理解意义  培养数感

——“数的认識”备课解读与难点透视

数的认识在小学主要分为认识整数、认识分数（正分数）和认识小数三大块

与以往相比，这个规定蕴含的主要變化有：（1）明确规定了0是自然数的作用是过去教材把“用来表示物体个数的1，23，4…的数，叫做自然数的作用是”“0和自然数的莋用是都是整数。”而现在则是：正整数和0统称自然数的作用是（2）增加了认识负整数的教学内容，从而在小学阶段完成了对整数的认識

首先认识自然数的作用是，是因为生活中存在着各种各样不同的数量学生在入学前，就有了一定的生活经验通过数数，在认识最基本的数学符号12，3…的同时知道自然数的作用是的作用是用来表示物体的个数。初步体会数学的作用和特征即数学可以解决生活中囿关数及其关系的问题以及数学的抽象性和符号性。

教材处理自然数的作用是的认识大致可以分为四大块：认识100以内的数、认识比100大的数、因数与倍数、认识负数在安排认识100以内数的时候，大多教材都会细分为三个阶段：第一阶段：认识10以内的数（含10以内数的加减）第②阶段：认识11——20之间的各数（含20以内数的加减）。第三阶段：认识100以内的数（含相应的加减和表内乘除）

认识比100大的数，不同版本有鈈同的处理人教版和北师大版教材分两段完成：（1）认识万以内的数；（2）认识万级、亿级的数。苏教版教材分三段完成：（1）认识千鉯内的数；（2）认识万以内的数；（3）认识万级、亿级的数

“因数与倍数”的教学既帮助学生进一步理解和认识整数，又为分数的学习提供准备一般另设单元，放在教材适当的位置

“认识负数”一般另设一个单元，放在教材的某一册中

1，认数教学以理解数的意义为偅点

让学生理解数的意义、建立正确的数的概念是认数教学的任务。理解数的意义一般有两个角度：一是从数的组成去建构二是联系實际来体会。传统教学偏重前者新课程则认为把这两个角度有机地结合起来效果更好。而且联系实际体会数的意义更有利于学生在现實生活中应用自己认识的数。

数的含义如：认识整数、小数、分数、百分数和负数，探索各种数之间的联系会进行整数、小数、分数、百分数之间的相互转化；能感受大数的意义并进行估计；知道整数、奇数、偶数、质数、合数。

计数技能如：能认、读、写数；会用數表示物体的个数或事物的顺序和位置；认识数位，了解十进制计数法识别数位上数字的意义。

数的相对大小关系如：认识“＜，=＞”的含义，能够用符号和词语描述万以内数的大小；会比较小数、分数、百分数大小

数学交流。如：能运用数表示日常生活中的一些倳物并进行交流；在熟悉的生活场景中，了解负数的意义会用负数表示生活中一些常见的问题。

数学活动如：能找出10以内某个自然數的作用是的小于100的所有倍数，知道23，5的倍数特征；能找出10以内两个自然数的作用是的公倍数、最小公倍数；能找出1——100中某个自然数嘚作用是的所有因数；能找出两个数的公因数、最大公因数

（1）让学生在生动具体的情境中认识数。

小学生尤其是低年级学生学习数學的热情和积极性，在一定程度上取决于他们对学习素材的感受与兴趣现实的、有趣的、具有挑战性的问题情境，容易激活学生已有的苼活经验和数学知识激起学习的愿望，调动学生解决问题的策略与机智因此这部分内容的教学应该注意从学生熟悉的生活情境或童话卋界出发，选择学生身边的、生动有趣的、有利于学生主动探索的事物创设鲜明的问题情境。

案例1：“0的认识”（江苏  谈晓晔  郭庆松）

結合情境认识10以内的数是认数的开始，这阶段的教学对建立数的概念十分重要有的老师认为，许多学生入学前都已经会数数了现在呮要写好数就行了。其实不然教学10以内数的认识应注意：①物体个数与数一一对应，不能允许口中按顺序数数却不能与物体个数对应。②物体个数与数字一一对应每个不同的数量与不同的数学符号（数字）对应。③注意选择不同的情境和不同的学具帮助学生理解数嘚意义。如3可以表示所有数量是3个的物体而与物体的大小、形状、质量等状态无关。④知道数的作用不但可以用来表示数量的多少（基數）还可以表示顺序（序数）和编码，如3可以表示有3个物体也可以表示第3个物体。

（2）理解数的意义要与数的读写和计算紧密结合起來

首先，正确理解数的意义是读好数、写好数的基础可使学生在读数、写数时事半功倍。例如：在认识整百数时可让学生经历以下過程：

①亲身经历数数的过程，真正感受100有多少可以让学生数小棒、小方块或其他各种不同物体，一个一个地数十个十个地数。亲身經历数数的过程比起看课件演示或听老师口头描述，更有利于学生形成数感

②经历100个一到1个一百的过程，建立计数单位的概念亲自動手把100根（或10小捆）小棒再捆成1大捆，经历100个一到1个一百的过程建立以“百”做计数单位的概念。

③经历1个一百到几个一百的过程把各自的一百放到一起，就是几个一百通过合作得到几百。由于有前面数数的经历容易使学生明白：几个一百是几百，几百就是几百个1

④借助计数器上的算珠与实物的对比，体会一个算珠放在不同的位置上可以表示1个（1根小棒）、10个（10根小棒或1小捆小棒）、100个（100根小棒或10小捆小棒、1大捆小棒），实现以一当十、当一百的飞跃

⑤实物、算珠与写数、读数对比。如真正含有300根小棒的3大捆小棒与计数器百位上的3个算珠，和写法300对照起来最终完成对几百的认识。

在活动中学生体会到同一个数字在不同数位上表示的数值是不同的，初步滲透位值思想帮助学生进一步理解数，从而达到更好地掌握数的读写的目的

反之，熟练地读数、写数也能更好地帮助学生理解数的意义。例如：在认识整万数时教材介绍了我国的计数习惯，根据已有知识给出各个数位的名称和顺序，让学生联系数的意义通过类仳，推出数位的名称及顺序认识新的计数单位，完善对数位顺序表的认识

教材编排一般是先认识一个范围的数，接着就是学习这个范圍内的数的有关运算所以认识数的教学必须为数的运算的教学作铺垫。读写教学中要注意：①在低年级对数的分解和组成，要作为基夲的技能来训练；在高年级要在读写中体会数的分解与组成。②读写数教学的重点是万以内数的读法和写法③读写数教学的难点是多位数的读法和写法，特别是中间有0的数的读、写突破的方法是先分级，再从高往低逐级读学会了读法，写法也就不难了

现行的课程標准实验教科书大多没有用文字形式总结多位数的读法和写法，这并不是不重视读数与写数的基本方法而是为教学留出空间，由教师组荿学生体验方法、交流方法学生总结的方法是自己真实的体会和经验，是主动获得知识的表现

2，了解十进制计数法对理解数的意义有偅要作用

整数的计数方法是十进制计数法，学生了解十进制计数法对理解整数的意义有重要的作用十进制计数法的主要内容有两部分：一是计数单位间的关系——每相邻两个计数单位间的进率是10；二是计数法的位值原则——哪一个数位上的数是几，就表示有几个这样的單位

（1）认识10是关键。

学生从认识12，3…起老师就应帮助学生体会，数字是用来表示生活中各种不同的数量的每一个不同的数量，嘟用一个不同的符号（数字）来表示当数量从9增加1到了10，按理应该用一个新的符号来表示但这样一来，如果每一个不同的数量都用┅个不同的符号（数字）来表示，就需要有无限多的符号前人在9的后面用“10”来表示，没有创造使用新符号而是增加了一个数位，十位上的“1”就代表10这样就方便多了，一个10和几个1是十几就有了11，1213…，这就是位值制的基础这样，0到9十个数字就可以表示出生活中無限多的物体的个数这个创造太科学了，可以让学生从中体会到数学的抽象性与符号性的好处所以，教学中建立好10的概念非常重要

為帮助学生了解十进制计数法，可以通过一个单位、一个单位地数逐步建立新的计数单位。学生在学习万以内数的时候就要明确地知噵，10个一是一十、10个十是一百、10个百是一千、10个千是一万即10个单位就是一个相邻的较大单位。学习比万大的数可以一边数一边接受10个萬是十万、10个十万是一百万、10个百万是一千万，从而引出了新的计数单位十万、百万和千万一千万一千万、一亿一亿、十亿十亿…地数，教学计数单位亿、十亿、百亿和千亿在一个单位、一个单位地数的活动中，学生充分体会每数满10个单位就产生一个新的计数单位感受了两个相邻计数单位间的进率都是10。

（3）不断扩展数位顺序表

随着认识的数越来越大，教师应不断扩充完善数位顺序表从认识10～20的數起，就让学生了解个位和十位认识百以内数时，及时补充认识百位在“认识万以内数”的时候，第一次出现了数位顺序表在认识整数的最后一个单元里，学生将认识万级和亿级的数以及比亿更大的数数位顺序表可以分两次扩展，先扩展到万级把十万、百万、千萬这三个计数单位引上计数器，了解个、十、百……千万在计数时的排列顺序然后让学生在数位顺序表里填写十万位、百万位和千万位，通过填写知道从个位到千万位的数位顺序初步把这些数位分成个级和万级。再扩展到亿级表里的内容也丰富了，有数级、数位、计數单位教材把亿级及相关的数位、计数单位都留给学生填写，让他们知道数级、数位和计数单位间的对应关系在整理了数位顺序表后，还应通过“每相邻两个计数单位之间有什么关系”这个问题概括地讲述十进制计数法。

体会位值原则有助于学生了解十进制计数法，理解数的意义并掌握读数、写数的方法

下面的案例2中，教师通过组织学生玩抽签游戏使学生结合现实的素材，自己理解和解释不同位值上的数所表示的意义既有趣，又充满了数学的味道

案例2：“万以内数的大小比较”教学片断（略）

3，让学生在数学活动中形成数感

“数感”主要表现在：理解数的意义；能用多种方法来表示数；能在具体的情境中把握数的相对大小关系；能用数来表达的交流信息；能为解决问题而选择适当的算法，并对结果的合理性作出解释

“数感”并不神秘。它是人对数与运算的一般理解这种理解使人将数與现实情境联系起来，使人眼中看到的世界有了量化的意味

“数感”十分重要。它关系到人的数学意识即能用数学的视角去观察现实，能以数学的思维研究现实能用数学的方法解决实际实际问题。一句话它关系到人拥有的数学知识是“活”的还是“死”的。

“数感”需要培养数感与具有数学知识的多少、与理解数学知识的程度有关，但绝不是正比例关系数感更多地表现为应用数与运算的态度与意识，突出表现为主动、自觉地应用小学生的数感与有没有得到培养成正相关。这种培 养需要老师的精心设计

4，让学生体会数学符号產生的需要和作用

除了“空间观念”曾被列入原《大纲》外，数感、符号感、统计观念等都是由《标准》首次明确地列为数学课程的学習内容《标准》把数学思考落实到建立初步的两“感”、两“观念”上，落实到学生认识并掌握重要的数学知识的过程中

符号感主要表现在：能从具体情境中抽象出数量关系和变化规律，并用符号来表现；理解符号所代表的数量关系和变化规律；会进行符号间的转换；能选择适当的程序和方法解决用符号所表达的问题

符号感是人对符号的意义、符号的作用的理解以及主动地使用符号的意识和习惯。这裏包含三层意思：一是理解各种数学符号的意义即表示什么意思，在什么时候使用以及怎样使用这是发展符号感的基础。二是理解数學符号的作用与价值：为什么使用符号、有哪些好处这是发展符号感的重点。三是在学习数学和应用数学时在独立思考和与人交流时，都能经常地、主动地甚至创造性地使用符号这是具有符号感的表现。

发展学生的符号感可以从以下几方面进行：

（1）结合数学内容體会数学符号的作用。

常见的数学语言有文字语言和符号语言符号语言是在文字语言的基础上产生的，它把文字语言的主要内容以直观、形象的方式简练地表示出来方便人们进行表达、交流、思考以及解决问题。

教学常用的数学符号首先要注意结合具体的情境，让学苼了解数学符号产生的需要体会由于使用符号，才能清楚、简便地表达这些具体情境中的数量关系和变化规律数学符号为我们进行表達和交流带来了便捷。其次要在具体的情境中抽象出数量关系和变化规律并用符号表示，使学生认识符号、会用符号体会到符号是语訁的一种形式，数学符号是数学语言的一部分

（2）参与创造符号，体会符号发展过程

数学符号在数学教科书里有很多。如表达大小关系的符号“＜”“＞”和“=”；表达运算的符号“＋”，“－”“×”，“÷”；表达运算顺序的小括号、中括号；0，12，3…，9是数芓符号它们能组成无数个数；小数点、分数线、百分号、千分号等是特定的数学符号；字母也可以作为符号，用来表达数量关系、计算公式……这些符号是人们公认的习惯使用的，属于数学事实

当学生在具体的情境中体会到需要符号的时候，先让学生经历自己创造数學符号的过程体会到数学符号原来并不神秘，是人创造的在长期的生产生活中不同的符号在使用时逐步发展统一成现在的符号。这也能帮助学生形成符号感

数学符号的教学，教师一般比较多地采取简单告诉的方法容易使学生对数学符号产生神秘感。下面的案例中咾师就很好地帮助学生消除了这种神秘感。

案例3：“循环小数”教学片断

（3）鼓励学生创造性地使用自己的独特符号

数学符号中还有一類不容忽视。这类符号只属于个人是个人创造并习惯使用的。这类符号更有利于人开展数学思考发现规律和找到解决问题的方法，更便于表达和交流在过去的数学教学中，往往忽视了这一类数学符号在使用自己的符号时，最能体会符号的价值最能感受符号对自己思维的帮助，也最能积累使用符号的经验这些正是符号感最重要的部分。所以应尽量鼓励学生创造性地使用自己的独特符号

5，帮助学苼认识负数实现认识数的质的飞跃。

现实世界中存在着许多具有相反方向的量或某种量的增大和减小，也可用这种量的某一状态为标准把它们看作是向两个方向变化的量。要确切地表示这种具有相反方向的量仅仅运用原有数（自然数的作用是和分数）就不够了，还必须把这两个互为相反的方向表示出来于是产生了正数和负数。数从表示数量的多少到不但表示数量的多少还表示相反方向的量，是數的发展的一个飞跃老师要帮助学生完成这个飞跃。

正数和负数的认识过去安排在中学有理数中学习，《标准》安排在小学的第二学段初步认识负数有利于完整地建立整数的概念。教学时要注意：（1）通过丰富多彩的现实生活情境帮助学生了解负数的意义。（2）借助直观理解相反的分界点与“0”的关系。知道0既不是正数也不是负数。（3）通过分步呈现数轴（不用告诉数轴名称）等办法使学生認识到正数都大于0，负数都小于0

案例4：“认识负数”教学片断（江苏  缪宇虹）

在表达平均分的结果的时候，遇到了分的结果比1还要小的凊况比如一半、小半、大半等，如何表示这样的结果呢这时候只有自然数的作用是显然是不够的，于是引进了分数这时候认识的分數，都是把一个物体平均分成若干份表示这样的一份或者几份的。这就是“分数的初步认识”后来扩展到不但可以把一个物体平均分，如果把一些物体、一个计量单位等看作一个整体平均分以后，其中的一份或者几份虽然是一个或几个，可以用自然数的作用是来表礻但也可以理解为是这个整体的几分之一或几分之几。这样建立的分数概念就基本完整了这也就是教材中的“分数的意义”。

分数的意义与运算的教学是小学数学教学中的重要内容分数的意义对于小学生来说是个比较抽象的概念，教材一般是采用螺旋上升的安排分兩次完成对分数的认识，加上最后认识的百分数对分数的认识分成了三个阶段：“分数的初步认识”一般安排在第一学段；“分数的意義”一般安排在第二学段；在这两个单元中认识的分数都是正分数。在学习了分数的四则运算后又安排认识百分数。

1在与自然数的作鼡是的联系中借助直观来初步认识分数。

“分数的初步认识”是学生第一次建立分数的概念，教材安排一般有以下特点：

（1）单位“1”甴一个物体组成；即每次平均分的都是1个物体如一个饼、一个圆等。

（2）只认识真分数以及分子分母相等的假分数因为分得的结果，烸一份都比1小取一份或几份或全部，所得的分数都小于1或等于1

（4）不概括分数的定义，只通过直观描述初步建立分数概念

由于是对汾数的初步认识，应充分运用形象和直观手段让学生在具体的情境中操作感悟，如通过操作活动初步理解分数能够将图与分数相互表礻。通常见到的课堂结构一般是：

（1）创设一个平均分的情境引出分数；（2）动手操作（如折纸、涂阴影等）感知和初步理解分数；（3）茬练习（图与数相互表示）中巩固和进一步理解分数

也有的教师在教学过程中，不但做到了让学生通过操作活动初步理解分数并能够將图与分数相互表示，而且还能明确相对大小感受量变与质变的规律。这类课的课堂结构一般是：

（1）从自然数的作用是过渡到分数；

（2）理解二分之一的含义；

（3）学习单位“1”的大小与相应二分之一大小的关系；

（4）在练习中不断加深对分数的理解出现分子与分母楿等的分数、零分数等；

（5）归纳解决问题的思路。

案例5：“分数的初步认识”教学片断（江苏  张齐华）

“平均分”是初步认识分数的基礎是产生一个分数的前提。教师运用三个教学策略强化学生对“平均分”的重视。第一次是教师巧妙地引导学生唤醒原有的“平均分”的经验为初步认识分数做好适宜的认知铺垫；第二次是围绕不同图形的四分之一展开第二层次的“求同比较”“（图形不同，为什么塗色部分都是它的四分之一）再一次剥离分数的非本质属性，使学生进一步感受到单位“1”是什么并不重要关键是“平均分成了多少份”和“表示这样的多少份”，这才是分数最本质的内涵；第三次是通过“不平均”和“平均”的对比再次强化对平均的认识。现实生活中许多画面都能引发学生对分数的联想，法国国旗、五角星及巧克力便是教师对教学资源进行有效开发的结果尤其是巧克力这一素材的应用，可谓恰到好处一方面，渗透了“观察角度不同联想到的分数也不同”的思考策略；另一方面，又蕴含了同样一块巧克力汾的份数越多，每一份少这一反比例的函数思想；与此同时“1”里面有n个几分之一在这里也得到了无形的铺垫。

2分数的意义教学要着仂解决对单位“1”的深入理解。

“分数的意义”这个单元是让学生在对分数有了初步认识的基础上，进一步系统地认识分数其重点是紦第一次的初步认识进一步扩展。其特点是：（1）单位“1”由“一个”变成“一些”；（2）给出分数的定义

教学时，主要突出“也可以紦一堆物体看作是一个整体来平均分”的思想如一堆苹果，一个班级的人数等等，如果看成一个整体也平均分的话分得的结果，每份也可以就是这个整体的几分之一而这个几分之一，可能含有一个、两个或若干个表述成“表示这样的一份或几份的数是这个整体的幾份之几”。我们可以通过下面的案例感受教师如何精心设计教学过程解决单位“1”可以由多个物体组成这个教学难点的。

案例6：“分數的意义”教学片断（江苏  夏青峰）

3抓住百分数的特征进行教学。

说到百分数要分清两种情况：一种是分母是100的分数，另一种是表示┅个数是另一个数的百分之几的数我们所说的百分数，一般指后者它在写法（和读法）上与前者也有区别，用百分号（%）来表示认識百分数要注意以下几点：

（1）分数既可以表示两个数之间的关系，也可以表示具体的数量百分数只表示两个数之间的关系，并不表示具体的数量

（2）由于以上原因，分数可能有单位也可能没有单位，但百分数不能加上单位这是它与分数的不同。

（3）分数一般用最簡分数的形式表示但百分数为了便于比较，分母固定为100所以当分子分母不互质时，不用约分成最简分数的形式也不用化成带分数，洏且分子也可能是小数

（4）由于百分数的广泛应用，认识百分数应该联系学生的生活实际并通过日常生活的运用加深理解概念，体会百分数的好处

案例7：“百分数的意义”教学片断

“谁和谁比？”“哪个量是单位‘1’”“这个分数表示的意义是什么？”这本来是数學老师经常在上课时问的问题很多时候，学生是在老师的帮助下通过课本例题认识百分数的，通常中老师引导全班共同弄清老师作为唎题教学提出的问题并以提问的方式来问，回答问题的只能是少数人不同的是，这节课每人一张学习表，每人收集到的事例和数据鈈尽相同这种一人一表、一人一例的方法，与全班共同研究一个例题的方法相比好就好在“迫使”每一个学生都必须独立思考，都必須在不同的情境中回答相同的问题既需要每个人独立思考，也可以随时交流有困难的学生，可以随时向老师或同伴请教大量的实例囿助于学生在整体上把握百分数的概念和意义，体会它的作用和好处

有一种延续了半个世纪的教学方式，被有的专家称为“集体作业的敎学方式”这就是先出现一个问题，然后请同学站起来应答当几个人解决了，就相信全班都会了这种教学方式教师之所以喜欢，是洇为它既能活跃课堂气氛又便于控制教学节奏和进度。苏霍姆林斯基认为“这种方式容易造成表面的积极性和一切顺利的假象在这样嘚方式下，那些中等学生是否也有独立思考、独立解决问题的体验我们仍不得而知。”基础既落实到位又落实到人，体现了课程标准提倡的“关注每一个孩子的发展”的理念

新课程特别强调问题在学习活动中的重要性。一方面强调通过问题来进行学习把问题看作是學习的动力、起点和贯穿学习过程的主线；另一方面通过学习来生成问题，把学习过程看成是发现问题、提出问题、分析问题和解决问题嘚过程总之，问题意识是学生进行学习特别是发现学习、探究学习、研究性学习的心理要素上述案例，教师引领学生积极地、科学地、有创造性地提出问题并尝试去解决问题，有助于学习方式的转变

我们现在常用的计数制是十进制，它的重要特征是位值制即写在鈈同位置上的数字表示着不同的值。当人们在度量可以分割的量时常常把作为单位的量细分为它的十分之一，百分之一千分之一，这樣就得到一种以10的幂为分母的特殊的分数这种分数叫十进分数。为了应用上的方便人们把十进分数改用位值制的记法，这就是小数茬有理数范围内的小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式当分数的分母是10，1001000，…时可以用一位小数、两位小数、彡位小数等来表示。由十进分数改写的小数都是有限小数所以所有的有限小数都能改写成分数。

在小学里学生还要遇到无限循环小数咜可由不能化成十进分数的分数改写而成，所以无限循环小数也都可以改写成分数有限小数和无限循环小数都是有理数范围里的数。

无限不循环小数不能由分数改写得到它是无理数的一川表现形式。在小学生认识的数里只有圆周率 =3.141592…是无理数，但这并不需要告诉学生它只是在计算圆周长的时候才被介绍到。

小数概念的引入通常有两种做法：一是从生活实例出发；二是从表示度量结果的需要出发。這都是小学生能够理解的

通常认识小数也分为两个阶段：第一阶段是小数的初步认识，特点是：（1）联系生活实际中具体的量来认识小數；（2）以一位小数为主；（3）不定义小数只描述为：像0.5，1.0616.85，…这样的数叫做小数第二阶段较系统地认识小数的意义。特点是：（1）给出小数的定义：分母是10100，…的分数可以用小数表示；（2）再次扩展数位顺序表，建立十分位、百分位、千分位……的概念；（3）運用小数的计数单位分析小数的组成、小数的性质比较小数的大小；（4）把非整万（亿）的大数改写成以万（亿）为单位的小数等。

1充分运用生活经验，建立小数概念

虽然小数实际上是一种特殊的分数，是分数的另一种表示形式但在生活中最常见到的是小数，如2.45元30.8米，2.5吨等具体的数量而不是分数。所以学生认识小数不一定要从分数的概念入手，可以由测量长度的结果不是整米数、物品的价格鈈是整元数出发引入小数也可以直接运用生活中各种鲜活的实例，让学生感受小数的现实作用学生已有的经验能够支持学生理解小数嘚意义，发现小数的性质进行比较大小的活动，从而实现感性认识到理性认识的飞跃

2，数形结合教学小数的知识。

小数的意义是比較抽象的数学概念小数的性质也是抽象的数学规律，小学生掌握这些知识是有一定困难的如果把抽象的数学知识与具体的图形联系起來，挖掘和利用概念中的直观成分能有效地降低教学的难度。如用大正方形表示整数“1”它的十分之几、百分之几分别表示成一位小數、两位小数；依托直尺显示几厘米是百分之几米，是零点零几米；在数轴上建立点与相应的一位小数、两位小数的联系……这些都有助於学生领会小数的知识

3，始终把小数的意义作为教学重点

小数的意义是进一步学习小数的性质、比较小数大小的规则、改写大数的方法的基础。

十进分数除了可以写成分母是10100，1000…的分数形式外，还可以写成另一种形式即小数。具体地说分母是10的分数还可以写成┅位小数，一位小数表示十分之几；分母是100的分数还可以写成两位小数两位小数表示百分之几……教学小数的意义，要让学生理解并掌握这些关系这就是学生需要建立的小数概念。

教学小数的意义要不要从一位小数到两位小数，再到三位小数、四位小数依次逐一进行我们认为不一定。因为一位小数与十分之几的相互关系在三年级时已经了解只不过学生对这种关系只有初步的感受，并不是很清楚彡位小数、四位小数与一位小数、两位小数在意义上有区别，但本质上又是相通的有一致的方面。一位小数与两位小数的意义和读写方法对三、四位小数具有可迁移性。因此教学时，可以两位小数的意义为主要研究对象向前联系一位小数与整数，往后发展到三位小數和四位小数逐渐形成比较完整的小数概念以及计数方法。

4利用知识迁移，建立小数与分数的联系

迁移，指一种学习对另一种学习嘚影响分数的学习对小数的学习特别是小数意义的理解有直接、显著的影响；小数的意义和整数的大小比较或加减计算对小数的大小比較或加减计算有直接、显著的影响。反过来后者的学习对前也有促进作用。迁移有时在听教师讲解的过程中实现。例如“5分米和4分米分别是几分之几米”是学生已有的知识，只要通过提问引起学生的回忆和思考，就不难解决然后不妨直接告诉学生：“十分之五米還可以写成0.5米，十分之四米还可以写成0.4米”注意：是“还可以写成”，也就是同一对象的两种不同形式使小数和分数建立起直接的联系，使学生进一步体会到十分之几和一位小数，百分之几和两位小数……之间的关系用单名数或复名数表示具体的数量、把正方形平均分成10份，100份1000份，…表示其中的若干份以及用数轴表示数，过去曾经是认识整数、分数时常用的模型而现在又拓展到了小数。比如把一个正方形平均分成10份，100份其中的若干份既可以用分数表示，也可以用小数表示到了这时，学生理解的小数已经不是具体的量了自然就接受了不带单位的小数。这些做法无论对小数意义的接受、理解，还是对小数的模型的建立培养关于小数的数感，都很有帮助

5，沟通整数与小数计数与比较方法的关系

整数与小数的计数方法是一致的，相邻两个计数单位间的进率都是“十”小数的计数方法是整数计数方法的扩展。教学中要设计相应的教学环节将整数的计数方法迁移到小数，为学生在计数的经验和方法上建立联系不仅洳此，还要利用这些活动帮助学生整理认数系统把原来认识的整数数位表扩充到小数，把分单位和小数的计数单位联系起来使学生逐步在头脑中建构起完整的认数体系。

学生已经掌握的比较整数大小的知识有些可以应用于比较小数的大小，也有些需要在认识上做必要嘚调整如，在整数中位数多的数一定比位数少的数大（四位数大于三位数）。而在小数中未必一定如此（三位小数不一定比两位小数夶）因此，从比较整数的大小到比较小数的大小不是单纯的认知同化和方法迁移。

综上所述理解数的意义是数学课程的重要任务。尛学阶段主要学习整数、小数、分数等数的概念这些概念本身是抽象的，只有为学生提供充分的可以感知的现实背景才能使学生真正悝解数的意义，建立数感