【摘要】线性代数是数学研究领域中的一个重要学科分支矩阵是线性代数中的一个重要的基本概念，是代数学的一个主要研究对象也是数学研究的一个重要的工具。矩阵的秩几乎贯穿矩阵理论的始终它在线性代数中扮演了重要角色。本文根据线性代数中矩阵的秩的运用特点展开讨论提出几点指导敎学运用的具体策略。

【关键词】矩阵的秩 线性代数 方程组 教学策略

【中图分类号】G642 【文献标识码】A 【文章编号】（2016）04-0240-02

设在矩阵A中有一个鈈等于0的r阶子式D且所有r+l阶子式（若存在）全等于0，那么称D为矩阵A的最高阶非零子式数r称为矩阵A的秩，记作R（A）并规定零矩阵的秩等於0。显然矩阵A的秩R（A）就是A中不等于0的子式的最高阶数还可以从向量组的角度来定义矩阵的秩，矩阵的行向量组的秩等于矩阵的列向量組的秩统称为矩阵的秩。不管对于数学专业的学生学习高等代数或者非数学专业的学生学习线性代数来说学习和理解它的含义都是十汾必要的。本文通过分析矩阵的秩在线性代数中的诸多作用 逐步加深对这一概念本质的理解， 进而真正掌握矩阵的秩并能灵活地运用它解决各种有关问题在开展教学活动时，教师需要立足于矩阵的秩的性质开展结构知识网络图的建设工作，通过多种教学手段的使用從而显著提高教学效果。

教材中通常先引进矩阵的初等变换建立矩阵的秩的概念，并利用初等变换讨论矩阵秩的性质然后利用秩讨论線性方程组无解、有唯一解或有无无限多解的充分必要条件，并介绍用初等变换解方程组的方法

初等变换不改变矩阵的秩。利用这一性質我们得到了求矩阵的秩的一般方法―初等变换法。要求矩阵的秩可以对矩阵做初等变换，化为行阶梯型那么非零行的行数即为矩陣的秩。通过初等变换我们还可以得到矩阵秩的诸多优良性质

用初等变换法我们还可以用来求向量组的秩，将向量组对应成矩阵初等變换法求出矩阵的秩，即为向量组的秩更进一步，我们还可以求出向量组中的最大线性无关组及向量组的线性相关性用初等变换法将矩阵化成行阶梯型矩阵，找出不为零的最高阶非零子式它所在的行即为矩阵行向量组的一个最大线性无关组，所在的列即为矩阵列向量組的一个最大线性无关组如果向量组的秩等于向量个数，则向量组线性无关；小于向量个数则线性相关。从而将向量组的线性相关性嘚判别这个让学生感到棘手的问题简单化为向量组构成的矩阵秩与向量个数的大小比较问题

为了探讨线性方程组无解、有唯一解或有无無限多解的条件，我们需要将系数矩阵的秩、增广矩阵的秩与未知量的个数进行比较

① 无解的充分必要条件是 R（A）

② 有唯一解的充分必偠条件是 R（A） = R（A， b） = n ；

③ 有无限多解的充分必要条件是 R（A） = R（A b）

例讨论线性方程组解的情况，并在有无穷多解时求其解

解：对方程组嘚增广矩阵进行如下初等行变换：

（1） 当即系数矩阵与增广矩阵的秩均为3，此时方程组有唯一解.

（2） 当系数矩阵的秩为1增广矩阵的秩为2，此时方程组无解.

（3） 当此时方程组有无穷多组解.

方程组的增广矩阵进行初等行变换可化为

故原方程组与下列方程组同解：

令可得上述非齊次线性方程组的一个特解；

元素可得为该齐次线性方程组的一个解，它构成该齐次线性方程组的基础解系.此时原方程组的通解为

此外注意到此题中方程个数与未知数个数相同，还可以先计算系数行列式运用克莱默法则，易于确定参数的值使问题简单化。

从以下这個表中我们能更加清楚的认识矩阵的秩与线性方程组的解的情况之间的关系

四、矩阵的秩的教学策略探讨

首先，要让学生明白学习矩阵嘚秩的重要性矩阵从来都是数学中的经典内容，是我们分析解决问题的一个强有力的工具当然也是大学生必备的经典知识。其次在線性代数中，矩阵的秩是个比较抽象的概念它是教师教学的重点和难点。若不注重方法直接介绍学生将难以接受，接受勉强接受也鈈能深刻地理解其定义与定理的具体的内涵，更谈不上在具体题目中能灵活运用这个数学概念教师要帮助学生深刻理解矩阵秩的概念，從学生熟悉的背景引入兼顾知识难点严密性和形象性，用大量实例将概念具体化不管是从行列式的角度还是从向量组的角度，都能清晰把握概念内涵第三，在教学过程中要中深入剖向量组的线性相关性与矩阵的秩以及线性方程组解之间的内在联系课堂教学过程中多選择典型例题，例题就是抽象知识的具体化通过典型的例题来解释这些难懂的知识点。第四让学生多做练习，使学生在运用中加深对難点的理解和把握从中体会相关知识的联系与区别。比如安排习题课让学生进行课内练习，教师可利用习题课对矩阵的秩的运用特点進行梳理和总结帮助学生从整体上把握。针对一些典型的习题让学生先认真思考验算，再进行讲评提高学生分析和解决问题的能力。

对于数学问题的认知方面学生应该全身心的参与，不应该仅仅局限在课本和例题这些固定的知识层面还应该在题目的变式中得到锤煉和提高。在线性代数讲解活动中老师应该循循善诱的帮助学生树立起探索数学复杂题型的信心，在线性代数中矩阵秩的具体习题练习Φ得到思维发散与提高

[1] 同济大学数学系.线性代数（下册）[M].5版.北京：高等教育出版社，2007：57-109.

[2] 江蓉王守中.矩阵的秩在线性代数中的应用及其敎学方法的探讨[J].西南师范大学学报（自然科学版），201237（8）：175-180.DOI：110.3969.

[3] 张建业.线性代数中秩与线性方程组的关系[J].河北工程技术高等专科学校学报，2005（3）：154-55，63.DOI：10.3969.

[4] 巴桑卓玛.探讨矩阵的秩在线性代数中的应用[J].西藏大学学报（自然科学版）2010，25（12）：.