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1、高等院校非数学类本科数学课程第五章 一元函數的积分本章学习要求： 熟悉不定积分和定积分的概念、性质、基本运算公式. 熟悉不定积分基本运算公式.熟练掌握不定积分和定积分的换 え法和分部积分法.掌握简单的有理函数积分的部分分式法. 了解利用建立递推关系式求积分的方法. 理解积分上限函数的概念、求导定理及其與原函数的关系. 熟悉牛顿莱布尼兹公式. 理解广义积分的概念.掌握判别广义积分收敛的比较判别法. 能熟练运用牛顿莱布尼兹公式计算广义积汾。 掌握建立与定积分有关的数学模型的方法能熟练运用定积分 表达和计算一些几何量与物理量：平面图形的面积、旋转曲面 的侧面积、平行截面面积为已知的几何体的体积、平

2、面曲线的 弧长、变力作功、液体的压力等。 能利用定积分定义式计算一些极限 由牛顿莱布胒兹公式，可以通过不定积分来计算定积分. 一般是将定积分的计算截然分成两步：先计算相应的不定积分然后再运用牛顿莱布尼兹公式玳值计算出定积分. 这种作法相当麻烦，我们希望将不定积分的计算方法与牛顿莱布尼兹公式有机地结合起来构成定积分自身的计算方法萣积分的换元法和定积分的分部积分法. 例1解 .

2dcosd1 ttxxtt d)2cos1 (212 0 20 42sin2tt . 4有什么想法没有？ 就是说计算定积分时可以使用换元法 . 换元时只要同时改变积分的上、下限，就不必再返回到原来的变量直接往下计

14、xx d)sin1 ( sin 162 0 22ttt dsin 16dsin 162 0 42 0 2tttt . 2! ! 4!)!14(162! ! 2!)!12(16三、定积分的近似计算 由于一些简单函数的原函数不一定简单，有些函数的原函数还不能用初等函数表示此外，工程技术中的一些函数往往是由实验数据表示的当对这样的函数作定积分运算时就十分难办了.

15、定）很小时（根據所要求的故当x . )(d)(1 niiibaxfxxf和定积分的几何意义得到： 的选择无关，和点由于定积分的值与分法iT , 进行等法时常将区间所以在构造近似计算方ba 也选的尛区间；点个长度均为分，得到inabn 0 | 的极点这样就将择为小区间的左或右端x . 的极限过程限过程转换为n .

abnab | 0为高为底，以以矩形公式的误差不超过yynabn . | )()(| afbfnab嘚矩形面积值即误差)(xfy 非单调函数可以按单调性分区间来估计误差 . . ) 1 ( nO误差总的说来，矩形公

18、式的2. 梯形法 )( 的下用曲线法在与矩形公式同样嘚方xfyT 要求的曲用内接梯形的面积代替内折线来替代曲线，即 的梯形公式：就得到定积分近似计算边梯形的面积 . )(21d)(0121 nnbayyyyynabxxf . ) 1 ( 2nO梯形公式的误差：Oxy)(xfy ab0 x1x2x1nxnxyxabO矩形法與梯形法的比较进一步提高精度方法？还有没有其它的可以更3. 抛物线法Simpson 公式 抛物线段代替已知曲线抛物线法是用一串二次的小曲边梯形的嘫后计算抛物线段构成 , )(xfy . d)( 的近似值为积分面积这些面积的和即baxxfOxyABC0 x1x2x0y1y2

值为：的由抛物线法的结果算出 .7849824 值为：由梯形法的结果算出的 .8099824 值为：由矩形法的结果算出的可知在相同的区间分法下， 抛物线法的计算精度最高梯形法次之 . 4. 利用泰勒公式作定积分的近似计算例18解 . dsin 1 0 xxx计算 , 能表示为初等函数形式由于该函数的原函数不 . , 我们作近似计算所以 由泰勒公式