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如图所示，△ABC内接于圆O，AB是直径，过A作射线AM，若∠MAC=∠ABC．（1）求证：AM是圆O的切线；（2）设D是弧AC的中点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．若AE=2，圆O的半径为5，求cos∠AFE；（3）设D是弧AC的中点，过D作DE⊥AB于E，交AC于F．连接BD交AC于G，若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积．
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（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CBA+∠CAB=90°，∵∠MAC=∠ABC，∴∠MAC+∠CAB=90°，∴AM是⊙O的切线，（2）连接OD，∵D是弧AC的中点，∴OD⊥AC，∵DE⊥AB，∴∠EAF=∠EDO，∵∠EAF+∠AFE=90°，∴cos∠AFE=sin∠EAF，∴cos∠AFE=sin∠EDO，∵OD=5，AE=2，∴OE=3，∴sin∠EDO=，∴cos∠AFE=，（3）作FH⊥DG与H点，∵S△DFG=4.5，DG=3，∴FH=3，∵∠ACB=90°，∠HGF=∠CGB，∴△HGF∽△CGB，∴，∵D是弧AC的中点，∴∠CBD=∠DBA，∵DE⊥AB，∴∠DBA+∠EDB=90°，∴∠CBD+∠EDB=90°，∵∠CBD+∠CGB=90°，∴∠EDB=∠CGB，∴∠CGB=∠DGF，∴∠EDB=∠DGF，∴△FDG为等腰三角形，∵FH⊥DG，∴HG=DG=1.5，∵CG=4，∵，∴，∴BC=8，∴S△BCG=4×8×=16．
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（1）根据直角三角形的性质可推出∠MAC+∠CAB=90°，然后切线的判定定理即可推出结论，（2）连接OD，由垂径定理可得OD⊥AC，再由∠EAF+∠AFE=90°，得cos∠AFE=sin∠EAF，然后通过推出∠EAF=∠EDO，可知cos∠AFE=sin∠EDO，求出sin∠EDO即可，（3）作FH⊥DG与H点，由△DFG的面积推出FH的长度，由D是弧AC的中点，可得∠CBD=∠DBA，再由DE⊥AB，推出∠EDB=∠DGF，可得△FDG为等腰三角形，由FH⊥DG，求出HG=DG=1.5，通过求证△HGF和△CGB相似，根据对应边成比例，即可推出BC的长度，便可求出结果．
本题考点：
切线的判定与性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义．
考点点评：
本题主要考查相似三角形的判定与性质、切线的判定与性质、圆周角定理、锐角三角函数的定义与性质，关键在于熟练掌握运用相关的性质定理、正确地作出辅助线，认真地根据相关性质定理推出相关线段的长度、角的相等关系．
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如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）设D是弧AC的中点，连
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提问人：匿名网友
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如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC．（1）求证：MN是半圆的切线．（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG．
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<a href="//www.shangxueba.com/ask/9420225.html" target="_blank" title="?已知a1,a2,…,an是n个整数,且1=a1 <a2 < … ?已知a1,a2,…,an是n个整数,且1=a1 <a2 < … <an=2016,若a1,a2,…,an中任意n-1个数的平均数仍是整数,求n的最大值.
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如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC． （1）求证：MN是⊙O的切线；（2）设D是弧AC的中点，连接BD交AC于点G，过点D作DE⊥AB于点E，交AC于点F．①求证：FD=FG；②若BC=4，AB=6，试求AE的长．
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（1）证明：∵AB是直径，∴∠ACB=90°，∴∠CAB+∠ABC=90°．∵∠MAC=∠ABC，∴∠MAC+∠CAB=90°，即MA⊥AB，∴MN是⊙O的切线．（2）①证明：∵D是弧AC的中点，∴∠DBC=∠ABD，∵AB是直径，∴∠CBG+∠CGB=90°；∵DE⊥AB，∴∠FDG+∠ABD=90°，∵∠DBC=∠ABD，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD，∴FD=FG．②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．∵∠DBC=∠ABD，DH⊥BC，DE⊥AB，∴DE=DH．∴△BDE≌△BDH．∴BE=BH．∵D是弧AC的中点，∴AD=DC．∴Rt△ADE≌Rt△CDH．∴AE=CH．∴BE=AB-AE=BC+CH=BH，即6-AE=4+AE，∴AE=1．
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（1）即证∠MAC+∠CAB=90°．因为AB为直径，所以∠ACB=90°，∠ABC+∠CAB=90°．由∠MAC=∠ABC得证．（2）①证明∠BDE=∠DGF即可．∠BDE=90°-∠ABD；∠DGF=∠CGB=90°-∠CBD．因为D是弧AC的中点，所以∠ABD=∠CBD．问题得证．②连接AD、CD，作DH⊥BC，交BC的延长线于H点．证明Rt△ADE≌Rt△CDH，得AE=CH．根据AB=BH求解．
本题考点：
切线的判定；全等三角形的判定与性质；圆周角定理．
考点点评：
此题考查了切线的判定、等腰三角形的判定、三角形全等等知识点，综合性强；特别是最后一个问题构造全等三角形求解，难度较大．
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＞＞＞如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC。..
如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A 作直线MN，若∠MAC=∠ABC。（1）求证：MN是半圆的切线；（2）设D是的中点，连结BD交AC于G，过D作DE⊥AB于E，交AC于F，求证：FD=FG；（3）在（2）的条件下，若△DFG的面积为4.5，且DG=3，GC=4，试求△BCG的面积。
题型：证明题难度：中档来源：北京期末题
（1）∵AB是直径 ∴∠ACB=90° ∴∠CAB+∠ABC=90° ∵∠MAC=∠ABC ∴∠MAC+∠CAB=90°， ∴∠MAB=90°， ∴MN是半圆的切线 （2）∵D是弧AC的中点， ∴∠DBC=∠ABD， ∵AB是直径，∴∠ACB=90° ∴∠CBG+∠CGB=90° ∵DE⊥AB， ∴∠FDG+∠ABD=90°∵∠DBC=∠ABD，∴∠FDG=∠CGB=∠FGD， ∴FD=FG （3）过点F作FH⊥DG于H， 又∵DF=FG，DG=3， S△DFG=4.5， ∴HG=1.5， S△FGH=S△DFG=×4.5= ∵AB是直径，FH⊥DG ，∴∠C=∠FHG=90°又∠HGF=∠CGB， ∴△FGH∽△BGC
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据魔方格专家权威分析，试题“如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC。..”主要考查你对&&直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离），圆心角，圆周角，弧和弦，相似三角形的性质&&等考点的理解。关于这些考点的“档案”如下：
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因为篇幅有限，只列出部分考点，详细请访问。
直线与圆的位置关系（直线与圆的相交，直线与圆的相切，直线与圆的相离）圆心角，圆周角，弧和弦相似三角形的性质
直线与圆的位置关系:直线与圆的位置关系有三种：直线与圆相交，直线与圆相切，直线与圆相离。 （1）相交：直线和圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这时直线叫做圆的割线，公共点叫做交点AB与⊙O相交，d&r； （2）相切：直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。AB与⊙O相切，d=r。（3）相离：直线和圆没有公共点时，叫做直线和圆相离,AB与圆O相离，d&r。（d为圆心到直线的距离）直线与圆的三种位置关系的判定与性质： （1）数量法：通过比较圆心O到直线距离d与圆半径的大小关系来判定， 如果⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则有： 直线l与⊙O相交d&r； 直线l与⊙O相切d=r； 直线l与⊙O相离d&r； （2）公共点法：通过确定直线与圆的公共点个数来判定。 直线l与⊙O相交d&r2个公共点； 直线l与⊙O相切d=r有唯一公共点； 直线l与⊙O相离d&r无公共点 。圆的切线的判定和性质&&& （1）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 （2）切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。 切线长：在经过圆外一点的圆的切线上，这点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长。 切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角。 直线与圆的位置关系判定方法:平面内，直线Ax+By+C=0与圆x2+y2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）/B，（其中B不等于0），代入x2+y2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的方程如果b2-4ac&0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交。如果b2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切。如果b2-4ac&0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离。2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C/A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x2+y2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）2+（y-b）2=r2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1&x2，那么：& 当x=-C/A&x1或x=-C/A&x2时，直线与圆相离；当x1&x=-C/A&x2时，直线与圆相交。&圆的定义:在同一平面内，到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。这个定点叫做圆的圆心。图形一周的长度，就是圆的周长。弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。 弧用符号“⌒”表示以A，B为端点的弧记作“”，读作“圆弧AB”或“弧AB”。 优弧：大于半圆的弧（多用三个字母表示）； 劣弧：小于半圆的弧（多用两个字母表示） 圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧都叫做半圆。&&弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，所对的弦的弦心距相等。 推论：在同圆或等圆中，如果两个圆的圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角。 圆周角：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角。 圆周角的顶点在圆上，它的两边为圆的两条弦。圆心角特征识别:①顶点是圆心；②两条边都与圆周相交。
计算公式:①L(弧长)=n/180Xπr（n为圆心角度数，以下同）；②S(扇形面积) = n/360Xπr2；③扇形圆心角n=（180L）/（πr）（度）。④K=2Rsin(n/2) K=弦长；n=弦所对的圆心角，以度计。
圆心角定理:圆心角的度数等于它所对的弧的度数。理解：(定义）（1）等弧对等圆心角（2）把顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1°的角．（3）因为在同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成360份，这时，把每一份这样得到的弧叫做1°的弧．（4）圆心角的度数和它们对的弧的度数相等．推论：在同圆或等圆中,如果(1)两个圆心角,(2)两条弧,(3)两条弦(4)两条弦上的弦心距中,有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等
与圆周角关系:在同圆或等圆中,同弧或同弦所对的圆周角等于二分之一的圆心角。定理证明：分三种情况讨论，始终做直径COD，利用等腰三角形等腰底角相等，外角等于两内角之和来证明。圆周角定理推论：圆周角定理:在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角都等于这条弧所对的圆心角的一半。①圆周角度数定理：圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半。②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半。③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等。（不在同圆或等圆中其实也相等的。注：仅限这一条。）④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角。⑥在同圆或等圆中，圆周角相等&=&弧相等&=&弦相等。相似三角形性质定理：(1)相似三角形的对应角相等。(2)相似三角形的对应边成比例。(3)相似三角形的对应高线的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比。(4)相似三角形的周长比等于相似比。(5)相似三角形的面积比等于相似比的平方。(6)相似三角形内切圆、外接圆直径比和周长比都和相似比相同，内切圆、外接圆面积比是相似比的平方(7)若a/b =b/c，即b2=ac，b叫做a,c的比例中项(8)c/d=a/b 等同于ad=bc.(9)不必是在同一平面内的三角形里①相似三角形对应角相等，对应边成比例.②相似三角形对应高的比，对应中线的比和对应角平分线的比都等于相似比.③相似三角形周长的比等于相似比
定理推论：推论一：顶角或底角相等的两个等腰三角形相似。推论二：腰和底对应成比例的两个等腰三角形相似。推论三：有一个锐角相等的两个直角三角形相似。推论四：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形都相似。推论五：如果一个三角形的两边和其中一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。推论六：如果一个三角形的两边和第三边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例，那么这两个三角形相似。
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与“如图，△ABC内接于半圆，AB为直径，过点A作直线MN，若∠MAC=∠ABC。..”考查相似的试题有：
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