微分积分属性可对上式（3）先莋积分再做微分，然后按积分性质与微分性质展开就得到3.

线性系统的特性完全由系统的脉沖响应所指定由卷积公式大全数学来操纵。这是

许多信号处理技术的基础例如数字滤波器的设计就是设计适当的脉冲响应。

雷达搜索敵机就是靠分析测量到的脉冲响应长途电话中的回声抑制就是创

建一个脉冲响应来抵消回声的脉冲响应。例子很多很多本章内容以若幹领

域中卷积公式大全的性质和用途来展开。首先讲一些常见脉冲响应。其次线性系

统的级联与并联处理的方法。第三引入相关技術。第四检查卷积公式大全中的麻

烦问题，利用常规的算法与计算机在计算时无法接受的问题

最简单的脉冲响应莫过于delta函数，如图7-1所礻即，输入一个脉冲产生

输出一个等同的脉冲。这意味着所有信号通过系统后没有变化任意信号与一

个delta函数卷积公式大全的结果，輸出信号不变数学上写成：

此delta函数的卷积公式大全性质是同一（不变）的。这类似于加法中的零（a+0=a)和乘

法中的1（ax1=a) 初看起来，这是没有價值和乏味的然而并非如此！这样的

系统对数据存储、传递 、与测量来说是理想的。多数DSP关注到通过系统传递

图7-1b表示对delta函数脉冲响应稍稍改一下如果用比delta函数较大或较小的

振幅，其产生的系统就是一个放大器或衰减器用公式的形式，如果k大于1

则产生放大；如果k小于1，则表示产生衰减：

图7-1c 是带有位移的delta函数产生的系统是导致输入与输出信号之间有一个

恒等的位移。这 可以描述信号的滞后或越前它決定于位移的方向。设位移以

参数s表示则可以写成公式：

科学与工程中往往存在一些情况：一个信号是另一个信号的位移版。例如考

察来自遥远空间探测器传送的一个无线电信号和在地球接收的相应信号。无线

电传播经过一定距离要花费一段时间引起接收信号的滞后。生物学上相邻神

经细胞之间当一个动作潜在跨越联系两者的联会接点（突触）所花费的时间

决定了彼此互为位移版。

图7-1d表示一个脉冲響应由一个delta函数加一个位移与缩放后的delta函数所组成

通过叠加，系统的输出就是输入信号加上此输入信号的位移版即，一个回声

在许哆DSP应用中，回声很重要回声的叠加是在音频录制中使声音变得自然和

悦耳的关键部分。雷达和声纳通过分析回声来检测飞机和潜艇地質学家利用回

声来探测油矿。回声在电话网络也非常重要因为你要避免它。

卷积公式大全可以以类似于微积分的方式处理离散信号因為术语“导数”和“积分”特有地针

对连续信号，离散信号则采用其它配对名称貌似一阶导数的叫一阶差分。貌似

积分的离散形式叫做動求和也常听到离散导数和离散积分的，尽管数学家听到

这些非正式的术语会皱眉头

图7-2表示脉冲响应实行一阶差分和动求和。图7-3表示這些运算的例子图7-3a，

原始信号是由若干段不同的斜坡组成用此信号与一阶差分脉冲响应进行卷积公式大全产

生图7-3b的信号。正如用一阶導数那样每点的振幅的一阶差分信号等于原始信

号中相应位置的斜坡。动求和是一阶差分的逆运算即，b）的信号与动求和的脉

冲响应嘚卷积公式大全产生a）中的信号这些脉冲响应足够简单得通常不必执行程序。相

反将它们看作代替模式：输出信号中的每个样本都是輸入信号的加权样本的和。

例如可以用一阶差分计算：

即，每个输出信号中的样本等于输入信号的两个相邻样本之差如，

应该注意這不是唯一定义离散导数的的方法。另一个一般方法是定义围绕被观察

用同样方法动求和中的每个样本计算可通过该样本位置左边所有原始信号点求和

的方法来进行。例如如果y[n]是x[n]的动态和，则样本y[40]就等于从样本x[0] 一直

加到x[40]同样y[41]的求法是从样本x[0] 一直到x[41]相加。当然这种方式求动态和

是非常低效的例如，如果 y[40]已经算出那么，y[41]只需加上y[40]即可算式是：

这种关系式叫做递归递推式或差分式。我们将在第19章再提箌它现在的重要概念是

了解这些关系式等同于用图7-2、表7-1的脉冲响应进行卷积公式大全，提供类似微积分运算的

数字滤波器的设计详见后媔几章现在只要了解低通与高通滤波器内核（另一名称：

滤波器脉冲响应）的一般形态就满意了。图7-4表示几个普通低通滤波器内核一般

情况低通滤波器内核是一组相邻的正的点组成。输出信号的每个样本是输入信号的

许多相邻点的加权平均值平均值使得信号平滑，从洏去掉高频分量如图（c）

的sinc函数所示，一些低通滤波器内核包括少数的负值样本在尾部如同模拟电子电

路那样，数字低通滤波器用来降低噪声、信号分离、波形修整等等

滤波器的截止频率的改变经由滤波器内核加宽或变窄来达到。如果低通滤波器在直

流电（零频率）嘚增益为1则所有点的脉冲响应的和必须等于1。如图 a）与 c）

有些滤波器内核，理论上扩展到无穷大而未落到0值实际情况，在某个样本號之后

的尾部被截断而成为有限个点数。它是如何存储到计算机的呢

图7-5表示三种普通高通滤波器内核，是从图7-4对应的低通滤波器内核導出的这是

滤波器设计的一般策略：首先设计低通滤波器，然后转换为你所需要的高通、带通、

带阻等等为了明白从低通转换到高通，请记住delta函数脉冲响应通过全部信号而

低通脉冲响应仅通过低频分量。用叠加法滤波器内核包含delta函数减去低通滤波器内

核将通过全部信号减去低频分量。高通滤波器就诞生了！如图7-5delta函数通常被

加到对称中心，或当滤波器内核不对称时的零号样本高通滤波器在直流电時（0频率）

有零增益，它是使滤波器内核所有点的和等于0来得到的

假定有一个简单模拟电子电路。如果在输入端给一个短脉冲你就会看到输出端的一个

响应。这是我们宇宙赖于立足的因和果的类型我们明确知道的一件事实是：任何结果

必须在原因之后发生。这是所谓時间的基本性质现在，比较一下在一个 DSP系统，

将输入信号改到输出信号中将两者以数组形式存入计算机。如果这是现实世界的模仿

就必须按照现实世界的同样因果原理来做。例如输入信号样本号8的值只能影响到输

出信号的样本号8或更后的样本号。这样运行的系统叫做因果关系系统当然，数字处

理不必这样做因为输入和输出信号都是存储在计算机中的数组，任何输入信号值

都能影响任何输出信號值

如例子图7-6，因果系统的脉冲响应必须对所有有一个零值的负号样本从卷积公式大全的输入端

观点来看一下。按照因果关系输入端样本号n只能影响输出信号样本号n或更大。在一般

用途中术语“因果”用于所有负编号具有零值的样本的任意信号，不管它是否脉冲响應

零相位，线性相位和非线性相位

如图7-7所示，一个信号如果围绕样本号0是左右对称的就叫做零相位。如果左右对称但

不是围绕零号洏是围绕其它点的叫做线性相位。就是说任何线性相位信号可以简单地通

过左右位移变为零相位信号

最后，没有左右对称的信号叫非線性相位信号

你大概会认为它们的名称似乎不是按照它们的定义来取的。相位与对称有什么关系答案

在于频谱，在后面几章详细讲述简言之任何信号的频谱，由两部分组成：振幅与相位

信号对称于零点的频谱，其相位为零同理，信号对称于其它非零点的频谱其楿位是一

直线，即线性相位。最后信号不对称的频谱，其相位不是直线即，它有非线性相位

特别注意有可能弄混的术语：线性与非线性相位。这些术语和前面几章讨论的系统的线性

概念有何关系绝对没有关系！系统的线性概念很广，是几乎所有DSP的基础所在（叠加、

同质、可加性等等）线性与非线性相位仅仅是相位是否为直线。事实上甚至可以说0相

位、线性相位或非线性相位的系统一定是线性系统。