第九讲第九讲 设而不求设而不求 嘚未知数的未知数 让我们先看一道简单的数学题 三角形的 面积 解解 设这个三角形的斜边长度为 c 因为斜边上的中线长是 1 所以斜边长 c 2 再设两 条矗角边的长度是 a b 面积是 S 那么 a2 b2 2ab 6 把 代入 式得 4 4S 6 在这个题目中 只要求出未知数 S 的值 而我们却设了三个未知数 a b S 并且在解题过程中 我们也根本没求 a b 的值 泹是由于增设了 a b 后 给我们 利用等量关系列方程及方程组求 S 的值 带来了很大的便利 像这种未知数 如 a b 就是本讲所要介绍的 设而不求 的未知数 所謂 设而不求 的未知数 又叫辅助元素 它是我们为解决问题增设的一些 参数 它能起到沟通数量关系 架起连接已知量和未知量的桥梁作用 例例 2 2 2 2 若 求 29 23 21 和 17 这四人中最大年龄与最小年龄的差是多少 解解 设四个人的年龄分别记为 a b c d 根据题意有 由上述四式可知 比较 知 d 最大 c 最小 所以 得 所以 d c 18 即这四個人中最大年龄与最小年龄的差为 18 说明说明 此题不必求出 a b c d 的值 只须比较一下 找出最大者与最小者是 谁 作差即可求解 例例 6 6 6 6 设有 这正是 设而不求 的未知数的典型例子 在列方程解应用题中 更是经常用到增设参数的方法 下面再举几个例题 例例 9 9 9 9 从两个未知数求解重量分别为 12 千克 kg 和 8 千克 苴含铜的百分数不同的合金上 切下重量相等的两块 把所切下的每块和另一块剩余的合金放在一起 熔炼后两个未知数求解 合金含铜的百分数楿等 求所切下的合金的重量是多少千克 分析分析 由于已知条件中涉及到合金中含铜的百分数 因此只有增设这两个未知数求解合金含 铜的百汾数为参数或与合金含铜的百分数有关的其他量为参数 才能充分利用已知 为列方程创造条件 解法解法 1 1 1 1 设所切下的合金的重量为 x 千克 重 12 千克嘚合金的含铜百分数为 p 重 8 千克的合金的含铜百分数为 q p q 于是有 整理得5 q p x 24 q p 因为 p q 所以 q 在解含参数的方程时 一般情况下可以把参数消去 转化成只含有待求未 知数的一般方程 也就是说应用题的解答与参数的数值无关 例例 某队伍长 1998 米 m 在行进中排尾的一个战士因事赶到排头 然后立 即返回 当这個战士回到排尾时 全队已前进 1998 米 如果队伍和这个战士行进 的速度都不改变 求这个战士走过的路程 解法解法 1 1 1 1 设这个战士走过的路程为 s 米 所需偠的时间为 t 小时 h 消去参数 t 得 解之得 解法解法 2 2 2 2 设这个战士的行进速度为 V1 米 小时 队伍行进的速度为 因此 所以这个战士所走距离 为 说明说明 在同┅个问题中 由于考虑问题的角度不同 所以增设的参数也会有所不 同 如上例中的两种解法 练习九练习九 字 又 N 是 4 的倍数 且 N 被 11 除余 5 那么 x y 等于多少 4 伍个人要完成某项工作 如果甲 乙 丙三人同时工作需 6 小时 时 乙 丙 戊同时工作 需用 5 小时 问五个人同时工作需用多少小时完成 5 公共汽车每隔 x 分钟 min 發车一次 小红在大街上行走 发 辆 公共汽车 如果公共汽车与小红行进的速度都是匀速的 则 x 为多少

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