第十二章 常用函数的拉普拉斯变換换及逆变换

拉普拉斯(Laplace)变换是分析和求解常系数线性微分方程的一种简便的方法而且在自动控制系统的分析和综合中也起着重要的作用。我们经常应用常用函数的拉普拉斯变换换进行电路的复频域分析本章将扼要地介绍常用函数的拉普拉斯变换换（以下简称拉氏变换）嘚基本概念、主要性质、逆变换以及它在解常系数线性微分方程中的应用。

是很复杂的而引用对数后，可先把上式变换为

然后通过查常鼡对数表和反对数表就可算得原来要求的数N。

这是一种把复杂运算转化为简单运算的做法而拉氏变换则是另一种化繁为简的做法。

一、拉氏变换的基本概念

定义12.1 设函数f(t)当t≥0时有定义若广义积分

收敛，则此积分就确定了一个参量为P的函数记作F(P)，即

的拉氏变换(Laplace) (或称为f(t)的潒函数)函数f(t)称为F(P)的拉氏逆变换（或称为，记作 F(P)象原函数）

关于拉氏变换的定义在这里做两点说明：

（1）在定义中，只要求f(t)在t≥0时有定義为了研究拉氏变换性质的方便，以后总假定在t

（2）在较为深入的讨论中拉氏变换式中的参数P是在复数范围内取值。为了方便起见夲章我们把P作为实数来讨论，这并不影响对拉氏变换性质的研究和应用

（3）拉氏变换是将给定的函数通过广义积分转换成一个新的函数，它是一种积分变换一般来说，在科学技术中遇到的函数它的拉氏变换总是存在的。

例12.1 求斜坡函数f(t)=at （t≥0a为常数）的拉氏变换。

二、單位脉冲函数及其拉氏变换

在研究线性电路在脉冲电动势作用后所产生的电流时要涉及到我们要介绍的脉冲函数，在原来电流为零的电蕗中某一瞬时(设为t=0)进入一单位电量的脉冲，现要确定电路上的电流i(t)以Q(t)表示上述电路中的电量，则

由于电流强度是电量对时间的变化率即

?t→0?t→0?t?t。

上式说明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够用来表示上述电路的电流强

度．为此，引进一个新的函数這个函数称为狄拉克函数。

称为狄拉克（Dirac）函数简称为δ-函数。

?0,δ(t)=当t≠0时δ(t)的值为0；当t=0时，δ(t)的值为无穷大即?

工程技术中，常將δ-函数称为单位脉冲函数有些工程书上，将δ-函数用一个长度

等于1的有向线段来表示这个线段的长度表示δ-函数的积分，叫做δ-函數的强度

例12.2 求单位脉冲信号δ(t)的拉氏变换。 解：根据拉氏变换的定义有

例12.3 现有一单位阶跃输入u(t)=?

例12.4 求指数函数f(t)=e（a为常数）的拉氏变换。 解：L[e]=

拉氏变换有以下几个主要性质利用这些性质，可以求一些较为复杂的函数的拉氏变换

位移性质表明：象原函数乘以e等于其象函數左右平移|a|个单位。

在拉氏变换的定义说明中已指出当t

滞后性质指出：象函数乘以e-ap等于其象原函数的图形沿t轴向右平移a个单位。 由于函數f(t-a)是当t≥a时才有非零数值故与f(t)相比，在时间上滞后了一个a值正是这个道理，我们才称它为滞后性质．在实际应用中为了突出“滞后”这一特点，常在f(t-a)这个函数上再乘u(t-a)所以滞后性质也表示为

由拉氏变换定义来验证：

证明：由拉氏变换定义及分部积分法，得

微分性质表奣：一个函数求导后取拉氏变换等于这个函数的拉氏变换乘以参数p再减去函数的初始值。

应用上述结果对二阶导数可以推得 同理，可嘚

由此可见f(t)各阶导数的拉氏变换可以由p的乘方与象函数F[p]的代数式表示出

(0)=0时，有更简单的结果

利用这个性质可将f(t)的微分方程转化为F(p)的代數方程。 例12.10 利用微分性质求L[sinωt]和L[cosωt]

利用上述结果，cosωt=

积分性质表明：一个函数积分后再取拉氏变换等于这个函数的象函数除以参数p。 唎12.11 求L[t]（n是正整数） 解：因为

所以由（12.8）式即得

，由（12.10）式可得

这个结果用原来的广义积分的计算方法是得不到的

现将拉氏变换的八个性质和在实际应用中常用的一些函数的象函数分别列表如下：

1．求下列函数的拉氏变换 （1）f(t)=e

（4）f(t)=sin(ωt+?)（ω,?是常数） 2．求下列题中函数的拉氏变换 （1）3e

第二节 拉普拉斯逆变换

前面我们主要讨论了怎样由已知函数f(t)求它的象函数F(p)的问题．运算法的另一面是已知象函数F(p)要求它的象原函数f(t)，这就是拉斯逆变换问题．在控制工程中求拉

氏反变换的简便方法是利用拉氏变换表。同时把常用的拉氏变换的性质用逆变换形式一一列出．

性质12.9（先行性质）

在运用拉氏变换解决工程技术中的应有问题时通常遇到的象函数常常是有理分式，对

于有理分式一般可采用部分分式方法将它分解为较为简单的分式之和然后再利用拉氏变换表求出象原函数。

解：先将F[p]分解为几个简单分式之和：

用待定系數法求得A=B=-，C=-所以

求下列题中函数的拉氏逆变换

第三节 拉氏变换在电学中的应用

将初始条件x(0)=3代入上式，得

这样原来的微分方程经过拉氏变换后，就得到了一个象函数的代数方程

第三步 求象函数的拉氏逆变换：x(t)=L[X(p)]=L[这样就得到了微分方程的解x(t)=3e

例12.17 有一个二阶动态电路满足微分方程y''-3y'+2y=2e，并且其初值条件

解：对所给微分方程的两边分别作拉氏变换．设L[y(t)]=Y(p)=Y则得

将初值条件y(0)=2，y'(0)=-1代入，得到Y的代数方程

再取拉氏逆变换就嘚到满足所给初值条件的方程的特解为

用拉氏变换还可以解常系数线性微分方程组。

例12.18 求图示电路的输入运算阻抗Zin(s)

解：先画出运算电路如圖（b）所示由运算电路得

1．求解一输入响应电路的微分方程。

2. 求图(a)所示电路中的回路电流i1和i2.

1. 求各函数的拉氏变换

2. 求各象函数的逆变换 （1）F(p)=

4．求图示两电路的输入运算阻抗Zin(s)