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　　欢迎来到卡片的世界。　　在这里您将看到各种各样的神奇卡片，有能召唤各种奇异生灵的召唤卡、有威武霸气的武技卡、有绚丽多彩的魔法卡、也有令人实力倍增的辅助卡、治愈伤势的恢复卡，当然增加自身力量、速度、体质、精神的属性卡也不能少。　　除此之外，更有可以令人变身‘神魔’的变身卡、千奇百怪的道具卡、还有一些不为人知的神秘而特殊的卡片等等。　　罗浩，一个卡片的爱好者，但凡关于卡片的东西，无论什么都要去研究一番，而罗浩心中也一直有着一个梦想，那就是创造出一套可以流行世界的卡片游戏，但是，在罗浩的梦想即将实现之际，一张神秘的卡片，将他带到了这个卡片的世界。　　在这个陌生的世界中，拥有另一个世界丰富卡片知识的罗浩凭借着对卡片独特的理解，借助那神秘卡片带来的神奇能力，从此走上了一条不同寻常的执卡者之路。　　
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联系方式 总机 021- 地址：中国（上海）自由贸易试验区碧波路690号6号楼101、201室北斗卫星好多手机已经在用了，像华为，一加，小米；&br&在公共项目中更是推广应用的非常多了，像物流，公交；&br&你的导航软件指的路准不准跟卫星没有半毛钱关系；&br&&br&…………………………………………………………………………………………&br&可以在手机装这种看卫星状态的软件，如：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-37a35d57b798adcfa85a9b7033afe1d2_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1690& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-37a35d57b798adcfa85a9b7033afe1d2_r.jpg&&&/figure&中国国旗的就是北斗卫星，美国的GPS，俄罗斯的GLONASS，日本的QZSS，实际应用时候系统是自动选择的，把位置信息提供给各种导航定位软件.&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6c1704aef7f59b513ae20e4_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6c1704aef7f59b513ae20e4_r.jpg&&&/figure&不要根据坐标发射导弹来打我啊……&br&…………………………………………………………………………………………&br&果然有人想根据坐标来打我，还好我发的只是路上一个点……想也知道室内根本收不到那么多星的……&br&还有很多人固执的认为北斗不行，我再更新一下：&br&北斗二代开始的时候的星座是针对亚太地区设计的，GEO+IGSO+MEO的模式不同于美国MEO为主的模式，优点是快速的能在重点服务区域达到高精度，用的卫星少，缺点是高纬度地区对GEO接收效果不好，精度因子值偏大，还有就是地球另外一边收不到，以后都会解决的，发星呗……&br&在中国最北边选个点：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1e972d76e159_b.jpg& data-rawwidth=&1537& data-rawheight=&758& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1537& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-1e972d76e159_r.jpg&&&/figure&这里的北斗星况如何嘞：&br&&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-77c80548dc2dcb9f79ed02_b.jpg& data-rawwidth=&1424& data-rawheight=&755& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1424& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-77c80548dc2dcb9f79ed02_r.jpg&&&/figure&最少也有8颗的好嘛，还是10度仰角以上能参与定位的，看看GPS的：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-e9aed76d6234bcafc1799f9d_b.jpg& data-rawwidth=&1409& data-rawheight=&733& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1409& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-e9aed76d6234bcafc1799f9d_r.jpg&&&/figure&是不是觉得还不如北斗多，但是不能只看星数，吃星座设置的亏，这旮沓收到的北斗GEO仰角太低，几何分布不佳，所以精度因子要差：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-baac9fa0d403fa6e39e43a6c30a6842a_b.jpg& data-rawwidth=&1420& data-rawheight=&735& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1420& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-baac9fa0d403fa6e39e43a6c30a6842a_r.jpg&&&/figure&北斗几何精度因子最大达到6.0而且波动较大，相比来说GPS的：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c1a9caef5f_b.jpg& data-rawwidth=&1431& data-rawheight=&743& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1431& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c1a9caef5f_r.jpg&&&/figure&最大也就4.4，所以说在这里北斗精度不如GPS是可以的，当然随着三代组网，这点差距很快就没了，多发几颗MEO就好了……&br&然后，咱在中国南方随便选个点：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-0c12eb8b8c_b.jpg& data-rawwidth=&1440& data-rawheight=&753& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1440& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-0c12eb8b8c_r.jpg&&&/figure&这里的北斗星况如何？&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4dbeefb8442c40_b.jpg& data-rawwidth=&1435& data-rawheight=&758& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1435& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-4dbeefb8442c40_r.jpg&&&/figure&最少也有十颗星好嘛，再看看GPS:&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-e76d4bf7c6ed6f0a6b3447_b.jpg& data-rawwidth=&1430& data-rawheight=&770& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1430& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-e76d4bf7c6ed6f0a6b3447_r.jpg&&&/figure&一如既往地稳定，重点是DOP值呢？&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-babdd0d5d9e3_b.jpg& data-rawwidth=&1428& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1428& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-babdd0d5d9e3_r.jpg&&&/figure&北斗的最大PDOP值不超过3.4，看看GPS的：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-caeda14fcaed6228bafdef0_b.jpg& data-rawwidth=&1424& data-rawheight=&742& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1424& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-caeda14fcaed6228bafdef0_r.jpg&&&/figure&可以忽略特别高的那点，还是在4.4以内，但是明显北斗的更平滑，从定位精度上来讲，肯定是不比GPS差的。&br&所以现阶段搞北斗的在广东测试和在黑龙江测试完全是两个概念好嘛，同样的东西去海南测随便都能过，去哈尔滨就很费劲了……等三代组网完了我们就不用再吃这个亏了。&br&…………………………………………………………………………………………&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-52d562ae3ac4a9866625_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-52d562ae3ac4a9866625_r.jpg&&&/figure&来吧朋友，虽然我不知道怎么关GPS，但是我去微波暗室可以吧，只发北斗信号：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-cc0a30e33e1d4ad0cc9d3_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-cc0a30e33e1d4ad0cc9d3_r.jpg&&&/figure&CNAS认证专业GNSS测试微波暗室，为了回答你我也是醉了…今天最后一天上班，别人都一心准备放假了我还给你测这个，很贵的好嘛…&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-c0c230e222a6dbdfe8a6c446_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-c0c230e222a6dbdfe8a6c446_r.jpg&&&/figure&来吧，你要的图，还是我这个手机，只有北斗，三米精度，实测在这暗室里能达到亚米级。&br&&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-33c8b8d557e29f67d006_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-33c8b8d557e29f67d006_r.jpg&&&/figure&十颗全是北斗，9颗参与定位，没有GPS，没有可以辅助的，达到你的要求了么？满意了么？暗室使用费2000软妹币一小时，支持微信，转账，支付宝…&br&…………………………………………………………………………………………&br&几天来那位朋友一直没回复我，我还以为他接受了我的观点呢，今天翻了一下评论才发现并没有啊，还在坚持要能关GPS的软件呢，去怼别人了……其实编这么个软件并不难啊：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-2c7ad64b4b6bc0c82823dcf830d718e7_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-2c7ad64b4b6bc0c82823dcf830d718e7_r.jpg&&&/figure&这是兼容模式定位&br&&br&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-10d7edfce5aeb08191bf09_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-10d7edfce5aeb08191bf09_r.jpg&&&/figure&单GPS&br&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-6a0b03ddff14cf_b.jpg& data-rawwidth=&1080& data-rawheight=&1920& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1080& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-6a0b03ddff14cf_r.jpg&&&/figure&单北斗定位结果，但是卫星显示里边是除去GPS其他的&br&
之所以要进暗室而不是这么搞是因为这样并不严谨，对于手机来说卫星接收通道硬件是客观存在的，除非对外开放了芯片的底层控制指令，所谓“关GPS”并不是真正的关闭接收通道，只是不采信GPS定位结果，不能完全的确保你要求验证的“北斗能否独立定位”，毕竟芯片的底层算法咱不可控啊，万一设计导航芯片的人脑子抽了非要偷摸的用GPS引导怎么办？但是在暗室里就不一样了，可以保证只有北斗卫星信号，功率也是标校到与露天相一致的，我们这可是要给导航设备测试完了发合格证的，能够排除所有不可控因素，什么幺蛾子也没有，只能收到北斗，还能定位，那就可以证明该手机确有“北斗独立定位”之能力。&br&
定位出来的位置是随意设置的，担心泄密的朋友可以放心的，当然，设置成白宫的GPS坐标，进去抓个小精灵也是可以的……&br&
关于暗室使用费用的问题，我当然是没收到了…找他要也是开个玩笑嘛，大家不要催人家了，我最近一直在编写暗室测试大纲，完善测试流程，顺便测一下这个倒是不费劲的……不过价格是实在价，并不贵哦，业内人士应该了解，评论区有提到电磁兼容暗室的朋友，那个才是暴利好吗：&br&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-47a1dda7d6efedc2c1791c_b.jpg& data-rawwidth=&1536& data-rawheight=&2048& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1536& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-47a1dda7d6efedc2c1791c_r.jpg&&&/figure&不久前测的，一条曲线可能只扫几分钟，就要一两千……&br&
对于这位朋友我真没有别的意思，就是他提出来质疑，我给出证明，这不才应该是讨论问题应有的内容么，也希望朋友么不要扩展到其他方面，大过年的，祝大家新年快乐！谢谢大家！
北斗卫星好多手机已经在用了，像华为，一加，小米； 在公共项目中更是推广应用的非常多了，像物流，公交； 你的导航软件指的路准不准跟卫星没有半毛钱关系； ………………………………………………………………………………………… 可以在手机装这种看卫星…
&p&今天，我要讲讲我和苍井空的故事。&/p&&p&FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。&/p&&p&德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心灵的抚慰。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_b.jpg& data-rawwidth=&780& data-rawheight=&1174& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&780& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-18e574b869c9ba9e1bbd2_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，这就是苍老师本尊了。为了表达我对苍老师的敬意，送她一副对联，上联是：肤如凝脂唇红齿白花容月貌倾国倾城千娇百媚，下联是：爱岗敬业任劳任怨废寝忘食一丝不苟精益求精，横批：德艺双馨。&/p&&p&作为她的铁粉，我想把这张照片画出来，或者雕刻出来，使她出现在我手中，免受隔着屏幕的煎熬。&/p&&p&想复制苍老师的美，首先要在整体尺寸上保持相同。如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_b.jpg& data-rawwidth=&773& data-rawheight=&671& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&773& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-f48ac5c7e3ae3803dfa76_r.jpg&&&/figure&&p&紧接着，要在第一步的基础上进一步细化、精确化。所以第二步就要保证和苍老师本尊的局部形状相似。改进后就变成了如下：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_b.jpg& data-rawwidth=&781& data-rawheight=&678& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&781& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-b116ab1c06986afeab25c5_r.jpg&&&/figure&&p&嗯，尽管这时候很粗糙，但至少已经有了婀娜多姿的影子了。下一步帮苍老师画上bra和胖次，再加上发型，并且把大腿、小腿、脚的分界线画上。下图：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_b.jpg& data-rawwidth=&831& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&831& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-0ecb7aa386e061aee820bc_r.jpg&&&/figure&&p&此时，苍老师的特征已经非常明显了，仿佛就要呼之欲出了，尤其那道事业线，使我仿佛看到一对大白在调皮地跳跃。我要继续努力，进一步细化，进一步使我手中的苍老师变得真实。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_b.jpg& data-rawwidth=&812& data-rawheight=&675& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&812& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-be8a4f456c_r.jpg&&&/figure&&p&此时手中的苍老师外部线条更加细腻了，整体丰满了，仅有的服饰上增加了一些细节。如果不断地细化，画上五官，增加质感，添加纹理，那么进行无穷次细化之后，我笔下的苍老师一定会无穷接近真实。最终会变成这个样子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_b.jpg& data-rawwidth=&870& data-rawheight=&677& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&870& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0f977684cce9daf3d3010_r.jpg&&&/figure&&p&当然，我没能有足够的时间继续细化下去，我那年的青春已经随着她的退役而完结，只是，我仍会在某个无眠的夜里回忆起苍老师认真工作的身影，回忆起我那年的青涩和成长，回忆起那年的憧憬和迷茫，回忆起我那年的生命曾经因为苍老师的出现而灼灼其华。&/p&&p&谨以此文献给新婚的苍老师。&/p&&p&好了，大家都精神了吧。现在开始进入正题。&/p&&p&本段的核心思想是&b&仿造&/b&。&/p&&p&当我们想要仿造一个东西的时候，无形之中都会按照上文提到的思路，即先保证大体上相似，再保证局部相似，再保证细节相似，再保证更细微的地方相似……不断地细化下去，无穷次细化以后，仿造的东西将无限接近真品。真假难辨。&/p&&p&&b&这是每个人都明白的生活经验。&/b&&/p&&p&===============&/p&&p&一位物理学家，把这则生活经验应用到他自己的研究中，则会出现下列场景：&/p&&p&一辆随意行驶的小车，走出了一个很诡异的轨迹曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_b.jpg& data-rawwidth=&718& data-rawheight=&311& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&718& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5de43e908a90_r.jpg&&&/figure&&p&物理学家觉得这段轨迹很有意思，也想开车走一段一摸一样的轨迹。&/p&&p&既然是复制，他把刚才关于“仿造”生活经验应用到这里，提出了一个解决办法：&/p&&p&既然想模仿刚才那辆车，&/p&&p&那首先应该保证初始位置一样，&/p&&p&继续模仿，让车在初始位置的速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保持位置、在初始位置处的速度一样的同时，保证在初始位置处车的加速度也一样，&/p&&p&不满足，继续细化，这次保证初始位置、初始位置处的速度、初始位置处的加速度都一样，也保证初始位置处的加速度的变化率也一样，&/p&&p&不满足，精益求精，可以一直模仿下去。&/p&&p&物理学家得出结论：把生活中关于“仿造”的经验运用到运动学问题中，如果想仿造一段曲线，那么首先应该保证曲线的起始点一样，其次保证起始点处位移随时间的变化率一样（速度相同），再次应该保证前两者相等的同时关于时间的二阶变化率一样（加速度相同）……如果随时间每一阶变化率（每一阶导数）都一样，那这俩曲线肯定是完全等价的。&/p&&p&=================&/p&&p&一位数学家，泰勒，某天看到一个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3De%5E%7Bx%7D& alt=&y=e^{x}& eeimg=&1&& ,不由地眉头一皱，心里面不断地犯嘀咕：有些函数啊，他就是很恶心，比如这种，还有三角函数，这样的函数本来具有很优秀的品质（可以无限次求导，而且求导还很容易），但是呢，如果是代入数值计算的话，就很难了。比如，看到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y%3Dcosx& alt=&y=cosx& eeimg=&1&& 后，我无法很方便地计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 时候的值。&/p&&p&为了避免这种如鲠在喉的感觉，必须得想一个办法让自己避免接触这类函数，即&b&把这类函数替换掉。&/b&&/p&&p&可以根据这类函数的图像，仿造一个图像，与原来的图像相类似，这种行为在数学上叫近似。不扯这个名词。讲讲如何仿造图像。&/p&&p&他联想到生活中的仿造经验，联想到物理学家考虑运动学问题时的经验，泰勒首先定性地、大概地思考了一下整体思路。（下面这段只需要理解这个大概意思就可以，不用深究。）&/p&&p&面对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dcosx& alt=&f(x)=cosx& eeimg=&1&& 的图像，泰勒的目的是：仿造一段一模一样的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，从而避免余弦计算。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_b.jpg& data-rawwidth=&1001& data-rawheight=&569& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1001& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c5bc8d5a4a30ce60ae09ff8f_r.jpg&&&/figure&&p&想要复制这段曲线，首先得找一个切入点，可以是这条曲线最左端的点，也可以是最右端的点，anyway，可以是这条线上任何一点。他选了最左边的点。&/p&&p&由于这段曲线过 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%EF%BC%8C1%29& alt=&(0，1)& eeimg=&1&& 这个点，仿造的第一步，就是让仿造的曲线也过这个点，&/p&&p&完成了仿造的第一步，很粗糙，甚至完全看不出来这俩有什么相似的地方，那就继续细节化。开始考虑曲线的变化趋势，即导数，保证在此处的导数相等。&/p&&p&经历了第二步，现在起始点相同了，整体变化趋势相近了，可能看起来有那么点意思了。想进一步精确化，应该考虑凹凸性。高中学过：表征图像的凹凸性的参数为“导数的导数”。所以，下一步就让二者的导数的导数相等。&/p&&p&起始点相同，增减性相同，凹凸性相同后，仿造的函数更像了。如果再继续细化下去，应该会无限接近。所以泰勒认为“&b&仿造一段曲线，要先保证起点相同，再保证在此处导数相同，继续保证在此处的导数的导数相同……&/b&”&/p&&p&有了整体思路，泰勒准备动手算一算。&/p&&p&下面就是严谨的计算了。&/p&&p&先插一句，泰勒知道想仿造一段曲线，应该首先在原来曲线上随便选一个点开始，但是为了方便计算，泰勒选择从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点入手。&/p&&p&把刚才的思路翻译成数学语言，就变成了：&/p&&p&首先得让其初始值相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29& alt=&g(0)=f(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&其次，得让这俩函数在x=0处的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%7D%280%29& alt=&g^{'}(0)=f^{'}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&再次，得让这俩函数在x=0处的导数的导数相等，即： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7B%27%27%7D%280%29%3Df%5E%7B%27%27%7D%280%29& alt=&g^{''}(0)=f^{''}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&……&/p&&p&最终，得让这俩图像在x=0的导数的导数的导数的……的导数也相同。&/p&&p&这时候，泰勒思考了两个问题：&/p&&p&第一个问题，余弦函数能够无限次求导，为了让这两条曲线无限相似，我仿造出来的 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 必须也能够无限次求导，那 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 得是什么样类型的函数呢？&/p&&p&第二个问题，实际操作过程中，肯定不能无限次求导，只需要求几次，就可以达到我想要的精度。那么，实际过程中应该求几次比较合适呢？&/p&&p&综合考虑这两个问题以后，泰勒给出了一个比较折中的方法：令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 为多项式，多项式能求几次导数呢？视情况而定，比如五次多项式 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dax%5E%7B5%7D%2Bbx%5E%7B4%7D%2Bcx%5E%7B3%7D%2Bdx%5E%7B2%7D%2Bex%2Bf& alt=&g(x)=ax^{5}+bx^{4}+cx^{3}+dx^{2}+ex+f& eeimg=&1&& ,能求5次导，继续求就都是0了，几次多项式就能求几次导数。&/p&&p&泰勒比我们厉害的地方仅仅在于他想到了把这种生活经验、翻译成数学语言、并运用到仿造函数图像之中。假如告诉你这种思路，静下心来你都能自己推出来。&/p&&p&泰勒开始计算，一开始也不清楚到底要求几阶导数。为了发现规律，肯定是从最低次开始。&/p&&p&先算个一阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_b.jpg& data-rawwidth=&1064& data-rawheight=&688& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1064& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-795bf58fbdcb9d7f770d6be_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，除了在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点，其他的都不重合，不满意。&/p&&p&再来个二阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_b.jpg& data-rawwidth=&1098& data-rawheight=&694& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1098& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dc826d0f0ff7c7f1ce948ce_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个小范围内，二者都比较相近。&/p&&p&再来个四阶的。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_b.jpg& data-rawwidth=&1221& data-rawheight=&699& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1221& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-3e18615facbd9c93fda4_r.jpg&&&/figure&&p&可以看出，仍然是在 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2C1%29& alt=&(0,1)& eeimg=&1&& 这个点附近的一个范围内二者很相近。只是，此时二者重合的部分扩大了。&/p&&p&到这里，不光是泰勒，我们普通人也能大概想象得到，如果继续继续提高阶数，相似范围继续扩大，无穷高阶后，整个曲线都无限相似。插个图，利用计算机可以快速实现。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-9dd69ab2c20ca721bc0979d7ebaa0253_b.jpg& data-rawwidth=&378& data-rawheight=&363& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image& width=&378&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&然而泰勒当时没有计算机，他只能手算，他跟我们一样，算到四阶就算不动了，他就开始发呆：刚才为什么这么做来着？哦，对了，是为了计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& 的时候避免出现余弦。所以他从最左端 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%EF%BC%880%EF%BC%8C1%EF%BC%89& alt=&（0，1）& eeimg=&1&& 处开始计算，算着算着，他没耐心了，可是离着计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 还有一段距离，必须得继续算才能把这俩曲线重合的范围辐射到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D2& alt=&x=2& eeimg=&1&& 处。&/p&&p&此时，他一拍脑门，恍然大悟，既然我选的点离着我想要的点还远，我为啥不直接选个近点的点呢，反正能从这条曲线上任何一个点作为切入，开始仿造。近了能省很多计算量啊。想计算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos2& alt=&cos2& eeimg=&1&& ，可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=cos%5Cfrac%7B%5Cpi%7D%7B2%7D& alt=&cos\frac{\pi}{2}& eeimg=&1&& 处开始仿造啊。&/p&&p&所以啊，泰勒展开式就是把一个三角函数或者指数函数或者其他比较难缠的函数用多项式替换掉。&/p&&p&也就是说，有一个&b&原函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&&&/b&，我再造一个图像与原函数图像相似的&b&多项式函数&/b& &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,为了保证相似，我只需要保证这俩函数在某一点的&b&初始值相等，1阶导数相等，2阶导数相等，……n阶导数相等&/b&。&/p&&p&写到这里，你已经理解了泰勒展开式。&/p&&p&如果能理解，即使你记不住泰勒展开式，你都能自己推导。所以，我建议你，考试之前临时死记硬背一下，即使考试因为紧张忘了，也可以现场推。如果不是为了考试，那记不住也没关系，反正记住了一段时间不用，也会忘。用的时候翻书，找不到书就自己推导。&/p&&p&继续说泰勒。&/p&&p&泰勒算到四阶以后就不想算了，所以他想把这种计算过程推广到n阶，算出一个代数式，这样直接代数就可以了。泰勒就开始了下面的推导过程。&/p&&p&首先要在曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 上任选一个点，为了方便，就选 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%280%2Cf%EF%BC%880%EF%BC%89%29& alt=&(0,f（0）)& eeimg=&1&& ,设仿造的曲线的解析式为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ，前面说了，仿造的曲线是一个多项式，假设算到n阶。&/p&&p&能求n次导数的多项式，其最高次数肯定也为n。所以，仿造的曲线的解析式肯定是这种形式：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Da_%7B0%7D%2Ba_%7B1%7Dx%2Ba_%7B2%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2Ba_%7Bn%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+……+a_{n}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&前面说过，必须保证初始点相同，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%280%29%3Df%280%29%3Da_%7B0%7D& alt=&g(0)=f(0)=a_{0}& eeimg=&1&& ,求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7B0%7D& alt=&a_{0}& eeimg=&1&&&/p&&p&接下来，必须保证n阶导数依然相等，即&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%5E%7Bn%7D%280%29%3Df%5E%7Bn%7D%280%29& alt=&g^{n}(0)=f^{n}(0)& eeimg=&1&&&/p&&p&因为对 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 求n阶导数时，只有最后一项为非零值，为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=n%21a_%7Bn%7D& alt=&n!a_{n}& eeimg=&1&& ，&/p&&p&由此求出 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7D& alt=&a_{n}=\frac{f^{n}(0)}{n!}& eeimg=&1&&&/p&&p&求出了 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a_%7Bn%7D& alt=&a_{n}& eeimg=&1&& ，剩下的只需要按照这个规律换数字即可。&/p&&p&综上： &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%280%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%280%29%7D%7B1%21%7Dx%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%280%29%7D%7B2%21%7Dx%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%280%29%7D%7Bn%21%7Dx%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(0)+\frac{f^{1}(0)}{1!}x+\frac{f^{2}(0)}{2!}x^{2}+……+\frac{f^{n}(0)}{n!}x^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&知道了原理，然后把原理用数学语言描述，只需要两步即可求出以上结果。背不过推一下就行。&/p&&p&泰勒推到这里，又想起了自己刚才那个问题：不一定非要从x=0的地方开始，也可以从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x_%7B0%7D%2Cf%28x_%7B0%7D%29%29& alt=&(x_{0},f(x_{0}))& eeimg=&1&& 开始。此时，只需要将0换成 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，然后再按照上面一模一样的过程重新来一遍，最后就能得到如下结果：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/p&&p&&b&泰勒写到这里，长舒一口气，他写下结论：&/b&&/p&&p&&b&有一条解析式很恶心的曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，我可以用多项式仿造一条曲线 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& ,那么&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%5Capprox+g%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D& alt=&f(x)\approx g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&&b&泰勒指出：在实际操作过程中，可根据精度要求选择n值，只要n不是正无穷，那么，一定要保留上式中的约等号。&/b&&/p&&p&&b&若想去掉约等号，可写成下面形式：&/b&&/p&&p&&b&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dg%28x%29%3Dg%28x_%7B0%7D%29%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B1%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B1%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7B2%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7B2%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7B2%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6%2B%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%7D%28x_%7B0%7D%29%7D%7Bn%21%7D%EF%BC%88x-x_%7B0%7D%EF%BC%89%5E%7Bn%7D%2B%E2%80%A6%E2%80%A6& alt=&f(x)=g(x)=g(x_{0})+\frac{f^{1}(x_{0})}{1!}（x-x_{0}）+\frac{f^{2}(x_{0})}{2!}（x-x_{0}）^{2}+……+\frac{f^{n}(x_{0})}{n!}（x-x_{0}）^{n}+……& eeimg=&1&&&/b& &/p&&p&好了，泰勒的故事讲完了。其实&b&真正的数学推导只需要两步&/b&，困难的是不理解思想。如果背不过，就临时推导，只需要十几二十秒。&/p&&p&===============&/p&&p&泰勒的故事讲完了，但是事情没完，因为泰勒没有告诉你，到底该求导几次。于是，剩下一帮人帮他擦屁股。&/p&&p&第一个帮他擦屁股的叫佩亚诺。他把上面式子中的省略号中的东西给整出来了。然而最终搁浅了，不太好用。&/p&&p&后面拉格朗日又跳出来帮佩亚诺擦屁股。至此故事大结局。&/p&&p&首先讲讲佩亚诺的故事。&/p&&p&简单回顾一下，上文提到，泰勒想通过一个多项式函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=g%28x%29& alt=&g(x)& eeimg=&1&& 的曲线，把那些看起来很恶心的函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 的曲线给仿造出来。提出了泰勒展开式，也就是下面的第一个式子：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2b57d57bb176ae_b.jpg& data-rawwidth=&1223& data-rawheight=&484& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1223& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-2b57d57bb176ae_r.jpg&&&/figure&&p&佩亚诺开始思考误差的事。先不说佩亚诺，假如让你思考这个问题，你会有一个怎样的思路？既然是误差，肯定越小越小对吧。所以当我们思考误差的时候，很自然的逻辑就是&b&让这个误差趋近于0&/b&。&/p&&p&佩亚诺也是这么想的，他的大方向就是令后面这半部分近似等于0，一旦后半部分很接近0了，那么就可以省去了，只展开到n阶就可以了，泰勒展开就可以用了。但是他不知道如何做到。&/p&&p&后来，他又开始琢磨泰勒的整个思路：先保证初始点位置相同，再保证一阶导数相同，有点相似了，再保证二阶导数相同，更细化了，再保证三阶导数相同……突然灵光闪现：&b&泰勒展开是逐步细化的过程，也就是说，每一项都比前面一项更加精细化（更小）。&/b&举个例子，你想把90斤粮食添到100斤，第一次，添了一大把，变成99斤了，第二次，添了一小把，变成99.9斤了，第三次，添了一小撮，变成99.99斤了……每一次抓的粮食，都比前一次抓的少。泰勒展开式里面也是这样的：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-2cb07d4ed_b.jpg& data-rawwidth=&1291& data-rawheight=&253& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1291& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-2cb07d4ed_r.jpg&&&/figure&&p&由此可见，最后一项（n阶）是最小的。皮亚诺心想：&b&只要让总误差（后面的所有项的总和）比这一项还要小，不就可以把误差忽略了吗&/b&？&/p&&p&现在的任务就是比较大小，比较泰勒展开式中的最后一项、与误差项的大小，即：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_b.jpg& data-rawwidth=&1216& data-rawheight=&236& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1216& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-c3faefce15a4f70a165d6c7_r.jpg&&&/figure&&p&如何比较大小？高中生都知道，比较大小无非就是作差或者坐商。不能确定的话，一个个试一下。最终，皮亚诺用的坐商。他用误差项除以泰勒展开中的最小的项，整理后得到：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1beee55461efcb8a77152_b.jpg& data-rawwidth=&989& data-rawheight=&298& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&989& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-1beee55461efcb8a77152_r.jpg&&&/figure&&p&红框内的部分是可以求出具体数字的。佩亚诺写到这里，&b&偷了个懒，直接令 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，这样，误差项除以泰勒展开中的最小项不就趋近于0了吗？误差项不就趋近于0了吗&/b&？&/p&&p&我不知道你们看到这里是什么感觉，可能你觉得佩亚诺好棒，也可能觉得，这不糊弄人嘛。&/p&&p&反正，为了纪念佩亚诺的贡献，大家把上面的误差项成为佩亚诺余项。&/p&&p&总结一下佩亚诺的思路：首先，他把泰勒展开式中没有写出来的那些项补全，然后，他把这些项之和称为误差项，之后，他想把误差项变为0，考虑到泰勒展开式中的项越来越小，他就让误差项除以最后一项，试图得到0的结果，最后发现，只有当&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&&趋近于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&&时，这个商才趋近于0，索性就这样了。&/p&&p&其实整体思路很简单，当初学不会，无非是因为数学语言描述这么个思路会让人很蒙逼。&/p&&p&佩亚诺的故事讲完了，他本想完善泰勒展开，然而，他的成果只能算 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& 时的情况。这时候，拉格朗日出场了。&/p&&p&拉格朗日的故事说来话长，从头说起吧。话说有一天，拉格朗日显得无聊，思考了一个特别简单的问题：一辆车，从 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B1%7D& alt=&S_{1}& eeimg=&1&& 处走到 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B2%7D& alt=&S_{2}& eeimg=&1&& 处，中间用了时间 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=t& alt=&t& eeimg=&1&& ，那么这辆车的&b&平均速度&/b&就是 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v%3D%5Cfrac%7BS_%7B1%7D-S_%7B2%7D%7D%7Bt%7D& alt=&v=\frac{S_{1}-S_{2}}{t}& eeimg=&1&& ，假如有那么一个时刻，这辆车的瞬时速度是小于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，那么，肯定有一个时刻，这辆车的速度是大于平均速度 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的，由于车的速度不能突变，从小于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 逐渐变到大于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& ，肯定有一个瞬间是等于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=v& alt=&v& eeimg=&1&& 的。&/p&&p&就这个问题，我相信在做的大多数，即使小时候没有听说过拉格朗日，也一定能想明白这个问题。&/p&&p&拉格朗日的牛逼之处在于，能把生活中的这种小事翻译成数学语言。他把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S-t& alt=&S-t& eeimg=&1&& 图像画出来了，高中生都知道，在这个图像中，斜率表征速度：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_b.jpg& data-rawwidth=&1255& data-rawheight=&527& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1255& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-580c36f11f95b9c59f8bdd0_r.jpg&&&/figure&&p&把上面的这个简单的问题用数学语言描述出来，就是那个被拉格朗日了的定理，简称拉格朗日中值定理：有个函数 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S%28t%29& alt=&S(t)& eeimg=&1&& ，如果在一个范围内连续，可求导，则 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7Bt_%7B2%7D-t_%7B1%7D%7D%3DS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=S^{'}(t^{'})& eeimg=&1&&&/p&&p&后来啊，拉格朗日的中值定理被柯西看到了，柯西牛逼啊，天生对于算式敏感。柯西认为，纵坐标是横坐标的函数，那我也可以把横坐标写成一个函数啊，于是他提出了柯西中值定理：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7BS%28t_%7B2%7D%29-S%28t_%7B1%7D%29%7D%7BT%28t_%7B2%7D%29-T%28t_%7B1%7D%29%7D%3D%5Cfrac%7BS%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D%7BT%5E%7B%27%7D%28t%5E%7B%27%7D%29%7D& alt=&\frac{S(t_{2})-S(t_{1})}{T(t_{2})-T(t_{1})}=\frac{S^{'}(t^{'})}{T^{'}(t^{'})}& eeimg=&1&&&/p&&p&拉格朗日听说了这事，心里愤愤不平，又觉得很可惜，明明是自己的思路，就差这么一步，就让柯西捡便宜了，不过柯西确实说的有道理。这件事给拉格朗日留下了很深的心理阴影。&/p&&p&接下来，拉格朗日开始思考泰勒级数的误差问题，他同佩亚诺一样，只考虑误差部分（见前文）。&/p&&p&插一句，各位老铁，接下来拉格朗日的操作绝壁开挂了，我实在是编不出来他的脑回路。&/p&&p&首先，跟佩亚诺一样，先把误差项写出来，并设误差项为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_b.jpg& data-rawwidth=&1032& data-rawheight=&194& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1032& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-4df195f1bf2d68dfddb8cf_r.jpg&&&/figure&&p&误差项 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=R%EF%BC%88x%EF%BC%89& alt=&R（x）& eeimg=&1&& 中每一项都是俩数的乘积，假如是你，你肯定是想两边同时除掉一个 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& ，对吧，为了简单，把 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&& 设为 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=T%28x%29& alt=&T(x)& eeimg=&1&& :&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae818afa372bcf9d8537_b.jpg& data-rawwidth=&1061& data-rawheight=&154& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1061& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-ae818afa372bcf9d8537_r.jpg&&&/figure&&p&所以除过之后，就成了：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_b.jpg& data-rawwidth=&1097& data-rawheight=&129& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1097& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-7aaf8f9d852c44f9f280b97_r.jpg&&&/figure&&p&等等，这一串东西看着怎么眼熟？咦？这不是柯西老哥推广的我的中值定理么？剩下的不就是……：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b148e32e278d_b.jpg& data-rawwidth=&1081& data-rawheight=&148& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1081& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b148e32e278d_r.jpg&&&/figure&&p&红框中，脑路之清奇、操作之风骚、画风之诡异、场面之震撼，让我们不禁感慨，拉格朗到底日了什么，脑海里才会想到柯西。&/p&&p&拉格朗日写到这里卡住了，不知道你们有没有这种经验，反正我思考一道数学题的时候，会尝试着把思路进行到底，直到完全进了死胡同才会否定这种思路。有了前面的脑洞，拉格朗日继续复制这种思路，想看看能不能继续往下写：&/p&&p&先看分子&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d745d6fe883fd4e951c4_b.jpg& data-rawwidth=&1202& data-rawheight=&530& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1202& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-d745d6fe883fd4e951c4_r.jpg&&&/figure&&p&再看分母&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2d1d3e88caa_b.jpg& data-rawwidth=&1171& data-rawheight=&354& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1171& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-2d1d3e88caa_r.jpg&&&/figure&&p&好巧合，又可以用一次柯西的中值定理了。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_b.jpg& data-rawwidth=&1164& data-rawheight=&252& data-caption=&& data-size=&normal& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1164& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b5bdcf7af76e0505be26b_r.jpg&&&/figure&&p&总之，按照这种方法，可以一直求解下去，最终的结果就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%E8%AF%AF%E5%B7%AE%E9%A1%B9%3D%5Cfrac%7Bf%5E%7Bn%2B1%7D%28%5Cxi%29%7D%7B%28n%2B1%29%21%7D%28x-x_%7B0%7D%29%5E%7Bn%2B1%7D& alt=&误差项=\frac{f^{n+1}(\xi)}{(n+1)!}(x-x_{0})^{n+1}& eeimg=&1&&&/p&&p&至此，拉格朗日把后面无数多的误差项给整合成了一项，而且比配诺亚更加先进的地方在于，不一定非要让 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 趋近于 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_%7B0%7D& alt=&x_{0}& eeimg=&1&& ，可以在二者之间的任何一个位置 &img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cxi& alt=&\xi& eeimg=&1&& 处展开，及其好用。&/p&&p&本文涵盖泰勒展开式、佩亚诺余项、拉格朗日中值定理、柯西中值定理、拉格朗日余项。全文完毕。&/p&&p&多谢大家的赞同以及批评和指正，回头看了一下全文，发现一个最大的问题：前半部分太“湿”，后半部分太干。以及，最后讲解拉格朗日余项时，堆砌的公式太多，讲的直观道理太少，影响阅读体验以及理解。我将会在我的下一篇关于傅里叶变换的回答中加以改正。&/p&&p&历时四天，终于把本文更新完毕。全文八千字左右。其实如果是用语言讲解，这一块的内容最多用十分钟即可讲完。为了解放双手，我在考虑年后要不要开一场live，把微积分和数学物理方法中的所有数学思想利用这种直观的生活经验讲解出来，全程重在理解，不会出现数学语言。名字我都想好了，就叫《燕园吴彦祖带你三小时深刻理解微积分的所有思想》。届时我会保证全程开车的同时、干货不断。&/p&&p&什么？你觉得我做不到全程开车？你可以质疑我的才华、可以质疑我的颜值，但是你不能质疑我的技术，因为。&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&我骚啊。&/p&&p&开个玩笑啦，我本人理工科博士在读，每天同一帮老男人一起讲段子，目前积累的段子有6亿多段，而且，在新东方和学而思当老师，不会开车根本没办法制伏倒霉孩子。&/p&&p&谢谢。新年快乐。&/p&&p&==========&/p&&p&说最重要的一点，对于非数学系的理工科学生来说，永远都要记住，数学家都是凡人，你所接触到的所有数学知识，都来源于某一种数学思想，所有的数学思想都来源于生活经验。而这种生活经验，我们每个人都有，即使没有，也会很容易就能想通。&/p&&p&所以，你内心要有一种信仰，所有的数学思想都来源于生活经验，你肯定可以搞明白。学习数学，最忌讳的就是把它当作一种抽象的数字游戏，非数学系的理工科接触到的数学，必然有一条条形象的、直观的生活经验与之对应。&/p&&p&之所以觉得微积分困难，可能怪老师，可能怪课本，一开始就堆砌一堆晦涩难懂拗口的数学语言，对于初学者来说，直接就望而却步了。如果老师讲泰勒展开之前，先把这种思想讲明白，那接下来再去抠数学语言就轻松很多。&/p&
今天，我要讲讲我和苍井空的故事。FBI Warning:未成年人请在家长陪同下观看。德艺双馨的苍老师是我的启蒙老师。初入大学，暂时摆脱高考的巨大压力后，终于可以放飞自我。在那个草长马发情的年代，无数个月光如水的燥热夜晚，苍老师的课件一次次给我以直逼心…
&p&&b&2018 年 1 月更新。这个榜单每年一订，今年是第五年了。&/b&&/p&&p&&b&更新时是 9.4 万赞和 26 万次收藏。每年调整更新一个淘宝食物的版本，也还蛮好玩的。&/b&&/p&&p&&b&今年一共列入 23 种食物，保留了之前的 10 种，13 种为新推荐。&/b&&/p&&p&&b&本文仅限知乎和「艾格吃饱了」。请大家保证晚上 10 点后打开，嗯哼。&br&&/b&&/p&&p&1、如果你是第一次看到我的推荐，&u&请谨慎消费，&/u&如果可能的话，去看一些我的其它文章，&u&判断下我的风格是否会合你口味，&/u&再决定是否购买。&/p&&p&2、所有内容均为亲身消费体验，照片是我自己拍摄，和品牌与店主没有任何利益关联。&/p&&p&3、文中写到某件产品，是我只亲身消费过这种产品，&u&对店铺内其它产品不予评价。&/u&&/p&&p&4、&u&不要跟风，独立思考，谨慎消费。&/u&&/p&&p&5、鉴于知乎现状，评论区关闭。&/p&&p&&br&&/p&&p&-&br&谢谢邀请，在淘宝上买食物确实是我的爱好。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&（一）零食类&/b&&/p&&p&&b&1、2. 两种牛肉干&/b&&/p&&p&&b&没事干研究院近千位外部研究员选出什么牛肉干？&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&每年都买牛肉干。去年没事干研究院的外部研究员扩到近千位，就试着请他们作产品推荐。起初列出了近百种牛肉干单子，筛选到 28 种。去年跑了 10 个城市和读者聊天见面，顺便请他们盲测牛肉干。&/p&&p&&br&&/p&&p&最受欢迎的有两种：2017 年就推荐的台湾金门产高坑牛肉干，大片，软，调味好。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-56a0c8ef466f75a0ef26_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&台湾金门产，&b&高坑牌&/b&。标明使用澳洲或新西兰牛肉，拆开包装就是飞扑到鼻子前的一阵牛肉香。&br&&br&有十几种口味，我自己喜欢&b&麻辣味&/b&。够麻辣，同时带着饱满的&b&甜味&/b&，大片的牛肉嚼起来很过瘾。另一个我喜欢的口味是&b&沙茶味&/b&。&/p&&p&&br&&/p&&p&另一种很小众，但在线下访谈中奇迹般地冲了出来，这是广东中山产的&b&乐高沙爹味牛肉干&/b&：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-901fd0dd15ae5bee4dab824d3f508ca3_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-901fd0dd15ae5bee4dab824d3f508ca3_r.jpg&&&/figure&&p&大家喜欢它松软，好嚼，有牛肉干味儿又不重口。&b&高坑&/b&的调味&b&偏甜&/b&，北方人民盲测时都会指出这一点，而乐高就讨喜得多。&/p&&ul&&li&高坑牛肉干是进口产品，购买时记得和卖家确认保质期。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&3. 讨人喜欢的凤梨罐头，是什么样的？&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&桌上常备的凤梨罐头，是&b&台湾糖业&/b&出品的。&/p&&p&讨人喜欢，是因为它是个扁扁的小罐子，&b&分量小&/b&，每罐都配一个小叉子。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e3e9a9753f1bccafe7521fee500da18e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-e3e9a9753f1bccafe7521fee500da18e_r.jpg&&&/figure&&p&汤水并不特别甜，菠萝没有特别的纤维感。总之，就是那种一边上着班，一边就可以没有负担来一罐的感觉。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d14d831c8dec7efad5e0b73_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&856& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-d14d831c8dec7efad5e0b73_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&b&4. 嗑了很多种瓜子，最后选了哪一款？&/b&&/p&&p&就也，挺神奇的。&/p&&p&最后选了一家叫&b&傻老大&/b&的，新疆产，纯原味。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c1f113b3757bfd8f930f9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-c1f113b3757bfd8f930f9_r.jpg&&&/figure&&p&最初来自我一位广州朋友的推荐。她是一位瓜子爱好者，说这家瓜子个头大，炒得刚到好处，嗑久了不口干：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-edb530bef0decbd7ebb7_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-edb530bef0decbd7ebb7_r.jpg&&&/figure&&p&后来我试了，就真的……一直回购，停也停不下来。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&5、 史上最贵的鸡蛋卷：五年后也没找到更喜欢的&/b&&/p&&p&这是从第一年就列在榜单上的食物，一直没舍得撤下来。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-d018b6e8d4e6141cae0a8ffd5fe93043_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&香港北角&b&德成号&/b&老铺的牛油鸡蛋卷。&/p&&p&&br&&/p&&p&鸡蛋、砂糖面粉与黄油制成，&b&层层松脆&/b&，香气扑鼻。虽然代购价颇贵，但一直没舍得撤，总有理由。&/p&&ul&&li&运气不好，运过来会碎得很厉害。大家自行决定吧。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&6 、松仁粽子糖：中式糖，你应该试试！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&去年没事干研究院写&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&淘宝上有哪些值得买的老字号美食&/a&，塞给我了一包&b&苏州采芝斋松仁粽子糖&/b&。我起初也没当回事，混在桌上一碟进口糖果里，没想到，出人意料地好吃。 &/p&&p&&br&&/p&&p&粽子糖的形状像粽子，其实是一种中式硬糖，蔗糖饴糖混着香脆的松子仁儿，有一种非常清新且熟悉的香甜。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-65d0a16b7aab3dc2b5cdd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-65d0a16b7aab3dc2b5cdd_r.jpg&&&/figure&&p&吃多了各色进口糖果，渐渐开始觉得，还是我们自己的甜味，吃着亲切而熟悉。&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&采芝斋在淘宝有旗舰店，玫瑰味和薄荷味的也不错，每粒糖都有小包装，日常会揣两颗在兜里。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&（二）巧克力类&/b&&/p&&p&&b&7、吃过这么多种巧克力，最喜欢你&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&这些年陆续在试新的巧克力，几十种下来，最后还是回到这一块。很正大光明的美，但是又保留了复杂的、多层次的风味。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/857e7edebc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&意大利品牌 Amedei 的 Chuao。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/ee6c240989b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&留一段几年前写的评论：&br&&/p&&p&很好且清晰的酸度作为骨架，可可的香与苦，饱满复杂的滋味与香气一层层散发开来，&b&好像一支协奏曲&/b&，你可以渐渐辨别出各种乐器的存在，也许某一层滋味会显得微弱，可它负责的这一重旋律却始终纹丝不乱。&br&这款还是舍不得撤，我其实是个挺长情的人：）&br&&/p&&ul&&li&这个品牌的 Porcelana 、Toscano 系列我也会买。另外有一款 70% 莓果巧克力，有红莓果的芯子，果香和可可的微苦交织，口味轻巧不俗气。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&9、在巴黎，对着整面墙那么多的巧克力看了一小时&/b&&/p&&p&Patrick Roger 的巧克力排块，去年发现在淘宝上有卖，就上了榜单。&br&&br&只有一家在卖，价格贵，且品种非常少。在巴黎，Patrick Roger 的巧克力店里，有一整面墙都是巧克力排块，来自世界各个产地，很多都是独有口味。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ae039befc100cf3723ff2fa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&我当时看了有一小时。&/p&&p&&br&&/p&&p&Patrick Roger 是巴黎最出名的巧克力大师，M.O.F 。其实店里最值得买的，是各种口味的手工巧克力（ Bonbon ）。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-590cba96_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&在巴黎拍的。有一次买了近三千元的巧克力带回来，但回上海仍然觉得不够吃。唔……我不太会有这么失控的时候，是真的好吃。&/p&&ul&&li&由于每次有人去巴黎我都扑上去要人家带 Patrick Roger 回来，没事干研究院好奇了一阵，干脆去作了一个巧克力研究：&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&据说世界上最好吃的巧克力，看起来和吃起来是什么样的？&/a&&/li&&li&内有多种世界排名靠前的巧克力，然后，被老师选出的最好吃巧克力，在淘宝有卖了！请见下一行！&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&10、米其林三星大厨的六角星巧克力，淘宝今年有卖了！&/b&&/p&&p&&b&（这点事也要奔走相告下，辛酸。）&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&在巧克力研究文里，指导老师最喜欢的手工巧克力，是 &b&Alain Ducasse&/b& 。这位大厨有三间餐厅是三星，人称……「九星大厨」。好吧，是我称的。&/p&&p&&br&&/p&&p&他的巧克力，全手工制成。淘宝有卖家在兜售的，是 2017 圣诞限定星形设计，外层巧克力，在可可豆迷人的香气里，夹杂美妙且醇厚的酸味，完美搭配。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b063e7f9cec66c6498d32_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&904& data-rawheight=&604& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&904& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b063e7f9cec66c6498d32_r.jpg&&&/figure&&p&夹馅是杏仁榛子碎，唔，好吃的，强烈建议试一试。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-38b8d4dfe22b36e3adbb6caff5a1c5bf_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-38b8d4dfe22b36e3adbb6caff5a1c5bf_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&购买有小技巧，上淘宝找巴黎代购，发图片，直接就能代买，直邮一周就能到。 &/li&&li&希望淘宝进口商能多一些，品种能再多一些，价格能再美好一些 ^^（我的新年愿望）&br&&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&（三）茶包饮料类&/b& &/p&&p&&b&11、12.
两种桂花乌龙，总是停不了买买买&/b&&/p&&p&桂花乌龙茶好象一直停留在我的茶包架里。&/p&&p&之前推荐台湾&b&小茶栽堂&/b&的桂花乌龙茶，但淘宝时有断货。特意找了另一个台湾品牌&b&阿华师&/b&，它的桂花乌龙也不错：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-d1f8d79ed8f14b666f1d0d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&小茶栽堂的桂花乌龙，桂花香气更浓郁一些，适合夏天。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/ab7bb3af4e2f13fba3cecd_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&夏季以净水或者矿泉水冷泡，配些应季水果最好。&br&&/p&&ul&&li&小茶栽堂的茶更高香一些，我喜欢夏天冷泡。&/li&&li&阿华师的茶虽然也都说冷热皆宜，但这一袋桂花乌龙，我个人喜欢热泡，比较温和。&/li&&li&阿华师其实以一种黑豆茶出名，我觉得也还不错。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&13、 煮奶茶，用什么红茶好？&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&几年前去斯里兰卡，在茶区旅行时忽发奇想，让司机带着跑了 20 多家茶叶工厂，有机会就塞点小费给工人，让他带我进车间转转（感谢家里那位，居然也饶有兴致地跟着我一起看工厂）。&/p&&p&&br&&/p&&p&这样一圈下来，最喜欢的红茶品牌，是 &b&mlesna&/b& 。 &/p&&p&前两年淘宝上还一直没有，去年发现有卖了。开心，买大包的来煮奶茶喝：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-15f9a170b9b9bf5e3c39f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-15f9a170b9b9bf5e3c39f_r.jpg&&&/figure&&p&大包，不太贵，但够好喝。&/p&&p&茶叶是条索状的，也可以小壶或飘逸杯冲泡，一分钟后倒出茶水，久泡会太浓。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-a03bf1f00cde76_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-a03bf1f00cde76_r.jpg&&&/figure&&p&讲究点的港式奶茶煮法，要用上黑白淡奶和拉茶袋，没事干研究院之前写过方子。我偷懒，直接小锅煮水，投茶叶一分钟后倒出，再加点热牛奶，结束。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a90e4fb0d280dc222f8344_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a90e4fb0d280dc222f8344_r.jpg&&&/figure&&p&锡兰茶煮 / 冲的奶茶，也就是要那一口香味。&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&Orange Pekoe , 简称 OP ，是锡兰红茶的分类，不展开，有兴趣可以搜索。OP 通常指原叶条索茶，另有一种 BOP ，是压碎的 OP ，煮奶茶味道够浓够劲。这个品牌都有，可以试试。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&14、 冰箱里常囤的苹果汁，微波炉转热喝&/b&&/p&&p&去年一直在回购的苹果汁，也是没事干研究院塞给我的。&b&日本的青研苹果汁&/b&，以五种青森县苹果拼配而成，有香气有酸度，也有甜度。&/p&&p&&br&&/p&&p&我怎么喝？微波炉转&b&热&/b&了喝，冬天切两片&b&薄姜片&/b&加进去，早上喝非常暖胃。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-beb534ebd7be909df0f88_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-beb534ebd7be909df0f88_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&大罐纸房子装，淘宝不少卖家在卖，请就近购买节省邮费。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&15、16、贵妇牌零食店：杏仁霜泡茶，杏仁露囤蛋&/b&&/p&&p&&b&香港陈意斋&/b&其实是个贵妇牌零食店，如果你只在淘宝上找代购的话。因为都挺贵，且老派。&/p&&p&挺喜欢它的&b&杏仁霜&/b&，泡一杯喝甜且暖：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-3ba89abcbc5b6cf47635e6_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&川贝杏仁粉与粟粉、奶粉和……面粉的混合，容易泡开。&/p&&p&&br&&/p&&p&另外可以买它的&b&川贝杏仁露&/b&送人，甜甜的枇杷杏仁糖浆的味道，也很美。我有认识多年咳嗽的同学喝了一杯后就抱走了，说当办公室饮料好赞：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-1cf970ddeff2a32d8c10_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&要以 10 倍的温水兑开喝&/p&&p&&br&&/p&&p&但更好的吃法，是用杏仁露炖蛋，香甜滑，带着好闻的杏仁香，真的，胜过很多甜品店：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a616d547b53c9ab78f3ec_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a616d547b53c9ab78f3ec_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&方子是找了广东同事的妈妈要的，非常简单，很难失败。&/li&&li&一颗鸡蛋，100ml牛奶，一瓷勺半白砂糖，一瓷勺杏仁露。&/li&&li&打一颗鸡蛋到碗里，滴两滴油，加入白砂糖，打蛋，牛奶和杏仁露倒入一个玻璃杯搅拌，放入微波炉中火加热半分钟，将温热的杏仁露牛奶倒入蛋液中，一边搅一边加，搅拌均匀过滤一次，蒸锅水烧开后，将碗放入蒸锅内，小火蒸10-15分钟。&br&&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&（四）熟食与原料类&/b&&/p&&p&&b&17、吃了一年的熟食店，依旧没有厌倦&/b&&/p&&p&广东&b&新会古井镇&/b&上的烧鹅，以前专门和朋友飞过去吃了一次。&/p&&p&确实是好吃的。他们的鹅端上来，从来&b&不用梅酱&/b&，要浇积年的烧鹅老卤，香得不得了。那卤汁也用来炒菜，有一种令人难忘的好吃。&br&&/p&&p&所以有一天半夜饿得睡不着，在淘宝上翻烧鹅时意外发现古井这间烧鹅店开了淘宝店，赶紧下单：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-edcfd9681e54def_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&切得很美吧？我送去菜场熟食店切的，花了五块钱。&/p&&p&&br&&/p&&p&真空袋顺丰过来，皮子当然是不脆了。但&b&鹅肉非常香&/b&，浇上一勺卤汁，每个吃过的朋友都会很惊奇：你怎么发现的？&/p&&p&顺便买过白斩鸡和酱排骨，都很好：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6fc1fecdb76e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&广东人讲究吃白切鸡，这家店的鹅好，鸡的水准放在上海北京人那里也一定会出色。&/p&&p&&br&&/p&&p&古井镇还有一个特产就是著名的新会陈皮，顺手在店里买了一袋陈皮，糖盐腌的，果然好吃：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-f428e5d83dcada95ab3a3e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&&br&&/p&&ul&&li&这家店叫&b&古井恒益烧鹅店&/b&。去年上的榜，今年一直在回购，年度熟食店没有之一。&/li&&li&好好和卖家商量，多要些烧鹅卤汁，和店里的酱排骨、鹅肝肠一起做煲仔饭，绝妙。过两天有空时写写怎么做吧。&/li&&li&不过别买鹅肝。他们的鹅不以吃肝出名。&/li&&li&当时去吃烧鹅的经历看这里：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMjM5NTYxODQyMA%3D%3D%26tempkey%3DG6k9%252Fp32%252BqcfOGlBHK7fFGt4vhhu%252Frq1oZMWf%252F5skIprH6XWYkE4pTnQBVzW%252BuKFr92OeB%252FDUD13qA1%252Bb9nVluMMRXzR5mbhNjvzwsi0IEP1eECtBC4ly8uYkoYfbCI8AaTko%252BnIAHGPR2WOu8Cfqg%253D%253D%26%23rd& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&飞了一趟吃的烧鹅&/a& &/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&18、卖鹅肝的店都关了，还是舍不得撤&/b&&/p&&p&这是去年推荐过的店，叫&b&潮之声&/b&，汕头人开的。&br&店里的鹅肝，相当稳定且出色。&b&肥腻香软&/b&，我每次收到就会挖掉半个吃……&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-b69ffe554e5adcb65dc80a5d3229629f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& class=&content_image&&&/figure&&p&感觉真的很不健康。&br&但是很好吃！&br&&/p&&ul&&li&现在这家的淘宝店现在已经??转卖水龙头了。&/li&&li&如果你真的感兴趣，找到这家店，联系客服，他们会给你微信店的入口。会有点麻烦，但，毕竟鹅肝好吃呀。&br&&/li&&/ul&&p&&b&19、前方发现好吃的潮州牛肉丸！&/b&&/p&&p&没事干研究院在写 &a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/& class=&internal&&潮州城市餐厅指南&/a& 时，发现了一家当地店铺，牛肉丸非常好吃。&/p&&p&而且，店家有淘宝店！ &/p&&p&&br&&/p&&p&自然的牛肉香，清汤咕嘟嘟煮，不用放盐，煮完后汤里也有&b&牛肉清香&/b&：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0acebdfc609255bef718e12_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-0acebdfc609255bef718e12_r.jpg&&&/figure&&p&我其实更喜欢&b&牛筋丸&/b&，更有嚼劲，咬开之后，一个个小孔里泛着油花儿。&/p&&p&店家配了紫菜包和炸蒜包，我还会自己再切点&b&芹菜末儿&/b&，在家嘴馋的时候下一碗。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ba0e04e53a37fed1057fba_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-ba0e04e53a37fed1057fba_r.jpg&&&/figure&&p&来来来，大家一起欣赏欣赏：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-cd3aac8d71a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-cd3aac8d71a_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&这家店叫&b&听潮牛肉丸&/b&。测试了几次，质量都不错。&/li&&li&研究员们表示，想认真研究下潮州和汕头的牛肉丸有什么不一样，我看行。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&20、21、 一荤一素，两个 XO 酱&/b&&/p&&p&去年在写 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMjM5NTYxODQyMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dcda2ab0d014%26chksm%3Dbd23d64d8a545f5bb7a207fe983ae3c65c95e1b582f0c7cfc05d41%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&香港城市餐厅指南&/a& 时，特意看了一圈贵餐厅们的 XO 酱。说真的，这种名贵酱料，我觉得没必要自己做，往往加盐不对，油炒太多，一定还是好餐厅的后厨出品更佳。&/p&&p&&br&&/p&&p&香港二星餐厅&b&新同乐&/b&的 &b&XO 酱&/b&，是我在几家餐厅里试下来最好的。而三星餐厅&b&龙景轩&/b&的 XO 酱说实话并不怎么出色，但有一款总厨自创的&b&素 XO 酱&/b&，用豆腐干、萝卜、豆瓣制成，非常好吃：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-18afdb956e8b3aed4c18fb6abef1ff25_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&854& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-18afdb956e8b3aed4c18fb6abef1ff25_r.jpg&&&/figure&&ul&&li&都可以找香港代购去跑腿。新年将到，这是&b&挺体面&/b&的送长辈选择。&/li&&li&还有一款稍平价些的 XO 酱，来自&b&香港文华东方酒店&/b&二楼饼屋（不是置地文华），他们自产的玫瑰酱用来抹面包也非常香。我一般都买小瓶装的，开瓶后不会很久吃不完。&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&22、23、 给粥菜爱好者两种新选择&/b&&/p&&p&偶尔试到一款&b&台湾江记&/b&的梅子豆腐乳，十分喜欢，成为这一年的年度粥菜。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a5e714a037_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-a5e714a037_r.jpg&&&/figure&&p&梅子&b&酸甜&/b&，有大粒又软的黄豆，豆腐乳则&b&绵密咸甜&/b&，我自己很喜欢：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8ff38826ccc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-8ff38826ccc_r.jpg&&&/figure&&p&但江记的梅子豆腐乳，有人有可能觉得&b&偏甜&/b&。你们可以来看看这款&b&桃屋酱菜&/b&，清新些：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f9ca7ad5b376faccff1d4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-f9ca7ad5b376faccff1d4_r.jpg&&&/figure&&p&这款酱菜比较有趣的地方，是用萝卜、茄子、黄瓜、刀豆、莲藕、紫苏、生姜等等不同蔬菜，混上鲣鱼汁来一起腌渍，比较香，不是太咸，难得酱菜做出了小清新口感，偶尔尝个新鲜挺好的：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a5f53cdcdc_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1280& data-rawheight=&855& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1280& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-a5f53cdcdc_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&blockquote&&b&题外&br&&/b&&/blockquote&&p&&br&&/p&&ul&&li&知乎不能保留答案的上一个版本。点&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//mp.weixin.qq.com/s%3F__biz%3DMjM5NTYxODQyMA%3D%3D%26mid%3D%26idx%3D1%26sn%3Dfba80c4dc11eff9c5a1c%26chksm%3Dbd23dec48af7bf3267b1fdcb6b9f852a7b36dbead2244%26scene%3D21%23wechat_redirect& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&这里&/a&，看微信公众号上留的可以看到去年的推荐。&/li&&li&之后&b&没事干研究院&/b&也会出她们的&b&年度淘宝零食回购榜&/b&。大家可以对照着看。&/li&&li&然后再次提醒：&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&本文全为个人消费经验，请独立思考，谨慎消费。&/b&&/p&&p&&b&本文全为个人消费经验，请独立思考，谨慎消费。&/b&&/p&&p&&b&本文全为个人消费经验，请独立思考，谨慎消费。&/b&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&以上。&/p&
2018 年 1 月更新。这个榜单每年一订，今年是第五年了。更新时是 9.4 万赞和 26 万次收藏。每年调整更新一个淘宝食物的版本，也还蛮好玩的。今年一共列入 23 种食物，保留了之前的 10 种，13 种为新推荐。本文仅限知乎和「艾格吃饱了」。请大家保证晚上 10 …
&p&作为一个PPT发烧友，我也跟大家分享几款办公常用的神器，希望能提升大家的工作效率。&/p&&p&&br&&/p&&p&声明一点：&/p&&p&本文与公众号旁门左道（id：pangmenzd）同步更新，未经授权，请勿擅自转载。&/p&&p&如需转载，请联系我本人，微信：shaoyunjiao456&/p&&p&-------------------------------------------&/p&&p&好了，废话不多，开始正题。&/p&&p&&br&&/p&&p&先来介绍第一款神器。&/p&&p&做PPT时，我们经常需要用到图片，一张清晰出彩的图片可以为演示增分不少，而往往我们找到一张称心的图片，却发现分辨率过低，插入到PPT中变得模糊，着实令人懊恼。&/p&&p&所以，今天就跟大家分享第一个神器，PHOTOZOOM PRO，就是为解决这个痛点而生的。&b&它的原理是利用插值算法来放大图片，让分辨率较低的图片可以变得很清晰。&/b&&/p&&p&这是软件界面：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/a3be74c3d7524dcd4faf28d_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1227& data-rawheight=&653& cla}