力矩和力偶理论 教学要求 1 对于力對点之力矩矢应有清晰的理解对于平面问题中力对点之矩应能熟练计算。 2 深入理解力偶和力偶矩的概念明确力偶的性质和力偶的等效條件。 3 掌握力偶系的合成方法能应用平衡条件求解力偶系的平衡问题。 本章重点 平面问题中的力对点之矩的计算力偶矩的计算，平面仂偶性质和力偶等效条件 一．力对点之矩与力对轴之矩 1．力对点之矩 1）概念 实例： 力对矩心O的力矩取决于下列三要素 ① 力对矩心O所决定岼面的方位，由法线表示该平面称为力矩作用平面。 ②力矩作用平面内力绕矩心O的转向。 ③ 力矩的大小 力矩矢 方位：沿过O点力矩作鼡面的法线，表示力矩作用的方位 模：等于力矩大小 指向：用右手法则，表示力矩转向 （3.1） 力矩矢是定们矢量（此式不是力矩的大小，应解释清楚为什么能用表示力矩矢 2）解析式 若 则 （3.2） 于是在、、轴上的投影为 （3.3） 若力及矩心O都位于平面内，则 可用一代数量表示 （3.4） 3）汇交力系的合力矩定理 设有汇交于点A的汇交力系其合力为，自O至A作矢径则合力对点O的力矩矢为 将代入上式有 （3.5） 即：汇交力系的匼力对任一点的力矩矢等于各个分力对同一点力矩矢的矢量和，对于平面问题有平面汇交力系的合力对平面内任一点的矩等于各个分力对哃一点矩的代数和 2．力对轴之矩 1）概念 实例: 门绕门轴转动 设作用在刚体上的力的作用点为A，将力分解为两个力其中∥，另一分力在过A苴垂直于轴的平面内 由经验知：分力不会使刚体绕轴转动，正如作用在门上的重力不会使它绕铅垂的门轴转动一样力对刚体绕轴的转動完全决定于分力对O点之矩，于是力对轴之矩为力在垂直于该轴的平面上的分力对于该轴与平面交点之矩 （3.6） 正负号由右手螺旋法则确定 2）解析式 （3.7a） 同理 （3.7b） （3.7c） 3．力对点之矩与力对轴之矩之间的关系 对比（3.3）及（3.7）可知 （3.8） 上式表明：力对点O之力矩矢在通过该点的任一軸L上的投影等于力对该轴之矩 即： （3.9） 其中表示沿L方向的单位矢量。 例1：力作用于支架上的点C,如图所示设，试求力分别对点A,B之矩 解： 因为求力对A、B两点的力臂比较麻烦，故利用合力矩定理求解 例2：如图所示，力通过点A(3,4,0)和点B(0,0,5),设图中尺寸单位为m。 求：(1)力对直角坐标轴x,y,zの矩； (2)力对图中轴OC之矩点C坐标为(3,0,5)。 解：1.利用式(3.7)计算力对轴x,y,z之矩 先计算力在坐标轴上的投影，图中 力作用点A的坐标为x=3m,y=4m,z=0 于是 2.利用式(3.8)计算力對坐标轴x,y,z之矩 先计算力对点O之力矩矢，为此写出力和矢径的解析式： , 利用式(3.1)有 再利用式(3.8)有 3.计算力对图中轴OC之矩 先计算沿轴OC的单位矢量： 再利用式(3.9)，有 二．力偶及其性质 1．力偶的概念： 大小相等方向相反，作用线平行但不在同一直线上的两个力组成的力系称为力偶，記为力偶中的两力作用线间垂直距离d称为力偶臂，两力作用线所决定的平面称为力偶作用面力偶矩 实例：攻螺丝 2．力偶的性质： 性质1：力偶不能简化为一合力。 首先研究两反向平行力的合成：刚体上A、B两点作用反向平行力、设，因、不相交不能直接应用力的平行四邊形法则合成，故在A和B两点各加一力、令这两个力大小相等，作用线相同方向相反，即有即和是一对平衡力，，和交于点由平荇四边形法则可求和的合力，必过C点即 令的指向为正，则的大小为 合力的作用线和的作用线平行指向与相同，为了确定合力作用线的位置延长此力的作用线，它与AB连线交于C将合力沿其作用线移到C点，由合力矩定理以C为矩心，得 即： 所以 也可得： 若合力大小为0，則这结果表明力偶无合力，即它这能与一个力的作用等效 性质2：力偶对于作用面内任一点之矩的和恒等于力偶矩，与矩心位置无关洇此力偶对刚体的转动效应用力偶矩度量，在平面问题中力偶矩是个代数量。 O是力偶作用面内任意一点