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1、实用文案1利用直角坐标系计算1.1积分区域为X型或Y型区域时二重积分的计算1(x) x 2(x), a x b，(x,y)对于一些简单区域上的二重积分可以直接化成二次积分来解决.在直角坐标系下，被积分函数 f（x, y）在积分區域D上连续时若D为x型区域（如图1 ），即D其中i（x）, 2（x）在a,b上连续则有标准文档f(x, y)dbdxa2 (x)a f(x,y)dy

2、所围成.2计算ydxdy，其中D x分析积分区域如图3所示为x型区域D= x, y 1 x 2 - y确萣了积分区域然后可以利用公式（1）进行求解.解 积分区域为x型区域D= x, y 1图3实用文案标准文档2y2dxdy x2 x y23x2:dx37 dx1.2积分区域非X型或Y型区域二重积分的计算图4是简单的x型或y 是可以将复杂的积f(x, y)dDf(x, y)dD1f(x, y)df(x,y)d(3)x212 当被积函数的原函数比较容易求出，但积分区域并不 型区域不能直接使用公式（1）或者（2 ）进行计算，这 分区域劃分为若干x型或y型区域

dx2实用文案标准文档3x3x21.3被积函数较为复杂时二重积分的计算重积分化为二次定积分后的计算可以按定积分的求解进行，但是当被积函数较为复杂虽然能这时可根据被积函数划分积分区域，然后定出积分限但被积函数的原函数不易求出或根本求不出,进荇计算.例3计算二重积分Dy x2 dxdy，其中D为区分析由于被积函数含有绝对值其原函数不能

4、直直接化为二次积分进行计算，观察函数本身不难发劃分为D12 2x y 20 y x，d2两部分后,1 x 11 x 1D1图6O接求得以至于不能现当我们把积分区域被积函数在每一个积分区域都可以化为基本函数，其原函数很容易求得.解区域D如图6可分为DiU D2其中Di由公式(3 )则y x2 dxdy. y x2 dxdyydxdyDiD22利用变量变换法计算1 21dx. y

5、，y u, v在内分别具有一阶连续x v偏导数且它们的雅克比行列式 J u,v0 u,v .则u,vf x u,v , y u,v J u,v dudv(4)f(x,y)dD(4)式叫做二重积分的变量变換公式，2.1根据被积函数选取新变量使被积函数简化当被积函数较为复杂这时可以考虑利用变量变换化被积函数为简单函数，原积分区域楿应的转化为新的积分区域进而利用公式进行计算.X y例4求 ex ydxdy，其中D是由x 0, y 0,x y 1所围曲线(图7)D分析 由于被积函数含有e的指数且较为复杂，这时可以考慮替换变量简化被积函数，如果做替换T : u x y,v x y.在变换T作用

则把xy平面上的积分区域D对应到uv平面上简单的矩形区域，然后根据二重积 分的变量变換公式（4）进行计算.例5求抛物线y2 mx, y2 nx和直线y x, yx所围区域D的面积 D .分析D的面积 D dxdy .实际是计算二重积分dx

积分区域的处理与上题类似可以做变量替换2T: u xy, v ，它紦xy平面上的区域 D对x应到uv平面上的矩形区域解令xy2 y_x在变换T作用下区域D的原像所以3xxyu,v 1 u 3,1 v 3 ，J

sin这个变换除原点和正实轴外是一一对应的(严格来说极坐标變换在原点和正实轴上不是一对一的,但可以证明公式(1)仍然成立)其雅可比行列式为r.示为则有那么(1 )如果原点0 D，且xy平面上射线常数与积分区域D嘚边界至多交于两点则必可表rif x, y dxdyDrif r cos , r sinrd

12、案如果f x,y如果f x,y例10计算f x,y d 2DDix2ydxdy，其中D为双曲线x2x,y d2 f x,y dD231及y 0,y i所围成区域.D分析 首先根据题意在坐标系中划出积分区域，于y轴对稱且f x,y在D1在D2上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等，然后再化为累次 积分计算.解积分区域如图11 偶函数由对称性有x2ydxdyD观察到f X,

13、 ydx1132 dyZ .153某些特殊函数的计算3.1利用积分区域的对称性简化二重积分的计算如果D可以分为具有某种对称性（例如关于某直线对称，关于某点对称）的两部分Di囷D2那么有在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值互为相反数，那么f x,y d 0D在Di上各点处的值与其在D2上各对称点处的值恒相等那么3.2分段函数和帶绝对值函数的二重积分计算分段函数：首先画出被被积函数和积分区域的图形，然后根据分段函数表达式将积分区域划分成 若干个子区域是在每个子区域上的被积函数的表达式是唯一的，最后再由性质加以讨论.被积函数带绝对值时首先去掉绝对值号，同样也将积分区域

14、划分成若干个子区域使每个子区 标准文档实用文案标准文档域上被积函数的取值不变号.y2 4 dxdy，其中D为例ii求Dx2x2 y29围成的区域.分析 被积函数表达式含有绝对值为了去掉绝对值符号，应将积分区域分成使得4 0及x2 y2 40的两部分在两部分上分别积分后,再相加.为去绝对值号，将D分成若干个子區域即2 2Di : x yD2：4y2

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1、第三节二重积汾的计算(2) 有些二重积分，其积分区域 D的边界曲线用极坐标方程来表示比较简单如圆形或扇 形区域的边界等此时，如果该积分的被积函数茬极坐标系下也有比较简单的形式则应考 虑用极坐标来计算这个二重积分 分布图示 利用极坐标系计算二重积分 例 1 例 4 例 7 例 10 例 13 例17 二重积分化為二次积分 例2例3 例5例6 例8例9 平面薄片的重心例11 平面薄片的转动惯量例12 平面薄片对质点的引力例14 一般曲线坐标系中二重积分的计算 例15例16 内容小結课堂练习 习题9-3返回 内容要点 一、在极坐标系下二重积分的计算 极坐标系下的面积微元d -rdrdv，直角坐标

2、与极坐标之间的转换关系为 x = r cos 工 y =rsin v, 从而就嘚到在直角坐标系与极坐标系下二重积分转换公式 11 f (x, y)dxdy 二 f(rcos*rsin 巧rdrd J (3.1) DD 二、二重积分的应用 平面薄片的重心平面薄片的转动惯量 三、在一般曲线坐标系中②重积分的计算 二重积分的一般换元分式 例题选讲 在极坐标系下二重积分的计算 例1 (E01)计算. .e3y)dG其中D是由圆x2 yR2所围成的区域. D 解 如图在极坐标系下，積分区域D的积分限为0_2二0岂迟R,于是 e y)d二 例2计算二重积分d二，其中D是由2几1所确定的圆域. 解 如图

如果在直角坐标下计算需要求曲线的交点，并畫出平面图形还需将积分区域分 割成几块小区域来计算面积，很麻烦现在可巧妙地作曲线坐标变换. 作变换xy =u,工=v,则有a2乞u乞2a2, 1 _v _2. -:(x,y) y y x2 =2y -2v,及由第8章第五节知 x S鶉,从而