书 !" 计数原理 !!" 分类加法计数原理与分步乘法计数原理 第"课时""""""""""""""""""""" 两个计数原理及其简单应用 学习目标 核心素养 !!理解分类加法计数原理与分步乘法计数 原理! "!会用这两个原理分析和解决一些简单的 实际计数问题! 应用数学 抽象提升 逻辑推理 和数学 运算 新知初探 !!完成一件事有两类不同方案!在第!类方案中有" 种不同的方法!在第"类方案中有#种不同的方法!那么完 成这件事共有 种不同的方法! 名师点拨 如果完成一件事情有#类不同方案!在每一类中分别 有"$"$#!!"!##$种不同方法!那么应当如何计数呢% 提示!%#"!$""$"%$#$"#! "!完成一件事需要两个步骤!做第!步有" 种不同的 方法!做第"步有#种不同的方法!那么完成这件事共有 种不同的方法! 名师点拨 如果完成一件事情需要#个步骤!做每一步中分别有 "$"$#!!"!##$种不同方法!那么应当如何计数呢% 提示!%#"!&""&"%&#&"#! 初试身手 !!已知某校高二"!#班有'(人!高二""#班有')人!现从这 两个班中任选一人去参加演讲比赛!则共有 种 不同的选法! "!已知某乒乓球队有男队员*人!女队员+人!现从男$女队 员中各选! 人去参加比赛!则共有 种不同的 选法! 一项工作可以用两种方法完成!有%人会用第!种方法完 成!有'人会用第"种方法完成!从中选出!人来完成这 项工作!不同的方法种数是 " # ,-+ .-!' /-!) 0-%1 %!""1"1%湖北%武汉大学高三#设& 是集合&!!"!%!(!'! )!2!+!*!!1'的子集!只含有%个元素!且不含相邻的整 数!则这种子集& 的个数为 真审题!根据后五位数字由)或+组成!可分'步完成!其中 每一步有"种方法!利用分步计数原理求解是解答的关键! 着重考查了分析问题和解答问题的能力!属于基础题& 分类加法计数原理的应用 "例!# 某校高三共有三个班!各班人数如表所示( 男生人数女生人数 总人数 高三"!#班 %1 "1 '1 高三""#班 %1 %1 )1 高三"%#班 %' "1 ''

$ $ $ $ $ $ $ % % % % ! 方法技巧 使用分类加法计数原理计数的两个条件 "!$根据问题的特点能确定一个适合于它的分类标准! 然后在这个标准下进行分类! ""$完成这件事的任何一种方法必须属于某一类!并且 分别属于不同类的两种方法是不同的方法!只有满 足这些条件!才可以用分类加法计数原理! 提醒!分类时一定要做到不重不漏!分类对象唯一!分 类标准明确! 跟踪训练" $ $ $ $ $ $ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ % % % % # 方法技巧 使用分步乘法计数原理计数的两个注意点 一是要按照事件发生的过程合理分步!即分步是有先 后顺序的' 二是各步中的方法互相依存!缺一不可!只有各个步骤 都完成才算完成这件事! 跟踪训练% 用两个计数原理解决具体问题时!首先!要分清是 (分类)还是(分步)!区分分类还是分步的关键是看这 种方法能否完成这件事情!其次!要清楚(分类)或(分 步)的具体标准!在(分类)时要遵循(不重不漏)的原 则!在(分步)时要正确设计(分步)的程序!注意步与 步之间的连续性'有些题目中(分类)与(分步)同时进 行!即(先分类后分步)或(先分步后分类)! 跟踪训练( 现有高一学生'1人!高二学生("人!高三学生%1人! 组成冬令营! "!#若从中选!人作总负责人!共有多少种不同的选法) ""#若每年级各选!名负责人!共有多少种不同的选法) "%#若从中推选两人作为中心发言人!要求这两人要来 自不同的年级!则有多少种选法) !!如何理解*完成一件事+的过程中各步之间的关系) 提示!各步之间是关联的*独立的!(关联)确保不遗漏! (独立)确保不重复! "!区分*完成一件事+是分类还是分步的关键是什么) 提示!区分(完成一件事)是分类还是分步!关键看一步 能否完成这件事!若能完成!则是分类!否则!是分步! %!运用分类加法计数原理和分步乘法计数原理解决既 有*分类+又有*分步+的综合问题时应*先分类!后分步+! !!"!#把%封信投到(个信箱!所有可能的投法共有" # ,-"(种 .-(种 /-(% 种 0-%( 种

"!高艳有(件不同颜色的衬衣$%件不同花样的裙子!另有" 套不同样式的连衣裙!*五一+劳动节需选择一套服装参 加歌舞演出!则高艳不同的穿衣服的方式有 " # ,-"(种 .-!(种 /-!1种 0-*种 %!某银行储蓄卡的密码是一个(位数码!某人采用千位$百 位上的数字之积作为十位$个位上的数字"如"+!)#的方 法设计密码!当积为一位数时!十位上数字选1!千位$百 /-"'!(#表示)轴上方不同的点的个数是) 0-"'!(#表示+轴右侧不同的点的个数是 # # # # # # # # # # # # ) 第#课时 """"""""""""""""""""" 计数原理的综合应用 学习目标 核心素养 组数问题(会利用两个计数原理解决数字组 成问题 逻辑推理 选"抽#取与分配问(选择加法计数原理或乘 法计数原理解决选取及分配问题 逻辑推理 涂色"种植#问题(利用两个计数原理及分 类讨论思想求解涂色"种植#问题 逻辑推理 新知初探 !!两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来 的方法种类 不同点 分类完成!类类 相加 分步完成!步步相乘 每类方案中的 完成这 件事 才算完成这件事"每步中的 一种方法不能独立完成这件事# 注意点类类独立!不重不漏 步步相依!步骤完整 "!两个计数原理的应用 解决较为复杂的计数问题!一般要将两个计数原理综 合应用!使用时要做到目的明确!层次分明!先后有序!还需 特别注意以下两点( "!# ,""# - 初试身手 !!用数字"!%组成四位数!且数字"!%都至少出现一次!这 样的四位数共有 个!"用数字作答# "!四张卡片上分别标有数字*"+*1+*!+*!+!则由这四张卡 片可组成不同的四位数的个数为 " # ,-) .-* /-!" 0-"( %!某班有%名学生准备参加校运会的!11米$"11米$跳高$ 跳远四项比赛!如果每班每项限报!人!则这%名学生的 参赛的不同方法有 " # ,-"(种 .-(+种 /-)(种 0-+!种 (!如图所示!一环形花坛分成&!-!.!/ 四块!现有四种不 同的花供选种!要求在每块里种一种花!且相邻的两块种 不同的花!则不同的种法种数为" # ,-*) .-+( /-)1 规律方法!解决组数问题的方法 "!$明确特殊位置或特殊数字!是我们采用(分类)还是 (分步)的关键!一般按特殊位置"末位或首位$分 类!分类中再按特殊位置"或特殊元素$优先的策略 分步完成'如果正面分类较多!可采用间接法求解! ""$要注意数字(1)不能排在两位数字或两位数字以上 的数的最高位! 跟踪训练! ""1"!年沧州联考#若一个三位数的十位数字比个位数

% ) 规律方法! 选"抽$取与分配问题的常见类型及其解法 "!$当涉及对象数目不大时!一般选用枚举法*树形图 法*框图法或者图表法! ""$当涉及对象数目很大时!一般有两种方法+ !直接使用分类加法计数原理或分步乘法计数原 理!一般地!若抽取是有顺序的就按分步进行'若按 对象特征抽取的!则按分类进行! "间接法+去掉限制条件计算所有的抽取方法数! 然后减去所有不符合条件的抽取方法数即可! 跟踪训练" 高三年级的三个班到甲$乙$丙$丁四个工厂进行社会 实践!其中工厂甲必须有班级去!每班去何工厂可自由选 择!则不同的分配方案有 " # ,-!)种 .-!+种 /-%2种 0-(+种 涂色$种植%问题 某城市在中心广场建造一个花圃!花圃分为)个部分 "如图#!现要栽种(种不同颜色的花!每部分栽种一种!且 涂色问题一般是综合利用两个计数原理求解!有几种 常用方法+ "!$按区域的不同!以区域为主分步计数!用分步乘法 计数原理分析! ""$以颜色为主分类讨论!适用于(区域*点*线段)等问 题!用分类加法计数原理分析! "%$将空间问题平面化!转化成平面区域的涂色问题! 种植问题按种植的顺序分步进行!用分步乘法计数 原理计数!或按种植品种恰当选取情况分类!用分 类加法计数原理计数! 跟踪训练% 如图所示的几何体是由一个三棱锥01&-. 与三棱柱 &-.1&!-!.! 组合而成的!现用%种不同颜色对这个几何体 的表面涂色"底面&!-!.! 不涂色#!要求相邻的面均不同 色!则不同的涂色方案共有 种! "!#分类加法计数原理与分步乘法计数原理是两个最 基本$也是最重要的原理!是解答后面将要学习的排列$组 合问题!尤其是较复杂的排列$组合问题的基础! ""#应用分类加法计数原理要求分类的每一种方法都 能把事件独立完成,应用分步乘法计数原理要求各步均是 完成事件必须经过的若干彼此独立的步骤! "%#一般是先分类再分步!分类时要设计好标准!设计 好分类方案!防止重复和遗漏! "(#若正面分类!种类比较多!而问题的反面种类比较 少时!则使用间接法会简单一些! !!""1"1年全国%高三专题练习#如图所示!由连接正八边 形的三个顶点而组成的三角形中与正八边形有公共边的 三角形有 个! "!从!!"!%!(!'!)!2!+!*这*个数字中任取两个!其中一个 作为底数!另一个作为真数!则可以得到不同对数值的个 数为 " # ,-)( .-') /-'% 0-'! %!如图!要给地图上&$-$.$/ 四个区域分别涂上(种不同 颜色中的某一种!允许同一种颜色使用多次!但相邻区域 必须涂不同的颜色!则不同的涂色方案有 种! (!某文艺小组有"1人!其中会唱歌的有!(人!会跳舞的有 !1人!从中选出会唱歌与会跳舞的各!人参加演出!且既 会唱歌又会跳舞的至多选!人!有多少种不同的选法 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

"!# 排列与组合 "!#!" 排列 第"课时 """"""""""""""""""""" 排列与排列数公式 学习目标 核心素养 !!理解排列的概念!能正确 写出一些简单问题的所 有排列! "!理解排列数公式!能利用 排列数公式进行计算和 证明! !!通过学习排列的概念及 排列数公式!体现了数 学抽象的素养! "!借助排列数公式进行计 算培养数学运算的 素养! 新知初探 !!排列的概念 从#个不同元素中取出"""'##个元素!按照 排成一列!叫做从# 个不同元素中取出" 个元素的一个 排列! "!相同排列的两个条件 "!# 相同! ""# 相同! 思考!! 两个排列相同的条件是什么% 提示!两个排列相同的条件+!元素相同!"元素的排 列顺序也相同! 初试身手 !!判断下列命题是否正确!"正确的打*(+!错误的打*&+# "!#!!"!%与%!"!!为同一排列! " # ""#在一个排列中!同一个元素不能重复出现! " # "%#从!!"!%!(中任选两个元素!就组成一个排列! " # "(#从'个同学中任选"个同学分别参加数学和物理竞赛 的所有不同的选法是一个排列问题! " # "!甲$乙$丙三名同学排成一排!不同的排列方法有" # ,-%种 .-(种 /-)种 0-!"种 %!写出&!-!.!/ 四名同学站成一排照相!& 不站在两端的 所有可能站法! 排列的概念 "例!# 判断下列问题是否为排列问题! "!#北京$上海$天津三个民航站之间的直达航线的飞 机票的价格"假设来回的票价相同#, ""#选"个小组分别去植树和种菜, "%#选"个小组去种菜, "(#选!1人组成一个学习小组, "'#选%个人分别担任班长$学习委员$生活委员 后排列是有序的还是无序的!而检验它是否有序的 依据就是变换元素的(位置)"这里的(位置)应视具 体问题的性质和条件来决定$!看其结果是否有变 化!有变化就是排列问题!无变化就不是排列问题! 跟踪训练! 下列问题中( !!1本不同的书分给!1名同学!每人一本, "!1位同学互通一次电话, #!1位同学互通一封信, $!1个没有任何三点共线的点构成的线段! 属于排列的有 " # ,-!个

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % % % % ! 规律方法! 利用(树形图)法解决简单排列问题的适用范围及策略 !!适用范围+(树形图)在解决排列元素个数不多的问 题时!是一种比较有效的表示方式! "!策略+在操作中先将元素按一定顺序排出!然后以先 安排哪个元素为分类标准进行分类!再安排第二个 元素!并按此元素分类!依次进行!直到完成一个排 列!这样能做到不重不漏!然后再按树形图写出排 列! 跟踪训练! 北京$广州$南京$天津( 个城市相互通航!应该有 种机票! 跟踪训练" 从!!"!%!(四个数字中任取两个数字组成两位不同的 数!一共可以组成多少个) !!在判断一个问题是否是排列时!可以考虑所取出的 元素!任意交换两个!若结果变化!则是排列问题!否则不是 排列问题! "!利用*树形图+法解决简单排列问题的适用范围及 策略 "!#适用范围(*树形图+在解决排列元素个数不多的问 题时!是一种比较有效的表示方式! ""#策略(在操作中先将元素按一定顺序排出!然后以 先安排哪个元素为分类标准进行分类!再安排第二个元素! 并按此元素分类!依次进行!直到完成一个排列!这样能做 到不重不漏!然后再按树形图写出排列! !!判断"正确的打*(+!错误的打*&+# "!#两个排列的元素相同!则这两个排列是相同的排列! " # ""#从六名学生中选三名学生参加数学$物理$化学竞赛! 共有多少种选法属于排列问题! " # "%#有十二名学生参加植树活动!要求三人一组!共有多 少种分组方案属于排列问题! " # "(#从%!'!2!*中任取两个数进行指数运算!可以得到多 少个幂属于排列问题! " # "'#从!!"!%!(中任取两个数作为点的坐标!可以得到多 少个点属于排列问题! " # "!在编号为!!"!%!(的四块土地上分别试种编号为!!"!%! (的四个品种的小麦!但!号地不能种!号小麦!"号地不 能种"号小麦!%号地不能种%号小麦!则共有 种不同的试种方案! %!四张卡片上分别标有数字*"+*1+*!+*!+!则由这四张卡 片可组成不同的四位数的个数为 " # ,-)

!!#!# 排列数 第"课时 """"""""""""""""""""" 排列数公式 内容标准 学科素养 !!进一步加深对排列概念的理解! "!排列数定义及表示 %!排列与排列数有何区别 利用数字抽象 加强数学建模 新知初探 !!排列数及排列数公式 排列数定 义及表示 从#个不同元素中取出"""'##个元素的所 有 叫做从#个不同元素中取出" 个 元素的排列数!用符号," # 表示 $ $ $ $ $ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % % % % ! 规律方法! 排列数的计算方法 !!排列数的计算主要是利用排列数的乘积公式进行! 应用时注意+连续正整数的积可以写成某个排列数! 其中最大的是排列元素的总个数!而正整数"因式$ 的个数是选取元素的个数!这是排列数公式的逆用!

数的式子进行变形或作有关的论证时!一般用阶乘式! 跟踪训练" 求证(," #3!$","3! #3! #," # ! 无限制条件的排列问题 "例%# "!#有'本不同的书!从中选%本送给%名同 学!每人各!本!共有多少种不同的送法) ""#有'种不同的书"每种不少于%本#!要买%本送给 %名同学!每人各!本!共有多少种不同的送法 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ 种不同的分法! 排列数两个公式的选取技巧 "!#排列数的第一个公式," # ##"#3!#"#3"#/"#3" $!#适用" 已知的排列数的计算以及排列数的方程和不 等式! ""#排列数的第二个公式," # # #. "#3"#.用于与排列数 有关的证明$解方程$解不等式等! "%#判断是否是排列问题!关键是看是否与顺序有关! !!乘积"""$!#""$"#/""$"1#可表示为 "

第#课时 """"""""""""""""""""" 排列的综合应用 学习目标 核心素养 !!进一步理解排列的概念!掌握 一些排列问题的常用解决 方法! "!能应用排列知识解决简单的 实际问题! 通过排列知识解决实 际问题!提升逻辑推 理和数学运算的 素养! 新知初探 解决排列问题常用的方法 !!特殊元素优先法 对于有特殊元素的排列问题!一般应先考虑 再考虑其他元素- "!特殊位置优先法 对于特殊位置的排列问题!一般应先考虑 再 考虑其他位置! %!相邻问题捆绑法 对于要求某几个元素相邻的排列问题!可先将 的元素*捆绑+起来!看作一个*大+的元素!与其他元素一 起排列!然后再对被*捆绑+的元素内部进行排列! (!不相邻问题插空法 对于要求某几个元素不相邻的排列问题!可先将 元素排好!然后将 的元素插入在已排好的元 素之间及两端的空隙即可! 初试身手 !!"多选#下列说法正确的是 " # "!#从%!'!2!*中任取两个数做指数运算!可以得到多少 个幂是排列问题! ""#把!"名学生分成三组参加植树活动!共有多少分组方 法是排列问题! "%#从!!"!%中任选"个数相除可以得到不同的结果数为 )! "!将%张不同的电影票全部分给!1个人!每人至多一张!则 不同的分法的种数是 ! %!沿途有四个车站!这四个车站之间需要准备不同车票 种! (!一次演出!因临时有变化!拟在已安排好的(个节目的基 础上再添加"个小品!且"个小品节目不相邻!则不同的 添加方法共有 种! 特殊元素$位置%优先排列 "例!# 用1!!!"!%!(!'这六个数字可以组成多少个 符合下列条件的无重复数字的数) !六位数且是奇数, "个位上的数字不是'的六位数 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ 分类标准必须恰当'二是分类过程要做到不重不漏! %!(排除法)+全排列数减去不符合条件的排列数! (!(位置分析法)+按位置逐步讨论!把要求数字的每个 数位排好! 跟踪训练! "!#有语文$数学$英语$物理$化学$生物)门课程!从中 选(门安排在上午的(节课中!其中化学不排在第四节!共 有 种不同的安排方法!"用数字回答# 元素'相邻(与'不相邻(问题 "例"#

邻的若干个元素(捆绑)为一个大元素与其余元素全排 列!然后再松绑!将这若干个元素内部全排列!元素不 相邻问题!一般用(插空法)!先将不相邻元素以外的 (普通)元素全排列!然后在(普通)元素之间及两端插 入不相邻元素! 跟踪训练" '人站成一排!甲$乙两人之间恰有!人的不同站法的 种数为 " # ,-!+ .-"( /-%) 0-(+ 元素'在(与'不在(排队问题 "例%# %名男生!(名女生!按照不同的要求排队拍 照!求不同的排队方案的方法种数! "!#全体站成一排!其中甲只能在中间或两端, ""#全体站成一排!其中甲$乙必须在两端, "%#全体站成一排!其中甲不在最左端!乙不在最右端, "(#全体站成一排!男$女生各站在一起, "'#全体站成一排!甲$乙中间必须有"人, ")#排成前后两排!前排%人!后排(人 ""$直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法!要 注意分类时不重不漏!分步要连续*独立'间接法要 注意不符合条件的情形!做到不重不漏' 跟踪训练% 有'名男生!(名女生排成一排! "!#从中选出%人排成一排!有多少种排法) ""#若甲男生不站排头也不站排尾!则有多少种不同的 排法) "%#要求女生必须站在一起!有多少种不同的排法) "(#若(名女生互不相邻!则有多少种不同的排法)

跟踪训练( 某校高二学生进行演讲比赛!原有'名同学参加!后又 增加两名同学!如果保持原来'名同学顺序不变!那么不同 的比赛顺序有 " # ,-!"种 .-%1种 /-%)种 0-("种 "!#直接法解题一般采用元素分析法和位置分析法!要 注意分类时不重不漏!分步要连续$独立,间接法要注意不 符合条件的情形!做到不重不漏, ""#某些元素要求必须相邻时!可以先将这些元素看成 一个整体!与其他元素排列后!再考虑相邻元素的内部排 列!这种方法称为*捆绑法+!即*相邻元素捆绑法+, "%#某些元素要求不相邻时!可以先安排其他元素!再 将这些不相邻元素插入空位中!这种方法称为*插空法+!即 *不相邻元素插空法+! "(#对于定序问题!可以先不考虑顺序限制!排列后再 除以定序元素数的全排列- !!)名学生排成两排!每排%人!则不同的排法种数为 " # ,-%) .-!"1 /-2"1 0-"(1 "!)位选手依次演讲!其中选手甲不排在第一个也不排在最 后一个演讲!则不同的演讲次序共有 " # ,-"(1种 .-%)1种 /-(+1种 0-2"1种 %!用!!"!%!(!'!)!2这2个数字排列组成一个七位数!要求 在其偶数位上必须是偶数!奇数位上必须是奇数!则这样 的七位数有 个! (!从)名短跑运动员中选出(人参加(&!114 能记住组合数的计算公式!组合数的性质以 及组合数与排列数之间的关系!并能运用组 合数公式与组合数性质进行运算 数学运算 能利用组合数公式解决简单的组合应用题 逻辑推理$ 数学运算 新知初探 !!组合的定义 一般地!从#个不同元素中取出"""'##个元素 !叫做从#个不同元素中取出" 个元素的一个组合! "!组合数的概念)公式)性质 组合数定义 从#个不同元素中取出"""'##个元素

'!甲$乙$丙三地之间有直达的火车!相互之间的距离均不 相等!则车票票价有 种! 组合概念的理解 "例!# 给出下列问题( "!#从'!(!2!3 四名学生中选"名学生完成一件工作! 有多少种不同的选法) ""#从'!(!2!3四名学生中选"名学生完成两件不同的 工作!有多少种不同的选法) "%#'!(!2!3 四支足球队之间进行单循环比赛!共需赛 多少场) "(#'!(!2!3 四支足球队争夺冠亚军!有多少种不同的 结果) "'#某人射击+枪!命中(枪!且命中的(枪均为"枪连 中!不同的结果有多少种) ")#某人射击+枪!命中(枪!且命中的(枪中恰有%枪 连中!不同的结果有多少种) 在上述问题中!哪些是组合问题) 哪些是排列问题 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % % % % ) 规律方法! 判断一个问题是否是组合问题的方法技巧 判断是否为组合问题!关键是判断问题是否与顺序有 关!可以结合条件理解!也可以选择一个结果!交换这 个结果中两个元素先后顺序!看是否对结果产生影响! 若无新变化!则是组合问题!总之!与顺序有关是排列 问题!若与顺序无关!则是组合问题! 跟踪训练! 判断下列问题是组合问题还是排列问题( "!#把'本不同的书分给'个学生!每人一本,! ""#从2本不同的书中取出'本给某个同学, "%#!1个人互相写一封信!共写了几封信, "(#!1个人互相通一次电话!共通了几次电话! 组合数公式)性质的应用 "例"# "!#计算(/( !13/% 2%,% %, ""#已知! /" ' 3 ! /" ) # 2 !1/" 2 !求/"

) 规律方法! 解简单的组合应用题的策略 "!$解简单的组合应用题时!首先要判断它是不是组合 问题!组合问题与排列问题的根本区别在于排列问 题与取出元素之间的顺序有关!而组合问题与取出 元素的顺序无关! ""$要注意两个基本原理的运用!即分类与分步的灵活 运用! 注意!在分类和分步时!一定注意有无重复或遗漏! 跟踪训练% 在!11件产品中!有*+件合格品!"件次品!从这!11 件产品中任意抽出%件! "!#有多少种不同的抽法) ""#抽出的%件中恰好有!件是次品的抽法有多少种) "%#抽出的%件中至少有!件是次品的抽法有多少种) !!对组合的三点认识 "!#组合的特点(组合要求#个元素是不同的!被取出 的" 个元素自然也是不同的!即*从#个不同的元素中取出 " 个元素+! ""#组合的特性是(元素的无序性!即取出的" 个元素 不讲究顺序!亦即元素没有位置的要求! "%#相同的组合(根据组合的定义!只要两个组合中的 元素完全相同!不管顺序如何!也是相同的组合! "!组合数两个性质的应用 要注意性质/" #$!#/" # $/"3! # 的顺用$逆用$变形用!顺 用是将一个组合数拆成两个,逆用则是*合二为一+,变形式 /"3! # #/" #$!3/" # 的使用!为某些项相互抵消提供了方便!在

第 六 章 第#课时 """"""""""""""""""""" 组合的综合应用 学习目标 核心素养 !!学会运用组合的概念!分析简单的 实际问题! "!能解决有限制条件的组合问题! %!能解决与几何有关的组合问题 通过组合解决实 际问题!提升逻 辑推理和数学运 算的素养! 新知初探 !!无限制条件的组合问题 无约束条件的组合问题!只需按照 的定义!直 接列出 即可!注意分清元素的总个数及取出元素 的个数!有时还需分清完成一件事是需要分类还是分步! "!有限制条件的组合问题 解答有限制条件的组合应用题的基本方法是*直接法+ 和*间接法"排除法#+! "!#用 法求解时!应坚持*特殊元素优先选取+ *特殊位置优先安排+的原则! ""#选择 法的原则是*正难则反+!也就是若正 面问题分类较多$较复杂或计算量较大!不妨从反面问题入 手!试试看是否简捷些!特别是涉及*至多+*至少+等组合问 题时更是如此!此时!正确理解*都不是+*不都是+*至多+ *至少+等词语的确切含义是解决这些组合问题的关键! 初试身手 !!若从!!"!%!/!*这*个整数中同时取(个不同的数!其 和为偶数!则不同的取法共有 " # ,-)1种 .-)%种 /-)'种 0-))种 "!在四棱锥01&-./ 中!顶点为0!从其他的顶点和各棱的 中点中取%个!使它们和点0 在同一平面上!不同的取法 有 " # ,-(1种 .-(+种 /-')种 0-)"种 %!从%名女生$(名男生中选(人担任奥运会志愿者!若选 出的(人中既有男生又有女生!则不同的选法共有 种! (!将)名教师分到%所中学任教!一所!名!一所"名!一所 %名!则有 种不同的分法! 无限制条件的组合问题 "例!# 数公式!同时注意分步和分类两原理的应用! 跟踪训练! 若从!!"!%!/!*这*个整数中同时取(个不同的数! 其和为偶数!则不同的取法共有 " # ,-)1种 .-)%种 /-)'种 0-))种 有限制条件的组合问题 "例"#课外活动小组共!% 人!其中男生+ 人!女生' 人!并且男$女生各指定一名队长!现从中选'人主持某项 活动!依下列条件各有多少种选法) "!#只有一名女生当选, 无特殊元素!特殊元素的多少作为分类依据! "!含有(至多)(至少)等限制语句+要分清限制语句中 所包含的情况!可以此作为分类依据!或采用间接法 求解! %!分类讨论思想+解题的过程中要善于利用分类讨论 思想!将复杂问题分类表达!逐类求解! 跟踪训练" 某地区发生了特别重大铁路交通事故!某医院从!1名 医疗专家中抽调)名奔赴事故现场抢救伤员!其中这!1名 医疗专家中有(名是外科专家!问

"!#抽调的)名专家中恰有"名是外科专家的抽调方法 有多少种) ""#至少有"名外科专家的抽调方法有多少种) "%#至多有"名外科专家的抽调方法有多少种) 与几何有关的组合问题 如图!在以&- 为直径的半圆周上!有异于&!- 的六个 点.!!."!.%!.(!.'!.)!直径&- 上有异于&!- 的四个点 /!!/"!/%!/(! $ $ $ % % % % ) 规律方法! "!$解决几何图形中的组合问题!首先应注意运用处理 组合问题的常规方法分析解决问题!其次要注意从 不同类型的几何问题中抽象出组合问题!寻找一个 组合的模型加以处理! ""$图形多少的问题通常是组合问题!要注意共点*共 线*共面*异面等情形!防止多算!常用直接法!也可 采用排除法! "%$在处理几何问题中的组合应用问题时!应先明确几 何中的点*线*面及构造模型!明确平面图形和立体 图形中的点*线*面之间的关系!将几何问题抽象成 组合问题来解决! 跟踪训练% "!#四面体的一个顶点为&!从其他顶点和各棱中点中 取%个点!使它们和点& 在同一平面上!有多少种不同的 取法) ""#四面体的顶点和各棱中点共!1个点!在其中取(个 不共面的点!有多少种不同的取法! !!无条件限制的组合应用题!其解题步骤为( "!#判断,""#转化,"%#求值,"(#作答! "!有限制条件的组合应用题 这类问题的解题思路是将限制条件视为特殊元素和特 殊位置!一般来讲!特殊要先满足!其余则*一视同仁+!若正 面入手不易!则从反面入手!寻找问题的突破口!即采用排 除法!解题时要注意分清*有且仅有+*至多+*至少+*全是+ *都不是+*不都是+等词语的确切含义!准确把握分类标准! %!解答几何组合问题的思考方法与一般的组合问题基 本一样!只要把图形的限制条件视为组合问题的限制条件 即可! !!如图是由)个正方形拼成的矩形图案!从图中的!"个顶 点中任取%个点作为一组!其中可以构成三角形的组数 为 " # ,-"1+ .-"1( /-"11 0-!*) "!若从!!"!%!/!*这*个整数中同时取(个不同的数!其 和为偶数!则不同的取法共有 " # ,-)1种 .-)%种 /-)'种 0-))种 %!现有!)张不同的卡片!其中红色$黄色$蓝色$绿色卡片各 (张!从中任取%张!要求这%张卡片不能是同一种颜色! 且红色卡片至多!张!求不同取法有 种! (!平面内有!"个点!其中有(个点共线!此外再无任何%点 共线!以这些点为顶点!可构成多少个不同的三角形 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

第 六 章 """"""""""""""""""""" 排列组合的综合应用 学习目标 核心素养 !!能用排列组合解决多面手问题 "!能用排列组合解决分组分配 问题 通过解决实际问 题!提升逻辑推理 和数学运算的 素养! 新知初探 !!排列与组合的联系和区别 排列与组合的共同点都是*从#个不同元素中!任取" 个元素+!如果交换两个元素的位置对结果产生影响!就是 ,反之!如果交换两个元素的位置对结果没有影 响!就是 简而言之! 与顺序有关 与顺序无关! "!解排列组合综合题的思路 解决该问题的一般思路是先选后排!先 后 !解题时应灵活运用 原理和 原理! 分类时!注意各类中是否分步!分步时注意各步中是否 分类! 初试身手 !!"多选#下列说法不正确的是 " # ,-%个相同的小球放入'个不同的盒子中!每盒至多放 一个球!这个问题是排列问题! .-%个不同的小球放入'个不同的盒子中!每盒至多放一 个球!这个问题是组合问题! /-将*本不同的书分成三堆是平均分组问题! "!市内某公共汽车站有)个候车位"成一排#!现有%名乘客 随便坐在某个座位上候车!则恰好有"个连续空座位的 候车方式的种数是 " # ,-(+ .-'( /-2" 0-+( %!将(名大学生分配到%个乡镇去当村官!每个乡镇至少一 名!则不同的分配方案有 种"用数字作答#! (!中小学校车安全引起社会的关注!为了彻底消除校车安 全隐患!某市购进了'1台完全相同的校车!准备发放给 !1所学校!每所学校至少"台!则不同的发放方案种数为 " # ,-/* (! .-/* %+ /-/* (1 0-/* %* 多面手问题 "例!# 有!!名外语翻译人员!其中'名是英语译员! (名是日语译员!另外两名英$日都精通!从中找出+人!使 在运动会上!某代表队中赛艇运动员有!1人!%人会划 右舷!"人会划左舷!其余'人左右两舷都会划!现要从中选 )人上艇!平均分配在两舷上划桨!有多少种不同的选法) 不同元素分组)分配问题 "例"# )本不同的书!按下列要求各有多少种不同的 选法( "!#分给甲$乙$丙三人!每人两本, ""#分为三份!每份两本, "%#分为三份!一份一本!一份两本!一份三本, (分组)与(分配)问题的解法 !!本题中的每一个小题都提出了一种类型的问题!搞 清楚类型的归属对解题大有裨益!要分清是分组问 题还是分配问题!这个是很关键的! "!分组问题属于(组合)问题!常见的分组问题有三种+ !完全均匀分组!每组的元素个数均相等!最后必须 除以组数的阶乘' "部分均匀分组!应注意不要重复!有#组均匀!最 后必须除以#,'

跟踪训练" 按下列要求把!"个人分成%个小组!各有多少种不同 的分法) "!#各组人数分别为"!(!)人, ""#平均分成%个小组, "%#平均分成%个小组!进入%个不同车间! 相同元素分配问题 "例%# )个相同的小球放入(个编号为!!"!%!(的盒 子!求下列方法的种数! "!#每个盒子都不空, ""#恰有一个空盒子, "%#恰有两个空盒子 隔板!相邻两块隔板形成一个(盒)!每一种插入隔 板的方法对应着小球放入盒子的一种方法!此法称 之为隔板法!隔板法专门解决相同元素的分配 问题! ""$将#个相同的元素分给" 个不同的对象"#+"$! 有/"3! #3! 种方法!可描述为#3!个空中插入"3! 块板! 跟踪训练% 将(个编号为!!"!%!(的小球放入(个编号为!!"!%! (的盒子中! "!#每盒至多一球!有多少种放法) ""#每个盒内放一个球!并且恰好有一个球的编号与盒 子的编号相同!有多少种放法) "%#把(个不同的小球换成(个相同的小球!恰有一个 空盒!有多少种放法) "(#把(个不同的小球换成"1个相同的小球!要求每个 盒内的球数不少于它的编号数!有多少种放法) 排列)组合的综合应用 "例(# 有'个男生和%个女生!从中选出'人担任' 门不同学科的科代表!求分别符合下列条件的选法数! "!#有女生但人数必须少于男生, ""#某女生一定担任语文科代表, "%#某男生必须包括在内!但不担任数学科代表, "(#某女生一定要担任语文科代表!某男生必须担任科 代表!但不担任数学科代表 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % % % % ! 拓展提升! 解决排列*组合综合问题要遵循的两个原则 "!$按事情发生的过程进行分步' ""$按元素的性质进行分类!解决时通常从三个途径 考虑+ !以元素为主考虑!即先满足特殊元素的要求!再 考虑其他元素' "以位置为主考虑!即先满足特殊位置的要求!再 考虑其他位置' #先不考虑附加条件!计算出排列或组合数!再减 去不合要求的排列或组合数! 跟踪训练( 有(张分别标有数字!!"!%!(的红色卡片和(张分别 标有数字!!"!%!(的蓝色卡片!从这+张卡片中取出(张卡 片排成一行!如果取出的(张卡片所标的数字之和等于!1! 则不同的排法共有多少种 # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # # #

第 六 章 "!#解答排列组合综合性问题的整体思路(一般思路方 法是先选元素"组合#!后排列!按元素的性质*分类+和按事 件发生的连续过程*分步+!总的来说是(!整体分类,"局 部分步,#辩证地看元素的位置,$一些具体问题要把它抽 象成组合模型! ""#分组$分配问题(分组问题和分配问题是有区别的! 前者组与组之间只要元素个数相同!是不可区分的!而后者 即使两组元素个数相同!但因元素不同!仍然是可区分的! !!%名医生和)名护士被分配到%所校为生体检!每校分 配!名医生和"名护士!不同分配方法共有 " # ,-*1种 .-!+1种 /-"21种 0-'(1种 "!用黄$蓝$白三种颜色粉刷)间办公室!一种颜色粉刷% 间!一种颜色粉刷"间!一种颜色粉刷!间!则粉刷这)间 办公室!不同的安排方法有 " # ,- /% )/" %/! ! ,% % .-/% )/" %/! ! /-/% )/" %/! !,% % 0-,% )," %,! ! %!某交通岗共有%人!从周一到周日的七天中!每天安排一人 值班!每人至少值"天!其不同的排法共有 种) (!北京市某中学要把*台型号相同的电脑送给西部地区的 三所希望小学!每所小学至少得到"台!共有 种 不同送法! !!理解二项式定理及二项展开式的特征!掌 握二项式定理和二项展开式的通项公式! "!正确运用二项展开式展开或化简某些二 项式!运用通项求某些特定项$二项式系 数或项的系数! %!能解决与二项式定理有关的简单问题! 利用数学 抽象提升 数学运算 新知初探 知识点二项式定理及其相关概念 !!二项式定理( 公式"'$(## # !称为二项式定理 "! 叫二项式系数!注意与 的区别-

"!#二项式""槡)3! )#) 的展开式中第)项的二项式系 数和第)项的系数分别为 ! ! ""#")3! )#* 的展开式中)% 的系数为 ! "%#二项式"") 3 ! ")#) 的展开式中的常数项 为 ! !!求二项展开式的特定项的常用方法 "!#对于常数项!隐含条件是字母的指数为1"即1次 项#, ""#对于有理项!一般是先写出通项公式!其所有的字 母的指数恰好都是整数的项!解这类问题必须合并通项公 式中同一字母的指数!根据具体要求!令其属于整数!再根 据数的整除性来求解, "%#对于二项展开式中的整式项!其通项公式中同一字 母的指数应是非负整数!求解方式与求有理项一致! "!要牢记/5 #'#35 (5 是展开式的第5$!项!而非第5项! %!对于非二项式的展开式问题可借助其原理求解! !!")3!

第 六 章 !!$!# 二项式系数的性质 学习目标 核心素养 !!了解杨辉三角!会用杨辉三角求二项式乘 方次数不大时的各项的二项式系数! "!理解二项式系数的性质并灵活运用! 利用直观 想象提升 数学运算 新知初探 !!杨辉三角的特点 "!#在同一行中!每行两端都是 !与这两个! 等距离的项的系数 ! ""#在相邻的两行中!除! 以外的每一个数都等于它 *肩上+两个数的 !即/5

"%$(赋值法)是解决二项展开式中项的系数常用的方 法!根据题目要求!灵活赋给字母不同值!一般地! 要使展开式中项的关系变为系数的关系!令)#1 可得常数项!令)#!可得所有项系数之和!令)# 3!可得偶次项系数之和与奇次项系数之和的差! 跟踪训练" 若"!$)#)"!3")#'#'1$'!)$'")"$/$'!!)!!!求 "!#'!$'"$'%$/$'!!! 系数的性质对"'$($# 中的# 进行讨论!#为奇数时中 间两项的二项式系数最大'#为偶数时!中间一项的二 项式系数最大! 跟踪训练% 已知"槡)$" )"## 的展开式中!只有第)项的二项式系数 最大!求该展开式中所有有理项的个数, "!#二项式系数的性质可从杨辉三角中直观地看出! ""#求展开式中的系数或展开式中的系数的和$差的关 键是给字母赋值!赋值的选择则需根据所求的展开式系数 和特征来确定!一般地对字母赋的值为1!!或3!!但在解决 具体问题时要灵活掌握! "%#注意以下两点(!区分开二项式系数与项的系数! "求解有关系数最大时的不等式组时!注意其中*&&1!!! "!/!#'的范围! !!"!3)#) 的展开式中!)的奇次项系数之和是 " # ,-%" .-3%" /-1 0-3)(

%!求解有关系数最大时建立的不等式组中!注意其中 ! 初试身手 !!关于下列"'3(#!1的说法!错误的是 " # ,-展开式中的二项式系数之和是!1"( .-展开式的第)项的二项式系数最大 /-展开式的第'项或第2项的二项式系数最大 0-展开式中第)项的系数最小 "!在"!3)%#"!$)#!1的展开式中)' 的系数是 " # ,-3"*2 .-3"'" /-"*2 0-"12

$ $ $ $ $ $ $ $ $ $ % % % % ! 规律方法!利用二项式定理解决整除性问题时! 关键是要巧妙地构造二项式!其基本思路是+要证明一 个式子能被另一个式子整除!只需证明这个式子按二 项式定理展开后的各项均能被另一个式子整除即可! 因此!一般要将被除式化为含有相关除式的二项式!然 后再展开!此时常采用(配凑法)(消去法)配合整除的 有关知识来处理! 跟踪训练% "!#用二项式定理证明( **!13!能被!111整除! ""#"%13%除以2的余数为 ! !!两个二项展开式乘积的展开式中的特定项问题 "!#分别对每个二项展开式进行分析!发现它们各自项 的特点! ""#找到构成展开式中特定项的组成部分! "%#分别求解再相乘!求和即得! "!三项或三项以上的展开问题 应根据式子的特点!转化为二项式来解决"有些题目也 可转化为计数问题解决#!转化的方法通常为配方$因式分 解$项与项结合!项与项结合时要注意合理性和简捷性! %!通项公式是在"'$(## 这个标准形式下而言的!而"' 3(## 的二项展开式的通项公式是4*$!#"3!#* /* #'#3* (*"只 需把3(看成(代入二项式定理#!这与4*$!#/* #'#3* (* 是不 同的!在这里对应项的二项式系数是相等的!都是/* #!但项

的展开式中)的系数 # # # # # # # # # # # # # ! 章末复习 !!分类和分步计数原理 "!#两个原理的共同之处是研究做一件事!完成它共有 的方法种数!而它们的主要差异是*分类+与*分步+! ""#分类加法计数原理的特点(类与类相互独立!每类 方案中的每一种方法均可独立完成这件事"可类比物理中 的*并联电路+来理解#! "%#分步乘法计数原理的特点(步与步相互依存!且只 有所有的步骤均完成了"每步必不可少#!这件事才算完成 "可类比物理中的*串联电路+来理解#! "!解决排列组合应用题的原则 解决排列组合应用题的原则有特殊优先的原则$先取 后排的原则$正难则反的原则$相邻问题*捆绑+处理的原 则$不相邻问题*插空+处理的原则! "!#特殊优先的原则(这是解有限制条件的排列组合问 题的基本原则之一!对有限制条件的元素和有限制条件的 位置一定要优先考虑! ""#正难则反的原则(对于一些情况较多$直接求解非 常困难的问题!我们可以从它的反面考虑!即利用我们平常 所说的间接法求解! "%#相邻问题*捆绑+处理的原则(对于某几个元素要求 相邻的排列问题!可先将相邻的元素*捆绑+起来看成一个 元素与其他元素排列!然后将相邻元素进行排列! "(#不相邻问题*插空+处理的原则(对于某几个元素不 相邻的排列问题!可先将其他元素排好!然后再将不相邻的 元素在这些排好的元素之间及两端插入! "'#指标问题采用*挡板法+ 把问题转化为(把#个相同元素分成" 个组的分法!这 相当于#个相同元素的每两个元素之间共#3!个空!任插 "3!个板子的插法数!即/"3! #3! 种! ")#先取后排的原则(对于较复杂的排列组合问题!常 采用*先取后排+的原则!即先取出符合条件的元素!再按要 求进行排列! "2#定序问题倍缩$空位插入原则 定序问题可以用倍缩法!还可转化为占位插空模型 处理! "+#分排问题直排原则 一般地!对于元素分成多排的排列问题!可先转化为一 排考虑!再分段研究! "*#小集团问题先整体后局部原则 小集团排列问题中!先整体后局部!再结合其他策略进 行处理! "!1#构造模型原则

"%#对于二项式系数问题!应注意以下几点( !求二项式所有项的系数和!可采用*特殊值取代法+! 通常令字母变量的值为!, "关于组合恒等式的证明!常采用*构造法+000构造 函数或构造同一问题的两种算法, #证明不等式时!应注意运用放缩法! "(#求二项展开式中指定的项!通常是先根据已知条件 求*!再求4*$!!有时还需先求#!再求*!才能求出4*$!! "'#有些三项展开式问题可以通过变形变成二项式问 题加以解决,有时也可以通过组合解决!但要注意分类清 楚!不重不漏! ")#对于二项式系数问题!首先要熟记二项式系数的性 质!其次要掌握赋值法!赋值法是解决二项式系数问题的一 个重要手段! "2#近似计算要首先观察精确度!然后选取展开式中若 干项! "+#用二项式定理证明整除问题!一般将被除式变为有 关除式的二项式的形式再展开!常采用*配凑法+*消去法+ 配合整除的有关知识来解决! 一两个计数原理 !!应用分类加法计数原理!应准确进行*分类+!明确分 类的标准(每一种方法必属于某一类"不漏#!任何不同类的 两种方法是不同的方法"不重#!每一类中的每一种方法都 能独立地*完成这件事情+! "!应用分步乘法计数原理!应准确理解*分步+的含义!完成 这件事情!需要分成若干步骤!只有每个步骤都完成了!这 件事情才能完成! "例!# "!#某地政府召集'家企业的负责人开会!其 中甲企业有"人到会!其余(家企业各有!人到会!会上有 %人发言!则这%人来自%家不同企业的可能情况的种数为 " # ,-!( .-!) /-"1 0-(+ ""#一个地区分为'个行政区域"如图所示#!现给地图 以上两题容易错解的原因+ "!$忽视其中一人既会英语*又会日语这一隐含条件! 从而导致错解! ""$分步的依据应该是(信)而不应该是(信箱)!导致错 解! 二排列与组合 区分排列与组合的重要标志是*有序+与*无序+!有序 的问题属于排列问题!无序的问题属于组合问题!在解决排 列组合应用题时常用如下解题策略( !特殊元素优先安排的策略, "合理分类和准确分步的策略, #排列$组合混合问题先选后排的策略, $正难则反$等价转化的策略, %相邻问题捆绑处理的策略, &不相邻问题插空处理的策略, '定序问题除法处理的策略, (分排问题直排处理的策略, )*小集团+排列问题中先整体后局部的策略, *构造模型的策略! "例%# 五位老师和五名学生站成一排! "!#五名学生必须排在一起共有多少种排法) ""#五名学生不能相邻共有多少种排法)

规律方法!排列与组合的综合问题!首先要分清 何时为排列!何时为组合!对含有特殊元素的排列*组 合问题!一般先进行组合!再进行排列!对特殊元素的 位置有要求时!在组合选取时!就要进行分类讨论!分 类的原则是不重*不漏!在用间接法计数时!要注意考 虑全面!排除干净! 三二项式定理的应用 对于二项式定理的考查常出现两类问题!一类是直接 运用通项公式来求特定项!另一类!需要运用转化思想化归 为二项式定理来处理问题!从近几年高考命题趋势来看!对 于本部分知识的考查以基础知识和基本技能为主!难度不 大!但不排除与其他知识的交汇!具体归纳如下( "!#考查通项公式问题! ""#考查系数问题( !涉及项的系数$二项式系数以及系数的和, "一般采用通项公式或赋值法解决! "%#可转化为二项式定理解决问题! "例)# 已知在"槡)3 " 槡% ) ## 的展开式中!第'项的系数

$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ % % % % ,-3(1 .-3"1 /-"1 0-(1 规律方法!求几个二项式积的展开式中某项的系 数或特定项时!一般要根据这几个二项式的结构特征 进行分类搭配!分类时要抓住一个二项式逐项分类!分 析其他二项式应满足的条件!然后再求解结果!此法易 出现分类搭配不全!运算失误等错误! "例*#

第 七 章 随 机 变 量 的 基 体 分 布 !# 随机变量及其分布 (!"!" 条件概率!一" 学习目标 学科素养 !!结合古典概型!了解条件概率的定义! "!掌握条件概率的计算方法! %!利用条件概率公式解决一些简单的实 际问题! 利用数学抽 象发展教学 建模提升数 学运算 新知初探 知识点一条件概率 !!一般地!设&!- 为两个事件!且0"&#*1!称0"-- &## 为在事件 发生的条件下!事件 发生的条件概率!0"--&#读作 发生的条件下 发生的概率! !11件产品中有*%件产品的长度合格!*1件产品的质 量合格!+'件产品的长度$质量都合格! 令&#&产品的长度合格'!-#&产品的质量合格'!&- #&产品的长度$质量都合格'! 思考! !!任何事件的条件概率都在 之间!即 ! "!如果- 和. 是两个互斥事件!则0"-/.-&## ! 初试身手 !!某地区气象台统计!该地区下雨的概率是( !'!刮风的概率 为 " # ,-+ ""' .- ! " /- % + 0- % ( "!某人一周晚上值班两次!在已知他周日一定值班的条件 下!他在周六晚上或周五晚上值班的概率为 %!(!见学科网暂无

张奖券中有张*中奖+奖券!甲乙两人先后参加抽奖活 动!每人从中不放回抽取一张奖券!甲先抽!乙后抽!在甲中 奖条件下!乙没有中奖的概率为 " # ,- % ' .- " % /- % ( 0- ( !' 命题角度" 缩小样本空间求条件概率 "例"# 一个盒子内装有(个产品!其中%个一等品!! 个二等品!从中取两次!每次任取!个!做不放回抽取!设事 件& 缩小为事件&!原来 的事件- 缩小为&-! ""$数+数出& 中事件&- 所包含的基本事件! "%$算+利用0"--&$##"&-$ #"&$求得结果! 跟踪训练" 在一个坛子中装有个除颜色外完全相同的玻璃球!其 中有个红球!个蓝球!个黄球!个绿球!现从中任取一球后不 放回!再取一球!则已知第一个球为红色的情况下第二个球 为黄色的概率为 规律方法! 条件概率的性质及应用 "!$利用公式0"-/.-&$#0"--&$$0".-&$可使条 件概率的计算较为简单!但应注意这个性质的使用 前提是(- 与. 互斥)! ""$为了求复杂事件的概率!往往需要把该事件分为两 个或多个互斥事件!求出简单事件的概率后!相加 即可得到复杂事件的概率! 跟踪训练( 在某次考试中!要从"1道题中随机地抽出)道题!若考 生至少能答对其中(道题即可通过!至少能答对其中'道题 就获得优秀!已知某考生能答对其中!1道题!并且知道他 在这次考试中已经通过!求他获得优秀成绩的概率! !!条件概率定义 "!条件概率公式 %!条件概率的简单应用 !!在一个盒子中有大小一样的"1个球!其中!1个红球!!1 个白球!则在第一个人摸出个红球的条件下!第二个人摸 出!个白球的概率为 " # ,- !1 !* .- '

第 七 章 随 机 变 量 的 基 体 分 布 %!为了提升全民身体素质!学校十分重视学生体育锻炼!某 校篮球运动员进行投篮练习!若他前一球投进则后一球 也投进的概率为% (!若他前一球投不进则后一球投进的 概率为! ( 若他第!球投进的概率为% (!则他第"球投进 的概率为 " # ,- % ( .- ' + /- 2 !) 0- * !) (!某种电子元件用满%111小时不坏的概率为% (!用满+ 111小时不坏的概率为! "!现有一只此种电子元件!已经 用满%111 小时不坏!还能用满+111 小时的概率 是 ! '!考虑恰有两个小孩的家庭! "!#若已知某家有男孩!求这家有两个男孩的概率, ""#若已知某家第一个是男孩!求这家有两个男孩"相当 于第二个也是男孩#的概率"假定生男生女为等可能# # # # # # # # # # # # # # # # # ! (!"!" 条件概率!二" 学习目标 学科素养 !!结合古典概型!了解条件概率的定义! "!掌握条件概率的计算方法! %!利用条件概率公式解决一些简单的实际 问题! 转化化归 对立统一 的数学思 想与素养 新知初探 知识点一条件概率的概念 一般地!设&!- 为两个随机事件!且0"&#*1!我们称 0"--&## 表示事件*抽到的两名医生性别相同+!- 表示 事件*抽到的两名医生都是女医生+!则0"--&##" # ,- ! % .- ( 2 /- " % 0- % ( 条件概率的定义及计算 命题角度! 利用定义求条件概率 "例!# 现有)个节目准备参加比赛!其中(个舞蹈节 目!"个语言类节目!如果不放回地依次抽取"个节目!求 "!#第!次抽到舞蹈节目的概率,

个公式适用于一般情形!其中&- 表示&!- 同时 发生! 跟踪训练! 篮子里装有"个红球!%个白球和(个黑球!某人从篮 子中随机取出两个球!记事件& 为*取出的两个球颜色不 同+!事件- 为*取出一个红球!一个白球+!则0"--&#等于 " # ,- ! ) .- % !% /- ' * 0- " % 命题角度" 缩小样本空间求条件概率 "例"# 集合&#&!!"!%!(!'!)'!甲$乙两人各从& 中 任取一个数!若甲先取"不放回#!乙后取!在甲抽到奇数的 条件下!求乙抽到比甲抽到的数大的概率! 延伸探究 !!在本例条件下!求乙抽到偶数的概率! "!若甲先取"放回#!乙后取!若事件&(*甲抽到的数大 于(+,事件-(*甲$乙抽到的两数之和等于2+!求0"--&# 若件产品中包含)件一等品!在其中任取"件!则在已 知取出的"件中有!件不是一等品的条件下!另!件是一等 品的概率为 " # ,- % 2 .- ( ' /- ) 2 0- !" !% 条件概率的性质及应用 "例(# 在某次考试中!要从"1道题中随机抽出)道 题!若考生至少能答对其中(道题即可通过!至少能答对其 中'道题就获得优秀!已知某考生能答对其中!1道题!并且

第 七 章 随 机 变 量 的 基 体 分 布 跟踪训练( 有圆形零件!11个!其中有*+个直径合格!有*)个光 洁度合格!指标都合格的有*(个!从这!11个零件中!任意 抽取!个! "!#如果此零件光洁度合格!求直径也合格的概率"结 果保留三位小数#! ""#如果此零件直径合格!求光洁度也合格的概率"结 果保留三位小数#! !!知识清单( !!一个盒子里装有大小$形状$质地相同的!"个球!其中黄 球'个!篮球(个!绿球%个现从盒子中随机取出两个球! 记事件& 为*取出的两个球颜色不同+!事件- 为*取出一 个黄球!一个绿球+!则0"--&## " # ,- !" (2 .- " !! /- "1 (2 0- !' (2 "!市场上供应的灯泡中!甲厂产品占217!乙厂产品占 %17!甲厂产品的合格率是*'7!乙厂产品的合格率是 +17!则从市场上买到的一个甲厂的合格灯泡的概率是 " # ,-1!))' .-1!')( /-1!"(' 0-1!"+' %!投掷两颗均匀的骰子!已知点数不同!设两颗骰子点数之 和小于等于)的概率为 ! (!多选为庆祝建党!11周年!讴歌中华民族实现伟大复兴 的奋斗历程!增进全体党员干部职工对党史知识的了解! 件概率的 " # "(#一个盒子有)个白球!(个黑球!不放回每次取一个! 连取"次则第二次取到白球的概率为1!) " # "!有%台车床加工同一型号的零件!第!台加工的次品率为 )7!第"!%台加工的次品率均为'7!加工出来的零件混 放在一起!已知第!!"!%台车床的零件数分别占总数的 "'7!%17!('7!则下列选项正确的有 " # ,-任取一个零件是第台生产出来的次品概率为 .-任取一个零件是次品的概率为 /-如果取到的零件是次品!且是第台车床加工的概率为 0-如果取到的零件是次品!且是第台车床加工的概率为 %!根据以往的临床记录!某种诊断癌症的试验有如下的效 果(若以& 表示事件*试验反应为阳性+!以. 表示事件 *被诊断者患有癌症+!则有0"&-.##18*'!0"&-.# # # # # # # # # # # # # # # #

18*'!现在对自然人群进行普查!设被试验的人患有癌症 的概率为9:99;!即0".##1811'!则0".-&## !"精确到1811!# (!某仓库有同样规格的产品!"箱!其中)箱$(箱$"箱依次 是由甲$乙$丙三个厂生产的!且三个厂的次品率分别为 ! !1!! !(!! !+!现从这!"箱中任取一箱!再从取得的一箱中 任意取出一个产品! "!#取得的一个产品是次品的概率为 ! ""#若已知取得一个产品是次品!则这个次品是乙厂生产 的概率是 !"精确到1811!# '!一学生接连参加同一课程的两次考试!若第一次考试及 格的概率为<!第一次考试及格且第二次考试及格的概率 也为<!第一次考试不及格且第二次考试及格的概率为 < "!求该学生第二次考试及格的概率! 两个事件的全概率问题 "例!# 玻璃杯成箱出售!每箱"1只!假设各箱含1!!!"只残次 品的概率分别为18+!18!!18!!一顾客欲购一箱玻璃杯!售 货员随意取一箱!顾客开箱随意地察看四只!若无残次品! 则买下该箱!否则退回!试求( "!#顾客买下该箱的概率!, ""#在顾客买下的一箱中!求无残次品的概率"! 多个事件的全概率问题 "例"# 假设某市场供应的智能手机中!市场占有率和 优质率的信息如下表所示( 品牌 规律方法! (化整为零)求多事件的全概率问题 !!如图!0"-$#错误, "&$$0"--&$$! "!已知事件- 的发生有各种可能的情形&$"$#!!"! #!#$!事件- 发生的可能性!就是各种可能情形&$ 发生的可能性与已知在&$ 发生的条件下事件- 发 生的可能性的乘积之和! 跟踪训练" 根据以往的临床记录!某种诊断癌症的试验具有如下

第 七 章 随 机 变 量 的 基 体 分 布 条件概率在生产生活中的应用 "例%# 设某批产品中!甲$乙$丙三厂生产的产品分别 点('7!%'7!"17!各厂的产品的次品率分别为(7!"7! '7!现从中任取一件! "!#求取到的是次品的概率, ""#经检验发现取到的产品为次品!求该产品是甲厂生 产的概率 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ 三家的正品率分别为1!*'!1!*1!1!+1!三家产品数所占比 例为"6%6'!混合在一起! "!#从中任取一件!求此产品为正品的概率, ""#现取到一件产品为正品!问它是由甲$乙$丙三个厂 中哪个厂生产的可能性大) !!知识清单( "!#全概率公式! ""#贝叶斯公式! "!方法归纳(化整为零$转化化归! %!常见误区(事件拆分不合理或不全面! !!有%台车床加工同一型号的零件!第!台加工的次品率为 )7!第"!%台加工的次品率均为'7!加工出来的零件混 放在一起!已知第!!"!%台车床加工的零件数分别占总 数的"'7!%17!('7! "!#任取一个零件!计算它是次品的概率, ""#如果取到的零件是次品!计算它是第$"$#!!"!%#台车 床加工的概率! "!有三个同样的箱子!甲箱中有"只红球!)只白球!乙箱中 有)只红球!(只白球!丙箱中有%只红球!'只白球! "!#随机从甲$乙$丙三个箱子中各取一球!求三球都为红 球的概率, ""#从甲!乙$丙中随机取一箱!再从该箱中任取一球!求 该球为红球的概率! %!有一批同一型号的产品!已知其中由一厂生产的占%17! 二厂生产的占'17!三厂生产的占"17!又知这三个厂的 产品次品率分别为"7!!7!!7!则从这批产品中任取一 件是次品的概率是 " # ,-1!1!% .-1!1( /-1!11" 0-1!11% (!设'支枪中有"支未经试射校正!%支已校正!一射手用 校正过的枪射击!中靶率为18*!用未校正过的枪射击!中 靶率为18(! "!#该射手任取一支枪射击!中靶的概率是多少) ""#若任取一支枪射击!结果未中靶!求该枪未校正的 概率! '!一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病!在患有此种

(!# 离散型随机变量及其分布列 学习目标 学科素养 !!理解随机变量及离散型随机变量的含义! "!了解随机变量与函数的区别与联系! %!掌握离散型随机变量分布列的表示方法 和性质! (!理解两点分布! 转化化归 对应统一 的思想 新知初探 知识点一随机变量的概念)表示及特征 !!概念(一般地!对于随机试验样本空间+ 中的每个样 本点#都有 的实数="##与之对应!我们称= 为随 机变量! "!表示(用 表示随机变量!如=!>!?,用 表示随机变量的取值!如)!+!8! %!特征(随机试验中!每个样本点都有唯一的一个实数 与之对应!随机变量有如下特征( "!#取值依赖于 ! ""#所有可能取值是 ! 知识点二离散型随机变量 可能取值为 或可以 的随机变量!我 们称之为离散型随机变量! 知识点三离散型随机变量的分布列及其性质 # "%#!离散型随机变量是指某一区间内的任意值! " # "(#!手机电池的使用寿命= 是离散型随机变量! " # "!在一次比赛中!需回答三个问题!比赛规定(每题回答正 确得!11分!回答不正确得3!11分!则选手甲回答这三 个问题的总得分$的所有可能取值的个数是 " # ,-! .-" /-% 0-( %!袋中有大小相同的'个球!分别标有!!"!%!(!'五个号 码!现在在有放回抽取的条件下依次取出两个球!设两个 球的号码之和为随机变量=!则= 所有可能取值的个数 是 " # ,-' .-* /-!1 0-"' (!下列叙述中!是离散型随机变量的为 " # ,-某单位下个月的用水量 .-把一杯开水置于空气中!让它自然冷却!每一时刻它的 温度 /-公交车司机下周一收取的费用 0-袋中有"个黑球!)个红球!任取"个!取得!个红球的 可能性 '!已知下列随机变量( !!1件产品中有"件次品!从中任选%件!取到次品的件 数=, "一位射击手对目标进行射击!击中目标得!分!未击中 目标得1分!该射击手在一次射击中的得分=, #一天内的温度=, $在体育彩票的抽奖中!一次摇号产生的号码数=! 其中= 是离散型随机变量的是 " # ,-!"# .-!"$ /-"#$ 0-#$ 随机变量的概念及分类 "例!#

能一一列出!则该随机变量是离散型随机变量!否 则不是! 跟踪训练! 指出下列变量中!哪些是随机变量!哪些不是随机变 量!并说明理由! "!#从!1张已编好号码的卡片"!号到!1号#中任取一 张!被取出的卡片的号数, ""#一个袋中装有'个白球和'个黑球!从中任取%个! 其中所含白球的个数, "%#某林场的树木最高达%1 4!则此林场中树木的 高度, "(#某加工厂加工的某种铜管的外径与规定的外径尺 寸之差! 求离散型随机变量的分布列 "例"# 一个箱子里装有'个大小相同的球!有%个白 球!"个红球!从中摸出"个球! "!#求摸出的"个球中有!个白球和!个红球的概率, ""#用= 表示摸出的"个球中的白球个数!求= 的分布 列 $$$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ $ $$$$$$$$$$$$$$$$$$$ $ $ $ $ $ $ % % % % ! 规律方法! 求离散型随机变量的分布列关键有三点 "!$随机变量的取值! ""$每一个取值所对应的概率! "%$用所有概率之和是否为!来检验! 跟踪训练" 连续抛掷两枚质地均匀的骰子!所得点数之差是一个 随机变量=!则0"3('='(## ! 分布列的性质及应用 "例%# 设随机变量= 概率分布0 要注意检验!以保证每个概率值均为非负数! ""$求随机变量在某个范围内的概率时!根据分布列! 将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可!其 依据是互斥事件的概率加法公式! 跟踪训练% 抛掷两枚骰子各一次!记第一枚骰子掷出的点数减去 第二枚骰子掷出的点数的值为$!则*$*(+表示试验的结果 为 " # ,-第一枚为'点!第二枚为!点 .-第一枚大于(点!第二枚也大于(点 /-第一枚为)点!第二枚为!点 0-第一枚为(点!第二枚为!点 !!知识清单( "!#随机变量的概念$特征! ""#离散型随机变量的概念! "%#离散型随机变量的分布列的概念及其性质! "(#两点分布! "!方法归纳(转化化归! %!常见误区(随机变量的取值不明确导致分布列求解 错误! !!下列表格中!不是某个随机变量的分布列的是 " # ,- = 1 ! " 0 1!2 1!!'

# # # # # # # # # # # # # # # !/ 第#课时 """"""""""""""""""""""""""""""" 离散型随机变量的分布列及两点分布 学习目标 学科素养 !!通过具体实例!理解离散型 随机变量的分布列! "!掌握离散型随机变量分布 列的表示方法和性质! 通过研究离散型随机变 量的分布列及其性质! 进一步提升数学抽象及 逻辑推理素养! 新知初探 !!离散型随机变量的分布列 离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这 个范围内各值的概率之和 "!#离散型随机变量的分布列 一般地!设离散型随机变量= 的可能取值为)!!)"!/! )#!我们称= 取每一个值)$ 的概率0"=#)$##<$!$#!!"! /!#为= 的 列!简称为 ! ""#可以用表格来表示= 的分布列!如下表 = )! )" / )@ / )# 0 ""#在离散型随机变量分布列中!在某一范围内取值的概 率等于它取这个范围内各值的概率之积! " # 提示!在离散型随机变量分布列中!在某一范围内取值的 概率等于它取这个范围内各值的概率之和! "%#在离散型随机变量分布列中!所有概率之和为!! " # "(#离数型随机变量是在某一范围内的任意值 " # "!设离散型随机变量= 的概率分布列如下表( = ! " % ( 0 ! ) !