F 为平面上的一个图形令 ${}_{}$F 不变的岼面正交变换所成的集合。

显然恒等变换总在其中${}_{}$GF? 中任意两个变换的乘积也在其中，因此变换的乘法可被视作在 ${}_{}$GF? 上定义的一个运算 ${}_{}$GF? 中变换的逆仍在其中。也就是说 ${}_{}$GF? 在变换的乘法下成一个群称其为图形 $$

2n 个元素所组成的。令 $$S 为对于某一对称轴的镜面反射则有：

${}_{}{}^{}{}^{}{}^{}{}^{}$二面体群，用符号 ${}_{}$

M 为一非空集合集合 $$M 到自身的可逆变换的全体对于变换的乘法组成一个群，称为集合 $$S(M)显为一个无限群

M 為一个有限非空集合的情形：当 $$n 个元素时，称其可逆变换为 $$1,2,???,n编号后${}_{}$

$\begin{array}{c}\\ {}_{}{}_{}{}_{}\end{array}$

σ 是双射，故下排的值：${}_{}{}_{}<msub></msub>$1,2,?,n 的一个排列实际上，$$n 元排列是一┅对应的因此可以立即得出：${}_{}$

定义1.3.1（轮换和对换）

m 个数轮换而保持其余的数不变，则称 $$

$$α2? 而保持其余的数不变。称这样的轮换为对換

${}_{}{}_{}$

任何一个非单位的置换都可以唯一地表示为一些不相交的轮换的乘积

1,2,?,n 中任取一個元素，记为 ${}_{}$n 次得到一个序列：

${}_{}{}_{}{}_{}{}_{}<msub></msub>\; <msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>$${}_{}$αj? 为序列中首个与它前面的某个元素 ${}_{}$αi? 相同的元素即：${}_{}{}_{}$αi?=αj? ，也就是 ${}^{}{}_{}{}^{}{}_{}$

${}^{}{}_{}{}^{}{}_{}$j 的最小性相矛盾故 $$

${}_{}{}_{}<msub>\; <mrow></mrow>\; </msub>\; <msub></msub>$$$σ 就被分解为了有限多个不相交的轮换的乘积！ j 的方式可知：这样分解所得到的轮换一定是唯一的否则，将破坏 $$j 的最小性和假设矛盾。故原命题证毕 $$

有限阿贝尔群的基本定理声称所囿有限阿贝尔群G都可以表达为素幂阶的循环子群的直和则阶为N的有限阿贝尔群可以分解含有阶为p的循环子群的直和。