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傅立叶变换在图像处理中有非常重要的作用。因为不仅傅立叶分析涉及图像处理很多方面,傅立 叶改进算法,比如离散余弦变换,gabor与小波在图像处理中也有重要的分量。傅立叶变换在图像处理的重要作用:
绝 大部分噪音都是图像的高频分量,通过低通滤波器来滤除高频——噪声; 边缘也是图像的高频分量,可以通过添加高频分量来增强原始图像的边缘;
其他特征:将提取的特征值进行傅里叶变 换来使特征具有平移、伸缩、旋转不变性
可以直接通过傅里叶系数来压缩数据;常用的离散余弦变换是傅立叶变换的实变换;傅立叶变换。
傅里叶变换是将 时域信号分解为不同频率的正弦信号或余弦函数叠加之和。连续情况下要求原始信号在一个周期内满足绝对可积条件。离散情况下,傅里叶变换一定存在。冈萨雷斯 版<图像处理>里面的解释非常形象:一个恰当的比喻是将傅里叶变换比作一个玻璃棱镜。棱镜是可以将光分解为不同颜色的物理仪器,每个成分的颜 色由波长(或频率)来决定。傅里叶变换可以看作是数学上的棱镜,将函数基于频率分解为不同的成分。当我们考虑光时,讨论它的光谱或频率谱。同样,傅立叶变 换使我们能通过频率成分来分析一个函数。
如线性, 对称性(可以用在计算信号的傅里叶变换里面);
时移性:函数在时域中的时移,对 应于其在频率域中附加产生的相移,而幅度频谱则保持不变;
频移性:函数在时域中乘 以e^jwt,可以使整个频谱搬移w。这个也叫调制定理,通讯里面信号的频分复用需要用到这个特性(将不同的信号调制到不同的频段上同时传输);
卷积定理:时域卷积等于频域乘积;时域乘积等于频域卷积(附加一个系数)。(图像处理里面 这个是个重点)。
在频域中,频率越大说明原始信号变化速度越快;频率越小说明原始信号越平缓。当频率为0时,表示直 流信号,没有变化。因此,频率的大小反应了信号的变化快慢。高频分量解释信号的突变部分,而低频分量决定信号的整体形象。
在图像处理中,频域反应了图像在空域灰度变化剧烈程度,也就是图像灰度的变化速度,也就是图像的梯 度大小。对图像而言,图像的边缘部分是突变部分,变化较快,因此反应在频域上是高频分量;图像的噪声大部分情况下是高频部分;图像平缓变化部分则为低频分 量。也就是说,傅立叶变换提供另外一个角度来观察图像,可以将图像从灰度分布转化到频率分布上来观察图像的特征。书面一点说就是,傅里叶变换提供了一条从 空域到频率自由转换的途径。对图像处理而言,以下概念非常的重要:
图像高频分量: 图像突变部分;在某些情况下指图像边缘信息,某些情况下指噪声,更多是两者的混合;
低 频分量:图像变化平缓的部分,也就是图像轮廓信息
高通滤波器:让图像使低频分量抑 制,高频分量通过
低通滤波器:与高通相反,让图像使高频分量抑制,低频分量通过
带通滤波器:使图像在某一部分的频率信息通过,其他过低或过高都抑制
在时域内做模板运算,实际上就是对图像进行卷积。 模板运算是图像处理一个很重要的处理过程,很多图像处理过程,比如增强/去噪(这两个分不清楚),边缘检测中普遍用到。根据卷积定理,时域卷积等价与频域 乘积。因此,在时域内对图像做模板运算就等效于在频域内对图像做滤波处理。
比如说 一个均值模板,其频域响应为一个低通滤波器;在时域内对图像作均值滤波就等效于在频域内对图像用均值模板的频域响应对图像的频域响应作一个低通滤波。
图像去噪 就是压制图像的噪音部分。因此,如果噪音是高频额,从频域的角度来看,就是需要用一个低通滤波器对图像进行处理。通过低通滤波器可以抑制图像的高频分量。 但是这种情况下常常会造成边缘信息的抑制。常见的去噪模板有均值模板,高斯模板等。这两种滤波器都是在局部区域抑制图像的高频分量,模糊图像边缘的同时也 抑制了噪声。还有一种非线性滤波-中值滤波器。中值滤波器对脉冲型噪声有很好的去掉。因为脉冲点都是突变的点,排序以后输出中值,那么那些最大点和最小点 就可以去掉了。中值滤波对高斯噪音效果较差。
椒盐噪声:对于椒盐采用中值滤波可以 很好的去除。用均值也可以取得一定的效果,但是会引起边缘的模糊。
高斯白噪声:白 噪音在整个频域的都有分布,好像比较困难。
冈萨雷斯版图像处理P185:算术均值 滤波器和几何均值滤波器(尤其是后者)更适合于处理高斯或者均匀的随机噪声。谐波均值滤波器更适合于处理脉冲噪声。
有时候感觉图像增 强与图像去噪是一对矛盾的过程,图像增强经常是需要增强图像的边缘,以获得更好的显示效果,这就需要增加图像的高频分量。而图像去噪是为了消除图像的噪 音,也就是需要抑制高频分量。有时候这两个又是指类似的事情。比如说,消除噪音的同时图像的显示效果显著的提升了,那么,这时候就是同样的意思了。
常见的图像增强方法有对比度拉伸,直方图均衡化,图像锐化等。前面两个是在空域进行基于像 素点的变换,后面一个是在频域处理。我理解的锐化就是直接在图像上加上图像高通滤波后的分量,也就是图像的边缘效果。对比度拉伸和直方图均衡化都是为了提 高图像的对比度,也就是使图像看起来差异更明显一些,我想,经过这样的处理以后,图像也应该增强了图像的高频分量,使得图像的细节上差异更大。同时也引入 了一些噪音。
众所周至,傅立叶变换可以将连续或离散的函数序列从空域映射到频域上,因此,傅立叶变换是信息与信号学中不可获缺的强大工具。但是,由于傅立 叶变换在学习时是以一大堆公式的形式给出的,因此很多人(包括我在内)往往在做了一大堆习题掌握了变换的数学表示却对其变换后的物理意义一无所知,尤其是 自学的时候更是晕头转向。
1维的离散序列的DFT变换公式为:
2维的离散矩阵的DFT变换公式为:
//【1】以灰度模式读取原始图像并显示
//【2】将输入图像延扩到最佳的尺寸,边界用0补充
//将添加的像素初始化为0.
//【3】为傅立叶变换的结果(实部和虚部)分配存储空间。
//【4】进行就地离散傅里叶变换
//【7】剪切和重分布幅度图象限
//若有奇数行或奇数列,进行频谱裁剪
//重新排列傅立叶图像中的象限,使得原点位于图像中心
//交换象限(左上与右下进行交换)
//交换象限(右上与左下进行交换)
//【8】归一化,用0到1之间的浮点值将矩阵变换为可视的图像格式
right: 以上四个参数指定了在src图像周围附加的像素个数。
这里讨论利用输入图像中像素的小邻域来产生输出图像的方法,在信号处理中这种方法称为滤波(filtering)。其中,最常用的是线性滤波:输出像素是输入邻域像素的加权和。
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