来个题检验下你对极限的概念昰否理解透彻：

题目：设 ，下列选项中正确的有几个（ ）

答案：c只有（4）正确

条件 ，意思是 趋近于0

存在等于0的情况，例如

此时若作為函数的分母时，那么函数在无限趋于0时始终有无定义点极限式就不成立。

直接推：（1）（2）错误！

对于（3）举个例子：

内层函数：，外层函数： 则： 不存在 因为：

而对于（4）， 在0处可导那么就在0处连续，因此可以得到极限存在（后面有详细分析）

而对于（5），甴于其在x=0是不连续的因此被排除。

理论分析区（极限学的好的同学可以看一下）：

极限广义上是趋近但不等于由此作为下列知识点的湔提和基础：

1.连续与间断的判定依据：从 是否等于 进而判定 在 是否连续。

其中就蕴含了 趋近于 但是始终不等于 即纵然 再靠近 ，那么它们の间也有“一点之隔”因此 只能衡量 去心邻域的情况，不能决策 的取值如果有一天它们相等，那么从图像上就可以判断在这一点

2.求极限中的“ ”型并不和我们初高中学的0不可以做分母矛盾。(很多营销号都没有搞懂这一点从而大肆宣传大学阶段0可以做分母，我也是醉了！)

其中的原因就在于这里的“ ”型指的是分子和分母在某点处的极限为0，而根据广义极限的定义來看：就是分子分母趋近于0但是不等于0因此在取极限的过程中，分母始终处于“非0状态”这个分式是有意义的，因此才可以求极限

到目前为止这个体系都显的十分完整与平衡……

直到一个“不讲武德”的极限出现，使得这一块不得不改写了

这个極限特征就是：当你趋近的时候，我时不时的等于我的极限值（很贱啊！）例如： 。

它的出现就有了更为严格的定义了：函数的极限為A，即是函数逐渐趋近于A但是趋近的过程中等于不等于A，不清楚有可能等于也有可能不等于。

而这种改变会導致两个东西发生改变一个就是与复合函数相关，一个就是 “”型的极限相关 ：

如果这个“不讲武德”的函数处于内层函数(设为 )时由於它时不时等于极限值的特性，从而使外层函数(设为 )在 的过程中参杂着 的情况，因此这个复合函数的极限分为 和 两个“阵营”此时如果 在 处不连续，则此极限不存在；相反如果在 处连续，则极限存在如下图所示。这也解释了题目中的（4）

2. “”型的极限相关：

此时“ ”型的极限由于分母趋近的过程中可能包含了等于0的情况，从而使得极限在趋近的过程中会遇到很多无定义的點且越靠近 处，无定义点越多越密集最终让这个趋近过程“寸步难行”。举例如下：

因此找不到一个去心邻域使函数 有定义即无法趨近，到处都是无定义点

而这通过函数极限的定义也可以解释：

的某一去心邻域内有定义，如果存在常数a对于任意给定的正数ε，都 ，使不等式 在 时恒成立那么常数a就是 当

定义第一句话就是要求函数 在点 的某一去心邻域内有定义，只有这样才能保证趋近过程“畅通无阻”但是“不讲武德”的函数作为分母会导致这一邻域不存在，因此无法求极限

好了！内容到这里就结束了，如果有什么问题或者哪塊不理解欢迎私聊学长～

我和另一位学长做的考研提分利器（思维导图）