在静电场的电介质学习过程中，我们经常遇到这样的问题：电介质本身不带电，讨论其在外电场作用下的极化问题^[1-3]，而电介质如果带电的话，空间电场分布以及极化电荷分布的讨论几乎在教科书中没有涉及^[4-7]。但是这种情况在实际中是可能存在的，比如胶体溶液，就是1~100nm的带电颗粒均匀分布在绝缘的电介质溶液中，静电喷涂漆料也是由很多的微小带电颗粒分布在一个绝缘的介质环境中。搞清楚这一问题对于全面理解电介质的极化行为是非常必要而且重要的。本文对三种情形下的均匀带电介质球的空间分布分别进行了讨论，并对极化电荷的分布也给出了详细的计算。

1 均匀带电介质球空间电场及极化电荷分布

题目1：空间中一均匀带电介质球，球半径为R，电量为Q，相对介电常数为ε_r，问空间电场分布以及极化电荷分布。（这里Q指额外自由电荷，不包括极化电荷）

如图1所示，在有电介质存在的问题中，一般我们采用电位移矢量的高斯定理来求解，以避开极化电荷的干扰。我们取一同心球面（如图中虚线），有

根据电场分布具有球对称性，因此有

再根据D=ε₀ε_rE可以求出空间电场分布，即

接下来，我们来求极化电荷，由于介质球均匀带电，因此极化电荷不仅分布在球表面上还有球体内，所以我们分别计算体内和表面的极化电荷分布。

体内：由公式，将P=代入，得到

体极化电荷仍然是均匀分布，因此体极化电荷总电量为

不难发现，体内总极化电荷数量Q′_体和球表面极化电荷数量Q′_表是等值异号的，因此它们在介质球以外的空间产生的电场完全抵消掉，在外部空间的电场好像就是仅由额外自由电荷Q产生的一样。

根据电场能量密度公式，我们可以进一步把空间电场总能量计算出来，空间电场能量分为两部分，即球内和球外两部分，将这两部分能量分别设为W_内和W_外，于是有

将式（1）中的电场强度代入，得

2 均匀带电介质球壳空间电场及极化电荷分布

题目2：空间中一均匀带电电介质球壳，球壳内外半径分别为R₁和R₂，电量为Q，相对介电常数为ε_r，问空间电场分布以及极化电荷分布。（这里Q指额外自由电荷，不包括极化电荷）

如图2所示，这道题和题目1对比，只是球壳多了一个内表面。解题思路和题目1类似，先求电位移矢量D

再求出空间电场E分布，即

球壳外表面极化电荷密度

球壳内表面处电场为零，因此极化强度矢量P是0，故内表面

由公式（7）和公式（9）知，极化体电荷Q′_体和极化面电荷Q′_外表等量异号，并且都是球对称分布，因此它们在球壳外空间产生的电场相互抵消。

这里空间电场存在于球壳内部（R₁≤r<R₂）和外部（r≥R₂）两个空间，类似地我们可以把空间总电场能量计算出来，于是有

将（5）式中的电场强度代入，得

3 带电导体球和均匀带电介质球壳空间电场及极化电荷分布

题目3：空间中一带电导体球，半径为R，电量为q，其外部同心地套有一个介质球壳，球壳内外半径分别为R₁和R₂，均匀带电，电量为Q，相对介电常数为ε_r，问空间电场分布以及极化电荷分布。（这里Q指额外自由电荷，不包括极化电荷）

这个题目更要复杂一些，既有导体又有电介质，并且还都在带电，重点考查导体球和介质球壳带电的特点，学生特别容易混淆。如图3所示，对于导体球来说，按照导体静电平衡条件，导体的电量都带在其外表面上，即半径为R的球面上。球壳的内表面处于导体球产生的电场中，因此内表面一定会出现极化电荷，那么空间电荷分布和电场分布将会怎么样呢？

我们还是先从电位移矢量D的高斯定理出发，得到

再根据D=ε₀ε_rE可以求出空间电场分布，即

这里，从公式（11）和公式（12）可以看出，电位移矢量在半径R₁和R₂的球面上是连续的，但是电场强度在半径R₁和R₂的球面上不连续，这是因为电位移矢量是由自由电荷产生的，而电场场强是由自由电荷和极化电荷共同产生的。在这些界面上存在极化电荷，它们激发了电场，引起电场强度的跃变。

下面分析一下极化电荷的分布。

球内外表面极化面电荷密度

不难发现Q′_表+Q′_体=0。由于极化面电荷和极化体电荷互相抵消，所以对于r>R₂的空间，电场大小为，就好像极化电荷不存在一样。

从公式（14）~公式（17）可以看出，当相对介电常数ε_r→∞时，电介质过渡到导体，我们得到Q′_体=-Q， Q′_外表=-(Q+q)，Q′_内表=-q，这个结果和我们熟悉的导体球壳的结果完全一致了。

对于球壳内部空间的电场，由场强叠加原理，它是由自由电荷Q、q，以及极化体电荷Q′_体和极化面电荷（Q′_内表和Q′_外表）共同产生的。首先对于球壳外表面的极化电荷Q′_外表，它在介质内不产生电场的。q以及Q′_内表在球壳空间内产生的电场为

而自由电荷Q和极化体电荷Q′_体，都是均匀分布，Q+Q′_体=，它产生的电场可以由E的高斯定理求出，在球壳内部取半径为r的高斯面，由

和式（12）的结果是一致的。

由式（12）可知，空间电场存在于三部分空间，分别是Ⅰ区（R≤r<R₁）， Ⅱ区（R₁≤r<R₂）和Ⅲ区（r≥R₂），空间电场总能量为

将式（12）中的电场强度代入，得

通过上面三道例题的分析，我们发现对于各向同性均匀电介质，如果体内均匀带电的话，体内同时也会有极化电荷出现，并且极化电荷分布和额外自由电荷分布是线性正比关系，符号相反。同时在介质球的内外表面都可能出现极化面电荷分布，经过计算得知，这三种情况下体极化电荷总量和面极化电荷总量是相等的，因此它们在球（球壳）以外的空间产生的电场互相抵消，外部空间的电场好像是由包围的自由电荷产生的。