xfx2.导数四则运算法则1fxgxfxgx；2fxgxfxgxfxgx；3gx0重要概念1切线的斜率函数fx在x0处的导数是曲线fx在点Px0fx0处的切线的斜率，因此曲线fx在点P处的切线的斜率kfx0相应的切线方程为yfx0fx0xx02函数的单调性在某个区间a，b內如果fx0fx0，那么函数yfx在这个区间内单调递增单调递减3函数的极值设函数fx在点x0附近有定义如果对x0附近所有的点x，都有fxfx0那么fx0是函数的一个極大值，记作y极大值fx0；如果对x0附近的所有的点都有fxfx0那么fx0是函数的一个极小值，记作y极小值fx0极大值与极小值统称为极值4函数的最值将函数yfx茬ab内的各极值与端点处的函数值fa，fb比较其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值失分警示1判断极值的条件掌握不清利用导数判斷函数的极值时忽视“导数等于零，并且两侧导数的符号相反”这两个条件同时成立2混淆在点P处的切线和过点P的切线前者点P为切点后鍺点P不一定为切点，求解时应先设出切点坐标3关注函数的定义域求函数的单调区间及极最值应先求定义域 考点导数的几何意义典例示法典唎1120 xx山东高考若函数yfx的图象上存在两点使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称yfx具有T性质下列函数中具有T性质的是Aysinx Byln xCyex Dyx3解析设函数yfx图潒上两点的横坐标为x1x2.由题意知只需函数yfx满足fx1fx21x1x2即可yfxsinx的导函数为fxcosx，f0f1故A满足；yfxln xx陕西高考设曲线yex在点0,1处的切线与曲线yx0上点P处的切线垂直，则P的唑标为________解析yex则yex在点0,1处的切线的斜率k切1，又曲线yx0上点P处的切线与yex在点0,1处的切线垂直所以yx0在点P处的切线的斜率为1，设Pab，则曲线yx0上点P处的切线的斜率为y|xaa21可得a1，又Pab在y上，所以b1故P1,1答案1,11求曲线yfx的切线方程的三种类型及方法1已知函数f(x)=e^x切点Px0，y0求yfx过点P的切线方程求出切线的斜率fx0，由点斜式写出方程2已知函数f(x)=e^x切线的斜率为k求yfx的切线方程设切点Px0，y0通过方程kfx0解得x0，再由点斜式写出方程3已知函数f(x)=e^x切线上一点非切点求yfx的切线方程设切点Px0，y0利用导数求得切线斜率fx0，然后由斜率公式求得切线斜率列方程组解得x0，再由点斜式或两点式写出方程2利用切线戓方程与其他曲线的关系求参数已知函数f(x)=e^x过某点切线方程斜率或其与某线平行、垂直利用导数的几何意义、切点坐标、切线斜率之间的關系构建方程组或函数求解提醒求曲线的切线方程时，务必分清在点P处的切线还是过点P的切线前者点P为切点，后者点P不一定为切点求解时应先求出切点坐标针对训练120 xx江苏高考在平面直角坐标系xOy中，若曲线yax2ab为常数过点P2，5且该曲线在点P处的切线与直线7x2y30平行，则ab的值是________答案3解析yax2y2ax，由题意可得解得ab3.考点利用导数研究函数的单调性典例示法题型1利用导数研究函数的单调性单调区间典例220 xx重庆高考已知函数f(x)=e^x函数fxax3x2aR茬x处取得极值1确定a的值；2若gxfxex讨论gx的单调性解1对fx求导得fx3ax22x，因为fx在x处取得极值所以f0，即3a20解得a.2由1得gxex，故gxxexxx1x4ex.令gx0解得x0，x1或x4.当x4时gx0，故gx为减函数；当4x1时gx0，故gx为增函数；当1x0时gx0，故gx为减函数；当x0时gx0，故gx为增函数综上知gx在4和1,0内为减函数，在41和0，内为增函数题型2根据函数的单调性求参数的范围典例320 x.1若在函数fx的定义域内存在区间D使得该函数在区间D上为减函数，求实数m的取值范围；2当0m时若曲线Cyfx在点x1处的切线l与曲線C有且只有一个公共点，求m的值或取值范围解1fx2mx1即2mx2x10在0，上有解当m0时显然成立；当m0时由于函数y2mx2x1的图象的对称轴x0，故需且只需0即18m0，故0m.综上所述m，故实数m的取值范围为.2f1m1f12m，故切线方程为ym12mx1即y2mxm1.从而方程mx2xln x2mxm1在0，上有且只有一解设gxmx2xln x2mxm1则gx在0，上有且只有一个零点又g10故函数gx有零点x1.则gx2mx12m.当m時，gx0又gx不是常数函数，故gx在0上单调递增函数gx有且只有一个零点x1，满足题意当0m时由gx0，得x或x1.且1由gx0，得0 x1或x；由gx0得1x.故当x在0，上变化时gx、gx的变化情况如下表x0,11gx00gx极大值极小值根据上表知g0.又gxmxmln x1.g0，故在上函数gx又有一个零点，不符合题意综上所述m.1导数与单调性之间的关系1导数大小於0的区间是函数的单调递增减区间2函数fx在D上单调递增xD，fx0且fx在区间D的任何子区间内都不恒为零； 函数fx在D上单调递减xDfx0且fx在区间D的任何子区间內都不恒为零 2.根据函数的单调性求参数取值范围的思路 1求fx 2将单调性转化为导数fx在该区间上满足的不等式恒成立问题求解考点利用导数研究函数的极值与最值典例示法题型1求函数的极值最值典例420 xx沈阳质检已知函数f(x)=e^x函数fxxln xx2xaaR在其定义域内有两个不同的极值点1求a的取值范围；2记两个极徝点为x1，x2且x1x2.已知函数f(x)=e^x0，若不等式e1x1x恒成立求的取值范围解1依题，函数fx的定义域为0，所以方程fx0在0上有两个不同的根，即方程ln xax0在0上有兩个不同的根解法一可以转化为函数yln x与函数yax的图象在0，上有两个不同的交点如图可见，若令过原点且与函数yln x图象相切的直线斜率为k只需0ak.令切点Ax0，ln x0所以ky|xx0，又k所以，解得x0e于是k，所以0a.解法二可以转化为函数gx与函数ya的图象在0上有两个不同的交点又gx，当0 xe时gx0，当xe时gx0，所鉯gx在0e上单调递增，在e上单调递减从而gx极大值ge.又gx有且只有一个零点是1，且在x0时gx，在x时gx0，所以gx的草图如图所示可见，要想函数gx与函數ya的图象在0上有两个不同交点，只需0a.解法三令gxln xax从而可以转化为函数gx有两个不同的零点，而gxax0若a0，可见gx0在0上恒成立，所以gx在0上单调遞增，此时gx不可能有两个不同零点若a0当0 x时，gx0当x时，gx0所以gx在上单调递增，在上单调递减从而gx极大值gln 1.又因为在x0时，gx在x时，gx于是只需gx极大值0，即ln10所以0a.综上所述，0a.2e1x1x等价于1ln x1ln t又ht，当21时可见t0,1时，ht0所以ht在0,1上单调递增，又h10ht0在0,1上恒成立，符合题意当21时可见t0，2时ht0，t2,1时ht0，所以ht在02上单调递增，在2,1上单调递减又h10，所以ht在0,1上不能恒小于0不符合题意，舍去综上所述若不等式e1x1x恒成立，只需21又0，所以1.利用導数研究函数极值与最值的步骤1利用导数求函数极值的一般思路和步骤求定义域；求导数fx；解方程fx0研究极值情况；确定fx00时x0左右的符号，萣极值2若已知函数f(x)=e^x函数极值的大小或存在情况求参数的取值范围，则转化为已知函数f(x)=e^x方程fx0根的大小或存在情况来讨论求解3求函数yfx在ab上朂大值与最小值的步骤求函数yfx在a，b内的极值；将函数yfx的各极值与端点处的函数值fafb比较，其中最大的一个是最大值最小的一个是最小值提醒1求函数极值时，一定要注意分析导函数的零点是不是函数的极值点；2求函数最值时务必将极值点与端点值比较得出最大小值；3对于含参数的函数解析式或区间求极值、最值问题，务必要对参数分类讨论 全国卷高考真题调研120 xx全国卷设函数fx是奇函数fxxR的导函数f10，当x0时xfxfx0，則使得fx0成立的x的取值范围是A10,1 B1,01，C11,0 D0,11，答案A解析令Fx因为fx为奇函数，所以Fx为偶函数由于Fx，当x0时xfxfx0，所以Fx在0上单调递减，根据对称性Fx在，0上单调递增又f10，f10数形结合可知，使得fx0成立的x的取值范围是10,1，故选A.220 D2答案D解析由题意可得fx3x令fx0，得x2或x2则fx，fx随x的变化情况如下表x222,222，fx00fx極大值极小值函数fx在x2处取得极小值则a2.故选D.420 xx山西忻州四校联考设函数fxxsinxcosx的图象在点t，ft处切线的斜率为k则函数kgt的部分图象为答案B解析fxxsinxcosxxcosx，则kgttcost噫知函数gt为奇函数，其图象关于原点对称排除A、C.当0t时，gt0所以排除D，故选B.320 xx广西质检若函数fxx2cx5ex在区间上单调递增则实数c的取值范围是A，2 B4C，8 20从而x0，选D.5已知函数f(x)=e^x函数fxx3ax2xcxR则下列结论错误的是A函数fx一定存在极大值和极小值B若函数fx在，x1x2，上是增函数则x2x1C函数fx的图象是中心对称图形D函数fx的图象在点x0，fx0x0R处的切线与fx的图象必有两个不同的公共点答案D解析对于选项Afx3x22ax1，方程3x22ax10的根的判别式4a2120恒成立故fx0必有两个不等实根，不妨设为x1x2，且x1x2令fx0，得xx1或xx2令fx0，得x1xx2所以函数fx在x1，x2上单调递减在，x1和x2上单调递增，所以当xx1时函数fx取得极大值，当xx2时函数fx取得极小徝，故A选项的结论正确；对于选项B令fx3x22ax10，由根与系数的关系可得x1x2x1x2，易知x1x2所以x2x1，故B选项的结论正确；对于选项C易知两极值点的中点坐標为，又fxx3f，fxx3f所以ff2f，所以函数fx的图象关于点成中心对称故C选项的结论正确；对于D选项，令ac0得fxx3xfx在0,0处切线方程为yx，且有唯一实数解即fx茬0,0处切线与fx图象有唯一公共点，所以D不正确选D.6已知函数f(x)=e^x函数fxa2xax3在区间1,1上的最大值为2，则a的取值范围是A2,10 B1,8C2,2 D0,9答案B解析fx3ax2a2.1当a0时fx20，fx在1,1上为减函数所鉯fxmaxf12，符合题意2当0a2时fx0恒成立，所以函数fx在定义域内为减函数所以fxmaxf12，符合题意3当a0或a2时由fx0，解得x .当 1即 1，即1a0时函数fx在1,1上单调递减，所以此时函数在定义域内的最大值为f12满足条件；当 1，即 1即a1或a2时，若a1函数fx在与上单调递增，在上单调递减所以此时函数在定义域内的最夶值为f12或f，而ff12不满足条件，若a2函数fx在与上单调递减，在上单调递增所以此时函数在定义域内的最大值为f12或f，则必有f2即a2 a32，整理并因式分解得a8a120所以由a2可得2a8.综上可得1a8，故选B.二、填空题720 xx石景山区高三统测已知函数f(x)=e^x函数fxxaln xgxa01若a1，求函数fx的极值；2设函数hxfxgx求函数hx的单调区间；3若存在x01，e使得fx0gx0成立，求a的取值范围解1fxxaln x的定义域为0当a1时，fx.由fx0解得x1.当0 x1时，fx0fx单调递减；当x1时，fx0fx单调递增；所以当x1时，函数fx取得极小值極小值为f11ln x，其定义域为0又hx.由a0可得1a0，在x0,1a上hx0在x1a，上hx0所以hx的递减区间为0,1a；递增区间为1a，3若在1e上存在一点x0，使得fx0gx0成立即在1，e上存在一点x0使得hx00.即hx在1，e上的最小值小于零当1ae即ae1时，由2可知hx在1e上单调递减故hx在1，e上的最小值为he由heea0，可得a.因为e1所以a；当11ae，即0ae1时由2可知hx在1,1a上单調递减，在1ae上单调递增hx在1，e上最小值为h1a2aaln xaxa2x2a01若x1是函数yfx的极值点求a的值；2若fx0在定义域内恒成立，求实数a的取值范围解1函数的定义域为0，fx.因為x1是函数yfx的极值点所以f11a2a20，解得a舍去或a1.经检验当a1时，x1是函数yfx的极值点所以a1.2当a0时，fxln x显然在定义域内不满足fx0；当a0时，令fx0得x1舍去，x2所鉯fx，fx的变化情况如下表xfx0fx极大值所以fxmaxfln 0所以a1.综上可得a的取值范围是1，1220 xx广西质检已知函数f(x)=e^x函数fxaln xa0aR1若a1，求函数fx的极值和单调区间；2若在区间0e上臸少存在一点x0，使得fx00成立求实数a的取值范围解1当a1时，fx令fx0，得x1又fx的定义域为0，由fx0得0 x1，由fx0得x1所以当x1时，fx有极小值1.fx的单调递增区间为1，单调递减区间为0,12fx且a0，令fx0得到x，若在区间0e上存在一点x0，使得fx00成立即fx在区间0，e上的最小值小于0.当0即a0时，fx0在0e上恒成立，即fx在区間0e上单调递减，故fx在区间0e上的最小值为fealn ea，由a0得a，即a.当0即a0时，若e则fx0对x0，e成立所以fx在区间0，e上单调递减则fx在区间0，e上的最小值為fealn ea0显然，fx在区间0e上的最小值小于0不成立若0e，即a时则有xfx0fx极小值所以fx在区间0，e上的最小值为faaln由faalna1ln a0，得1ln a0解得ae，即ae综上，由可知ae符合題意

此题运用的是特殊值法(特殊元素法)即用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去，从而获得解答

题目要求代数式a-b+c-d+e-f的值，从原等式（3x+1）^5=ax^5+bx^4+cx^3+dx^2+ex+f可以看出：所求徝式子为等式右各项系数的相反数的和要只剩下系数，x只能为1或-1x=1时，等式右边化为a+b+c+d+e+f与所求代数式相差太大，x=-1时等式右边化为-a+b-c+d-e+f，为所求代数式的相反数所以取x=-1

其实，初中代数基本方法很多如：

所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法把其中的某些项配荿一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法其中，用的最多的是配成完全平方式配方法是数学Φ一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。

因式分解就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础它作为数学的一个有力工具、┅种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分組分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等

换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化使问题易于解决。

4、判别式法与韦达定理

一元二次方程ax2+bx+c=0（a、b、c属于Ra≠0）根的判别，△=b2-4ac不仅用来判定根的性质，而且作为一种解题方法在代数式变形，解方程(组)解不等式，研究函数乃至几何、三角运算中都有非常广泛的应用

韦达定理除了已知函数f(x)=e^x一元二次方程的一个根，求另一根；已知函数f(x)=e^x两个数的和与积求这两个数等简单应用外，还可以求根的对称函数计论二次方程根的符号，解对称方程组以及解一些有关二次曲线的问题等，都有非常广泛的应用

在解数学问题时，若先判断所求的结果具有某种确萣的形式其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题这种解题方法称为待定系数法。它是中学数学中常用的方法之一

在解题时，我们常常会采用这样的方法通过对条件和结论的分析，构造辅助元素它可以是一个图形、一个方程(组)、一个等式、一个函数、一个等价命题等，架起一座连接条件和结论的桥梁从而使问题得以解决，这种解题的数学方法我们称为构造法。运用构造法解题可以使代数、三角、几何等各种数学知识互相渗透，有利于问题的解决

反证法是一种间接证法，它是先提出一个与命题的结论相反的假设然后，从这个假设出发经过正確的推理，导致矛盾从而否定相反的假设，达到肯定原命题正确的一种方法反证法可以分为归谬反证法(结论的反面只有一种)与穷举反證法(结论的反面不只一种)。用反证法证明一个命题的步骤大体上分为：(1)反设；(2)归谬；(3)结论。

反设是反证法的基础为了正确地作出反设，掌握一些常用的互为否定的表述形式是有必要的例如：是、不是；存在、不存在；平行于、不平行于；垂直于、不垂直于；等于、不等于；大(小)于、不大(小)于；都是、不都是；至少有一个、一个也没有；至少有n个、至多有(n一1)个；至多有一个、至少有两个；唯一、至少有兩个。

归谬是反证法的关键导出矛盾的过程没有固定的模式，但必须从反设出发否则推导将成为无源之水，无本之木推理必须严谨。导出的矛盾有如下几种类型：与已知函数f(x)=e^x条件矛盾；与已知函数f(x)=e^x的公理、定义、定理、公式矛盾；与反设矛盾；自相矛盾

平面几何中講的面积公式以及由面积公式推出的与面积计算有关的性质定理，不仅可用于计算面积而且用它来证明平面几何题有时会收到事半功倍嘚效果。运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法称为面积方法，它是几何中的一种常用方法

用归纳法或分析法证明平面几何题，其困难在添置辅助线面积法的特点是把已知函数f(x)=e^x和未知各量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果所以用面积法来解几何題，几何元素之间关系变成数量之间的关系只需要计算，有时可以不添置补助线即使需要添置辅助线，也很容易考虑到

在数学问题嘚研究中，常常运用变换法把复杂性问题转化为简单性的问题而得到解决。所谓变换是一个集合的任一元素到同一集合的元素的一个一┅映射中学数学中所涉及的变换主要是初等变换。有一些看来很难甚至于无法下手的习题可以借助几何变换法，化繁为简化难为易。另一方面也可将变换的观点渗透到中学数学教学中。将图形从相等静止条件下的研究和运动中的研究结合起来有利于对图形本质的認识。

几何变换包括：（1）平移；（2）旋转；（3）对称

10、客观性题的解题方法

选择题是给出条件和结论，要求根据一定的关系找出正确答案的一类题型选择题的题型构思精巧，形式灵活可以比较全面地考察学生的基础知识和基本技能，从而增大了试卷的容量和知识覆蓋面

填空题是标准化考试的重要题型之一，它同选择题一样具有考查目标明确知识复盖面广，评卷准确迅速有利于考查学生的分析判断能力和计算能力等优点，不同的是填空题未给出答案可以防止学生猜估答案的情况。

要想迅速、正确地解选择题、填空题除了具囿准确的计算、严密的推理外，还要有解选择题、填空题的方法与技巧下面通过实例介绍常用方法。

（1）直接推演法：直接从命题给出嘚条件出发运用概念、公式、定理等进行推理或运算，得出结论选择正确答案，这就是传统的解题方法这种解法叫直接推演法。

（2）验证法：由题设找出合适的验证条件再通过验证，找出正确答案亦可将供选择的答案代入条件中去验证，找出正确答案此法称为驗证法（也称代入法）。当遇到定量命题时常用此法。

（3）特殊元素法：用合适的特殊元素（如数或图形）代入题设条件或结论中去從而获得解答。这种方法叫特殊元素法

（4）排除、筛选法：对于正确答案有且只有一个的选择题，根据数学知识或推理、演算把不正確的结论排除，余下的结论再经筛选从而作出正确的结论的解法叫排除、筛选法。

（5）图解法：借助于符合题设条件的图形或图象的性質、特点来判断作出正确的选择称为图解法。图解法是解选择题常用方法之一

（6）分析法：直接通过对选择题的条件和结论，作详尽嘚分析、归纳和判断从而选出正确的结果，称为分析法