摘要：以例题讲思路，简单总结了下积佬的各方法技巧。本文并不属于纯基础讲解，需要有一定的基础知识。文章末尾处新增本文的pdf文档！

练习1.2：计算： .

二、分段函数的不定积分

特征：这类题目的特征很明显，带绝对值的；带取整符号的；max,min函数

仅仅只是一种记法, 不能认为 在 存在原函数.

由于函数满足连续，所以

例2.2：计算不定积分 , 其中 为取整函数

3.1 第一类换元法（凑微分）

技巧大致有：组合积分法、添与拆、特殊凑配 、指数锁(阴间凑配)

组合积分法：(1)： 解出 ；(2)：根据平方差、立方差这类公式构造；

例3.1.2：求不定积分

例3.1.3：求不定积分

解：应用待定系数法，将 改写为

解得 ， ， . 故得

例3.1.4：求不定积分：

注：这样的凑配并不是个例，需要多留心多观察

注： ， ， ， 同样可凑配

练习3.1.6：求不定积分： .

指数锁：虚调子：锁在于，原本在分子分母均应出现的指数项合并于分母。所以我们不妨称其为指数锁。我们不妨称这类为阴间凑配

例3.1.7：求不定积分： .

例3.1.8：求不定积分：

解：分母有 ，而分子没有。这说明可能有个 被分子分母约掉了。尝试先把分母分母的 提出来，试试求导能不能凑。

进一步可参考虚调子大佬的回答

解： 假设我们已经猜到这个不定积分是有初等原函数的！注意到

有兴趣的读者可以参考虚调子大佬的文章

方法：三角换元/双曲换元、倒代换、欧拉代换、万能代换、双元法

注：一般情况，哪个复杂令哪个为

解： 分母 最小公倍数，故令

给出隐函数方程，求不定积分

例3.2.3：设 是由方程 所确定的隐函数, 求积分

解：令 , 代入所给的方程可得 , 则

倒代换：我们并不能局限于令 ，根据具体的题目具体代换. 严谨的做法应讨论下 的正负

练习3.2.7：求不定积分： 计算不定积分 (其中根号 有 重)

欧拉代换 ：形如 的不定积分
Euler第一替换：若 ，则令
Euler第二替换：若 ，则令 ，我们有
Euler第三替换：在 有两个实根的情形； 可作替换 . 此时有 ，以及

解：（by 予一人）利用 代换，置 则

练习3.2.10：求不定积分:

练习3.2.11：求不定积分：

解答源自：周民强《数学分析习题演练第一册（第二版）》, P347

万能代换：令 , ，则

例3.2.12：求不定积分

双元法：虚调子大佬原创(没看懂，暂时不写)

利用含参变量积分的思路：含参的不定积分

分部积分：反对幂三指。可以先观察考虑被积函数内的某一项或者整体求导出来是什么？积分出来又是什么？哪一项求导/积分更容易？怎么才更容易化为更容易求解的？
含x^n多次循环可以考虑：表格法（计算傅里叶系数可能用到）

解：观察分母 ，联想到 的求导，而 ；而 比较复杂，猜测需要凑或者分部，而

表格法：考试时的实际应用一般最多是求傅里叶系数时用

五、有理式函数的积分技巧

有理式的拆分技巧：(1) 多项式的除法；(2) 直接拆然后比较系数；(3) 留数法
有理式函数的积分技巧：奥斯特罗格拉茨基方法；

比较系数法：直接拆然后比较系数

利用留数的定义拆有理式

例5.1：求的最简分式

例5.2：求不定积分 .

注：进一步可阅读《微积分进阶——讲稿(crop)》楼红卫，P130

例5.3：求不定积分 .

解：奥斯特罗格拉茨基方法

注：进一步可详解参考《微积分教程》菲赫金哥尔茨第二卷，P276

要知道对于绝大多数的不定积分是没有初等表达式的！因此，若不是有兴趣的读者(积佬)，可以暂时性放弃。判断某个不定积分是不是有初等表达，通常我们可以借助软件，手机上可以使用Wolfram Alpha，电脑上可以使用Mathematica，Matlab...来判别！而不是借助某些定理，如刘维尔定理，切比雪夫定理。

注：绝大多数的不定积分非初等可以用Wolfram Alpha来判别，但一些阴间题有初等原函数mathematica却不能算是因為它沒有完全植入symbolic integration的一些算法。若用其他有內置該算法的CAS，例如Axiom，就可以輕鬆得到原函數。可以Google: Axiom sandbox

其中， 为二重对数函数.

2021年8月25日，更新了本文文档的初稿

[2] 薛春华, 徐森林. 数学分析精选习题全解.上册[M] 数学分析精选习题全解．上册. 清华大学出版社, 2009.

[3] 陈兆斗. 大学生数学竞赛习题精讲[M]. 清华大学出版社, 2011.

[5] 金玉明. 积分的方法与技巧[M]. 中国科学技术大学出版社, 2017.