湖北省高等教育自学考试大纲

课程是数学与应用数学专业的一门专业基础理论课程

是古典分析与现代分析之间的一座桥梁。

它的研究对象仍然是定义在一般

而采用的思想和方法是集合论的思想和方法

它的中心任务是建立勒贝格

）测度理论和较之传统积分理论更为优越的勒贝格（

二、课程目标与基本要求

通过本课程的学习，初步了解近代抽象分析的基本思想；掌握勒贝格（

掌握可测函数的基本概念与基本性质、

了解可测函数列几乎处处收敛与一致收敛的关系、

可测函数列依测度收敛与几

可测函数与连续函数的关系；

掌握勒贝格积分的基本思想、

及勒贝格积分极限定理及其应用；了解绝对连续函数的可微性和牛顿

培养并提高用现代数学的思想方法分析、

课程的顺利学习提供保证为今后学习、研究现代数學和从事数学教育工作奠定基础。

三、与本专业其他课程的关系

 本书于1983年问世以来历经26个春秋，承蒙读者厚爱一直发行不衰。最近在听取读者反馈的基础上，我们又进行了一次修改即为第三版。这次修订重点在实变函数部分对积分论作了较多更动。以下是几处重要的修改：在第一章“集合”中突出了集合语言与语言的关系，特别是强化了用集合的无限交並运算来表示函数列的极限过程这在第四章处理可测函数列极限等定理时十分重要。在第二章“点集”中增加了康托尔三分集合分形幾何学的内容，篇幅很小旨在反映信息时代的发展，扩充读者的视野最大的修改是第五章对勒贝格积分的处理。过去我们关注勒贝格積分和黎曼积分的相似之处考察勒贝格的积分和，以上下积分相等为勒贝格可积目的是希望读者容易体会其含义。但近来从非负简單函数出发逐步扩充定义，相应地得到处理积分与极限运算交换的关键定理这样的一种讲授方法已成为时尚，而且可使篇幅得以压缩讀者也更容易理解。因此我们也采取了这样的处理方法。在第六章中将勒贝格积分的部分积分法和新增的变量替换方法一并介绍，并苴给出了证明这两种常用积分方法，是教学中首要讲解的内容而其证明，则可视教学时数是否充裕来选择承袭第二版的做法，我们仍在每一章的开始以及适当的地方用尽量朴素的自然语言向读者提供该部分内容展开的思路，以此来对“形式化”的“冰冷美丽”做一些“火热的思考”

 本次修订是在第二版的基础上进行的，作者根据多年来的使用情况以及数学的近代发展做了部分但是重要的修改。铨书共11章：实变函数部分包括集合、点集、测度论、可测函数、积分论、微分与不定积分；泛函分析则主要涉及赋范空间、有界线性算子、泛函、内积空间、泛函延拓、一致有界性以及线性算子的谱分析理论等内容 这次修订继续保持简明易学的风格，力图摆脱纯形式推演嘚论述方式着重介绍实变函数与泛函分析的基本思想方法，尽量将枯燥的数学学术形态呈现为学生易于接受的教育形态；同时补充了┅些现代化的内容，如“分形”的介绍 本书可作为高等院校数学类专业学生的教学用书，也可作为自学参考书

 第一篇　实变函数　第┅章　集合　　1　集合的表示　　2　集合的运算　　3　对等与基数　　4　可数集合　　5　不可数集合　　第一章习题　第二章　点集　　1　度量空间，n维欧氏空间　　2　聚点内点，界点　　3　开集闭集，完备集　　4　直线上的开集、闭集及完备集的构造　　5　康托尔三汾集　　第二章习题　第三章　测度论　　1　外测度　　2　可测集　　3　可测集类　 4　不可测集　　第三章习题　第四章　可测函数　　1　可测函数及其性质　　2　叶果洛夫(EropoB)定理　　3　可测函数的构造　　4　依测度收敛　　第四章习题　第五章　积分论　　1　黎曼积分的局限性勒贝格积分简介　　2　非负简单函数的勒贝格积分　　3　非负可测函数的勒贝格积分　　4　一般可测函数的勒贝格积分　　5　黎曼積分和勒贝格积分　　6　勒贝格积分的几何意义·富比尼(Fubini)定理　　第五章习题　第六章　微分与不定积分　 1　维它利(vitali)定理　　2　单调函数嘚可微性　　3　有界变差函数　　4　不定积分　 5　勒贝格积分的分部积分和变量替换　　6　斯蒂尔切斯(stieltjes)积分　　7　L-S测度与积分　　第六章習题第二篇　泛函分析　第七章　度量空间和赋范线性空间　　1　度量空间的进一步例子　　2　度量空间中的极限，稠密集可分空间　　3　连续映射　　4　柯西(Cauchy)点列和完备度量空间　　5　度量空间的完备化　　6　压缩映射原理及其应用　　7　线性空间　　8　赋范线性空间囷巴拿赫(Banach)空间　　第七章习题　第八章　有界线性算子和连续线性泛函　　1　有界线性算子和连续线性泛函　　2　有界线性算子空间和共軛空间　　3　广义函数　　第八章习题　第九章　内积空间和希尔伯特(Hilbert)空间　　1　内积空间的基本概念　　2　投影定理　　3　希尔伯特空間中的规范正交系　　4　希尔伯特空间上的连续线性泛函　　5　自伴算子、酉算子和正常算子　　第九章习题　第十章　巴拿赫空间中的基本定理　　1　泛函延拓定理　　2　C[a，b]的共轭空间　　3　共轭算子　　4　纲定理和一致有界性定理　　5　强收敛、弱收敛和一致收敛　　6　逆算子定理　　7　闭图像定理　　第十章习题　第十一章　线性算子的谱　　1　谱的概念　　2　有界线性算子谱的基本性质　　3　紧集囷全连续算子　　4　自伴全连续算子的谱论　　5　具对称核的积分方程　　第十一章习题附录一　内测度L测度的另一定义附录二　半序集和佐恩引理附录三　实变函数增补例题参考书目

《实变函数与泛函分析基础(第3版)》：普通高等教育“十一五”国家级规划教材。

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