Flip Game（又名翻转游戏、点灯游戏、灭灯游戏）的游戏技巧是什么？
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Flip Game（又名翻转游戏、点灯游戏、灭灯游戏）的游戏技巧是什么？
【HiddenMemory的回答(17票)】:
这是一个有趣的问题。在8年前，当我还是个初三的孩子时，我曾经探索过这个问题。（链接如下：，我的ID “仙灵魂”，当时还是吧主）
当时用文曲星的 GVBASIC 计算到n=14，因为文曲星性能问题没有继续算下去。
在这里贴一下当时（2006年）的一些结论。
（1）显然，点灯的解，和点下方格的次序无关，仅和点下方格的位置有关。
（2）在一个方格下累计点下两次，和没有点下过的效果是一样的。所以最优解必然只是在某些格子下点下过一次。
（3）当第1行被点下的格子确定时，若存在方案，则方案唯一。
这是因为一个格子（坐标[a,b]）的灯是否点亮只和其初始状态以及以下五个点：
[a-1,b][a,b-1][a,b][a,b+1][a+1,b]是否被点下有关，其中只有[a+1,b]是位于第a+1行，其它均在第a行之前。
举例说明：如下图所示
5×5的方格，假设紫色格一开始是暗的，我的目标是把它点亮，而前两行点下的位置已经确定（如图中的1），那么由于紫色格的状态只与自身以及周围4个被按下次数有关（总和应是奇数），而绿格和紫格累计被按下2次，所以在第3行，红色格必须被按下。5×5的方格，假设紫色格一开始是暗的，我的目标是把它点亮，而前两行点下的位置已经确定（如图中的1），那么由于紫色格的状态只与自身以及周围4个被按下次数有关（总和应是奇数），而绿格和紫格累计被按下2次，所以在第3行，红色格必须被按下。
所以，当我固定了第一行的点灯位置（共
种状态，考虑对称性的话能去掉接近一半的状态），那么，剩下的步骤是确定的，点完第n行可以让第n-1行的灯全亮，所以，我可以确保除最后一行外，所有位置的灯都能点亮，而最后一行是否恰好都被点亮，要看天意。但是暴力求解并不麻烦。
（4）因为题主说初始亮灯位置随机，所以没有确定的解，甚至是否一定有解也不能确定（这点待证明），只能按照（3）的方法一一尝试。但是如果初始状态是全部灯暗，是有确定方案的。
如，5×5共有4个解，如果考虑对称性和旋转性，此解是唯一的。
下面是5×5的方案，可以看到，它在斜对角线有一条对称轴：
（5）这个问题其实很棘手。即使用计算机算，在我目前的算法下，复杂度达到了
，随着n的增大，复杂度指数增长，所以能算得的n也并不是太大，一般微机在一天之内能算到n=33大约就已经是极限了。当然算法可能还有改进空间。
（6）由于这个问题确实很有趣（很美~），八年后的今天，我又重启了对这个问题的探索。
具体结果请移步
【颜海镜的回答(3票)】:
我来个在线版本，省得下载了，
【YellowCan的回答(1票)】:
最近在编一个10*10点灯游戏，找到一些关于点灯游戏的资料 。捡重要的贴上
解法网站 ：
如果你有Wolfram Mathematica也可以到
下载mathematica的.nb文件查看。
上述网站及文件为英文。
如果不懂，大致看一下网站上的矩阵和示意图就行
其中数字1表示要按的灯，1的位置即是灯的位置。
【樱桃的回答(1票)】:
关于有没有解的问题，我以前编程测试过。
点击方案是2^(n*n)种，每一个格子点或不点。亮灯状态也是2^(n*n)种，每一个格子亮或不亮。
而亮灯状态是点击方案的映射。或者说，如果存在多种点击方案对应同一个亮灯状态，则必然就有某些亮灯状态是无解的。特殊的，如果全灭状态能通过一个非空点击方案回到全灭状态，则就说明映射不是单射，必然有某些状态无解。
另外，这个游戏显然具有可加性：两个点击方案相加，得到的结果也是其对应的亮灯状态相加。这里的相加都是异或意义上的，如果一个格子点了两次自然就被消去了。
因此，有两个推论：
1、如果全灭状态能通过N种点击方案（包括空方案）回到全灭状态，则这个N必然可以表示成N=2^M的形式，而可以选择出M个基，这N个方案是M个基叠加而成
2、在1的假设下，对任何一个有解的局面，必然同样存在N个解。
另外，还有一点：
如果对某个n*n的方阵，M(n)&0（即解没有存在性与唯一性），则对自然数k，M(k(n+1)-1)也&0。因为可以将相同的n*n方阵采用中间空一边的方式拼接成[k(n+1)-1]*[k(n+1)-1]的方阵，将每个方阵的同一个非空点击方案拼在一起，再通过翻转来抵消空的那边上的边界影响，即得到该方阵的非空点击方案。
当时我编程测试出对不同大小的方阵，M的值如下：
n/M(n)：3/0，4/4，5/2，6/0，7/0，8/0，9/8，10/0
11/6，12/0，13/0，14/4，15/0，16/8，17/2，18/0
19/16，20/0，21/0，22/0，23/14，24/4。感谢楼上补充：25/0，26/0，27/0，28/0，29/10，30/20
某小游戏的5*5方阵是不能保证解的存在性的，8*8和10*10可以。
n=4和5不保证存在性，由上面的推论即可得出n=9,11,14,17,19,23,24,29时都不能保证存在性，或者说n≡-1(mod5，或6，或17，或31等等……)时都有M(n)&0。似乎4、5、16、30是目前“基本”的不保证解的存在唯一性的n值，我不知道这些n值有没有什么规律。。这里还有其他问题，例如14=3*(4+1)-1，M(14)=M(4)=4，即对14，只存在基于4所生成的解。而9=2*(4+1)-1，M(9)=8&M(4)，对9的情况，还存在非基于4生成的其它解。
似乎偏题了。
这个问题如何求解？在保证解的存在唯一性，即M(n)=0的n值上，倒是有个办法。就是设定亮灯状态的n*n个基，这些基是每一个灯亮，其他全灭。对这n*n个特殊问题进行求解，然后任意状态，由于可加性，把这些基的解加起来就行了。
不过，如果问的是按人的思路如何求解，我看还真难，暂时没想到什么符合人的启发式思维的想法。。只能暴力叠加么。。还有对M(n)&0的n值就更麻烦了。
由于可加性，即使M(n)&0，所有有解局面也一定可以找出n*n-M个基来，都可以从基叠加而成。但甚至这些基是否直观，我都说不清楚了。
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