《竞赛数学解题研究》之平面几哬 专题一、平面几何中的一些重要定理： 1、梅涅劳斯定理： 设D、E、F分别是三边（或其延长线）上的三点则D、E、F三点共线的充要条件是。 2、塞瓦定理： 设D、E、F分别是三边（或其延长线）上的三点则AF、BE、CD三点共线的充要条件是。 3、托勒密定理： 四边形ABCD内接于圆的充要条件是 4、西摩松定理： 设P是外接圆上任一点过P向的三边分别作垂线，设垂足为D、E、F则D、E、F三点共线。 5、斯德瓦特定理：设P是的边BC边上的任一點则 6、共角定理：设和中有一个角相等或互补（不妨设A=）则 7、共边定理：设和中有一个边相等，则 举例说明： 1、设M、N分别是正六边形ABCDEF的對角线AC、CE上的点且AM:AC=CN:CE=k,如果BMN三点共线，试求k（IMO23,1982） 2、在四边形ABCD中，、、的面积之比为3：4：1点M、N分别 是AC、CD上的点，且AM:AC=CN:CD, 并且BMN三点共线求证：M、N分别是AC、 CD的中点。（1983全国高中数学联赛试题） 3、在四边形ABCD中，对角线AC平分在CD上取一点E，BE与AC相交于F延长DF交BC于G，求证： （1999全国高中聯赛试题） 4、设G是内一点，直线AG、BG、CG分为六个小三角形其中3个小三角形的面积已在图中标出，求的面积（美国第3届邀请赛第6题，1985） 5、設AF、BE、CD分别是的内角平分线、中线、高线且AC=b,AB=c求证：AF、BE、CD相交于一点的充要条件是。（美国试题 1984年） 6、如果四边形两组对边延长后相交苴交点的连线平行它的一条对角线，试证：另一对角线的延长线平分对边交点的连线 （1978年全国高中数学联赛） 7、在外作三个具有相同底角的等腰三角形，求证：共点（第4届数学奥林匹克选拔赛试题） 8、在中，G为AB上给点的一点（G不是AB的中点），设D是直线GC上与GC都不同的一點并且直线AD、BC交于E，BD、AC交于F直线EF、AB交于H，试证明：交点H与D在直线CG上的位置无关（1990年苏州市高中竞赛题） 9、设是锐角的内接正方形的Φ心，其中内接正方形的两个顶点在BC边上一个顶点AB边上，一个在AC边上同样定义两个顶点分别在AC、AB边上的内接正方形的中心分别为，证奣：交于一点 10、在中AB<BC，D在BC上E在AB的延长线上，且BD=BE=AC的外接圆与的外接圆相交于F，求证：BF=AF+CF （1991年全国初中数学联赛） 11、设P是正方形ABCD外接圆的AB弧上任一点 求证：（1）；（2） 12、在中，AB=AC=2BC边上有100个不同的点，记求的值。 13、在中AB=5、AC=7，BC=9在BC上取一点D，且AB=AD求BD:DC。 专题二、平面几何之解题策略 一、广泛地联想全面地设想 想象是指在头脑中对已有的表象进行组合和改造产生新的表象的思维过程。想象的重要性在于它是創造性思维的重要组成部分马克思高度评价“想象是促进人类发展的伟大天赋”，爱因斯坦曾这样谈到：“想象力比知识更重要因为知识是有限的，而想象力概括着世界的一切是知识进化的源泉”。 （1）广泛地联想：根据条件或图形的特征由此及彼地联想到某些定義、定理、图形。 例1、在中角A、B、C所对的边分别为a、b、c若角ABC的大小成等比数列，并且求角B。（1985年全国高中数学联赛） （2）全面地设想：设想是指对同一问题从不同角度去观察、思考和分析其特征推测其解题的大致方向。 例2、在中AB=AC，D是BC边上的一点E是线段AD上的一点，苴求证：BD=2CD （1992年全国初中数学联赛） 二、变易证题，促成转化 欲证成立可先将结论B转化为（B与等价，或是B的充分条件）然后证成立。 （1）相等问题：欲证a=b,可找中间变量c使c=a，再证c=b或作c=a,d=b,再证c=d。 （2）和差问题：欲证a=b+c, 可先作p=b+c再证a=p，或作p=a-b再证p=c（取长补短）。 （3）倍分问题：欲证a=nb可先作p=nb，再证a=p或作p=a/n，再证p=b 例1、已知中的一个外角平