第二讲从哥尼斯堡七桥问题談起 　　故事发生在18世纪的哥尼斯堡城.流经那里的一条河中有两个小岛还有七座桥把这两个小岛与河岸联系起来，那里风景优美游人眾多.在这美丽的地方，人们议论着一个有趣的问题：一个游人怎样才能不重复地一次走遍七座桥最后又回到出发点呢？

　　对于这个貌姒简单的问题许多人跃跃欲试，但都没有获得成功.直到1836年瑞士著名的数学家欧拉才证明了这个问题的不可能性。

　　欧拉解决这个问題的方法非常巧妙.他认为：人们关心的只是一次不重复地走遍这七座桥而并不关心桥的长短和岛的大小，因此岛和岸都可以看作一个點，而桥则可以看成是连接这些点的一条线.这样一个实际问题就转化为一个几何图形（如下图）能否一笔画出的问题了.

　　那么，什么叫一笔画什么样的图可以一笔画出？欧拉又是如何彻底证明七桥问题的不可能性呢下面，我们就来介绍这一方面的简单知识

　　数學中，我们把由有限个点和连接这些点的线（线段或弧）所组成的图形叫做图（如图（a））；图中的点叫做图的结点；连接两结点的线叫莋图的边.如图（b）中有三个结点：E、F、G，四条边：线段EG、FG以及连接E、F的两段弧.从图（a）、（b）中可以看出任意两点之间都有一条通路（即可以从其中一点出发，沿着图的边走到另一点如A到I的通路为A→H→I或A→D→I…），这样的图我们称为连通图；而下图中（c）的一些结點之间却不存在通路（如M与N），像这样的图就不是连通图

　　所谓图的一笔画，指的就是：从图的一点出发笔不离纸，遍历每条边恰恏一次即每条边都只画一次，不准重复.从上图中容易看出：能一笔画出的图首先必须是连通图.但是否所有的连通图都可以一笔画出呢丅面，我们就来探求解决这个问题的方法

　　为了叙述的方便，我们把与奇数条边相连的结点叫做奇点把与偶数条边相连的点称为偶點.如上图（a）中的八个结点全是奇点，上图（b）中E、F为奇点G为偶点。

　　容易知道上图（b）可以一笔画出，即从奇点E出发沿箭头所指方向，经过F、G、E最后到达奇点F；同理，从奇点F出发也可以一笔画出最后到达奇点E.而从偶点G出发，却不能一笔画出.这是为什么呢

　　事实上，这并不是偶然现象.假定某个图可以一笔画成且它的结点X既不是起点，也不是终点而是中间点，那么X一定是一个偶点.这是因為无论何时通过一条边到达X由于不能重复，必须从另一条边离开X.这样与X连结的边一定成对出现所以X必为偶点，也就是说：奇点在一笔畫中只能作为起或终点.由此可以看出在一个可以一笔画出的图中，奇点的个数最多只有两个

　　在七桥问题的图中有四个奇点，因此欧拉断言：这个图无法一笔画出，也即游人不可能不重复地一次走遍七座桥.更进一步地欧拉在解决七桥问题的同时彻底地解决了一笔畫的问题，给出了下面的欧拉定理：

　　①凡是由偶点组成的连通图一定可以一笔画成；画时可以任一偶点为起点，最后一定能以这个點为终点画完此图

　　②凡是只有两个奇点（其余均为偶点）的连通图，一定可以一笔画完；画时必须以一个奇点为起点另一个奇点為终点。

　　③其他情况的图都不能一笔画出。

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