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1、 数学中的对称美摘要：古希腊哲学家、数学家普洛克拉斯曾说：“哪里有数学，哪里就有美，哪里就有发现”数学美是数学科学的本质力量的感性和理性的显现，是自然美的客观反映，是科学美的核心。数学美的内容十分丰富，对称美是数学美的一个重要组成部分，它普遍存在于数学的各个分支。关键词：数学美；对称美；对称性 一：数学中的对称美:在数学史上，数学美是数学发展的伟大动力。虚数的引入，非欧几何的创立，射影几何的诞生，微积分的严格化，无不体现了数学美对数学发现与发展的指导作用。数学美一般表现为简单、对称、统一、奇异等重要特征。这些特征渗透在数学的理论、语言、定理、公式、方法技巧及数学的实际应用之中。比如对称是最能给

2、人以美感的一种形式.数学中的对称美，是指数学中的部分与部分、部分与整体之间的和谐一致，以及各种数学概念和理论之间存在的“对等性”。这样对称美便成了数学美中的一个重要组成部分，它普遍表现在初等数学与高等数学的各个分支。二：如何发现数学对称美：对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。大自然中具备对称美的事物有许许多多，如枫叶、雪花等等，对称本身就是一种和谐、一

3、种美。在数学中的应用也非常广泛，如：大家都非常熟悉的轴对称图形等等，其实根据对称原如何掌握对称这一基本原理去解决一些实际问题，找到事物之间的内在统一性，用数学的思想去内化这一即简单，又蕴涵深刻哲理的原理，这需要我们深层了解隐藏在问题后面的本质特征，现根据笔者在教学中发现的一些案例，来阐述如何发现数学中的对称美。(一)、 从回文数中得到启发，巧解等差数列 回文数有许多如：2002年就是一个回文数，下一个回文数就要等到2112年，整数乘法中最有趣的一个回文数就是：1×1=1，11×11=121，111×111=12321。根据这一规律可以巧算出：×=，对于回

4、文数这一特殊结果，大都觉得非常惊讶，对此产生浓厚的兴趣，感叹数的对称美。对称作为一种美,在宇宙万物中成为一个永恒的定理，就象有阴就有阳，有黑就有白一样，说的更玄乎一些，像现代物理学理论中所推论的那样有正物质就有反物质，如，我们生活中所看到感受到的一切客观事物都是正物质，同样宇宙中也存在我们看不见的能量和正物质一样相等的反物质，这样宇宙才均衡，就像宇宙中有你，同样也存在着“反你”，如果有一天“你们”一握手，那么你和“反你”就顿时消失，就像5+（-5）=0一样，说来有些荒唐，可是这种设想在解答一些难题时，却显得巧妙、易懂。如在小学对程度比较好的学生上等差数列求和时，大都用公式：（首项+末项）

5、15;项数÷2来教学，可对于小学生要掌握和理解有一定困难。如一道“有女不善织”的古代算术题：有位妇女不善织布，她每天织的布都比上一天要减少一些，减少的数量是相等的，她第一天织了五尺，最后一天织了一尺，一共织了三十天，她一共织了多少尺布？这题的难点在于除了第一天和最后一天，中间每天织的布不是整数，而且每天比上一天少织多少布也不易求。可运用对称的思想是这样解答的：假设还有另一位姑娘也和这位妇女一样织布，只不过她与这位妇女织布的情况刚好相反：姑娘每天织的布都比上一天要增加一些，增加的数量是相等的，她第一天织一尺，最后一天织五尺，也织了三十天，由此可知，姑娘和妇女所织布的总长度是相等的，妇女

6、所织的布每天减少的数量与姑娘织布每天增加的布的数量是相等的，因此每天两人共织的布为六尺，三十天共织6×30=180尺，每人织90尺。这题的巧妙之处在于将抽象的一组等差数列求和转化为形象生动的形似回文数一般的对称求和方法，也和物理学中所说的正物质和反物质有异曲同工之妙。其实做为等差数列求和都可以用这种思路解答，运用对称的思维来理解等差数列比单纯讲求和公式要形象、生动的多。（二）、 从轴对称图形中发现对称原理的运用根据轴对称图形的一半和对称轴可以精确的画出轴对称图形的另一半图形，这是在教学了轴对称图形后常见的习题。在数学中，轴对称图形同时也为人们研究数学提供了某些启示，例如它在博弈问题中

7、也常运用这一原理。如：桌面上有21个棋子，排成一排，你一次可以拿一粒也可以拿两粒棋子，甚至可以拿三个棋子。想拿哪里的棋子都行，不必按顺序拿，但拿两粒或三粒棋子时必须是相邻的即中间没有空隔或其他棋子，问：“两人轮流拿谁拿到最后一粒谁赢，你如果先拿能保证赢吗？”这题看上去挺复杂，按排列组合众多拿法要想一一分析清楚太费力，其实运用对称原理就非常简单，先拿的人只要先拿走中间一粒，即第十一粒棋，这样左、右两边各剩十粒，这样对方拿左边的棋子，你就拿右边的棋子，并且个数和位置和他对称，如果对方拿右边的棋子，你就按照他拿左边的棋子，总之只要保持左、右两边的棋子剩下的个数和位置一样，只要他有的拿，你也有的拿，因

8、此最后一粒必然落入你手中，因此先拿必胜，如果棋子是20粒（偶数个），你就先拿中间的两粒，让左右两边各剩9粒棋子，这样你就必胜。类似的题目还有如：用若干一元的硬币两人轮流将它摆在一个大圆盘上，要硬币之间不能重叠，谁摆不下谁算输，是先摆赢还是后摆赢？显然根据对称原理，先摆的人只要先占住圆心，以后对方摆哪你就照他在对面对称着摆出，只要他有空间摆，那么在相对称的地方也必定有空间摆，直至对方摆不下为止，对方先输。其实这两题的思维方法都来自轴对称图形的基本特征，教师在教学完轴对称图形的内容后可以适当的渗透这方面的知识，学生即乐于学习，又加深对轴对称图形知识的运用和深层理解，发现对称的美，感受到数学的魅力。

9、 “对称”在数学上的表现是普遍的：轴对称、中心对称、对称多项式等，从奇偶性上也可以视为对称，从运算关系角度看互逆运算也可看为对称关系，还有许许多多的地方都体现出它的魅力，就像亚里士多德所说的那样：虽然数学没有明显地提到善和美，但善和美也不能和数学完全分离。因为美的主要形式就是秩序、匀称和确定性，这些正是数学所研究的原则。我们要认真陶所数学中的对称美发现学数学的乐趣和规律。 三:数学对称美在高等数学等中的应用：高等数学里，对称的例子也经常遇到。矩阵和行列式被人们称为“美丽的花园”，即使不懂数学的人，也能感到其排列的整齐和处处对称，从而领略它们的形式之美。从对称通常是指图形或物体对某个点，直线或平

10、面而言，在大小、形状和排列上具有一一对应关系，在数学中，对称的概念略有拓广常把某些具有关连或对立的概念视为对称，这样对称美便成了数学中的一个重要组成部分，对称美是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，数学则是它根本，美和对称紧密相连。（1）数形对称美：几何中的对称美。几何图形的对称美是对称美最通俗、最直观的解释。在几何图形中，平行四边形是中心对称的，等腰三角形是轴对称的，球形最为特殊，它既是中心对称，又是轴对称，也是面对称的图形。正如毕达哥拉斯所说：“一切立体图形中最完美的是球形，一切平面图形中最完美的是圆。”正是由于几何图形中有这些点对称、线对称、面对称，才有了美丽的图案，有了巧夺天

11、工的建筑，进而渲染出五彩斑斓的世界。 在几何中，许多问题的解决也运用了对称性原理。笛卡尔创建的解析几何学可以说是美学思想在数学领域的成功运用。在笛卡尔直角坐标系中，代数方程与几何图形之间建立了一种对称，使代数与几何化为一体，达成完美的统一。而在各种曲线方程标准形式的推导中，更是充分利用了图形本身的对称性。 例如：曲面积分的对称性有 成立，则称关于具有轮换对称性.定义2：若函数，则称函数关于函数具有轮换对称性.1第一类曲面积分对称性定理定理1：若积分曲面可以分成对称的两部分，在对称点上被积函数的绝对值相等即光滑曲面关于(或,或)坐标面对称，则有（）,在对称点上取相反的符号即关于 (或,或)的奇函