高中的集合元素怎么区分?

  上学期间,大家都没少背知识点吧?知识点是知识中的最小单位,最具体的内容,有时候也叫“考点”。哪些才是我们真正需要的知识点呢?以下是小编帮大家整理的数学知识点,欢迎阅读,希望大家能够喜欢。

  1.对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么f(x)为奇函数;

  2.对于函数f(x),如果对于定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),那么f(x)为偶函数;

  4.一般地,对于函数y=f(x),定义域内每一个自变量x都有f(a+x)=f(a-x),则它的图象关于x=a成轴对称。

  5.函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质;

  6.由函数奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一个x,则-x也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称).

  一、充分条件和必要条件

  当命题“若A则B”为真时,A称为B的充分条件,B称为A的必要条件。

  二、充分条件、必要条件的常用判断法

  1.定义法:判断B是A的条件,实际上就是判断B=>A或者A=>B是否成立,只要把题目中所给的条件按逻辑关系画出箭头示意图,再利用定义判断即可

  2.转换法:当所给命题的充要条件不易判断时,可对命题进行等价装换,例如改用其逆否命题进行判断。

  在命题的条件和结论间的关系判断有困难时,可从集合的角度考虑,记条件p、q对应的集合分别为A、B,则:

  1.四种命题反映出命题之间的内在联系,要注意结合实际问题,理解其关系(尤其是两种等价关系)的产生过程,关于逆命题、否命题与逆否命题,也可以叙述为:

  (1)交换命题的条件和结论,所得的新命题就是原来命题的逆命题;

  (2)同时否定命题的条件和结论,所得的新命题就是原来的否命题;

  (3)交换命题的条件和结论,并且同时否定,所得的新命题就是原命题的逆否命题。

  2.由于“充分条件与必要条件”是四种命题的关系的深化,他们之间存在这密切的联系,故在判断命题的条件的充要性时,可考虑“正难则反”的原则,即在正面判断较难时,可转化为应用该命题的逆否命题进行判断。

  一个结论成立的充分条件可以不止一个,必要条件也可以不止一个。

  第一、高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节。

  主要是考函数和导数,这是我们整个高中阶段里最核心的板块,在这个板块里,重点考察两个方面:第一个函数的性质,包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题,重点考察的是二次函数和高次函数,分函数和它的一些分布问题,但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题,这是第一个板块。

  第二、平面向量和三角函数。

  重点考察三个方面:一个是划减与求值,第一,重点掌握公式,重点掌握五组基本公式。第二,是三角函数的图像和性质,这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质,第三,正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。

  数列这个板块,重点考两个方面:一个通项;一个是求和。

  第四、空间向量和立体几何,在里面重点考察两个方面:一个是证明;一个是计算。

  第五、概率和统计。

  这一板块主要是属于数学应用问题的范畴,当然应该掌握下面几个方面,第一……等可能的概率,第二………事件,第三是独立事件,还有独立重复事件发生的概率。

  这是我们比较头疼的问题,是整个试卷里难度比较大,计算量的题,当然这一类题,我总结下面五类常考的题型,包括:

  第一类所讲的直线和曲线的位置关系,这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法;

  第二类我们所讲的动点问题;

  第三类是弦长问题;

  第四类是对称问题,这也是20xx年高考已经考过的一点;

  第五类重点问题,这类题时往往觉得有思路,但是没有答案,

  当然这里我相等的是,这道题尽管计算量很大,但是造成计算量大的原因,往往有这个原因,我们所选方法不是很恰当,因此,在这一章里我们要掌握比较好的算法,来提高我们做题的准确度,这是我们所讲的第六大板块。

  考生在备考复习时,应该重点不等式计算的方法,虽然说难度比较大,我建议考生,采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。

  高考数学复习重点总结

  第一,高考数学中有函数、数列、三角函数、平面向量、不等式、立体几何等九大章节

  主要是考函数和导数,这是我们整个高中阶段里最核心的板块,在这个板块里,重点考察两个方面:第一个函数的性质,包括函数的单调性、奇偶性;第二是函数的解答题,重点考察的是二次函数和高次函数,分函数和它的一些分布问题,但是这个分布重点还包含两个分析就是二次方程的分布的问题,这是第一个板块。

  第二,平面向量和三角函数

  重点考察三个方面:一个是划减与求值,第一,重点掌握公式,重点掌握五组基本公式。第二,是三角函数的图像和性质,这里重点掌握正弦函数和余弦函数的性质,第三,正弦定理和余弦定理来解三角形。难度比较小。

  数列这个板块,重点考两个方面:一个通项;一个是求和。

  第四,空间向量和立体几何

  在里面重点考察两个方面:一个是证明;一个是计算。

  这一板块主要是属于数学应用问题的范畴,当然应该掌握下面几个方面,第一……等可能的概率,第二………事件,第三是独立事件,还有独立重复事件发生的概率。

  这是我们比较头疼的问题,是整个试卷里难度比较大,计算量的题,当然这一类题,我总结下面五类常考的题型,包括第一类所讲的直线和曲线的位置关系,这是考试最多的内容。考生应该掌握它的通法,第二类我们所讲的动点问题,第三类是弦长问题,第四类是对称问题,这也是20xx年高考已经考过的一点,第五类重点问题,这类题时往往觉得有思路,但是没有答案,当然这里我相等的是,这道题尽管计算量很大,但是造成计算量大的原因,往往有这个原因,我们所选方法不是很恰当,因此,在这一章里我们要掌握比较好的算法,来提高我们做题的准确度,这是我们所讲的第六大板块。

  考生在备考复习时,应该重点不等式计算的方法,虽然说难度比较大,我建议考生,采取分部得分整个试卷不要留空白。这是高考所考的七大板块核心的考点。

  1 分数加减法应用题:

  分数加减法的应用题与整数加减法的应用题的结构、数量关系和解题方法基本相同,所不同的只是在已知数或未知数中含有分数。

  2分数乘法应用题:

  是指已知一个数,求它的几分之几是多少的应用题。

  特征:已知单位1的量和分率,求与分率所对应的实际数量。

  解题关键:准确判断单位1的量。找准要求问题所对应的分率,然后根据一个数乘分数的意义正确列式。

  3 分数除法应用题:

  求一个数是另一个数的几分之几(或百分之几)是多少。

  特征:已知一个数和另一个数,求一个数是另一个数的几分之几或百分之几。一个数是比较量,另一个数是标准量。求分率或百分率,也就是求他们的倍数关系。

  解题关键:从问题入手,搞清把谁看作标准的数也就是把谁看作了单位一,谁和单位一的量作比较,谁就作被除数。

  甲是乙的几分之几(百分之几):甲是比较量,乙是标准量,用甲除以乙。

  甲比乙多(或少)几分之几(百分之几):甲减乙比乙多(或少几分之几)或(百分之几)。关系式(甲数减乙数)/乙数或(甲数减乙数)/甲数 。

  已知一个数的几分之几(或百分之几 ) ,求这个数。

  特征:已知一个实际数量和它相对应的分率,求单位1的量。

  解题关键:准确判断单位1的量把单位1的量看成x根据分数乘法的意义列方程,或者根据分数除法的意义列算式,但必须找准和分率相对应的已知实际

  发芽率=发芽种子数/试验种子数100%

  小麦的出粉率= 面粉的重量/小麦的重量100%

  产品的合格率=合格的产品数/产品总数100%

  职工的出勤率=实际出勤人数/应出勤人数100%

  是分数应用题的特例,它与整数的工作问题有着密切的联系。它是探讨工作总量、工作效率和工作时间三个数量之间相互关系的一种应用题。

  解题关键:把工作总量看作单位1,工作效率就是工作时间的倒数,然后根据题目的具体情况,灵活运用公式。

  工作总量=工作效率工作时间

  工作效率=工作总量工作时间

  工作时间=工作总量工作效率

  工作总量工作效率和=合作时间

  纳税就是把根据国家各种税法的有关规定,按照一定的比率把集体或个人收入的一部分缴纳给国家。

  缴纳的税款叫应纳税款。

  应纳税额与各种收入的(销售额、营业额、应纳税所得额 )的比率叫做税率。

  存入银行的钱叫做本金。

  取款时银行多支付的钱叫做利息。

  利息与本金的比值叫做利率。

  利息=本金利率时间

  (一) 什么是长度

  长度是一维空间的度量。

  (二) 长度常用单位

  (三) 单位之间的换算

  面积,就是物体所占平面的大小。对立体物体的表面的多少的测量一般称表面积。

  (二)常用的面积单位

  * 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米

  (三)面积单位的换算

  (一)什么是体积、容积

  体积,就是物体所占空间的大小。

  容积,箱子、油桶、仓库等所能容纳物体的体积,通常叫做它们的容积。

  * 立方米 * 立方分米 * 立方厘米

  2 容积单位 * 升 * 毫升

  * 1立方米=1000立方分米

  * 1立方分米=1000立方厘米

  * 1升=1立方米

  * 1毫升=1立方厘米

  质量,就是表示表示物体有多重。

  是指有起点和终点的一段时间

  世纪、 年 、 月 、 日 、 时 、 分、 秒

  * 一、三、五、七、八、十、十二是大月 大月有31 天

  * 四、六、九、十一是小月小月 小月有30天

  * 平年2月有28天 闰年2月有29天

  货币是充当一切商品的等价物的特殊商品。货币是价值的一般代表,可以购买任何别的商品。

  第三章 代数初步知识

  1 用字母表示数的意义和作用

  * 用字母表示数,可以把数量关系简明的表达出来,同时也可以表示运算的结果。

  2用字母表示常见的数量关系、运算定律和性质、几何形体的计算公式

  (1)常见的数量关系

  路程用s表示,速度v用表示,时间用t表示,三者之间的关系:

  总价用a表示,单价用b表示,数量用c表示,三者之间的关系:

  (2)运算定律和性质

  加法交换律:a+b=b+a

  乘法交换律:ab=ba

  (3)用字母表示几何形体的公式

  长方形的长用a表示,宽用b表示,周长用c表示,面积用s表示。

  正方形的边长a用表示,周长用c表示,面积用s表示。

  平行四边形的底a用表示,高用h表示,面积用s表示。

  三角形的底用a表示,高用h表示,面积用s表示。

  梯形的上底用a表示,下底b用表示,高用h表示,中位线用m表示,面积用s表示。

  圆的半径用r表示,直径用d表示,周长用c表示,面积用s表示。

  扇形的半径用r表示,n表示圆心角的度数,面积用s表示。

  长方体的长用a表示,宽用b表示,高用h表示,表面积用s表示,体积用v表示。

  正方体的棱长用a表示,底面周长c用表示,底面积用s表示, 体积用v表示.

  圆柱的高用h表示,底面周长用c表示,底面积用s表示, 体积用v表示.

  圆锥的高用h表示,底面积用s表示, 体积用v表示.

  3 用字母表示数的写法

  数字和字母、字母和字母相乘时,乘号可以记作.,或者省略不写,数字要写在字母的前面。

  当1与任何字母相乘时,1省略不写。

  在一个问题中,同一个字母表示同一个量,不同的量用不同的字母表示。

  用含有字母的式子表示问题的答案时,除数一般写成分母,如果式子中有加号或者减号,要先用括号把含字母的式子括起来,再在括号后面写上单位的名称。

  4将数值代入式子求值

  * 把具体的数代入式子求值时,要注意书写格式:先写出字母等于几,然后写出原式,再把数代入式子求值。字母表示的是数,后面不写单位名称。

  * 同一个式子,式子中所含字母取不同的数值,那么所求出的式子的值也不相同。

  (一)方程和方程的解

  1方程:含有未知数的等式叫做方程。

  注意方程是等式,又含有未知数,两者缺一不可。

  方程和算术式不同。算术式是一个式子,它由运算符号和已知数组成,它表示未知数。方程是一个等式,在方程里的未知数可以参加运算,并且只有当未知数为特定的数值时 ,方程才成立 。

  2 方程的解:使方程左右两边相等的未知数的值,叫做方程的解。

  解方程,求方程的解的过程叫做解方程。

  四、列方程解应用题

  1 列方程解应用题的意义

  * 用方程式去解答应用题求得应用题的未知量的方法。

  2 列方程解答应用题的步骤

  * 弄清题意,确定未知数并用x表示;

  * 找出题中的数量之间的相等关系;

  * 列方程,解方程;

  * 检查或验算,写出答案。

  3列方程解应用题的方法

  * 综合法:先把应用题中已知数(量)和所设未知数(量)列成有关的代数式,再找出它们之间的等量关系,进而列出方程。这是从部分到整体的一种 思维过程,其思考方向是从已知到未知。

  * 分析法:先找出等量关系,再根据具体建立等量关系的需要,把应用题中已知数(量)和所设的未知数(量)列成有关的代数式进而列出方程。这是从整体到部分的一种思维过程,其思考方向是从未知到已知。

  4列方程解应用题的范围

  小学范围内常用方程解的应用题:

  b和倍、差倍问题;

  c几何形体的周长、面积、体积计算;

  d 分数、百分数应用题;

  e 比和比例应用题。

  两个数相除又叫做两个数的比。

  :是比号,读作比。比号前面的数叫做比的前项,比号后面的数叫做比的后项。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

  同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商。

  比值通常用分数表示,也可以用小数表示,有时也可能是整数。

  比的后项不能是零。

  根据分数与除法的关系,可知比的前项相当于分子,后项相当于分母,比值相当于分数值。

  比的前项和后项同时乘上或者除以相同的数(0除外),比值不变,这叫做比的基本性质。

  (3) 求比值和化简比

  求比值的方法:用比的前项除以后项,它的结果是一个数值可以是整数,也可以是小数或分数。

  根据比的基本性质可以把比化成最简单的整数比。它的结果必须是一个最简比,即前、后项是互质的数。

  图上距离:实际距离=比例尺

  要求会求比例尺;已知图上距离和比例尺求实际距离;已知实际距离和比例尺求图上距离。

  线段比例尺:在图上附有一条注有数目的线段,用来表示和地面上相对应的实际距离。

  在农业生产和日常生活中,常常需要把一个数量按照一定的比来进行分配。这种分配的方法通常叫做按比例分配。

  方法:首先求出各部分占总量的几分之几,然后求出总数的几分之几是多少。

  2 比例的意义和性质

  (1) 比例的意义

  表示两个比相等的式子叫做比例。

  组成比例的四个数,叫做比例的项。

  两端的两项叫做外项,中间的两项叫做内项。

  在比例里,两个外项的积等于两个两个内向的积。这叫做比例的基本性质。

  根据比例的基本性质,如果已知比例中的任何三项,就可以求出这个数比例中的另外一个未知项。求比例中的未知项,叫做解比例。

  3 正比例和反比例

  (1) 成正比例的量

  两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就是商)一定,这两种量就叫做成正比例的量,他们的关系叫做正比例关系。

  用字母表示y/x=k(一定)

  (2)成反比例的量

  两种相关联的量,一种量变化,另一种量也随着变化,如果这两种量中相对应的两个数的积一定,这两种量就叫做成反比例的量,他们的关系叫做反比例关系。

  用字母表示xy=k(一定)

  ①不等式的性质可分为不等式基本性质和不等式运算性质两部分。

  不等式基本性质有:

  应注意,上述性质中,条件与结论的逻辑关系有两种:“”和“”即推出关系和等价关系。一般地,证明不等式就是从条件出发施行一系列的推出变换。解不等式就是施行一系列的等价变换。因此,要正确理解和应用不等式性质。

  ②关于不等式的性质的考察,主要有以下三类问题:

  (1)根据给定的不等式条件,利用不等式的性质,判断不等式能否成立。

  (2)利用不等式的性质及实数的性质,函数性质,判断实数值的大小。

  (3)利用不等式的性质,判断不等式变换中条件与结论间的充分或必要关系。

  高中数学集合复习知识点

  任一A,B,记做AB

  逆否命题若q,则p

  (2)AB,A是B成立的充分条件

  BA,A是B成立的必要条件

  AB,A是B成立的充要条件

  1.集合元素具有①确定性;②互异性;③无序性

  2.集合表示方法①列举法;②描述法;③韦恩图;④数轴法

  n元集合的字集数:2n

  真子集数:2n-1;

  非空真子集数:2n-2

  高中数学集合知识点归纳

  集合是数学中最原始的不定义的概念,只能给出,描述性说明:某些制定的且不同的对象集合在一起就称为一个集合。组成集合的对象叫元素,集合通常用大写字母A、B、C、…来表示。元素常用小写字母a、b、c、…来表示。

  集合是一个确定的整体,因此对集合也可以这样描述:具有某种属性的对象的全体组成的一个集合。

  2、元素与集合的关系元素与集合的关系有属于和不属于两种:

  元素a属于集合A,记做a∈A;元素a不属于集合A,记做a?A。

  3、集合中元素的特性

  (1)确定性:设A是一个给定的集合,_是某一具体对象,则_或者是A的元素,或者不是A的元素,两种情况必有一种且只有一种成立。例如A={0,1,3,4},可知0∈A,6?A。

  (2)互异性:“集合张的元素必须是互异的”,就是说“对于一个给定的集合,它的任何两个元素都是不同的”。

  (3)无序性:集合与其中元素的排列次序无关,如集合{a,b,c}与集合{c,b,a}是同一个集合。

  集合科根据他含有的元素个数的多少分为两类:

  有限集:含有有限个元素的集合。如“方程3_+1=0”的解组成的集合”,由“2,4,6,8,组成的集合”,它们的元素个数是可数的,因此两个集合是有限集。

  无限集:含有无限个元素的集合,如“到平面上两个定点的距离相等于所有点”“所有的三角形”,组成上述集合的元素不可数的,因此他们是无限集。

  特别的,我们把不含有任何元素的集合叫做空集,记错F,如{|R|+1=0}。

  5、特定的集合的表示

  为了书写方便,我们规定常见的数集用特定的字母表示,下面是几种常见的数集表示方法,请牢记。

  (1)全体非负整数的集合通常简称非负整数集(或自然数集),记做N。

  (2)非负整数集内排出0的集合,也称正整数集,记做N_或N+。

  (3)全体整数的集合通常简称为整数集Z。

  (4)全体有理数的集合通常简称为有理数集,记做Q。

  (5)全体实数的集合通常简称为实数集,记做R。

  小升初数学知识点定义定理公式:

  小学数学定义定理公式

  三角形的面积=底高2。公式S=ah2

  正方形的面积=边长边长公式S=aa

  长方形的面积=长宽公式S=ab

  平行四边形的面积=底高公式S=ah

  内角和:三角形的内角和=180度。

  长方体的体积=长宽高公式:V=abh

  长方体(或正方体)的体积=底面积高公式:V=abh

  正方体的体积=棱长棱长棱长公式:V=aaa

  圆的周长=直径公式:L=r

  圆的面积=半径半径公式:S=r2

  圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。公式:S=ch=rh

  圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式:S=ch+2s=ch+2r2

  圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。公式:V=Sh

  圆锥的体积=1/3底面积高。公式:V=1/3Sh

  分数的加、减法则:同分母的分数相加减,只把分子相加减,分母不变。异分母的分数相加减,先通分,然后再加减。

  分数的乘法则:用分子的积做分子,用分母的积做分母。

  分数的除法则:除以一个数等于乘以这个数的倒数。

  一次试验连同其中可能出现的每一个结果称为一个基本事件。

  若在一次试验中,每个基本事件发生的可能性都相同,则称这些基本事件为等可能基本事件。

  如果一个随机试验满足:(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个;

  (2)每个基本事件的发生都是等可能的;

  那么,我们称这个随机试验的概率模型为古典概型.

  如果一次试验的等可能事件有n个,考试技巧,那么,每个等可能基本事件发生的概率都是;如果某个事件A包含了其中m个等可能基本事件,那么事件A发生的概率为。

  古典概型解题步骤:

  (1)阅读题目,搜集信息;

  (2)判断是否是等可能事件,并用字母表示事件;

  (3)求出基本事件总数n和事件A所包含的结果数m;

  (4)用公式求出概率并下结论。

  求古典概型的概率的关键:

  求古典概型的概率的关键是如何确定基本事件总数及事件A包含的基本事件的个数。

  两个复数相等的定义:

  如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,即:如果a,b,c,d∈R,那么a+bi=c+di

  复数相等的充要条件,提供了将复数问题化归为实数问题解决的途径。

  复数相等特别提醒:

  一般地,两个复数只能说相等或不相等,而不能比较大小。如果两个复数都是实数,就可以比较大小,也只有当两个复数全是实数时才能比较大小。

  解复数相等问题的方法步骤:

  (1)把给的复数化成复数的标准形式;

  (2)根据复数相等的充要条件解之。

  (一)比的基本概念

  1.两个数相除又叫做两个数的比。比的前项除以后项所得的商,叫做比值。

  2.比值通常用分数、小数和整数表示。

  3.比的后项不能为0。

  4.同除法比较,比的前项相当于被除数,后项相当于除数,比值相当于商;

  5.根据分数与除法的关系,比的前项相当于分子,比的后项相当于分母,比值相当于分数的值。

  6.比的基本性质:比的前项和后项同时乘上或者同时除以相同的数(0除外),比值不变。

  求比值:用比的前项除以比的后项

  化简比:用比的前项除以比的后项求出分数的比值后,在把分数比值改成比。

  1.比的第一种应用:已知两个或几个数量的和,这两个或几个数量的比,求这两个或这几个数量是多少?

  例如:六年级有60人,男女生的人数比是5:7,男女生各有多少人?

  题目解析:60人就是男女生人数的和。

  第一步求每份:60÷(5+7)=5人

  第二步求男女生:男生:5×5=25人女生:5×7=35人。

  2.比的第二种应用:已知一个数量是多少,两个或几个数的比,求另外几个数量是多少?

  例如:六年级有男生25人,男女生的比是5:7,求女生有多少人?全班共有多少人?

  题目解析:“男生25人”就是其中的一个数量。

  第一步求每份:25÷5=5人

  第二步求女生:女生:5×7=35人。全班:25+35=60人

  3.比的第三种应用:已知两个数量的差,两个或几个数的比,求这两个或这几个数量是多少?

  例如:六年级的男生比女生多20人(或女生比男生少20人),男女生的比是7:5,男女生各有多少人?全班共有多少人?

  4.要求量=已知量×要求量份数/已知量份数

  5.比在几何里的运用:

  (1)已知长方形的周长,长和宽的比是a:b。求长和宽、面积。

  (2)已知已知长方体的棱长和,长、宽、高的比是a:b:c,求长、宽、高、体积。

  (3)已知三角形三个角的比是a:b:c,求三个内角的度数。三个角分别为:

  (4)已知三角形的周长,三条边的长度比是a:b:c,求三条边的长度。三条边分别为:

  2. 集合的中元素的三个特性:

  (1) 元素的确定性,

  (2) 元素的互异性,

  (3) 元素的无序性,

  3.集合的表示:{ … } 如:{我校的篮球队员},{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋}

  (2) 集合的表示方法:列举法与描述法。

  ? 注意:常用数集及其记法:

  非负整数集(即自然数集) 记作:N

  正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R

  2) 描述法:将集合中的元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合的方法。{x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2}

  3) 语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

  (1) 有限集 含有有限个元素的集合

  (2) 无限集 含有无限个元素的集合

  (3) 空集 不含任何元素的集合 例:{x|x2=-5}

  二、集合间的基本关系

  1.“包含”关系―子集

  注意: 有两种可能(1)A是B的一部分,;(2)A与B是同一集合。

  反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A B或B A

  即:① 任何一个集合是它本身的子集。A?A

  ②真子集:如果A?B,且A? B那就说集合A是集合B的真子集,记作A B(或B A)

  3. 不含任何元素的集合叫做空集,记为

  规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。

  ? 有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集

  运算类型 交 集 并 集 补 集

  定 义 由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A,B的交集.记作A B(读作‘A交B’),即A B={x|x A,且x B}.

  由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合,叫做A,B的并集.记作:A B(读作‘A并B’),即A B ={x|x A,或x B}).

  设S是一个集合,A是S的一个子集,由S中所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集(或余集)

  不等式这部分知识,渗透在中学数学各个分支中,有着十分广泛的应用。因此不等式应用问题体现了一定的综合性、灵活多样性,对数学各部分知识融会贯通,起到了很好的促进作用。在解决问题时,要依据题设与结论的结构特点、内在联系、选择适当的解决方案,最终归结为不等式的求解或证明。不等式的应用范围十分广泛,它始终贯串在整个中学数学之中。

  诸如集合问题,方程(组)的解的讨论,函数单调性的研究,函数定义域的确定,三角、数列、复数、立体几何、解析几何中的值、最小值问题,无一不与不等式有着密切的联系,许多问题,最终都可归结为不等式的求解或证明。

  1.解不等式的核心问题是不等式的同解变形,不等式的性质则是不等式变形的理论依据,方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解法密切相关,要善于把它们有机地联系起来,互相转化。在解不等式中,换元法和图解法是常用的技巧之一。通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数、数形结合,则可将不等式的解化归为直观、形象的图形关系,对含有参数的不等式,运用图解法可以使得分类标准明晰。

  2.整式不等式(主要是一次、二次不等式)的解法是解不等式的基础,利用不等式的性质及函数的单调性,将分式不等式、绝对值不等式等化归为整式不等式(组)是解不等式的基本思想,分类、换元、数形结合是解不等式的常用方法。方程的根、函数的性质和图象都与不等式的解密切相关,要善于把它们有机地联系起来,相互转化和相互变用。

  3.在不等式的求解中,换元法和图解法是常用的技巧之一,通过换元,可将较复杂的不等式化归为较简单的或基本不等式,通过构造函数,将不等式的解化归为直观、形象的图象关系,对含有参数的不等式,运用图解法,可以使分类标准更加明晰。

  4.证明不等式的方法灵活多样,但比较法、综合法、分析法仍是证明不等式的最基本方法。要依据题设、题断的结构特点、内在联系,选择适当的证明方法,要熟悉各种证法中的推理思维,并掌握相应的.步骤,技巧和语言特点。比较法的一般步骤是:作差(商)→变形→判断符号(值)。

  一、十位加、减十位,个位加、减个位。

  二、进位加法(凑十法)

  1、凑十歌:一凑九,二凑八,三凑七来四凑六,五五相凑就满十。(注:凑十的两个数互为补数)

  2、20以内进位加:凑十法:8+72=15十位加1,个位减补数(2+8=10,2是8的补数)

  3、100以内进位加362+8=44提炼方法:个位用弧线连上,十位加1,个位减补数。(方法和20以内一样)

  1、20以内退位减:破十法:161―9=7个位加补数

  2、100以内退位减:361―9=27提炼方法:个位用弧线连上,十位减1,个位加补数

  口算。(电脑出示。学生开火车练)

  师谈话:上节课我们学习了什么知识?我们来做几道题,并说说你是怎么想的?

  师谈话:把它们改为38―9=、87―8=、96―8=,你会算吗?仔细观察你发现了什么?

  同学们发现两位数个位上的数都比减数小,如果直接减,够不够减?(不够减)那这三道题怎么计算呢?(退位),这节课我们一起研究两位数减一位数的退位减法。

  板书课题:两位数减一位数退位减法

  一、等式、方程与代数

  1.等式:等号左边的数值与等号右边的数值相等的式子叫做等式。等式的基本性质:等式两边同时乘以(或除以)一个相同的数,等式仍然成立。

  2.方程式:含有未知数的等式叫方程式。

  3.一元一次方程式:含有一个未知数,并且未知数的次数是一次的等式叫做一元一次方程式。学会一元一次方程式的例法及计算。即例出代有χ的算式并计算。

  4.代数: 代数就是用字母代替数。

  5.代数式:用字母表示的式子叫做代数式。

  二、数量关系计算公式

  单产量×数量=总产量

  工效×时间=工作总量

  一个加数=和 - 另一个加数

  一个因数=积÷另一个因数

  1.三角形的面积=底×高÷2。 公式 S= a×h÷2

  2.正方形的面积=边长×边长 公式 S= a2

  3.长方形的面积=长×宽 公式 S= a×b

  4.平行四边形的面积=底×高 公式 S= a×h

  6.内角和:三角形的内角和=180度。

  8.正方体的表面积=棱长×棱长×6 公式: S=6a2

  9.长方体的体积=长×宽×高 公式:V = abh

  10.长方体(或正方体)的体积=底面积×高 公式:V = abh

  11.正方体的体积=棱长×棱长×棱长 公式:V = a3

  13.圆的面积=半径×半径×π 公式:S=πr2

  14.圆柱的表(侧)面积:圆柱的表(侧)面积等于底面的周长乘高。公式:S=ch=πdh=2πrh

  15.圆柱的表面积:圆柱的表面积等于底面的周长乘高再加上两头的圆的面积。公式:S=ch+2s=ch+2πr2

  16.圆柱的体积:圆柱的体积等于底面积乘高。公式:V=Sh

  17.圆锥的体积=1/3底面×积高。公式:V=1/3Sh

  1平方千米=100公顷 1公顷=10000平方米 1平方米=100平方分米 1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米

  3.体(容)积单位换算

  1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升 1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升

  小月(30天)的有:49月 平年2月28天, 闰年2月29天 平年全年365天, 闰年全年366天

  1.平均数: 总数÷总份数=平均数

  2.和差问题:(和+差)÷2=大数 (和-差)÷2=小数

  3.和倍问题:和÷(倍数-1)=小数

  小数×倍数=大数 (或者 和-小数=大数)

  4.差倍问题:差÷(倍数-1)=小数 小数×倍数=大数 (或 小数+差=大数)

  相遇路程=速度和×相遇时间 相遇时间=相遇路程÷速度和 速度和=相遇路程÷相遇时间

  追及距离=速度差×追及时间 追及时间=追及距离÷速度差 速度差=追及距离÷追及时间

  顺流速度=静水速度+水流速度

  逆流速度=静水速度-水流速度

  溶质的重量+溶剂的重量=溶液的重量

  溶质的重量÷溶液的重量×100%=浓度

  溶液的重量×浓度=溶质的重量

  溶质的重量÷浓度=溶液的重量

  9.利润与折扣问题

  利润=售出价-成本

  涨跌金额=本金×涨跌百分比

  利息=本金×利率×时间

  税后利息=本金×利率×时间×(1-20%)

  (盈+亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数 (大盈-小盈)÷两次分配量之差=参加分配 的份数 (大亏-小亏)÷两次分配量之差=参加分配的份数

  1.圆周率常取数据

  2.常用特殊数的乘积

  4.关于常用分数与小数的互化

  数对:由两个数组成,中间用逗号隔开,用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数,即先列后行。

  作用:确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。

  例:在方格图(平面直角坐标系)中用数对(3,5)表示(第三列,第五行)。

  注:(1)在平面直角坐标系中X轴上的坐标表示列,y轴上的坐标表示行。如:数对(3,2)表示第三列,第二行。

  样题:同学们排队做操通常( )叫行,( )叫列。

  (2)数对(X,5)的行号不变,表示一条横线,(5,Y)的列号不变,表示一条竖线。(有一个数不确定,不能确定一个点)

  竖排叫列 横排叫行

  (从左往右看)(从下往上看)

  样题:小军坐在教室的第3列第4行,用(3,4)表示,小红坐在第1列第6行,用( , )来表示,用(5,2)表示的同学坐在第( )列第( )行。

  2、两个数对,前一个数相同,说明它们所表示物体位置在同一列上。如:(2,4)和(2,7)都在第2列上。

  3、两个数对,后一个数相同,说明它们所表示物体位置在同一行上。如:(3,6)和(1,6)都在第6行上。

  样题:如果A点用数对表示为(1,5),B点用数对表示数(1,1),C点用数对表示为(3,1),那么三角形ABC一定是( )三角形。

  A、锐角 B、钝角 C、直角 D、等腰

  4、两点间的距离与基准点(0,0)的选择无关,基准点不同导致数对不同,两点间但距离不变。

  5、图形平移变化规律:

  (1)物体向左平移,行数不变,列数减去平移的格数。

  物体向右平移,行数不变,列数加上平移的格数。

  (2)物体向上平移,列数不变,行数加上平移的格数。

  物体向下平移,列数不变,行数减去平移的格数。

  1、正数和负数的有关概念

  (1)正数:比0大的数叫做正数;

  负数:比0小的数叫做负数;

  0既不是正数,也不是负数。

  (2)正数和负数表示相反意义的量。

  2、有理数的概念及分类

  (1)数轴的三要素:原点、正方向、单位长度。数轴是一条直线。

  (2)所有有理数都可以用数轴上的点来表示,但数轴上的点不一定都是有理数。

  (3)数轴上,右边的数总比左边的数大;表示正数的点在原点的右侧,表示负数的点在原点的左侧。

  (2)相反数:符号不同、绝对值相等的两个数互为相反数。

  若a、b互为相反数,则a+b=0;

  相反数是本身的是0,正数的相反数是负数,负数的相反数是正数。

  (3)绝对值最小的数是0;绝对值是本身的数是非负数。

  4、任何数的绝对值是非负数。

  最小的正整数是1,最大的负整数是-1。

  5、利用绝对值比较大小

  两个正数比较:绝对值大的那个数大;

  两个负数比较:先算出它们的绝对值,绝对值大的反而小。

  (1)符号相同的两数相加:和的符号与两个加数的符号一致,和的绝对值等于两个加数绝对值之和.

  (2)符号相反的两数相加:当两个加数绝对值不等时,和的符号与绝对值较大的加数的符号相同,和的绝对值等于加数中较大的绝对值减去较小的绝对值;当两个加数绝对值相等时,两个加数互为相反数,和为零.

  (3)一个数同零相加,仍得这个数.

  加法的交换律:a+b=b+a

  7、有理数减法:减去一个数,等于加上这个数的相反数。

  8、在把有理数加减混合运算统一为最简的形式,负数前面的加号可以省略不写.

  两个数相乘,同号得正,异号得负,再把绝对值相乘;任何数与0相乘都得0。

  第一步:确定积的符号 第二步:绝对值相乘

  10、乘积的符号的确定

  几个有理数相乘,因数都不为 0 时,积的符号由负因数的个数确定:当负因数有奇数个时,积为负;

  当负因数有偶数个时,积为正。几个有理数相乘,有一个因数为零,积就为零。

  11、倒数:乘积为1的两个数互为倒数,0没有倒数。

  正数的倒数是正数,负数的倒数是负数。(互为倒数的两个数符号一定相同)

  倒数是本身的只有1和-1。

  1、用导数研究函数的最值

  确定函数在其确定的定义域内可导(通常为开区间),求出导函数在定义域内的零点,研究在零点左、右的函数的单调性,若左增,右减,则在该零点处,函数去极大值;若左边减少,右边增加,则该零点处函数取极小值。

  学习了如何用导数研究函数的最值之后,可以做一个有关导数和函数的综合题来检验下学习成果。

  2、生活中常见的函数优化问题

  1)费用、成本最省问题

  2)利润、收益最大问题

  3)面积、体积最(大)问题

  1、归纳推理:归纳推理是高二数学的一个重点内容,其难点就是有部分结论得到一般结论,的方法是充分考虑部分结论提供的信息,从中发现一般规律;类比推理的难点是发现两类对象的相似特征,由其中一类对象的特征得出另一类对象的特征,的方法是利用已经掌握的数学知识,分析两类对象之间的关系,通过两类对象已知的相似特征得出所需要的相似特征。

  2、类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征,推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理,简而言之,类比推理是由特殊到特殊的推理。

  对于含有参数的一元二次不等式解的讨论

  1)二次项系数:如果二次项系数含有字母,要分二次项系数是正数、零和负数三种情况进行讨论。

  2)不等式对应方程的根:如果一元二次不等式对应的方程的根能够通过因式分解的方法求出来,则根据这两个根的大小进行分类讨论,这时,两个根的大小关系就是分类标准,如果一元二次不等式对应的方程根不能通过因式分解的方法求出来,则根据方程的判别式进行分类讨论。

  通过不等式练习题能够帮助你更加熟练的运用不等式的知识点,例如用放缩法证明不等式这种技巧以及利用均值不等式求最值的九种技巧这样的解题思路需要再做题的过程中总结出来。

  四、坐标平面上的直线

  1、内容要目:直线的点方向式方程、直线的点法向式方程、点斜式方程、直线方程的一般式、直线的倾斜角和斜率等。点到直线的距离,两直线的夹角以及两平行线之间的距离。

  2、基本要求:掌握求直线的方法,熟练转化确定直线方向的不同条件(例如:直线方向向量、法向量、斜率、倾斜角等)。熟练判断点与直线、直线与直线的不同位置,能正确求点到直线的距离、两直线的交点坐标及两直线的夹角大小。

  3、重难点:初步建立代数方法解决几何问题的观念,正确将几何条件与代数表示进行转化,定量地研究点与直线、直线与直线的位置关系。根据两个独立条件求出直线方程。熟练运用待定系数法。

  1、内容要目:直角坐标系中,曲线C是方程F(x,y)=0的曲线及方程F(x,y)=0是曲线C的方程,圆的标准方程及圆的一般方程。椭圆、双曲线、抛物线的标准方程及它们的性质。

  2、基本要求:理解曲线的方程与方程的曲线的意义,利用代数方法判断定点是否在曲线

  上及求曲线的交点。掌握圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义和求这些曲线方程的基本方法。求曲线的交点之间的距离及交点的中点坐标。利用直线和圆、圆和圆的位置关系的几何判定,确定它们的位置关系并利用解析法解决相应的几何问题。

  3、重难点:建立数形结合的概念,理解曲线与方程的对应关系,掌握代数研究几何的方法,掌握把已知条件转化为等价的代数表示,通过代数方法解决几何问题。

  一、整十数、整百数的除法

  1.熟练在掌握整十数、整百数的除法计算。

  2.知道除法算式中各部分的名称:被除数、除数、商。

  3.一道除法算式能用不同的方式表示:

  (1)18除以3除以的前面是被除数、除以的后面是除数

  (2)3除18除的前面是除数,除的后面是被除数

  辨别:30除一个数,商和余数都是2,求这个数?

  30除以一个数,商和余数都是2,求这个数?

  4.了解除法是乘法的逆运算,因此一道乘法算式能写两道除法算式

  反之,乘法并不是除法的逆运算。

  二、两位数或三位数被一位数除p34-42

  两位数分拆方法:1、我们把被除数分拆成能够被除数除尽的最大整十数。

  2、把剩下的整十数与个位上的数合起来再被除数去除。

  因此,分拆时一般先看除数,

  除数是2被除数一般可分出20、40、60、80

  除数是3被除数一般可分出30、60、90

  除数是4被除数一般可分出40、80

  当无法分出整十数时,可按乘法口决表进行分拆,便于口算。

  三位数分拆方法:先分整百的,再分整十的,最后分单个的;整百的不够分,和整十的合起来再分,整十的不够分,和单个的合起来继续分。分的时候还要考虑是否方便口算。

  (注意:与两位数乘一位数横式不同的地方在于没有列出加法算式)

  方法:(1)从被除数的高位除起

  (2)被除数最高位上的数比除数小时,就看前两位,除到哪一位,商就写在哪一位上。

  (3)当十位或个位不够商1时,要用0来占位。(商中间或末尾有0的除法)

  (4)余数要比除数小

  (注意部分步骤可以省略)

  步骤:一商、二乘、三减、四比、五落

  验算方法:通过被除数=除数商+余数来验证被除数与原题中的是否一致。验算时用竖式。

  分析:第一题:商中间为0

  第二题:被除数末尾是0,前面能被除尽,0应写在8的下方。

  第三题:1,被除数末尾0除以任何一个数=0,个位商0

  2,被除数末尾0前面能被除尽,0应写在4的下方。

  第四题:少了落的步骤。

  P41/例3/38072被除数中间为0,被除数最高位能被除尽,中间的0不需要落下。

  3.估商是几位数:

  主要看被除数的最高位和除数的关系:

  如果被除数最高位除数或者=除数,被除数是几位数,商就是几位数

  如果被除数最高位除数,被除数是几位数,商就比它小一位数

  例:735□,要使商是两位数,除数可以填();要使商是三位数,除数可以填()。

  4.被除数、除数、商、余数之间关系

  (1)余数必须比除数小

  例:◎□=95,□里最小填();

  在一道有余数的除法里,除数是8,商是25,那么被除数最大是()。

  (2)被除数=除数商+余数

  除数=(被除数-余数)商

  商=(被除数-余数)除数

  例:28□=□3,□=()

  5.商中间或末尾有0的除法:

  例:3□26,要使商的末尾是0,□里可以填()。

  分析:商的末尾是0,被除数个位上的数比除数小,不够商1

  因此,除到被除数的十位必须除尽,没有余数。

  想:3□6没有余数

  例:□214,当□里填()时,商末尾有0。

  分析:商的末尾是0,被除数个位上的数比除数小,不够商1

  因此,除到被除数的十位必须除尽,没有余数

  想:□24没有余数分两种情况:最高位比除数小时:□填1、3

  最高位比除数大时:□填:5、7、9

  例:6□43,要使商的中间是0,□里可以填()。

  分析:商中间是0,则被除数的十位上的数比除数小,不够商1

  因此,除到被除数的百位必须除尽,63=2

  例:□214,当□里填()时,商中间有0。

  分析:商中间是0,则被除数的十位上的数比除数小,不够商1

  因此,除到被除数的百位必须除尽

  想:□4没有余数□可以填4或8

  5.p43除法的估算

  例:1386商在20到30之间

  步骤;1,根据除数找小于被除数却能被除数除尽的最大数

  2,另一个商比估算出的第一个商大十

  (也可以根据除数找大于被除数却能被除数除尽的最小数

  常见错误:例估算:商在104到114之间

  分析:根据精确计算的结果写出的估算答数

  改正:商在100到110之间。

  6.除法的应用p44

  做题时需要注意问题,一般情况下,余数要占一份的就加1,如讲到坐船、坐车的题目。余数不够一份的,就去尾。如讲到做裤子、扎花等问题。

  辨析:8个篮球装一箱,767个篮球至少可以装几箱?

  题中的至少说明余数也需要占一份7个也需要一个箱子装,因此需要加1,共有96箱。

  8个篮球装一箱,767个篮球最多可以装几箱?

  分析:题中的最多说明余数不需要占一份。7个没有装满一箱,因此最多可以装95箱。

  7.单价、数量、总价p45、46

  (1)能从题目中分析出单价、数量及总价

  (2)能够根据问题,灵活应用单价数量=总价

  (3)拓展:能用小数表示元、角分

  例:3元:3.00元小数点左边为元,小数点右边第一位为角

  总结:小编为大家整理的小学数学知识点:三上第四单元知识点梳理相关内容大家一定要牢记,以便不断提高自己的数学成绩,祝大家学习愉快。

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由一个或多个元素所构成的叫做集合,集合是数学中一个基本概念,它是集合论的研究对象,集合是指具有某种特定性质的具体的或抽象的对象汇总成的集体,这些对象称为该集合的元素。下面高三网小编整理的高中数学集合知识点总结,供参考。

高中数学集合的知识点有哪些

高中数学知识点总结:集合及其表示

“集合”这个词首先让我们想到的是上体育课或者开会时老师经常喊的“全体集合”。数学上的“集合”和这个意思是一样的,只不过一个是动词一个是名词而已。

所以集合的含义是:某些指定的对象集在一起就成为一个集合,简称集,其中每一个对象叫元素。比如高一二班集合,那么所有高一二班的同学就构成了一个集合,每一个同学就称为这个集合的元素。

通常用大写字母表示集合,用小写字母表示元素,如集合A={a,b,c}。a、b、c就是集合A中的元素,记作a∈A,相反,d不属于集合A,记作d?A。

有一些特殊的集合需要记忆:

非负整数集(即自然数集)N正整数集N*或N+

整数集Z有理数集Q实数集R

集合的表示方法:列举法与描述法。

③语言描述法:例:{不是直角三角形的三角形}

强调:描述法表示集合应注意集合的代表元素

指集合中的元素排列没有顺序,如集合A={1,2},集合B={2,1},则集合A=B。

指集合中的元素不能重复,A={2,2}只能表示为{2}

集合的确定性是指组成集合的元素的性质必须明确,不允许有模棱两可、含混不清的情况。

高中数学知识点总结:集合间的基本关系

1.子集,A包含于B,有两种可能

(1)A是B的一部分,

(2)A与B是同一集合,A=B,A、B两集合中元素都相同。

反之:集合A不包含于集合B。

2.不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ。Φ是任何集合的子集。

4、有n个元素的集合,含有2n个子集,2n-1个真子集,含有2n-2个非空真子集。如A={1,2,3,4,5},则集合A有25=32个子集,25-1=31个真子集,25-2=30个非空真子集。

以上是高三网小编整理的高中数学集合知识点总结,更多高中数学知识点答题技巧请关注高三网。

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  一、内容和内容解析

  集合和集合相等的含义;元素与集合的关系及记号(属于“∈”、不属于“”);集合元素的三个特性(确定性、互异性、无序性);常用数集及其记法;集合的表示方法:列举法和描述法等.

  集合论是现代数学的基础,集合语言是现代数学的基本语言.在高中数学中,集合是作为一种语言和工具来学习的.集合的初步知识与其他内容有着密切的联系,是学习、掌握和使用数学语言的基础,对整个高中学习起着奠基的作用.同时,教科书对于集合的研究经历了一个完整的数学思考过程,作为一个范例,它向学生完整展示了研究数学问题的“基本套路”,这将为后续的教学提供思维方式的示范及学习方法的引领.

  教科书关于集合一共安排了三节内容,“集合的概念”是其第一节课,也是学生进入高中阶段的第一节数学课.教科书首先在义务教育阶段学习的相关知识的基础上,从6个实例入手,通过对比分析共同特征,从中抽象概括出元素和集合的含义(描述性概念),在渗透抽象概括思想的同时,提升数学抽象素养.

  由于集合是一个原始的、不定义的概念,教科书通过研究集合中元素的性质、元素与集合的关系等帮助学生深入了解集合的含义.其中元素与集合的关系是后续研究集合之间的关系和集合运算的基础,其实质是个体与整体间的关系,其本质是基于集合概念基础上的判断,是推理的初级阶段,也是进一步学习逻辑思维的基础和前提.

  列举法和描述法是集合的两种重要表示方法,既相互对立,又相辅相成.列举法可直接清晰地认识集合中元素的个性特点,在此基础上可进一步抽象概括出集合中元素的特征性质;描述法可更加凸显集合中元素的公共属性,也可通过列举其中的特殊元素从而对集合中元素的公共属性有更加具体的认识.教科书通过实例分析和应用不断地强化学生对这两种表示方法的理解.通过不同表示方法的相互转换,引导学生体会自然语言、列举法和描述法各自的特点,并初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象,在渗透化归转化思想的同时,提升数学抽象素养.

  结合以上分析,确定本节课的教学重点:元素与集合的“属于”关系,用符号语言刻画集合.

  (1)通过实例,了解元素及集合的含义,理解元素与集合的“属于”关系;

  (2)了解集合相等的含义,了解集合中元素的确定性、互异性、无序性;

  (3)知道常用数集及其专用记号;

  (4)针对具体问题,能在自然语言基础上,用列举法和描述法刻画集合,从中感受集合语言的意义和作用,提升数学抽象素养.

  达成上述目标的标志是:

  (1)能结合具体实例认识和识别,知道什么是集合.对于给出的一些例子,会判断哪些事物可以组成集合,哪些不能组成集合.

  (2)知道两个集合相等应满足的条件.结合具体情境,判断元素与集合的关系,体会集合中元素的确定性、互异性、无序性.

  (3)知道常用数集及其记法,会用这些表示法表示常用数集.

  (4)对于给定的具体情境,抽象概括出数学对象的一般特征,会用自然语言、符号语言(列举法和描述法)表达所要研究的数学对象,并能根据需求进行转换,从中感受集合语言的意义和作用,积累数学抽象经验.

  三、教学问题诊断分析

  作为高中数学的开篇,集合的学习起点是义务教育阶段所学的相关知识.小学阶段主要是在教科书中渗透集合的思想方法,用集合的图示法让学生直观理解相关数学知识,从中体会集合思想方法的作用.初中阶段主要是向学生介绍一些具体的集合和用集合来定义数学概念(比如正数集合、无理数集合、不等式的解集、圆的概念和线段的垂直平分线的概念等),但不涉及集合的意义及其数学表示.高中阶段学生开始系统地学习集合论的初步知识,尤其突出集合的“语言功能”,要求学生初步学会用集合语言简洁、准确地表述数学的研究对象.但是由于概念抽象、子概念多,而且符号术语也多,需要学生较高的抽象思维能力,而初中阶段的思维模式中,数学学习更具体、直观,这就导致高中生在学习集合知识时存在较多的困难,它需要学生的学习经历一个从直观到抽象、从感性认识到理性思考的过程.同时,由于符号语言的表述,使得高中语言表达的抽象性要远高于初中学习要求,这也导致了“集合的表示方式”成为了本课的难点.尤其是描述法更是学习的难点,主要难在对于“共同特征”的描述及符号表示,需要学生有较高的抽象概括能力.

  结合以上分析,确定本节课的教学难点:用描述法表示集合.

  为突破这一难点,教学中要借助实例分析,向学生详细解释何为共同特征以及如何用符号表示.通过应用让学生学会识别并用符号表示共同特征,熟悉描述法的表示形式.对于重要的数学语言{xAP(x)},教师要注意从“语言的角度”讲清楚,理解其形式所表达的意义:x 代表集合的元素即描述的对象,P(x)表示元素x 满足的条件,读作“元素x 满足条件P(x)”,这样更有利于学生对描述法的理解.对于教科书第4页中的“显然,对于任何y∈{xAP(x)},都有yA ,且P(y)成立”这句话的理解,教学中一定要借助具体的集合实例,让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象、由文字语言到符号语言表示的过程,这样有利于帮助学生理解描述法.

  同时,教学中要通过创设各种问题情境引导学生对三种表示方法进行相互转换和分析对比,从中体会不同表示方法各自的特点和适用范围.通过多举例、多使用、多交流、多表达帮助学生突破难点.

  问题1:(1)观察这张非洲大草原图片,列举你看到的集合.

  (2)在有理数范围内方程 有解吗?在实数范围内呢?

  (3)到定点的距离等于定长的点组成的图形一定是圆吗?

  师生活动:学生观察、独立思考、讨论交流.

  教师提示,图中的斑马群、角马群等都是同一类研究对象集中在一起而成的.若将范围扩展到非洲动物,它们又成为了“非洲动物”这个研究总体的一部分.在研究问题、表达交流时,我们需要在同一个范围、讨论的是同一类问题,这样才会有实际效果,否则就会出现风马牛不相及的局面.同样地,研究数学问题时,也需要明确研究对象、确定研究范围,正如问题(2)中给出的不同范围内方程的解不同(方程在有理数范围内无解,在实数范围内解为);问题(3)中不同范围内动点的轨迹不同(在平面内,所有到定点的距离等于定长的点组成的图形为圆;在空间中,所有到定点的距离等于定长的点组成的图形为球面).而要“明确研究对象、确定研究范围”就需要使用到集合的语言和工具,因为集合语言可以简洁、准确地表述数学对象及研究范围.除了集合语言,常用逻辑用语也是数学语言的重要组成部分,是数学表达和交流的工具,是逻辑思维的基本语言,它的学习将有助于提升数学表达和交流的逻辑性、严谨性和准确性.

  设计意图:介绍章引言及章头图,使学生对本章学习内容、学习目标和学习意义在总体上有一个大致的了解,帮助学生高屋建瓴地认识学习内容,感受学习集合和常用逻辑用语的必要性.

  问题2:在小学和初中,我们已经接触过一些集合,你能举出一些集合的例子吗?

  师生活动:教师提问,学生回答.对于学生表述不完整的地方,教师进行适当的补充和点拨,并分析这些集合的研究对象.

  设计意图:为学生搭建初高中过渡的桥梁,从回顾旧知到学习新知.通过回忆、交流,让学生明白集合并不陌生,在初中已有所接触.借助以前学生熟知的例子,引出“集合”这一概念,并为后面进一步研究集合做好准备工作.

  (二)元素和集合的含义

  问题3:阅读教科书第2页思考之前的6个例子,这些例子也都能组成集合吗?你能概括出它们具有的共同特征吗?

  师生活动:学生阅读教科书,先独立思考,再讨论交流.

  教学中师生可共同分析(1)和(2),指出:例(1)中,研究对象是1~10之间的每一个偶数2,4,6,8,10,这5个偶数的全体就是一个集合;例(2)中,研究对象是立德中学今年入学的每一位高一学生,他们的全体也是一个集合.教师接着可再举例,比如把(1)中的“偶数”换为“整数”,它还是一个集合吗?把“偶数”换为“奇数”呢?再如,把(2)中增加一些限制条件,比如立德中学高一(1)班全体学生还能组成集合吗?立德中学高一(1)班全体女生?全体男生等等.例(3)到(6)由学生自主分析,引导学生在观察的基础上先用自己的语言概括共同特征,在学生表述的基础上教师再给出元素与集合的概念.

  设计意图:从生活和学习中的例子出发研究集合,一是让学生了解集合与我们的生活、学习息息相关,从而使学生认识到研究集合的必要性;二是为研究集合提供大量素材,便于引导学生观察实例,使学生在充分体验和感悟的基础上归纳、抽象概括生成元素(element)与集合(set)的概念,在帮助学生深刻理解集合含义的同时,培养抽象概括能力,同时为后面的学习做好铺垫;三是让学生学会自觉地研读教科书,培养学生的自主学习能力.

  问题4:判断下列元素的全体是否组成集合,如果是,指出该集合的元素;如果不能组成集合,请说明理由.

  (1)我国的直辖市;

  (2)高一(1)班的高个子同学;

  (4)单词“settee”中的字母.

  师生活动:学生先独立思考,讨论交流后回答问题.

  教师要引导学生明确判断的标准是能否清晰地判断某个元素在不在这个范围内,并提出以下问题进行追问.

  追问1:你能举出一些集合的例子吗?

  师生活动:教师提问,学生举例,其他学生判断所举的例子中的对象是否构成集合,针对学生的举例和判断,教师引导、补充、完善.

  追问2:集合中的元素具有哪些特征?如何解释这些特征?

  师生活动:结合上面的例子和学生所举的集合例子,学生先独立思考后交流,根据学生的交流情况,教师再引导学生一起分析.

  由(2)(3)说明给定一个集合,它的元素必须是确定的,即集合中元素的确定性.教学中要用“怎样才算高个子同学”、“怎样才算较小的数”、“高的标准是什么”等问题引导学生发觉表述的不准确性,概念的模糊性、不具体性,从而导出集合的元素是确定的,即任何一个对象都能确定它是不是某一个集合中的元素,这是集合最基本的特性,没有确定性就不能成为集合.

  由(4)集合中含有3个元素引导学生明确集合元素之间的互异性(一个给定集合中的元素是互不相同的).

  追问3:类比实数相等,两个集合相等应满足什么条件?

  师生活动:教师提问,学生独立思考并回答问题,教师补充完善,给出两个集合相等的条件.

  引导学生类比实数相等得出两个集合相等应满足的条件:两个集合的元素是一样的.教学中可举例说明,比如(4)中的集合和单词“set”中的字母构成的集合就是相等的.

  设计意图:通过以上问题的研究,加深学生对集合概念的巩固和理解,初步体会集合语言表述知识的简洁性和严谨性.

  学生举集合例子的过程就是对概念的理解过程.教学中要启发和引导学生大胆地列举生活与学习中的集合例子,并根据学生的回答情况适时地予以补充和完善.通过举例,学生进一步理解集合的含义,体会集合元素的确定性和互异性.

  (三)元素、集合及其关系的表示

  问题5:阅读教科书第2页倒数第4行“我们通常用大写拉丁字母……”至第3页表格中的“数学中一些常用数集及其记法”,并回答:

  (1)元素与集合之间存在着什么关系?请举例说明.

  (2)常用的数集有哪些?分别用什么字母表示?

  师生活动:学生自主阅读后交流,在此基础上,教师梳理、总结.

  集合与元素的字母表示、元素与集合关系的符号表示:用大写拉丁字母A,B,C,······表示集合,用小写拉丁字母a,b,c,······表示集合中的元素.a属于AaA .a不属于A,aA.对于元素与集合之间的这种关系,教学时要多列举一些例子,让学生了解它们之间的差异,并在具体运用中逐渐熟悉.比如a与{a},一般地,a表示一个元素,而{a}表示只有一个元素的一个集合,所以0∈{0},而不能写成0={0}等.

  对于常用数集及其记法,教学中要引导学生回忆数集的扩充过程,并向学生介绍这些常用数集的来历.

  非负整数集或自然数集N:自然数的英文Natural number的首写字母;

  整数集Z:德语中的整数Zahlen的首字母,德国女数学家诺特于1921年写出的《整环的理想理论》在引入整数环概念的时候,她将整数环记作Z

  有理数集Q:商的英文Quotient的首字母,任何一个有理数都是两个整数之比的结果(商);

  实数集R:实数的英文Real number首字母.

  设计意图:对于难度不大的内容,特别是符号比较多时,学生通过阅读,熟悉自然语言和符号语言,并建立它们之间的对应关系.

  学生举例的过程就是对概念的理解过程.学生通过举例可以了解它们之间的差异,并在具体运用中逐渐熟悉.通过每个数集符号“来历”的解读向学生渗透数学文化,增加学生进行理解记忆的理性特征,巩固记忆效果.同时,作为下一个问题的载体,起到生成“集合的表示方法”等新知的作用.

  问题6:从上面的例子看到,我们可以用自然语言描述一个集合,用大写的拉丁字母表示一个集合,一些常用的数集还有专用的字母表示.除此之外,我们还可以用什么方式表示集合呢?

  师生活动:引导学生阅读教科书、独立思考、讨论交流,根据学生交流情况,教师可以适时地选择以下问题进行追问.

  追问1:(1)我们可以用自然语言来描述一个集合,但这将给我们带来很多不便,你会用符号来表示问题4中(1)和(4)相应的集合吗?

  (2)表示一个集合,关键是确定什么?

  师生活动:学生思考后交流、回答.

  学生首先会想到用大写拉丁字母表示集合,但是除常用数集记号外,用大写拉丁字母表示集合不能体现出集合中的具体元素是什么,表示一个集合,关键是确定它包含哪些元素,从而引导学生在“列举”的基础上规范生成两个集合的列举法表示:“我国的直辖市”组成的集合记作A,那么 A={北京,上海,天津,重庆};“单词settee中的字母”组成的集合记作B,那么B={s,e,t}.

  追问2:(1)你能概括出上述表示方法的特点吗?(给出列举法定义)

  (2)列举法表示集合需要注意哪些问题?哪些类型的集合用列举法表示为宜?

  师生活动:教师提问,学生独立思考并回答问题,教师引导学生梳理讨论交流的结果.

  引导学生归纳总结列举法:把集合的所有元素一一列举出来,并用花括号“{ }”括起来表示集合的方法.

  引导学生分析列举法表示集合需要注意的问题:①各元素间用“,”隔开;②集合中的元素不能遗漏,更不能重复(互异性);③元素之间不用考虑先后顺序(教师要举例说明,比如{s,e,t}={s,t,e}.指出这是集合元素的特性之一:无序性.这里教师要梳理并强调集合元素的三个特性:确定性、互异性、无序性.);④所有元素都必须置于花括号“{ }”内;⑤列举法一般应用于集合中元素的个数较少的情况.

  通过分析进一步加深学生对列举法的理解,使学生能够正确熟练地使用列举法.注意提醒学生表示集合的“{ }”已有全体、所有、集合的意义,表示集合时不必再添上“全部”“所有”“全体”等字眼.

  设计意图:通过以上问题的研究,得出集合的列举法表示,体会列举法表示的特点,培养归纳概括能力.

  问题7:(1)你能用自然语言表示集合{0,3,6,9}吗?

  (2)你能用列举法表示不等式x-7<3 的解集吗?

  师生活动:学生回顾集合的列举法表示和不等式解集的含义,在独立思考的基础上交流、探讨,教师启发引导、补充总结.

  对于(1),学生一般会用自然语言表述如下:小于10且能被3整除的自然数,既大于等于0又小于等于9的被3整除的数等,教学中要注意学生自然语言表述的准确性和严谨性.

  学生在交流探讨中会发现列举法表示集合相对比较简单,但是有些集合并不能用列举法表示,如(2)中不等式的解集,因为不等式x-7<3的解是x<10,满足x<10的实数有无数个,我们不能一一列举,所以x-7<3的解集无法用列举法表示,这就说明了学习描述法的必要性.

  设计意图:在复习巩固列举法表示集合方法的同时,引出集合另外一种表示方法——描述法.学生在把列举法表示的集合转化成自然语言表示的过程中,需要抽象概括出研究对象的一般特征,有助于积累数学抽象经验,同时也为后面学习“描述法”做好铺垫.

  追问1:这个解集中的元素具有什么样的共同特征?怎样表示不等式x-7<3的解集?

  师生活动:学生独立思考后讨论交流,教师梳理总结后给出其解集的描述法表示.

  根据初中所学的不等式的相关知识,学生很容易发现解集中元素的特点,即:x是实数,且x<10.教师指出:利用解集中元素的共同特征,我们可以把解集表示为 {xRx<10}.

  追问2:(1)整数集Z可以分为奇数集和偶数集.那么奇数的共同特征是什么?你能用上面的表示方法表示奇数集吗?

  (2)偶数集又如何表示呢?

  师生活动:学生回忆奇数的定义,在此基础上交流、探讨奇数的共同特征,教师引导学生模仿上面的表示方法表示奇数集.

  对于每一个xZ,如果它能表示为x=2k+1(kZ)的形式,那么x除以2的余数为1,它就是一个奇数;反之,如果x是一个奇数,那么它除以2的余数为1,它就能表示为x=2k+1(kZ的形式.所以,x=2k+1(kZ是所有奇数的一个共同特征,于是奇数集可以表示为{xZ|x=2k+1,kZ}.显然,若y是奇数,则y必是整数,且y除以2的余数为1.符号表示即:若y∈{xZ|x=2k+1,kZ},则必有yZ,且y=2k+1,kZ.

  需要注意的是,学生用描述法表示奇数集合时可能会出现多种表达形式.比如,奇数集也可以表示为{xZ|x=2k-1,kZ}等,它们虽然在表达形式上是不同的,但本质上是相同的,这也反映了集合表达的多样性,反映了数学世界的多样性.教学中可引导学生根据集合相等的含义去判断它们的等价性.

  学生模仿上述研究过程自己探究,得出偶数集可表示为 {xZ|x=2k,kZ}.

  追问3:(1)你能概括出上述表示方法的特点吗?(给出描述法定义)

  (2)在描述法中,竖线前后各表示什么内容?描述法表示集合需要注意哪些问题?哪些类型的集合用描述法表示为宜?

  师生活动:引导学生观察、思考、分析,教师归纳总结描述法定义.

  引导学生归纳总结描述法:一般地,设A是一个集合,我们把集合A中所有具有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{xA|P(x)}.其中x是这个集合的元素的代表形式,A是元素的取值(或变化)范围,P(x)是集合中元素所具有的共同特征.

  引导学生分析用描述法表示集合时需要注意的问题:①写清该集合中元素的代表符号.用简明、准确的语言说明该集合中元素的性质.代表元素x与元素x的性质P(x)间须用“|”隔开,竖线前是集合元素的代表符号及取值(或变化)范围,竖线后是集合元素具有的共同特征即集合中元素的性质;②在集合中不能出现未说明的字母,如果出现,要对新字母说明它的含义或指出它的取值范围;③所有描述集合的内容均需置于花括号{ }内;④可用冒号或分号代替竖线,写成{xA:P(x) }或 {xA;P(x)};⑤元素的取值(或范围)从上下文来看,若是明确的可省略不写.如集合{xRx<10}可表示为{xx<10};⑥多层描述时,应当准确使用“且”“或”等表示元素之间关系的词语,如{xx=1,或x=2} ;⑦适用于集合元素有无限多个的情况.

  追问4:你能用描述法表示有理数集吗?

  师生活动:引导学生回忆初中所学的有理数的相关知识,归纳概括有理数的共同特征,师生共同写出有理数集的描述法表示.

  设计意图:通过以上问题的研究,得出集合的描述法表示,体会描述法表示的特点和集合语言表述知识的简洁性和严谨性,培养归纳概括能力.

  通过用描述法表示奇数集、偶数集和有理数集,向学生详细解释何为共同特征以及如何用描述法表示集合,让学生学会识别并用符号表示共同特征,熟悉描述法的表示形式.在此基础上,通过借助具体的集合实例,让学生经历由特殊到一般、由具体到抽象、由文字语言到符号语言表示的过程,帮助学生理解“对于任何y∈{xAP(x)} ,都有yA ,且P(y)成立.”的含义,从而加深学生对描述法的理解,帮助学生正确熟练地使用描述法,最终突破教学难点.

  例1 用列举法表示下列集合:

  (1)小于10的所有自然数组成的集合;

  (2)方程的所有实数根组成的集合.

  师生活动:两个学生板书,其余学生练习,教师巡视指导、点评总结.

  设计意图:巩固、示范用列举法表示集合的方法,同时再次说明集合中元素的列举与元素顺序无关(无序性).

  追问:你能用描述法表示这两个集合吗?

  师生活动:引导学生思考、讨论,分析这两个集合中的元素及元素的共同特征,并用描述法表示.

  设计意图:巩固、示范用描述法表示集合的方法.

  例2 试分别用描述法和列举法表示下列集合:

  (1)方程的所有实数根组成的集合A

    师生活动:引导学生分析集合中的元素及元素的共同特征,教师给出解答示范.

  设计意图:巩固描述法和列举法,学生体会描述法与列举法各自的特点.

  练习:1.选择恰当的表示法表示本节开始时的6个例子;

  2.教科书第5页练习第3题.

  师生活动:学生先自主完成,然后进行展示,最后教师点评总结.

  设计意图:通过让学生根据需要选择适当的方法表示集合,深化从不同集合语言形式对同一内容的理解,并从中体会集合的三种表示方法(自然语言、列举法和描述法)的必要性、各自的特点和适用对象.学会综合联系所学知识去分析和选择较简单、较明了的集合的表示法,从中感受集合语言的意义和作用,培养学生数学语言转换能力.

  问题8:举例说明,用自然语言、列举法和描述法表示集合时各自的特点.

  师生活动:学生独立思考、讨论交流,根据学生交流情况,教师补充完善、提炼总结.

  自然语言:用文字叙述的形式描述集合的方法,既简单明了,通俗易懂,又能清晰的反映出集合当中的所有元素.

  列举法:把集合中元素一一列举出来表示集合的方法.一般情况下,对于有限集,在元素不太多的情况下,宜采用列举法,它具有直观明了的特点.

  描述法:用概括集合所含元素的共同特征来表示集合的方法.对于无限集,一般采用描述法.

  设计意图:让学生反思、总结本节的学习,体会不同表示方法的特点.学生举例说明的过程实际上就是对三种表示方法理解掌握的过程.通过交流使学生明确三种表示方法各自的特点及使用范围,体会它们的区别和联系.表示集合时应根据具体问题确定采用哪种表示方法.使学生体会到作为数学表达的两种基本形式,列举法和描述法是既相互对立,又相辅相成的,用列举法表示集合可以得到对集合中元素个性特点的直接的、清晰的认识,在此基础上可进一步抽象概括出集合中元素的特征性质;用描述法表示集合可更加突显集合中元素的公共属性,也可通过列举其中的特殊元素从而对集合中元素的公共属性有更加具体的认识.

  (六)归纳总结、布置作业

  教师引导学生回顾本节课的学习内容,并引导学生回答下列问题:

  (1)什么是集合?集合元素有哪些特性?两个集合相等应满足什么条件?

  (2)元素与集合之间存在什么关系?如何用符号表示?

  (3)常用的数集有哪些?分别用什么字母表示?

  (4)集合的表示方法有哪些?各自的优点及适用对象是什么?使用时应该注意哪些问题?

  师生活动:教师出示问题后,先由学生思考后再进行全班交流,教师注意引导和规范、完善学生的回答.

  设计意图:通过回忆、归纳、总结的方式把知识点串联起来,使学生对本节课的知识形成系统而全面的认识.

  布置作业:教科书习题1.1第1,2,3题.

  数学小论文:阅读教科书第6页拓广探索,请你查阅相关资料,用简短的报告阐述你对这些评价的认识.

  设计意图:通过设计这样一道数学文化的题目,引导学生体味集合为何“惊人”和“最美”,从中感受数学的精神和价值,提升数学文化素养和学科核心素养.

  1.判断下列元素的全体能否组成集合,并说明理由:

  (1)与定点O等距离的点;

  (2)我国的小河流.

  设计意图:考查学生对集合概念、集合中元素的确定性的理解和掌握程度.

  2.用符号“∈”或“”填空:

  设计意图:考查学生对常用数集及其符号表示、元素与集合之间关系及符号表示的掌握程度.

  3.用适当的方法表示下列集合:

  (1)由方程的所有实数根组成的集合;

  (2)不等式3x≥4-2x的解集.

  设计意图:考查学生对集合表示方法的掌握程度,以及综合联系所学知识分析和选择集合表示方法的能力.

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