系统稳定性比连续系统差，稳定增益范围小； (2) T 趋于 0 时，系统并不等于连续系统，按采样系统计算 k 范围小。 4-10 给定系统如题图 4-10 所示，设指令输入 R ( s ) = 1/ s, D ( z ) = k ，扰动输入 N ( s ) = A / s ，T = 0.2 s, G p ( s ) =1 , G2 ( s ) = 1 ，当 A = 1, k = 2 ，系统的稳态误差如何？ s +1题图 4-10? 1 ? 0.182 解： G ( z ) = (1 ? z ?1 ) Z ? ? = z ? 0.818 ； ? s ( s + 1) ?(1) 首先判稳定性 Δ( z ) = z ? 0.818 + 2 × 0.182 = z ? 0.454 = 0,z = 0.454 ；系统稳定。 (2) 系统为 0 型系统； k p = 2, 所以输入信号稳态误差 erss = (3) 求干扰引起的输出1 1 = = 0.33 1+ kp 1+ 2? 1 ? 0.182 z GN ( z ) = Z ? ? = ( z ? 0.818) ( z ? 1) ； ? s ( s + 1) ?d-26CN ( z ) =GN ( z ) GN ( z ) 0.182 z , 取 D(z)=k=2， C N ( z ) = = , 1 + D ( z )G ( z ) 1 + D ( z )G ( z ) z-0.454 z-1 0.182 z = 0.333 z-0.454 z -1稳态值即为稳态误差， cnss = lim( z ? 1)z →1(4) 总误差 ess = erss + enss = 0.664-11 写出开环脉冲传递函数 G ( z ) = 解： G ( z ) =z 的脉冲响应表达式，并绘出曲线。 z ? z + 0.52ci z ci +1 z z = + z ? z + 0.5 z ? (0.5 + j 0.5) z ? (0.5 ? j 0.5)2o oci = lim G ( z )( z ? z1 ) = 0.5e ? j 45 ； ci +1 = lim G ( z )( z ? z2 ) = 0.5e j 45z → z1 z → z2c(k ) = 2 0.5( 0.5) k cos(0.25kπ ? 0.25π )k = 0, c(0) = 2 cos(?0.25π ) = 1 k = 1,c(1) = 2 × 0.5 cos(0) = 1 k = 2, c(2) = 2 × ( 0.5) 2 cos(0.25π ) = 0.5 k = 3,c(3) = 2 × ( 0.5)3 cos(0.5π ) = 0 k = 4,c(4) = 2 × ( 0.5) 4 cos(0.75π ) = ?0.254-12 如题图 3-13 所示的火星漫游车控制系统， D( z ) = 1, T 分别为 0.1s 及 1s ， 若 试确定使系 统稳定的 k 值范围。 解：(1) T=0.1 秒φ ( z) =0.004125k ( z + 1) KD( z )G ( z ) = 1 + KD( z )G ( z ) ( z ? 0.74)( z ? 0.905) + 0.004125k ( z + 1)Δ ( z ) = z 2 ? (1.645 ? 0.004125k ) z + 0.67 + 0.004125k = 0依 Δ (0) = 0.67 + 0.004125k & 1, 可得 0 & k & 80Δ(1) & 0, 可得 k & 0 Δ( ?1) & 0, 该式成立。(2) T=1 秒?1 ? 1× 3 G ( z ) = (1 ? z ?1 ) Z ? ? ? 3 s ( s + 1)( s + 3) ? ? z ? 3z 0.156( z + 0.194) z = 0.333(1 ? z ?1 ) ? ? + = z ? 1 2( z ? e ?T ) 2( z ? e ?3T ) ? z 2 ? 0.418 z + 0.0184 ? ?d-27Δ ( z ) = z 2 ? 0.418 z + 0.0184 + k 0.156( z + 0.194) = 0 Δ ( z ) = z 2 ? (0.418 ? 0.156k ) z + 0.0184 + 0.156 × 0.194k = 0依 Δ (0) = 0.0184 + 0.156 × 0.194k & 1 ，可得 0 & k & 32.4Δ(1) & 0, 得 k&0 ； Δ( ?1) & 0 ，得 k&11.42最后可知，系统稳定要求 0 & k & 11.2 。 4-13 双关节机械臂如题图 4-13 （a） 所示。 简化后系统结构图如题图 4-13 （b） 若 D ( z ) = 1 ， 。 试画出连续系统及采样周期 T = 0.1s 及 T = 1s 开环对数频率特性曲线，并求其稳定裕 度。题图 4-13 习题 4-13 双关节机械臂结构图解：?1 ? e ?Ts ? 2 z 2z ? ?1 ? z G ( z ) = 0.5Z ? + ? ? = 0.5(1 ? z ) ? ?2T z ? e ?T ? ? z ?1 z ? e ? ? s ( s + 2)( s + 1) ?=(e ?2T ? 2e?T + 1) z + (e ?3T ? 2e?2T + e?T ) z 2 ? (e ?2T + e?T ) z + e ?3T开环对数频率特性曲线如题图 4-13-1 所示。 开环对数频率特性曲线如题图 4-13-2 所示。T=0.1 T=10.004( z + 1.125) z 2 ? 1.723 z + 0.74 0.1995( z + 0.371) G( z) = 2 z ? 0.503 z + 0.05 G( z) =d-280 -20 -40 -60 -80 -2 10 010-1100101102-200-400-600 -2 1010-1100101102题图 4-13-1-5 -10 -15 -20 -25 -2 10 010-1100101102-500-1000-10-1100101102题图 4-13-24-14 已知 z 平面复极点 zi ，试求相应 s 平面极点的阻尼比及无阻尼自然频率。 4-15 题图 4-15 为水位高度控制系统略图。电机通过减速器控制 N 个阀门的开度，水箱底 面积为 A，进水量为 q i (t ) = ki Nθ c (t ) ( θ c 为电机转角)，出水量 qo (t ) = ko h(t ) ，水箱高 度的水位方程为 h(t ) = 为1 t 1 t ∫0 (qi (t ) ? q0 (t ))dt = A ∫0 (ki Nθc (t ) ? k0 h(t ))dt ，对应传递函数 Ah(t ) 0.06 N kN h (t ) = i 。在本系统中，根据已给参数可得 = ，另外，直流电 θ c (t ) As + ko θ c (t ) s +1d-29机的传递函数为θc ( s)ua ( s )=1.7 ，驱动电机的功率放大器系数 ka =50；电位计的 s ( s + 12.5)传递系数 ks =1；减速比 i=100。 (1) 若 D( z ) = kd =1，T=0.05，试求使系统稳定的最大阀门数 N； (2) 如考虑 A/D 的变换误差为 5%，试求系统保持水位高度的稳态误差。题图 4-15水箱控制系统原理示意图4-16 微机控制的直流电机速度控制系统如题图 4-16 所示。 其中 vc = 24 伏， m = 5rad / s / V ， kTm = 0.05s ，p=100 脉冲/周。设采样周期 T=0.1s。试求使系统稳定的 D( z ) = kd 值以及 kd = 1 时，系统单位阶跃响应特性及稳态值。题图 4-16直流电机速度控制系统示意图4-17 数 字 飞 船 控 制 系 统 如 题 图 4-17 所 示 。 若 采 样 周 期 T=0.264s ， JV = 41822 ，k p = 1.65 × 106 ，试推导系统开环及闭环传递函数，并求使系统稳定的临界 kr 值。题图 4-17 数字飞船控制系统4-18 已知单位负反馈闭环系统传递函数为d-30Φ( z ) =z + 0.5 3( z ? z + 0.5)2T=1s试求开环传递函数，并绘制 Bode 图，求相位、增益稳定裕度。 4-19 试求题 3-12 所示热蒸汽加热系统的相位、 幅值稳定裕度及单位阶跃响应特性和稳态误 差。令 D( z ) = kd 分别为 1、10，采样周期 T 分别为 0.2s 及 1s。 4-20 若开环传递函数为 G ( s ) = 1/ s ( s + 1) ， 试绘制连续系统奈奎斯特图及带零阶保持器和不 带零阶保持器离散系统的奈奎斯特图，设采样周期 T=0.2s。第5章 习 题1 ，采样周期 T=1s，若分别采用向前差分法和向 s + 0.2s + 1 后差分法将其离散化，试画出 s 域和 z 域对应极点的位置，并说明其稳定性。 1 3 11 j 稳定 解：(1) s 域对应的极点为： s1,2 = ? + 10 10 (2) 向前差分法离散化：5-1 已知连续传递函数 D( s ) =2D( z ) = D( s) |s=z ?1 = T1 ( z ?1 2 z ?1 ) + 0.2( ) +1 T T=T2 1 = z 2 + (0.2T ? 2) z + T 2 ? 0.2T + 1 z 2 ? 1.8 z + 1.8不稳定z 域对应的极点为： z1,2 = (3) 向后差分法离散化：9 3 11 + j 10 10z2 0.455 z 2 D( z ) = D( s ) | z ?1 = = = s= z ?1 2 z ?1 2.2 z 2 ? 2.2 z + 1 z 2 ? z + 0.455 Tz ( ) + 0.2( ) +1 Tz Tz 1z 域对应的极点为： z1,2 = 0.5 ± 0.4523 j 稳定（变换方法的基本练习，要求不使用 MATLAB 的有关指令。 ）5-21 ，采样周期 T=0.1s。 0.05s + 1 (1) 用突斯汀变换法求其脉冲传递函数 D(z)。设连续传递函数 D( s ) = (2) 用频率预修正突斯汀变换求其脉冲传递函数 Dm ( z ) 。 (3) 在转折频率 ω = 20rad / s 处，分别计算 D( s ) 、 D ( z ) 、 Dm ( z ) 的幅值与相位，并比较之。 解：T=0.1s 用 tustin 变换，d-31D( z ) =1 0.05s + 1z ?1 s = 20 z +1=20( z + 1) 0.5( z + 1) = 20( z ? 1) + 20( z + 1) z取特征频率为 ω =20 rad/s 用预修正 tustin 变换得 Dm(z)= D( z ) =1 0.05s + 1s=ω z ?1 z ?1 =12.84 tan(ωT / 2) z +1 z +1=0.609( z + 1) ( z + 0.218)0.707，-45deg；在 ω =20 rad/s 处 D(s)的幅值与相位分别是 D(z)的幅值与相位分别是D(e jωT ) = 0.5(1 + z ?1 )幅值 D(e jωT )z = e jωT= 0.5(1 + e ? jωT ) = 0.5(1 + cos(ωT ) ? j sin(ωT ))ω = 20= 0.5 (1 + cos 2) 2 + sin 2 2 = 0.54 = ? tan ?1相角 ∠G (e jωT )sin 2 = ?57.28o 1 + cos 2 Dm(z)的幅值与相位分别是 0.707，-45deg；ω = 205-3设连续传递函数为 D( s ) =s +1 ，试用零极点匹配法使之离散化，令 T = 1s 。 s + 1.4 s + 12解： D ( s ) =( z ? z0 )( z + 1) s +1 s +1 = ; D( z ) = k s + 1.4 s + 1 [ s + (?0.7 ± j 0.714)] ( z ? p1 )( z ? p2 )2z0 = e sT = e ?1 = 0.368 ； p1,2 = e sT = e( ?0.7 ± j 0.714) = 0.496∠ ± 0.714 = 0.375 ± j 0.325D( z ) = k( z ? 0.368)( z + 1) ； z 2 ? 0.75 z + 0.247z =1D( s )s =1= 1 ； D( z )=k(1 ? 0.368)(1 + 1) = 1,k = 0.397 1 ? 0.75 + 0.247所以， D ( z ) =(0.397 z ? 0.1444)( z + 1) z 2 ? 0.75 z + 0.2475-4已知超前校正网络 D ( s ) = 5s+2 ，采样周期 T=0.1s，试用突斯汀变换进行离散化，求 s +8得其脉冲传递函数 DT ( z ) ，画出 D ( s ) 、 DT ( z ) 在 0~3Hz 频段内的幅相频率特性，并比 较之。 解： DT ( z ) = D ( s ) |2 z ?1 s= T z +1=55 z ? 45 3.929 z ? 3.214 = 14 z ? 6 z ? 0.429(1) 连续环节频率特性 3Hz 频率对应于 2π × 3 = 6π = 18.85rad /sw=0:0.1:100; [m,p]=bode(num,den,w);d-32subplot(211);plot(w,m),grid subplot(212);plot(w,p),grid(2) 离散环节频率特性[dm,dp]=dbode(dnum,dden,T,w); subplot(211);plot(w,dm),grid subplot(212);plot(w,dp),grid题图 5-4-1 连续环节频率特性题图 5-4-2 离散环节频率特性频率特性产生畸变，从离散环节频率特性中可以看见周期性。由于采样周期 T=0.1 较 大，故使失真加大。但(0~3)Hz 低频部分类似。5-5已 知 伺 服 系 统 被 控 对 象 的 传 递 函 数 为 G (s) =2 ，串联校正装置为 s ( s + 1)s + 0.06 。采用某种合适的离散化方法，将 D(s)离散为 D(z)，并计算采样 s + 0.004 周期 T 分别为 0.1s，1s，2s 时，计算机控制系统的单位阶跃响应，记录时域指标 D( s ) = 0.35σ %, tr 和ts 。并说明连续域-离散化设计与采样周期 T 的关系。解：选用 tustin 变换， T=0.1s 时D( z ) = 0.35D( z ) =s + 0.06 s + 0.004z ?1 s = 20 z +1=0.351z ? 0.3489 z ? 0.99960.3598 z ? 0.3388 z ? 0.996 0.3695 z ? 0.3277 D( z ) = T=2s 时 z ? 0.992 利用 simulink 进行数学仿真，可得曲线如题图 5-5 所示。T=1s 时d-331.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 00510152025303540题图 5-5T =0.1s 时，（蓝线）单位阶跃响应的超调量=20.04% 峰值时间=4.7s 调节时间=8.4s T =1s 时，（黑线）单位阶跃响应的超调量=39.65% 峰值时间=4.4s 调节时间=15s T =2s 时， （红线）单位阶跃响应的超调量=67.37% 峰值时间=4.4s 调节时间=31s 试求增量式 PID 控制器（理想微分）的脉冲传递函数，设 T = 0.1Tc ， TI = 0.5Tc ，5-6TD = 0.125Tc ， Tc 为临界振荡周期。解：Δu (k ) = k p [ Ae(k ) ? Be(k ? 1) + Ce(k ? 2)] ΔU ( z ) = k p [ A ? Bz ?1 + Cz ?2 ]E ( z ) U ( z ) = z ?1U ( z ) + k p Az 2 ? Bz + C E( z) z2A = (1 + T / TI + TD / T ) = (1 + 0.1/ 0.5 + 0.125 / 0.1) = 2.45 B = (1 + 2TD / T ) = 3.5 C = TD / T = 1.25D( z ) = k p 2.45 z 2 ? 3.5 z + 1.25 z2 ? z2 ，采样周期 T=0.1s，将 G ( s ) s (0.2 s + 1)5-7已知计算机控制系统的连续被控对象为 G ( s ) =变换至 w′ 域，画出 G ( w′) 的对数幅相频率特性曲线草图，并与 G(s)的伯德图作比较。? ? 0.04276( z + 0.837) 2 解： G ( z ) = (1 ? z ?1 ) Z ? 2 ? = ( z ? 1)( z ? 0.607) ? s (0.2 s + 1) ? G ( w′) =0.04276( z + 0.837) ( z ? 1)( z ? 0.607)1+Tw′ / 2 1+ 0.05 w′ = z= 1?Tw′ / 2 1? 0.05 w′=1.999(1 + 0.0044w′)(1 ? 0.05w′) w′(0.205w′ + 1)G(s) 对数幅相频率特性曲线图如题图 5-7-1 所示。G ( w′) 对数幅相频率特性曲线图如题图 5-7-2 所示。 比较可见， ( w′) 的低频特性与 G(s) Gd-34对数幅相频率特性相近，但高频部分由于 G ( w′) 分子上的零点使高频特性畸变。题图 5-7- 1题图 5-7-25-8已知 z 平面上一对特征根为 z1,2 = R∠ ± θ ，其中 R=0.5， θ = π / 4 ，采样周期 T=1s。 求 s 平面上相应特征根的实部和虚部 ( s1,2 = σ ± jω ) ，并计算该对特征根 s1,2 的阻尼比ξ 及无阻尼自然频率 ωn 。解： z = e sT = e(σ T ± j (ωT + 2 kπ )) = R∠θR = eσ T = 0.5 ， 所以σ=1 ln R = ln(0.5) = ?0.6931 T± 6.28k ) = ±0.7854 ± 6.28k 4 所以，s 平面极点位置为 s = ?0.6931 ± j (0.7854 ± 6.28k )ωT + 2π k = θ ，所以 ω = (±θ ± 2π k ) / T = (±πωn = 0.69312 + (0.7854 ± 6.28k ) 2 ； ωξ = σ = 0.6931; ξ = 0.12 + (0.7854 ± 6.28k ) 2k=0 时， ωn = 0.69312 + 0.78542 = 1.0475 ； ωξ = σ = 0.6931 ，所以ξ = 0.5 = 0.66175-9已知天线方位跟踪系统的被控对象模型为 G ( s ) =1 ，采样周期 T=1s，令数字 s (10 s + 1)控制器 D ( z ) = K cz ? 0.905 。试在 z 平面上画出 D(z) G(z)的根轨迹，并取稳态速度误 z + 0.4差系数 K v = 1 处为系统工作点，检验闭环响应。 解： G ( z ) = Z ??1 ? e ? sT ? G ( s )? ? s ?采用 MATLAB 命令，d-35[wnun,wdes]=c2dm([1],[10,1,0],1,'zoh') 得到运行结果： wnun = 0 0.8 wdes = 1.8 0.9048G( z) =z + 0.4 z + 0.0468 = 0.0484 ( z ? 1)( z ? 0.9048) z ? 1.9048 z + 0.90482D ( z ) * G ( z ) = 0.0484 Kc( z + 0.9669)( z ? 0.905) ( z ? 1)( z ? 0.9048)( z + 0.4)numG=[0.8]; denG=[1,-1.8]; T=1; numD=[1,-0.905]; denD=[1,0.4]; [swn1,swd1]=series(numG, denG, numD, denD);得到： 分子 swn1= 0 0.0 -0.0424 分母 swd1=1.8 0.9 画单位圆命令t=0:0.01:2* x1=cos(t);y1=sin(t); plot(x1,y1);hold on rlocus(swn1, swd1)得到下面的根轨迹图如题图 5-9-1。 根据稳态速度误差系数Kv = 1 =( z + 0.9669)( z ? 0.905) 1 lim( z ? 1) D( z )G ( z ) = 0.0484 K c z ?1 T ( z ? 0.9048)( z + 0.4)z =1求得： K c = 14.7372 用[kc,pole]=rlocfind(swn1, swd1)来寻找满足 K c = 14.7372 所对应的极点 找到点： kc = 14.7865 对应得到： pole = 0.9 + 0.5373i -0.0579 - 0.5373iD( z ) = 14.7865z ? 0.905 z + 0.4闭环响应如题图 5-9-2 所示。d-36Root Locus 1.51Kc=14.78650.5Imaginary Axis0-0.5-1-1.5 -2.5-2-1.5-1-0.5 Real Axis00.511.5题图 5_9_1 根轨迹图 题图 5-9-2 闭环响应图5-10 汽车空气与燃料混合比控制系统结构图如题图 5-10 所示，图中 e ?Td s G p (s) = , Td = 1s,τ = 0.25s 1+τ s 近似表示发动机传递函数。若取采样周期 T=0.1s， （1）若令 D(s)=K，试求闭环系统特 征方程并绘制 K 的根轨迹。 （2）若取 D( s ) = K p + K I / s ，且用一阶向后差分法离散， 试绘制 K I = 1 时， K p 的根轨迹。题图 5-10汽车空气与燃料混合比控制系统?1 ? e ?Ts e ?Td s ? ? e ?10Ts ? 0.33 z ?10 0.33 解：(1) G ( z ) = Z ? = (1 ? z ?1 ) Z ? = 10 ? ?= ? s (1 + 0.25s ) ? z ? 0.67 z ( z ? 0.67) ? s 1+τ s ? Δ( z ) = 1 + 0.33k = 0 ； Δ( z ) = z11 ? 0.67 z10 + 0.33k = 0 z ( z ? 0.67)10开环极点为 z1 = 0.67;z2~11 = 0 ；num=[1]; des=[1 -0.67 0 0 0 0 0 0 0 0 0]; zgrid, hold onrlocus(num,des)%画等阻尼比线和等自然频率线 其根轨迹图如题图 5-9-1 所示。 (2) D( z ) = (k p + k I / s )1? z s= T?1=k p (1 ? z ?1 ) + T1? z?1=k ( z ? (k ? 0.1) / k ) , k = 0.1 + k p z ?1Δ( z ) = z12 ? 1.67 z11 + 0.67 z10 + 0.33k ( z ? (k ? 0.1) / k ) = 0d-37可得根轨迹方程 1 +0.33k ( z ? 1) =0 z12 ? 1.67 z11 + 0.67 z10 + 0.033 其根轨迹如题图 5-10-2 所示。1.51 0.6π/T 0.7π/T0.5π/T0.4π/T 0.1 0.3π/T 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.90.50.8π/T0.2π/T0.9π/T Imaginary Axis0.1π/T0π/T π/T0.9π/T0.1π/T-0.50.8π/T0.2π/T0.7π/T 0.6π/T -1 0.5π/T 0.4π/T0.3π/T-1.5 -15-1-05005115题图 5-10-1题图 5-10-25-11 对题图 3-13 所示的火星漫游车控制系统， 试用 z 平面根轨迹法采用零极点对消技术设 计 D(z)。设计要求为： (1) 超调量 σ % ≤ 15% ，调节时间 ts & 2 s ，上升时间 t r ≤ 0.8s 。 (2) 速度误差系数 K v & 5 。采样周期 T=0.1s。 控制系统的主要任务就是保证漫游车对斜坡输入信号 r (t ) = t , t & 0 具有较好的动 态跟踪性能。题图 5-11 火星漫游车控制系统解： (1) 设计指标与理想的 z 平面极点 采样周期 T=0.1s，设计指标为： 超调量 σ % ≤ 15% ；代入式（5-59） σ % = eπξ / ： ： 上升时间； t r ≤ 0.8s ，代入式（5-60） tr =1?ξ 2× 100% ，求得 ξ ≥ 0.5169，求得 Im(s ) ≥ 2.643 ，π ? arccos ξIm( s )T Im(s ) = 0.1 * 2.643 = 0.2643rad = 15.1433o调节时间 t s & 2 s ，代入(5-62)： ts ≈3.5 ，求得 Re( s ) ≥ 1.75 ， Re( s )d-38e ?T Re( s ) = e ?0.175 = 0.839457在 z 平面上，画出 ξ ≥ 0.52 的对数螺旋线、R & 0.8394 的同心圆以及 θ ≥ T Im(s )（取θ = 15.5 o ）的射线，3 条特征曲线包围的阴影区即为满足以上指标的 z 平面极点位置（题图 5-11-1） 画出 ξ = 0.52 的对数螺旋线的 MATLAB 命令：Kexi=0.52; B=acos(Kexi);TB=-1/tan(B); WT=0:0.01:2* EW=exp(WT*TB); x=EW.*cos(WT); y=EW.*sin(WT); plot(x,y, 'r'),hold on画出 R = 0.8394 的同心圆的 MATLAB 命令：t=0:0.01:2*R=0.839; xR=R*cos(t);yR=R*sin(t); x1=cos(t);y1=sin(t); plot(x1,y1,'g'); plot(xR,yR, 'r')画出 θ = 15.5 的 MATLAB 命令：othita=15.5; temp=thita*pi/180; x2=cos(temp);y2=sin(temp); plot([0,x2],[0,y2] , 'r');plot([-1,1],[0,0], 'g'); plot([0,0],[-1,1], 'g');被控对象的脉冲传递函数为?1 ? e ? sT ? 1 ， G( z) = Z ? G(s) = G ( s )? ( s + 1)( s + 3) ? s ?采用 MATLAB 命令，[wnun,wdes]=c2dm([1],[1,4,3],0.1,'zoh')得到运行结果为：wnun = wdes = 0 1.4 -1.8 0.6703G( z) =z + 0.4 z + 0.0038 = 0.0044 ( z ? 0.9052)( z ? 0.7405) z ? 1.6457 z + 0.67032d-39(2) 选用常值数字控制器 如果设 D(z)=1，系统根轨迹如题图 5-11-2 所示，没有落入理想区域内，只用常值控制 器，不能达到设计指标。numG=[0.8]; denG=[1,-1.3];; rlocus(numG, denG)1 0.81.5 Root Locus 20.610.4 0.2 0 -0.2 -0.4-1 Imaginary Axis 0.50-0.5-0.6 -0.8 -1 -1-1.5-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81-2 -3-2.5-2-1.5-1 Real Axis-0.500.51题图 5-11-1习题 5-11 特征根位置o题图 5-11-2常值控制器根轨迹（ ξ = 0.52 R = 0.8394 θ = 15.5 ） (3) 进行离散根轨迹设计 采用零点对消原系统极点，可以看到，由于原系统不具有积分环节，所以为了达到速度 误差系数 K v & 5 的条件，在控制器中必须配置一个积分环节。 同时配置一个极点位于原点的二阶动态控制器 D( z ) = kc 的开环传递函数为：( z ? 0.7405)( z ? 0.9052) 。此时 z ( z ? 1)D ( z )G ( z ) = 0.0044kc其中，根轨迹增益 K = 0.0044k cz + 0.8636 z + 0.8636 =K z ( z ? 1) z ( z ? 1)numGD=[1, 0.8636]; denGD=[1,-1,0]; rlocus(numGD, denGD) 加入控制器 D(z)后的根轨迹如题图 5-11-3 所示。d-40Root Locus 1.51K=0.28850.5Imaginary Axis0-0.5-1-1.5 -2.5-2-1.5-1 Real Axis-0.500.51题图 5-11-3 采用二阶控制器时的根轨迹根据速度误差系数要求 K v & 5 ，确定根轨迹增益的最小值，取Kv =1 1 z + 0.8636 K lim( z ? 1) D( z )G ( z ) = &5 z ?1 z 0.1 T z =1根据稳态位置误差系数 K & 0.2683 用[K,pole]=rlocfind(numGD, denGD)来寻找满足 K & 0.2683 所对应的极点 运行结果为： K= 0.2885 pole = 0.3557 + 0.7 - 0.3501i 在稳定的增益区域内对应一对极点： z = 0.3557 ± 0.3501 j ，对应的根轨迹增益 K=0.2885， 满足位置误差要求。 控制器增益 kc = 0.2885 / 0.0044 = 65.5682 。最后，取离散控制器为D( z ) = 65.5682( z ? 0.7405)( z ? 0.9048) z ( z ? 1)(4) 进行仿真及其分析 阶跃输入信号仿真的方块图和仿真结果如题图 5-11-4 所示。题图 5-11-4阶跃输入仿真结果图题图 5-11-5斜坡输入仿真结果图从中可知稳态值=1，最大值=1.063，故超调量 σ % = 6.3% ，上升时间 tr = 0.25s ，调节d-41时间 ts = 0.5s ，性能满足要求。 斜坡输入信号 r (t ) = t , t & 0 仿真结果如题图 5-11-5 所示。 由于 K =0.2885，所以得到Kv =1 1 * 0.6 = 5.376486 lim( z ? 1) D( z )G ( z ) = 0.1 T z ?11 1 = = 0.186 ，仿真方块图和指令输入与输出的误 K v 5.376486斜坡输入的稳态误差为： ess = 差值见题图 5-11-6。题图 5-11-6斜坡输入信号的指令输入与输出的误差局部图5-12 对题图 3-12 所示的加热系统设计一个控制器 D(z)。要求阶跃输入时稳态误差&2%， 相稳定裕度&40°，幅值裕度&6dB，试给出 D(z)的脉冲传递函数。题图 5-12习题 5-12 加热系统结构图解： (1) 被控对象的脉冲传递函数G (s) =采用 MATLAB 命令?1 ? e 1 ， G( z) = Z ? 3s + 1 ? s? sT? G ( s )? ?[znun,zdes]=c2dm([1],[3,1],0.2,'zoh')得到运行结果为：znun = zdes = 0 1. -0.93550.064 z ? 0.9355 (2) 根据静差要求，确定系统开环放大系数 若令控制器 D(z) 的稳态增益为 k，依要求，在综合点处的误差应小于 0.02，所以可得 G( z) =d-42下述方程0.02 × k × 1× 20 × 0.04 = 1 ? 0.02 = 0.998所以k = 0.998 / 0.016 = 62.375 取 k=65。因此，系统的开环放大系数 K=52，系统开环传递函数为 0.064 × 52 3.328 G( z) = = z ? 0.9355 z ? 0.9355 (3) w′ 平面设计 将其变换至 w′ 平面，若 T=0.2s， 采用 MATLAB 命令将其由 z 平面变换至 w′ 平面：[c,d]=d2cm([3.328],[1,-0.,'tustin');%从离散变成连续，z-&s得到运行结果为：c = -1.7195 d =1.5 0.3332w′ 平面的传递函数为 ?1.7195w′ + 17.1945 w′ + 0.3332 在选定放大系数的条件下，未校正系统不稳定。事实上，在 w′ 平面上，闭环特征方程 G ( w′) =为Δ( w′) = w′ + 0.3332 ? 1.7195w′ + 17.1945 = ?0.7195w′ + 16.86 = 0其特征根为正。为此必须加以校正。 依 w′ 平面的开环传递函数可得其bode图，如题图5-12-1所示。分析该图可知，系统为非 最小相位系统，需将高频增益降低小于1。通过分析和试算，选择 w′ + 0.5 D( w′) = 0.1 w′ + 0.005 通过下述MATLAB程序，可求得校正后的bode图，如题图5-12-2所示。c=[-1.5]; d=[1 0.3332]; c1=[0.1 0.05]; d1=[1 0.005]; [sn,sd]=series(c,d,c1,d1); figure(1);margin(sn,sd);从题图5-16-2中可见，增益裕度为15.3 dB，相位裕度为76deg，满足系统要求。d-43题图5-12-1 开环对数幅频特性曲线题图5-12-2校正后开环对数幅频特性曲线(4) 将 w′ 平面传递函数变换到 z 平面 利用下述 MATLAB 程序： [c,d]=d2cm(c1,d1,0.2,'tustin') ； 可求得控制器 z 传递函数：D( z ) =0.1049( z ? 0.9056) ( z ? 0.999) 0.1049( z ? 0.9056) ( z ? 0.999) = 9.9 ，为保证控制器增益为该传递函数的稳态增益为 D( z )z =1=z =1k=65，所以应取 kd = 65 / 9.9 = 6.57 ，取整， kd = 7 ：D( z ) =0.73( z ? 0.( z ? 0.9056) ≈ ( z ? 0.999) ( z ? 0.999)(5) 系统仿真验证 利用 simulink 软件可以构造如下仿真框图， 如题图 5-12-3 所示。 误差动态如题图 5-12-4 所示。从数字显示器上可见，稳态误差为 0.01636，满足要求。题图 5-12-3题图 5-12-45-13 飞机俯仰角速度控制系统如题图 5-13 所示，试设计控制器 D(z)，使阶跃响应超调量 小于 15%，调节时间小于 4s，并使等效舵面常值干扰稳态误差为零。设采样周期 T=0.05s。 （为了简化，设计时可以略去舵机的时间常数） 。题图 5-13 飞机俯仰角速度控制系统解：采用 PID 控制得到如题图 5-13-1 的仿真曲线。d-44图 5-13-1 不考虑舵机时对阶跃指令输入的响应仿真曲线可见满足指标“阶跃响应超调量小于 15%，调节时间小于 4s”的要求。题图 5-13-2 不考虑舵机时对阶跃等效舵面常值干扰的稳态误差曲线可见满足指标“等效舵面常值干扰稳态误差为零”的要求。题图 5-13-3 考虑舵机时不考虑舵面干扰时对阶跃指令输入的响应仿真曲线可见满足指标“阶跃响应超调量小于 15%，调节时间小于 4s”的要求。d-45图 5-13--4 考虑舵机时对阶跃等效舵面常值干扰的稳态误差曲线可见满足指标“等效舵面常值干扰稳态误差为零”的要求。 5-14 自动化的磁悬浮列车可以在极短的时间内正常运行，而且具有极高的速度和能量利用 率。自动化磁悬浮列车的一个关键技术就是对列车的悬浮高度进行控制。题图 5-14(c) 是代表世界先进水平的德国 M-Bahn 号磁悬浮列车悬浮高度的计算机控制系统。若采 使系统的相位裕度满足 45 ≤ γ ≤ 55 ， 样周期 T=0.01s， 试在 w′ 域设计数字控制器 D(z)， 并估算校正后的系统阶跃响应。题图 5-14 磁悬浮列车高度控制系统解：(1) 被控对象的脉冲传递函数G (s) =?1 ? e 1 ， G( z) = Z ? 3 2 s + 10 s ? s? sT? G ( s )? ?采用 MATLAB 命令Gnum=[1]; Gdes=[1,10,0,0]; [Gznum,Gzdes]=c2dm(Gnum, Gdes,0.01,'zoh')得到运行结果为：d-46Gznum =1.0e-006 * 0 0.0 0.634420.7 -0.9048Gzdes =-2.904830.1626 z + 0.6344 z + 0.1547 z ? 2.9048 z 2 + 2.8097 z ? 0.9048 将其变换至 w′ 平面，若,T=0.01s，则可以采用 MATLAB 命令将其由 Z 平面变换至 w′ 平面:G ( z ) = 10?6 ×[Gwnum, Gwdes]=d2cm(Gznum, Gzdes, 0.01, 'tustin')运行结果为：Gwnum = Gwdes = 0.0 -0.7 -0.0 0.0G ( w′) =?0.0049w′ + 0.9992 w′3 + 9.9917 w′2%连续系统在S平面采用 MATLAB 命令: figure(1);margin(Gnum,Gdes) ,grid ,hold on margin(Gwnum, Gwdes)%原连续系统在W平面(2) 设计控制器1Dn1=4.5e+5*[1 0.001];Dd1=[1 100]; Dn2=[1 0.001];Dd2=[1 100]; [Dn12,Dd12]=series(Dn1,Dd1,Dn2,Dd2); [num1,des1]=series(Gwnum, Gwdes,Dn12,Dd12); margin(num1,des1),grid %计算和校核幅值和相角裕度Bode Diagram Gm = -204 dB (at 2.24e-006 rad/sec) , Pm = -1.9 deg (at 0.316 rad/sec) 50 0 Magnitude (dB) -50Magnitude (dB) 100 Bode Diagram Gm = 8.01 dB (at 78.4 rad/sec) , Pm = 50.9 deg (at 39 rad/sec)-100 -150 -200 -250 180 90G(w) G(s)50Dn1=4.5e+5*[1 0.001];Dd1=[1 100]; Dn2=[1 0.001];Dd2=[1 100]; [Dn12,Dd12]=series(Dn1,Dd1,Dn2,Dd2);D(w)G(w)0-50 360 270 Phase (deg) 180 90 0 10-4Phase (deg)D(w)G(w)0 -90 -180 -270 10-1G(w) G(s)10010110210310410-2100102104Frequency (rad/sec)Frequency (rad/sec)题图 5-14-1 原系统 S 和 W 的频率特性曲线题图 5-14-2 校正系统的对数幅频特性曲线由题图 5-14-2 可见，在频率 39rad 处，相角裕度为 50.9 度。 采用 MATLAB 命令将其由 w′ 平面变换至 Z 平面：[Dzn1,Dzd1]=c2dm(Dn12,Dd12,0.01,'tustin')得到运行结果为：Dzn1 = 1.0e+005 * -4.0 2.1 2.0000 Dzd1 =-0.6667( z ? 1) 2 z 2 ? 0.6667 z + 0.1111 校正后的系统阶跃响应如题图 5-14-3 所示。对应得到 D( z ) = 2.0 × 105d-47题图 5-14-3 仿真曲线图结论： ① 由于采用两个微分环节抵消积分环节，所以系统响应存在静态误差。 ② 由于没有考虑到 w′ 平面与 s 平面在频率和相角之间存在的非线性映射关系，得到的 相角裕度是在 w′ 平面的，而不是在 z 平面的，所以可能需要进行一定的修正。 画出对象模型的几种频率特性曲线如题图5-14-4所示。 Bode(Gnum, Gdes),grid, hold on dbode(Gznum, Gzdes,0.01) bode(Gwnum, Gwdes)Bode Diagram 50 0 Magnitude (dB) -50 -100 -150 -200 -250 180G (z) G (s)G (w )Phase (deg)0G (w )-180-360 10-1G (z)100G (s)102101103104Frequenc y (rad/s ec )Bode Diagram 50 0 Magnitude (dB) -50 -100 -150 -200 -250 180G(z) G(s)G(w)Phase (deg)0-180G(s) G(z)-1-360 10 100G(w)102101103104Frequency (rad/sec)图5-14-4 频率特性d-48从题图5-14-4中可以看出，在频率小于50rad/s时，3种曲线对应的相角几乎相等，所以 不需要进行相角的修正。 (3) 设计控制器2 Dn3=2e+3*[1 0.1];Dd3=[1,30]; [num2,des2]=series(Gwnum, Gwdes,Dn3,Dd3); margin(num2,des2),grid %计算和校核幅值和相角裕度 由题图 5-14-5 可见，在频率 5.69rad 处，相角裕度为 47 度。 采用 MATLAB 命令将其由 w′ 平面变换至 Z 平面: [Dzn2,Dzd2]=c2dm(Dn3, Dd3,0.01,'tustin') 得到运行结果为： Dzn2 = 1.0e+003 * 1.3 Dzd2 = 1.1 对应得到 D( z ) = 10001.74z ? 1.7383 z ? 0.7391Bode Diagram Gm = 13.9 dB (at 15.7 rad/s ec ) , Pm = 47 deg (at 5.69 rad/s ec )200 100 Magnitude (dB) 0Dn3=2e+3*[1 0.1];Dd3=[1,30];D(w )G(w ) G(z) G(w ) G(s) D(w )G(w ) G(w )-100 -200 -300 360 180Phase (deg)0 -180 -360 10-3G(z)10-2G(s)10110-1100102103104Frequenc y (rad/s ec )题图 5-14-5 校正连续系统的对数幅频特性曲线校正后的系统阶跃响应如题图 5-14-6 所示。题图 5-14-6 仿真曲线图结论：d-49①由于采用 1 个微分环节抵消积分环节，所以系统响应不存在静态误差。 ②由于穿越频率 5.69rad/s 比较小，相角裕度为 47 度，所以得到的相角裕度不需要进行 修正。 5-15 不稳定系统的控制问题成为大多数控制系统需要解决的难点。由于绝大多数的不稳定 系统的控制都是非常危险的，因此在实验室研究中，常采用开环不稳定的球杆系统作 为实验系统。球杆系统简单安全并具备一个非稳定系统所具有的重要的动态特性。 球杆执行系统结构如题图 5-15(a)所示，它由一根 V 型导轨和一个不锈钢球组成。 V 型导轨一侧为不锈钢杆,另一侧为直线位移电阻器。当球在轨道上滚动时，通过测量 不锈钢杆上输出电压即可测得球在轨道上的位置。V 型导轨的一端固定，而另一端则 由直流电机经过齿轮减速，再通过固定在大齿轮上的连杆带动进行上下往复运动。需 要解决的问题是，通过调节直流电机的转动，可使球停放在导轨上的指定位置。 该系统的框图模型如题图 5-15(b)所示。试在连续域设计控制器 D(s)，使球可以在 杆上任一指定位置停止。选择合适方法将 D(s)离散化，并通过数字仿真的方法验证数 字系统与连续系统的响应特性是相近的。 （应注意，电机转角与小球位移是非线性的 函数关系，本题将其近似为线性关系。 ）题图 5-15 球杆控制系统解：采用连续 PD 控制，得到如题图 5-15-1 所示的连续控制器系统结构及仿真曲线图d-50题图 5-15-1 连续控制器系统结构及仿真曲线图s + 0.01 100.1s + 11 = s + 100 s + 100 采用 tustin 离散控制器，取采样周期 T = 0.01s ，得到： [Dn,Dd]=c2dm( [100.1 11], [1 100],0.01,'tustin') 运行结果为： Dn = 66.7 Dd = 1.3 66.77 z ? 66.6967 离散控制器为： D( z ) = z ? 0.3333 得到如题图 5-15-2 所示的离散控制器系统结构及仿真曲线图对应得到的连续控制器为： D( s ) = 0.1 + 100图 5-15-2 连续控制器系统结构及仿真曲线图由题图 5-15-1 和题图 5-15-2 可以验证数字系统与连续系统的响应特性是相近的。 5-16 飞行模拟转台是现代飞机飞行控制系统在地面进行仿真实验的高精度实验设备。题图 5-16(a)是我国自行研制的三轴电动模拟转台。 转台分成三个框， 分别围绕各自轴转动， 每轴各用一套高精度伺服系统驱动。简化后其中某一轴的伺服系统结构图如题图 5-16(b)所示。所设计的控制器连续传递函数为2 1 ? ? 100s + 300 s + 1 D( s ) = ? 300 + + 100 s ? = s s ? ?试选择合适的离散化方法将其离散化，求得 D(z)，并比较两个控制器的时域及频 域的误差。设采样周期 T=0.0005s。d-51题图 5-16模拟转台及伺服系统结构图解：从控制器的结构明显看出为 PID 控制，所以积分项可以采用 tustin 变换：D1( z ) =微分项可以采用向后差分法：T z +1 z +1 = 0.00025 2 z ?1 z ?1 z ?1 z ?1 = .0005 z z z +1 z ?1 + 200000 z ?1 zD 2( z ) = 100 s = 100所以得到离散后的数字控制器为D( z ) = 300 + 0.00025(1) 两个控制器的时域误差比较： 控制器结构如题图 5-16-1 所示。题图 5-16-1 控制器结构图分别加入斜坡信号、正弦信号,得到两个控制器的时域和误差曲线分别如题图d-525-16-2~5-16-4 所示。仿真时，连续系统采用欧拉法仿真，正弦信号频率为 10rad/s。 从题图 5-16-2~5-16-4 可以看出，连续控制器和离散控制器针对斜坡信号、余弦信号的 时域输出很接近，其误差都很小。 (2) 两个控制器的频域误差比较：2 1 ? ? 100s + 300 s + 1 D( s ) = ? 300 + + 100 s ? = s s ? ?D( z ) = 300 + 0.00025z +1 z ? 1 200300 z 2 ? 400300 z + 200000 + 200000 = z ?1 z z2 ? z图 5-16-2 连续与离散控制器 对斜坡信号的输出响应（已近重合）图 5-16-3 连续与离散控制器 对斜坡信号的误差响应图 5-16-4 连续与离散控制器 对正余弦信号的输出响应（已近重合）图 5-16-5 连续与离散控制器 对正余弦信号的误差响应MATLAB 仿真程序如下：num=[100,300,1];den=[1,0]; n1=[300];d1=[1]; n2=0.0];d2=[1,-1]; n3=,-1];d3=[1,0]; [n12,d12]=parallel(n1,d1,n2,d2);d-53[dnum,dden]=parallel(n12,d12,n3,d3); %连续控制器频域: bode(num,den);grid,hold on %离散控制器频域:T=0.0005; dbode(dnum,dden,T) 连续控制器频域和离散控制器频域比较如题图 5-16-6 所示。由于采样周期较小，所以 连续控制器和离散控制器频率响应特性在 ω = (0 ? 100) rad / s 范围内非常一致。Bode Diagram 90 85 80 75 Magnitude (dB) Phase (deg) 70 65 60 55 50 45 40 90450-45-90 10-410-310-210-1100101102Frequency (rad/sec)题图 5-16-6 连续控制器频域和离散控制器频域5-17 机构手计算机控制系统如题图 5-17(a)所示，该系统控制过程可分为加速段、减速段和 位置伺服段。前两段为开环控制，在夹持钳接触玻璃杯后为控制弹性垫的压缩量，系 统进入位置闭环伺服控制段。实际压缩量由压力传感器检测。闭环伺服控制系统结构 图如图 5-17(b)所示。 其中 K t = 0.3Nm/A ， p = 0.833V/mm ， a = 1A/V ， = 0.015m ， K K rm = 1kg ，采样周期 T ≤ 0.0014s 。在 w′ 平面设计控制器满足如下要求： (1) 在静摩擦力矩 M f ≤ 10?2 Nm 时，闭环系统的静差 ≤ 0.1mm 。 (2) 最大超调量 ≤ 15% ，调节时间 ≤ 0.5s 。 (3) 相位稳定裕度 γ m & 50 ，模稳定裕度 Lh & 10dB 。d-54题图 5-17 机构手计算机控制系统解(1)依题图 5-17(b)结构图， Mf 作用下， 在 要求静差 ≤ 0.1mm ， 可求得控制器稳态增益 K d ：Kd =Mf 10?2 = ≈ 0.4 K P K a K t Δx 0.833 × 1 × 0.3 × 0.1(2)在上述参数下，系统的开环传递函数为 K p K t K a K d 6664 K1 = 2 = 2 , K1 = 6664 G(s) = rms 2 s s (3)控制器设计，在 w′ 域上进行控制器设计。首先求 G(z)，得?1 ? e ?Ts K1 ? K1T 2 ( z + 1) G( z) = Z ? ?= 2 ( z ? 1) 2 s2 ? ? s进而进行 w′ 变换G ( w′) =K1T 2 ( z + 1) 2 ( z ? 1) 2z=1+Tw′ / 2 1?Tw′ / 2= K1(1 ? Tw′ / 2) (1 ? 0.0007 w′) = 6664 2 w′ w′2依该式可得系统开环对数频率特性曲线，如题图 5-17-1 上 L1 ,?1 所示，显然，该系统是 不稳定的。为此需加入校正网络。利用连续系统的校正方法，为使系统稳定，增强快速性， 减少超调，应加入超前-滞后校正网络 1 + τ w′ D ( w′) = (α & 1) 1 + ατ w′d-55选 择 1/ τ 及 1/ ατ 分 别 位 于 开 环 截 止 频 率 ωωc1 的 两 侧 ， 根 据 经 验 及 试 算 ， 最 终 选 取τ = 0.028,ατ = 0.00014 ，得D( w′) = 1 + 0.028w′ 1 + 0.00014 w′ (α & 1)D( w′) 的对数频率特性曲线如题图 5-17-1 上 L2 ,?2 所示。此时，系统正向通道脉冲传递函数为G ( w′) = 66641 + 0.028w′ (1 ? 0.0007 w′) 1 + 0.00014 w′ w′2校正后的系统开环对数频率特性曲线如题图 5-17-1 上 L3 ,?3 所示。从该图可得系统相位裕度γ m = 70 & 50 ，幅值裕度 Lh = 18dB & 10dB ，满足要求。考虑到静态设计 K d = 0.4 的要求，所以最终可得：D( w′) = 0.4将 D( w′) 返回到 z 平面，求得1 + 0.028w′ 1 + 0.00014 w′D( z ) = D( w′)2 z ?1 w′= T z +1= 13.667( z ? 0.95122) ( z + 0.667)(4)在 z 平面上进行性能校验 此时，系统正向通道脉冲传递函数为G1 ( z ) = 0.0026787系统闭环传递函数为( z ? 0.95122) ( z + 1) ( z + 0.667) ( z ? 1) 2Φ( z ) =G1 ( z ) X ( z) = R ( z ) 1 + K p G1 ( z )=反变换可得(0.000267 + 0.0000131z ?1 ? 0.0002574 z ?2 ) z ?1 1 ? 1.1107 z ?1 ? 0.323z ?2 + 0.4556 z ?3x(k ) = 1.1107 x(k ? 1) + 0.323 x(k ? 2) ? 0.4556 x(k ? 3) + 0.000267 r (k ? 1) + 0.0000131r (k ? 2) ? 0.0002574r (k ? 3)利 用 迭 代 法 或 计 算 机 仿 真 , 可 得 题 图 5-17-2 所 示 阶 跃 响 应 曲 线 . 由 图 可 知 超 调 量 为12% & 15% ，稳态调节时间 ts = 0.3s & 0.5s ，满足给定技术要求。d-56题图 5-17-1对数频率特性曲线题图 5-17-2 阶跃响应曲线5-18 已知系统结构如题图 5-18 所示，图中 D( s ) = (a + s ) / s ； Gh ( s ) 为 ZOH 传递函数；G0 ( s ) = 1/ s 。设 T=0.1s。(1) 将控制器用双线性变换法离散，试确定使系统稳定的最大 a 值。 (2) 试将控制器用一阶向后差分变换法离散，试确定使系统稳定的最大 a 值。题图 5-18 系统结构图5-19 若离散化采用du (t ) u (k + 1) ? u (k ? 1) = = e( k ) dt 2T 近似时，称为中心差分法，试导出中心差分法替换式。 5-20 试用零极点匹配法求控制器 D( s ) = s + a 的等效离散控制器。5-21 巴特沃斯(Butterworth) 滤波器常常用来获得锐截止阻带和平直通带频率特性的滤波 器。其特性由幅值平方方程 G 2 (ω ) =1 表示，式中 n 为滤波器阶次， ωc 为 1 + (ω / ωc ) 2 n截止频率。 n=4， 若 依幅值平方方程， 可以得到 ωc =1 时的 s 平面巴特沃斯(Butterworth) 滤 波 器 的 传 递 函 数 为 G (s) =1 ( s + 0.3827 + j 0.9239)( s + 0.3827 ? j 0.9239)×1 ，试用零极点匹配方法求其脉冲传递函 ( s + j 0.3827 + 0.9239)( s ? j 0.3827 + 0.9239)数。 5-22 题图 4-15 为水位高度控制系统略图。 (1) 画出阀门数 N 的根轨迹。d-57(2) 如若取 N=5，数字控制器为 D( z ) = kc 数，并保证系统速度误差系数不变。z ? zc ,试用零极点对消法选择控制器有关参 z ? pc5-23 在题 3-12 所示热蒸汽加热系统中， T=0.2s， 设 要求在常值输入时稳态误差应小于 2%， 试设计一相位滞后的控制器，使相位及增益裕度分别大于 40o 及 6dB ，试给出控制 器传递函数 D(z) 。 5-24 太阳光源跟踪系统利用伺服系统控制太阳电池帆板的移动，使其跟踪并始终垂直于太 阳光线，最大程度地接受太阳能。太阳光源跟踪系统由感光器与检测线路和电机的功 率放大器（可以简化视为一个增益放大环节） ，太阳帆板（作为直流力矩电机的负载， 可以近似看作常值转动惯量加到电机轴上） ，电机位置传感器（其输出与电机转角成 正比的电压信号）和直流力矩电机组成。 太阳光源跟踪系统如题图 5-24(a)所示。计算机控制系统方块图如题图 5-24(b)所 示。试设计数字控制器，满足如下指标要求： (1) 超调量 σ % ≤ 15% ； (2) 上升时间 tr ≤ 0.55s ； (3) 调节时间 ts ≤ 1s 。 (4) 静态速度误差系数 K v & 5 。 设采样周期 T=0.1s题图 5-24 太阳光源跟踪计算机控制系统2 2 C ( z ) T (k p z + kiTz + kiT ? k p ) = 5-25 若给定系统闭环传递函数为 Φ ( z ) = R( z ) Az 3 + Bz 2 + Cz + D式中 A = 2 JV ， B = Tk p + 2kr T ? 6 JV ， C = 6 JV ? 4kr T + T 3 ki ，D = 2kr T + kiT 3 ? 2 JV ? k pT 2 ， JV = 41822d-58试确定 k p , kr , ki ，使输出 c(k ) 以最少的采样周期数达到阶跃的输入值。 5-26 现考察导弹滚转控制问题。导弹绕纵}