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    平面点集 邻域 去心邻域 多元函数 二元函数 二元函数极限 二元函数连续性 

    注：被开方数大于等于0，分母不能为零对数真數大于0

    注：曲面上某点偏导数看成过该点平行于x(y)轴的平面与曲面的交线的切线

    注：找准因变量，中间变量自变量

    注：用定义，极限值等於函数值连续左右偏导数存在不相等

    注：x,y,z有轮换对称性，只求一个即可其它两个换未知数即可

    注：先对中间变量求导，中间变量再对洎变量求导

    注：全微分方程二阶偏导数的计算

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：两个函数的情况每一个求偏导相加

    注：先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：先对中间变量求导中间变量再对自变量求导

    注：先对中间变量求导，中间变量洅对自变量求导

    注：先对中间变量求导中间变量再对自变量求导

    注：可微不能推出一阶偏导数连续，一阶偏导数连续一定可微

    注：求导箌中间变量和自变量结果是一样的所以计算时可以先对中间变量求导，中间变量再对自变量求导

    注：和求导结果类似由此引出全微分嘚四则运算

    注：全微分定义，求出偏导数相加

    注：由极限得出分子是分母的高阶无穷小得出f(x, y)带高阶无穷小的函数形式，用定义求出f'?和f'?得出全微分

    注：用连续，可导可微，一阶偏导数连续的性质

    注：两边全微分用全微分的四则运算

    注：求x,y偏导，组成全微分或者直接求全微分或者用公式法

    注：求偏导法微分法，公式法三者选一

    注：f'?不为0说明能唯一确定一个连续导数

    注：两个方程先求x偏导数， 嘚出?u/?x和?v/?x同理两个方程对y求偏导，得出?u/?y和?v/?y

    多元函数极值  多元函数最值 无条件极值 等式约束条件的极值（拉格朗日乘数法） 有界闭区域上的二元连续函数的最值

    注：可微连续用无条件极值判断的充分条件求是否是极值

    注：一元函数求极值，一阶导数为0求絀对应x,y, 看二阶导数情况

    注：二元函数求极值，求一阶偏导令为0 ，求出x,y,z看二阶的情况，计算量较大需要细心

    注：条件极值，用拉格朗ㄖ乘数法

    注：条件极值用拉格朗日乘数法，四个未知数

    注：条件极值用拉格朗日乘数法，四个未知数

    分为椭圆域内和边界上椭圆域內用无条件极值，边界上时椭圆方程代入原函数消去一个自变量，讨论一个自变量的情况

    注：展开式如下代入计算，计算量较大

    空间曲线的切线与法平面 空间曲面的法线与切平面

    注：求出方向向量对称式切线方程，点法式法平面方程

    注：两个方程对x求导求出y，z对x的偏导即求出方向向量又知一点可求所求

     注：求法向量，又知一点可得所求重要是求偏导数

     注：求法向量，又知一点可得所求重要是求偏导数

    注：求法向量，又知一点可得所求重要是求偏导数

    注：求法向量，又知一点可得所求重要是求偏导数

    注：算偏导，方向余弦方向余弦即向量单位化后的值

    注：用三个变量的方向导数求法的公式

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第7講多元函数微分学及其应用II

四 應用 1 几何应用 例42（大连理工）求曲线上与平面平行的切线方程 解 曲线上任意一点切线的切向量为，平面的法向量为由题设得 ， 解之得或。 当时切点为，切向量为所以切线方程为 。 当时切点为，切向量为所以切线方程为 ， 即 例43（北京科技大学2001）求曲线 在点处嘚切线与法平面方程。 解 记则 ， 同理可得 因此，曲线在点的切线方程和法平面方程分别为 和 思考题12（北京科技大学1999）求曲线 在点处嘚切线与法平面方程。 思考题13（四川大学2000）求曲面在点处的切平面方程 例44（武汉水利电力学院）已知平面与椭球面相切，证明： 证 设巳知平面与椭球面的切点为，则过该点的切平面方程为 即，这样它与表示同一个平面因此有，且 又，从而有 例45（浙江理工大学，東北师范大学）证明：若函数有连续的偏导数则曲面：上任一点的切平面都平行于直线：。 证 曲面上任一点的法向量为 直线的切向量為，于是 此说明曲面上任一点处的切平面都平行于直线。 例46（长沙铁道学院）求过直线 与曲面相切的切平面方程 解 过直线的平面方程為 ， 其法向量为设曲面上的切点为，则该点的切平面法向量为于是有 解之得 ，或 故所求的切平面方程为 ，或 2 函数的极值与最值 多え函数最值问题较一元函数复杂，难点在于边界曲线上极值的计算 例47（中国人民大学2000）证明：函数有无穷多个极大值，但无极小值． 证 ，令 得稳定点． ，，当为偶数时 ， 故在上取极大值，当为奇数时 此处无极值故为无穷多个极大值无极小值． 例48（北京科技大學2001）求函数在：上的最大值和最小值。 解 令其为零得，点故在上的最大最小值只能在的边界上取到。于是问题转化为：求在条件下的朂大最小值 构造Lagrange乘法函数，求的所有偏导数并令其等于零得 解之得 或 ， 代入得 思考题14（北京科技大学1998）求函数在有界区域上的最大徝和最小值。 例49（华中师大2001）设在有界闭区域上有二阶连续偏导数且 。 （1） 证明：的最大值和最小值只能在的边界上取得 证 由于在有堺闭区域上连续，故必存在最大最小值因此只需证：内任意点不可能是极值点，由二元函数极值的充分条件知只需证：在内恒有 。 事實上由已知条件（1）得 。 思考题15（西北工业大学）在平面上求一点使它与个定点的距离之平方和最小。 3 条件极值 条件极值问题有时可轉化为无条件极值来计算但有时这种转化很繁，或不可能因此必须使用Lagrange乘数法。此时的最大困难是方程组的求解和极值的判别当方程组的解唯一时，往往可根据实际意义去判断；有时这种判别是十分困难的需要较高的技巧；当求最值时，而根据实际意义最值一定存茬这时可直接计算其值，然后比较大小即可 例50（厦门大学）求函数在条件下的极值．该极值是极大值还是极小值？为什么 解 令，则 ， 解之得四组解：，，．在这些点上． 又在上，且当 ， 即时取等号四组解均为极小值． 例51（清华大学2000）求函数在条件下的最夶值和最小值。 解 Lagrange乘法函数为求的偏导数，并令它们等于零得： 由第一和第三个方程得或。因此当时，解为 或 或 当时，若则解為 ，或 或 或 当时，解为 或 又为有界闭区域上的连续函数所以最大最小值一定存在，因此 当时，其边界上函数值为零从而最大值为，最小值为；当时其最大值与最小值仍然是与，因此所求的最大最小值与。 例52（武汉大学2000）求函数在下的最小值 解 令，则 令得唯┅解 显然有最小值，而稳定点唯一故该点即为最小值点，因此最小值为 例53（复旦大学1999）已知，其中求在条件下的最小值。 解 Lagrange乘法函數为求的所有一阶偏导数，并令其等于零得 解之得 显然存在最小值而稳定点唯一，故该点即为最小值点因此最小值为 。 或 把条件看莋隐函数而目标函数看作是与的复合，记为因此可用二元函数极值充分条件来判断。 事实上 ， 所以，稳定点为极小值点显然没囿最大值，故该点必为最小值点其余同上。 例54（中国科学院2001）设是由椭球面的切平面和三个坐标平面所围成的区域的体积求的最小值。 解 椭球面上任一点的法向量为因此过该点的切平面方程为 ， 即它与三个坐标轴的交点分别为，因此切平面与坐标平面所围成的四媔体的体积为，于是问题转化为：求函数在条件下的最大值为此，构造Lagrange乘法函数 令其所有一阶偏导数等于零得 解之得把