复合函数求导

点击联系发帖人 时间：2021-05-25 07:32

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　　复合函数的概念：一般地对于两个函数y=f(u)和u=g(x)，如果通过变量u,y可以表示成x的函数那么称这个函数为函数y=f(u)和u=g(x)的复合函数，记做y=f(g(x)).

　　复合函数的导数：复合函数y=f(g(x))的导数和函数y=f(u)u=g(x)的导数间的关系为

　　即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导數的乘积.

　　复合函数的求导法则

　　复合函数的求导公式

　　 y'=外层导×内层导

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先对外函数求导在对内函数求導两者相乘

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首先引入函数的增量的公式

所鉯就有，这就是函数的增量的公式

定义（此时连续），显然该式在时也成立

可以从该式看出可导必连续。

以代换代换。然后用除各項

根据可导必连续，由于连续，可以使用外层连续复合函数极限法则

从运算过程中也能看出来使连续的便利之处了。如果不连续的話就要分两种情形。一种是存在当时，（即）；还有一种就是不存在这样的

第一种情形可以使用复合函数极限法则。

第二种情形根據费马引理必定为，也就是说是时的无穷小

于是知是时的无穷小，同样得证

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