这是复数乘法的几何意义，是优秀的数学教案文章，供老师家长们参考学习。

复数乘法的几何意义第 1 篇

二、在解析几何中的应用

复数三角形式乘法的几何意义及其应用复数三角形式乘法的几何意义及其应用

复数乘法的几何意义第 2 篇

　　复数的几何意义是什么

　　1、复数的几何意义是：复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系。

　　2、我们把形如z=a+bi（a，b均为实数）的数称为复数，其中a称为实部，b称为虚部，i称为虚数单位。

　　3、当z的虚部等于零时，常称z为实数；当z的虚部不等于零时，实部等于零时，常称z为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。

　　4、复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

　　设z1=a+bi，z2=c+di是任意两个复数，它的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和：（a+bi）±（c+di）=（a±c）+（b±d）i。

　　其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中i2=-1，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。

　　复数除法定义：满足（c+di）（x+yi）=（a+bi）的复数x+yi（x，y∈R）叫复数a+bi除以复数c+di的商。

　　运算方法：可以把除法换算成乘法做，将分子分母同时乘上分母的共轭复数，再用乘法运算。

　　拓展阅读：复数与向量的关系是什么

　　向量是复数的一种表示方式，而且只能是二维向量，即平面向量。复数仅仅限制在二维平面上。复数和复平面上以原点为起点的向量一一对应。

　　1、向量：在数学与物理中，既有大小又有方向的量叫做向量，亦称矢量，在数学中与之相对应的是数量，在物理中与之相对应的是标量。

　　2、复数：被定义为二元有序实数对。复数域是实数域的代数闭包，也即任何复系数多项式在复数域中总有根。复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

复数乘法的几何意义第 3 篇

(1)掌握，如虚数、纯虚数、复数的实部与虚部、两复数相等、复平面、实轴、虚轴、共轭复数、共轭虚数的概念。

(2)正确对复数进行分类，掌握数集之间的从属关系;

(3)理解复数的几何意义，初步掌握复数集c和复平面内所有的点所成的集合之间的一一对应关系。

(4)培养学生数形结合的数学思想，训练学生条理的逻辑思维能力.

本节首先介绍了，然后指出复数相等的充要条件，接着介绍了有关复数的几何表示，最后指出了有关共轭复数的概念.

(1)正确复数的实部与虚部

对于复数 ，实部是 ，虚部是 .注意在说复数 时，一定有 ，否则，不能说实部是 ，虚部是 ,复数的实部和虚部都是实数。

说明：对于复数的定义，特别要抓住 这一标准形式以及 是实数这一概念，这对于解有关复数的问题将有很大的帮助。

(2)正确地对复数进行分类，弄清数集之间的关系

分类要求不重复、不遗漏，同一级分类标准要统一。根据上述原则，复数集的分类如下：

注意分清复数分类中的界限：

(3)不能乱用复数相等的条件解题.用复数相等的条件要注意：

②实部、虚部中的字母为实数，即

(4)在讲复数集与复平面内所有点所成的集合一一对应时，要注意：

①任何一个复数 都可以由一个有序实数对( )确定.这就是说，复数的实质是有序实数对.一些书上就是把实数对( )叫做复数的.

②复数 用复平面内的点z( )表示.复平面内的点z的坐标是( )，而不是( )，也就是说，复平面内的纵坐标轴上的单位长度是1，而不是 .由于 =0+1· ，所以用复平面内的点(0，1)表示 时，这点与原点的距离是1，等于纵轴上的单位长度.这就是说，当我们把纵轴上的点(0，1)标上虚数 时，不能以为这一点到原点的距离就是虚数单位 ，或者 就是纵轴的单位长度.

③当 时，对任何 ， 是纯虚数，所以纵轴上的点( )( )都是表示纯虚数.但当 时， 是实数.所以，纵轴去掉原点后称为虚轴.

由此可见，复平面(也叫高斯平面)与一般的坐标平面(也叫笛卡儿平面)的区别就是复平面的虚轴不包括原点，而一般坐标平面的原点是横、纵坐标轴的公共点.

④复数z=a+bi中的z，书写时小写，复平面内点z(a，b)中的z，书写时大写.要学生注意.

(5)关于共轭复数的概念

设 ，则 ，即 与 的实部相等，虚部互为相反数(不能认为 与 或 是共轭复数).

教师可以提一下当 时的特殊情况，即实轴上的点关于实轴本身对称，例如：5和-5也是互为共轭复数.当 时， 与 互为共轭虚数.可见，共轭虚数是共轭复数的特殊情行.

(6)复数能否比较大小

教材最后指出：“两个复数，如果不全是实数，就不能比较它们的大小”，要注意：

①根据两个复数相等地定义，可知在 两式中，只要有一个不成立，那么 .两个复数，如果不全是实数，只有相等与不等关系，而不能比较它们的大小.

②命题中的“不能比较它们的大小”的确切含义是指：“不论怎样定义两个复数间的一个关系‘<’，都不能使这关系同时满足实数集中大小关系地四条性质”：

(i)对于任意两个实数a， b来说，a ，>

(iv)如果a0，那么ac(不必向学生讲解)

1.要注意知识的连续性：复数 是二维数，其几何意义是一个点 ，因而注意与平面解析几何的联系.

2.注意数形结合的数形思想：由于复数集与复平面上的点的集合建立了一一对应关系，所以用“形”来解决“数”就成为可能，在本节要注意复数的几何意义的讲解，培养学生数形结合的数学思想.

3.注意分层次的教学：教材中最后对于“两个复数，如果不全是实数就不能本节它们的大小”没有证明，如果有学生提出来了，在课堂上不要给全体学生证明，可以在课下给学有余力的学生进行解答.

复数乘法的几何意义第 4 篇

3. 复数的加减乘除法四则运算

1. 让学生了解数的演变过程，以及数集扩充的必要性，体会人类的理性思维对数学的发展所起的重要作用

2. 通过对复数的概念的学习，理解复数的几何意义，能利用复数解决复数相等和共轭复数的问题

3. 掌握复数运算的加减法法则，了解它们的几何意义

4. 掌握乘除法的运算过程，能解决一些具体的问题

重点：复数的概念和复数运算的加减乘除法则

难点：1. 复数的概念以及它的几何意义和加减运算法则的几何意义

2. 复数乘除法的法则及其应用

数的产生和发展，都是为了计数的需要，以及为了解决一些实际问题中出现的矛盾，经过人的理性思维，从而扩充数系。（分数解决了在整数集中不能整除的矛盾 ，负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾，无理数解决了开方开不尽的矛盾，复数解决了方程的次数和方程解的个数不一致的矛盾） 数系扩充的脉络：

自然数系 有理数系 实数系 复数系

2. 复数的概念以及几何意义

（1）复数的定义：形如a＋bi的数叫做复数，其中a，b都是实数，通常小写字母z表示，记作z＝a＋bi（a，bR），a叫做复数z的实部，b叫做复数z的虚部，i叫做虚数单位

复数z＝a＋bi中，如果b＝0，则复数z叫做实数；如果b0，则复数z＝a＋bi叫做虚数：如果a＝0， b0，则bi 叫做纯虚数

复数z＝a＋bi 有序实数对（a，b） 点Z（a，b）

3. 复数相等，复数的模

（1）复数相等：如果复数的实部和虚部对应相等，则称2个复数相等，即：

思考：两个复数能否比较大小

（2）复数的模：设向量OZ＝a＋bi，则向量OZ的长度叫做复数a＋bi的模（或绝对值） 记作＝

（1）共轭复数：如果两个复数的实部相等，而虚部互为相反数，则这两个虚数叫做互为共轭复数，记作z＝a＋bi，＝a－bi

（2）共轭复数的性质：

②任意实数的共轭复数都是它本身即z＝；

③表示两个共轭复数的点关于实轴对称

（3）共轭复数的运算性质

（1）两点间距离公式d＝

（2）线段的中垂线 ＝

（3）圆的方程 ＝r，圆心Z0，半径为r

6. 复数运算的加减法则以及几何意义

（1）加法法则：（a＋bi）＋（c＋di）＝（a＋c）＋（b＋d）i

（2）减法法则：（a＋bi）－（c＋di）＝（a－c）＋（b－d）i

（3）几何意义：加法就是向量的加法的平行四边形法则，减法遵循向量的减法法则

强调：①两个复数之积仍是复数，一般形式x＋yi （x，y）

②不要求记忆乘法法则，按照多项式乘法的运算方式展开就可以了

③复数乘法运算满足交换律，结合律和乘法对加法的分配律

（2） 复数的除法法则

强调：①复数除法的结果仍是复数，不要求记忆公式

②复数除法的本质是分母实数化

8. 两个重要的复数（i，）

例1. 实数m取什么值时，复数z＝（m2－3m－4）＋（m2－5m－6）i

（1）是实数 （2）是虚数 （3）是纯虚数

思路分析：这是考察复数的分类，也就是复数z＝a＋bi中，其中a，b都是实数，由复数z＝a＋bi是实数，虚数和纯虚数的条件可以确定m的值

例2. 若2，求的最值

思路分析：2表示复数z的对应点Z是以3＋4i为圆心，2为半径的圆面，如图，最值点在复数3＋4i表示的点与坐标原点连线上。

解：圆心（3，4）到坐标原点的距离为5，半径为2，所以最大值为5＋2＝7，最小值为5－2＝3。

强调：注意数形结合对解此类型题目的实际意义，数形结合有利于解题。

例3. 已知复数Z1，Z2满足＝＝， ＝，求的值。

思路分析：复数的加法的几何意义就是向量加法的平行四边形法则，如图，已知平行四边形相邻两边长分别为，其中一条对角线长为，转化为求另一条对角线长度的问题。可以通过解三角形，利用余弦定理解决。如图

例4. 设z是虚数，w＝，且－1＜w＜2。

思路分析：本题考查复数的概念，复数的运算以及与函数，不等式的综合应用能力，能力层次；综合应用。

思路一： 由于将用x，y的表达式表示，利用题设条件＜w＜2论证各问题

思路二： 利用z，z为纯虚数两题

（1）设z＝x＋yi（x，y，且y）则

∵－1＜w＜2，∴w，∴y－

由－1＜w＜2得－1＜2x＜2，∴－0.5＜x＜1

当且尽当x＋1＝ ，即x＝0时等号成立

∴当x＝0，即z＝时，有最小值1

（1）∵－1＜w＜2，∴w＝，即

∴∵－1＜w＜2，∴－0.5＜x＜1

（2） ∵z为虚数，∴z－1，即

思想方法小结：本题解法一利用复数的基本概念和基本运算解题，方法略繁，但思路清晰。解法二运用共轭复数的性质解题，方法简洁，计算量小，体现了转化思想。

1. 若Z1＝（x－2）＋yi与Z2＝3x＋i（x，yR）互为共轭复数，则Z1对应的点在第（ ）象限

2. 下列说法正确的个数是（ ）

①实数是复数 ②虚数是复数 ③ 实数集与虚数集的交集不是空集 ④实数集与虚数集的并集等于复数集 ⑤虚轴上的点表示的都是纯虚数 ⑥实轴上的点表示的数都是实数

3. 复数z＋＝0，则z是（ ）

A. 充分不必要 B. 必要不充分 C. 充要条件 D. 不充分不必要条件

8. 复数（m2－4）＋（m2＋m－6）i是纯虚数，则m＝

9. 已知复数Z1，Z2满足则

12. 已知复数z是方程的根，则

（1）求＝ （2）求＝

13. 已知复数z＝3＋4i，则z的平方根为

14. 求复数 Z1＝3＋4i，Z2＝的模及其共轭复数

15. 已知平行四边形ABCD，若A，B，C三点对应复数分别为2＋i ， 4＋3i ， 3＋5i，求点D对应的复数

16. 设复数z＝lg（m2－2m－2）＋（m2＋3m＋2）i ，试求实数m取何值时，

（1）复数z是纯虚数，（2）复数z是实数，（3）z对应的点位于复平面的第二象限

17. 已知复数z满足

18. 求一个复数z，使得为实数，且

19. 已知z＝1＋i，a，b为实数，

（2）若，求a，b的值

17. 最大值 ，最小值

华裔网球名将张德培在事业巅峰的时间曾说：小时候，我用球打击墙，它立即反击我，让我知道它是无法穿越的；现在，我是墙。我是张德培，这是我的世界。

墙无法穿越，你打击，疼痛的是手，流血的是心；手里拿物体打击墙，力道越足，墙反弹的力度越强，受的伤就越重，但墙仍然无法穿越，顶多是留下一个凹陷的痕迹。把墙撞塌了，被压垮的还是你自己。我们都有碰壁的时候，迁怒于墙，结果被愤怒烧伤自己的脉管；狠狠拍击墙，折断的可能是你的胳膊。并不是所有的墙都可以攀越或随意移动的。头撞南墙的是傻瓜，向隅而泣的是懦夫。把自己化为一堵墙，就没有什么可以穿越你了。

苦难是堵墙，隔阂是堵墙，冷遇是堵墙。对付墙的办法，就是比墙更硬。不想被什么穿越，你就选择做一堵岿然不动的墙。

现在我是墙，是藤蔓可以攀援的墙，是牵牛可以开花的墙。

话外音：做人要坚强。当你强大到一定程度的时候，你就是别人的标准和榜样。

i是虚数单位,它的模是1
虚数又分为纯虚数和复数:
负数 a+bi 它的模为a的平方加b的平方,再开方

复数知识点-复数的模运算法则-复数公式大全-复数的运算例题和答案复数的四则运算" 复数的运算：1、复数z1与z2的和的定义：z1+z2=（a+bi）+（c+di）=（a+c）+（b+d）i；2、复数z1与z2的差的定义复数是一个重要内容，解决复数问题，通常是运用代数形式把它转化为实数问题去解决；运用三角形式把它转化成三角问题去解决；运用向量及其几何形式把它转化为平面几何问题或解析几何问题去解决，有时需要运用复数本身一些特有形式如共轭运算，模运算等。复数沟通了代数、三角、几何之间的联系，因而复数问题的解法往往综合性强且构思巧妙，方法灵活，复数运算中，求值是最常见的，不仅要用到复数的几种形式，而且有时需运用代数中的换元法及整体变形，或综合运用其他知识，如：求最值常用基本不等式，函数方法，复数还常用到数列，二项式定理等知识。复数的运算种类虽多，但各种运算方式间有联系，最本质的运算方式是代数形式的运算。多样性的运算使我们研究复数问题时有多种可考虑的途径，以便从中选择较好的方式，运算常用的结论：z1-z2=（a+bi）-（c+di）=（a-c）+（b-d）i；3、复数的乘法运算规则：设z1=a+bi，z2=c+di（a、b、c、d∈R）是任意两个复数，那么它们的积（a+bi）（c+di）=（ac-bd）+（bc+ad）i，其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成-1，并且把实部与虚部分别合并，两个复数的积仍然是一个复数。4、复数的除法运算规则：。复数加法的几何意义：设为邻边画平行四边形就是复数对应的向量。复数减法的几何意义：复数减法是加法的逆运算，设，则这两个复数的差对应，这就是复数减法的几何意义。共轭复数：当两个复数的实部相等，虚部互为相反数时，这两个复数叫做互为共轭复数。虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数。复数z=a+bi和=a-bi（a、b∈R）互为共轭复数。" 复数的运算律：1、复数的加法运算满足交换律：z1+z2=z2+z1；结合律：（z1+z2）+z3=z1+（z2+z3）；2、减法同加法一样满足交换律、结合律。3、乘法运算律：（1）z1（z2z3）=（z1z2）z3；（2）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3；（3）z1（z2+z3）=z1z2+z1z3" 共轭复数的性质：复数运算教案【学习目标】1.理解并掌握复数的代数形式的乘法与除法运算法则，深刻理解它是乘法运算的逆运算；2.理解并掌握复数的除法运算实质是分母实数化类问题；【重点难点】重点：复数代数形式的除法运算.难点：对复数除法法则的运用.【学法指导】复数乘法运算是按照多项式与多项式相乘展开得到，在学习时注意将i2换成-1；除法是乘法的逆运算，所以复数的除法运算可由乘法运算推导获得，但是也可由互为共轭复数的两个复数的乘积为实数，先将复数的分母实数化，再化简可得，学习时注意体会第二种方法的优势和本质.【知识链接】1.复数z1与z2的和的定义：z1+z2=(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i；2.复数z1与z2的差的定义：z1-z2=(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i；3.复数的加法运算满足交换律:z1+z2=z2+z1；4.复数的加法运算满足结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；5.复数z=a+bi(a,b∈R)的共轭复数为z=a-bi.【问题探究】探究一、复数的乘法运算引导1:乘法运算规则设z1=a+bi、z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数，规定复数的乘法按照以下的法则进行：z1?z2=其实就是把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.引导2:试验证复数乘法运算律（1）z1?z2=z2?z1（2）(z1?z2)?z3=z1?(z2?z3)（3）z1?(z2+z3)=z1?z2+z1?z3点拨：两个复数相乘，类似两个多项式相乘，在所得的结果中把i2换成－1，并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.探究二、复数的除法运算引导1：复数除法定义：满足(c+di)(x+yi)=(a+bi)的复数x+yi(x,y∈R)叫复数a+bi除以复数c+di的商，记为：(a+bi)÷(c+di)或者a+bi(c+di≠0).c+di引导2：除法运算规则：利用(c+di)(c-di)=c2+d2.于是将a+bi的分母有理化得：c+di原式==a+bi(a+bi)(c-di)[ac+bi?(-di)]+(bc-ad)i==22c+di(c+di)(c-di)c+d(ac+bd)+(bc-ad)iac+bdbc-ad=2+2i.2222c+dc+dc+d∴(a+bi)÷(c+di)=ac+bdbc-ad+2i.222c+dc+d点拨：利用初中我们学习的化简无理分式时，都是采用的分母有理化思想方法，而复数c+di与复数c-di，相当于我们初中学习的+2的对偶式3-2，它们之积为1是有理数，而(c+di)(c-di)=c2+d2是正实数.所以可以分母实数化.【典例分析】例1计算(1-2i)(3+4i)(-2+i)引导:可先将前两个复数相乘，再与第三个复数相乘.点拨：在复数的乘法运算过程中注意将i2换成－1.例2计算：（1）(3+4i)(3-4i)；（2）(1+i).2引导:按照复数乘法运算展开即可.点拨：注意体会互为共轭复数的两个复数的乘积是一个实数，记住一些特殊形式代数式的运算结果，便于后续学习的过程中的化简、代换等.例3计算(1+2i)÷(3-4i引导:可按照复数除法运算方法，先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简即可.点拨：本题可将除法运算转化为乘法运算，但是相对麻烦，易于采用先将除式写成分式，再将分母实数化，然后化简的办法，学习时注意体会总结，寻求最佳方法.例4引导:可先将分子化简，再按照除法运算方法计算，注意计算的准确性.点拨：对于混合运算，注意运算顺序，计算准确.【目标检测】?2i?1.复数?等于（）?1+i?A．4i2.设复数z满足B．-4iC．2iD．-2i1+2i=i，则z=（）z2A．-2+i3B．-2-iC．2-iD．2+i?13?i?3.复数+?的值是（）22??A.-iB.iC.-1D.14.已知复数z与(z+2)-8i都是纯虚数，求z.2提示：复数z为纯虚数，故可设z=bi(b≠0)，再代入求解即可.【总结提升】复数的乘法和除法运算是复数的基本运算，在学习时注意运算法则和方法，在乘法运算中注意把i2换成－1，在除法运算中注意方法的本质依据，计算时注意准确性.【总结反思】