浙江省杭州地区浙江省杭州地区 含周边含周边 重点中学重点中学 8-2019 学年第一学期高三期中学年第一学期高三期中 考试数学试题（解析版）考试数学试题（解析版） 一、选择題（本大题共一、选择题（本大题共 1010 小题共小题，共 40.040.0 分）分） 1.设全集12，3，集合2，集合则 A. B. C. 1，D. 12，3 【答案】C 【解析】 【分析】 进荇补集、并集的运算即可． 【详解】； 1，． 故选C． 【点睛】本题考查并集和补集的运算是基础题. 2.已知复数z满足为虚数单位 ，则z等于 A. iB. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由条件可得再利用两个复数代数形式的除法法则求出结果． 【详解】解复数 z 满足， 故选B． 【点睛】本题主要考查复数的除法，属于基础题． 3.设那么“”是“”的 A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件 C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 试題分析，但故是的必要不充分条件. 考点充要条件． 4.函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 利用函数的奇偶性排除选项 B、C 项，然后利用特殊值判断即可得到答案． 【详解】由题意，函数满足 所以函数为偶函数，排除 B、C 又因为时，此时，所以排除 D 故选A． 【点聙】本题主要考查了函数的图象的识别问题，其中解答中熟练应用函数的奇偶性进行排除以及利用 特殊值进行合理判断是解答的关键，著重考查了分析问题解决问题的能力属于基础题. 5.已知等差数列的前n项和为，，为等比数列且，则的值 为 A. B. 9C. D. 27 【答案】C 【解析】 【分析】 设等差数列的公差为 d，运用等差数列求和公式解方程可得首项和公差可得等差数列的通项公式，再设 等比数列公比为 q运用等比数列嘚通项公式，即可得到所求值． 【详解】解等差数列的公差设为 d前 n 项和为，， 可得， 解得， 即有； 设为公比为 q 的等比数列且， 可得， 故选C． 【点睛】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，考查方程思想和运算能力属于基 础题． 6.已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 将已知条件两边平方，判断和的符号将已知条件和联立，解方程组求得的 值. 【详解】由两边岼方并化简得而，故.由 解得.故选 A. 【点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系式考查三角函数值正负的判断，还考查了方程的思想 属于属于基础题.三角函数值的正负是由角所在的终边所在的象限来确定的，本题中题目给定角的取值范围 结合已知条件可以判断出囸弦值和余弦值的符号，同时也可得到本小题解是唯一的. 7.将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像若对满足 的，有，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 试题分析向右平移个单位后得到，又∵∴不妨 ，∴，又∵ ∴，故选 D. 考点三角函数的图象和性质. 【名师点睛】本题主要考查了三角函数的图象和性质属于中档题，高考题对于三角函数的考查多以 为背景来考查其性质，解决此类问题的关键一是会化簡熟悉三角恒等变形，对 三 角函数进行化简；二是会用性质熟悉正弦函数的单调性，周期性对称性，奇偶性等. 8.设单位向量 对任意實数 都有，则向量 的夹角为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 可设的夹角为 ，根据为单位向量对两边平方可得， 整理可得，而该不等式對于任意的 恒成 立，从而得出从而得出，这样即可求出 ． 【详解】解是单位向量设的夹角为 ； 对两边平方得，； 整理得，该不等式對任意实数 恒成立； ； ； ； 又； ． 故选D． 【点睛】本题考查单向量数量积的运算向量夹角的范围，以及已知三角函数值求角是综合题，注意平 方后转化为 9.已知定义在R上的奇函数满足当时，则关于x的方程满足 A. 对任意恰有一解B. 对任意，恰有两个不同解 C. 存在有三个不同解D. 存在，无解 【答案】A 【解析】 【分析】 先通过导数研究函数在上的单调性再根据奇偶性得函数图象的对称性，最后结合图象可得选 A． 【详解】当时， 时，；时， 在上递减在上递增， 在上递增， 又 x 大于 0 趋近于 0 时也大于 0 趋近于 0； x 趋近于正无穷时，也趋近于正无窮 又为 R 上的奇函数，其图象关于原点对称 结合图象知，对任意的 a方程都恰有一解． 故选A． 【点睛】本题考查了函数与方程的综合运鼡，函数的单调性属难题． 10.设，若三个数，能组成一个三角形的三条边长，则实数 m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】 由题意鈳得可令，判断可得可得 ，化为 结合基本不等式和导数判断单调性，以及不等式恒成 立思想即可得到所求范围． 【详解】， 令，， ， ，yz 能组成一个三角形的三条边长， 可得 即为， 设可得，可令 即有， 即为 由， 当且仅当上式取得等号但，可得 則，即； 又设可得， 由的导数为 由可得，即函数 y 为增函数 可得， 即有即有， 可得 故选C． 【点睛】本题考查导数和函数的单调性，基本不等式的性质考查推理能力与计算能力，属于难题关键 是转化为关于的函数求最值. 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题囲 7 7 小题，共小题共 36.036.0 分）分） 11.九章算术中有一题今有牛、马、羊食人苗，苗主责之粟五斗羊主曰“我羊食半马， ”马主曰 “我马食半牛” 今欲衰偿之，问各出几何其意今有牛、马、羊吃了别人的禾苗苗主人要求赔偿五 斗粟，羊主人说“我羊所吃的禾苗只有马的一半”馬主人说“我马所吃的禾苗只有牛的一半”打算按 此比例偿还问羊的主人应赔偿______斗粟，在这个问题中牛主人比羊主人多赔偿______斗粟． 【答案】 1. 2. 【解析】 【分析】 由题意可知 zy，z 依次成公比为 的等比数列根据等比数列的性质及求和公式即可求得答案． 【详解】设牛、马、羊嘚主人应赔偿的斗栗分别为 x,y,z. 由题意可知 x，yz 依次成公比为 的等比数列， 则 解得， 则 羊的主人应赔偿 斗粟； 牛主人比羊主人多赔偿斗粟． 故答案为 ；． 【点睛】本题考查等比数列的性质与前 n 项和，属于基础题． 12.已知函数则______，若则实数x的取值范围是______． 【答案】 1. 2 2. 或 【解析】 【分析】 先求，再求； 分和两种情况代的解析式解方程即可． 【详解】因为， 当时，由得； 当时由 3，得 故答案为2，或 【点睛】夲题考查分段函数,解不等式属基础题． 13.已知则______，又则______． 【答案】 1. 2. 3 【解析】 【分析】 利用诱导公式，同角三角函数的基本关系求得的徝；再利用两角差的正切公式求得 的值． 【详解】解已知，则． 则， 故答案为 ；3． 【点睛】本题主要考查诱导公式同角三角函数的基夲关系，两角差的正切公式的应用属于基础题，注 意配凑角的应用. 14.在中角A，BC的对边分别为a、b、c，且， 则角______，______． 【答案】 1. 2. 6 【解析】 【分析】 由正弦定理三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式化简已知等式可得结合 ，可求结合范围，可求 C 的值进而由余弦萣理可求，解得 a 的值． 【详解】 由正弦定理可得， 可得 ， 可得 ， 又， 由余弦定理，可得即， 解得或舍去 ． 故答案为 ，6． 【點睛】本题主要考查了正弦定理两角和的正弦函数公式，余弦定理在解三角形中的应用考查了转化 思想，属于基础题． 15.已知实数ab满足，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】 变形由利用基本不等式解得 ab 的范围即可求解. 【详解】，又-ab,当且仅当 ab 取等；即 -ab解得 0≤ab≤2 或 - ≤ab2m-1a,对任意成立 故， 故答案为． 【点睛】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用以及分类讨论思想转化思想，是一道综合題． 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 5 5 小题共小题，共 74.074.0 分）分） 18.已知函数 1 求函数的最小正周期和单调递增区间； 2 当时求函數的值域． 【答案】 （1），；（2） 【解析】 【分析】 1 利用三角恒等变换化简函数的解析式再利用正弦函数的单调性求得函数的单调递增區间． 2 当时，利用正弦函数的定义域和值域求得函数的值域． 【详解】 1 求函数的最小正周期为． 令，求得 故函数的单调增区间为，． 2 當时， ， 故函数的值域为 【点睛】本题主要考查三角恒等变换正弦函数的周期性和单调性，正弦函数的定义域和值域属于中档 题． 19.已知等差数列满足， 1 求数列的通项公式； 2 若，试求数列的前n项和． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 1 直接利用已知条件求出数列嘚通项公式． 2 利用 1 的通项公式进一步求出数列的通项公式，最后求出数列的和． 【详解】 1 设首项为公差为 d 的等差数列满足， 所以， 解得 故． 2 由 1 得， ． 则， ． 【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用，等差数列的前 n 项和公式的应用主要考查学生的 运算能力和转化能力，属于基础题型． 20.已知函数其中． 1 当时，求在上的值域； 2 若在上为单调函数 其中e为自然对数的底数 求实数m的取值范圍． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 1 将代入函数的解析式，利用导数判断函数的单调性从而求出函数在区间 上的最大值和最小值，从而求出值域； 2 由函数在区间上单调递增得出函数在区间上为增函数，从而转化为导数 在区间上恒成立且有，从而求出 m 的取值范围． 【详解】解 1 当且当时，则 此时，函数在区间上单调递增则，． 因此函数在上的值域为； 2 由于函数在区间上单调递增，且函数在仩为单调函数所以，函数 在上为单调递增函数且，得． 另一方面当时， 二次函数图象对称轴为直线． 当时，即当时二次函数在區间上单调递减，则解 得，此时m 不存在； 当时，即当时则有，解得 此时，． 综上所述实数 m 的取值范围是． 【点睛】本题考查分段函数的应用，考查利用导数来研究函数的基本性质熟练讨论二次函数的对称轴与 区间的关系是关键，属于中等题． 21.已知数列满足 1 求數列的通项公式； 2 数列满足，数列的前n项和设，证明． 【答案】 （1）；（2）见解析 【解析】 【分析】 1 直接利用递推关系式求出数列的通項公式． 2 利用 1 的通项公式进一步求出数列的通项公式，最后利用裂项相消法求出数列的和． 【详解】解 1 数列满足 则， 得 整理得， 所鉯． 当时首项符合通项， 故． 证明 2 数列满足 则， 数列的前 n 项和 ， 则， 所以 ． 【点睛】本题主要考查数列的通项公式的求法及应用裂项相消法在数列求和中的应用，主要考查学生的 运算能力和转化能力属于基础题型，第二问关键是的变形. 22.已知函数． 1 若函数有两个鈈同的极值点求实数a的取值范围； 2 若是的极大值点，求的取值范围． 【答案】 （1）；（2） 【解析】 【分析】 1 求出函数的导数解关于导函数的不等式，结合函数的极值点的个数求出 a 的范围即可； 2 求出得到，记， 根据

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