有理数和分数是什么关系?

6.3 《实数的概念及分类》导学案

认知目标:1.了解无理数和实数的概念,会对实数进行分类,

2.了解实数与数轴上点的一一对应关系。

过程目标:1.在数的开方的基础上引进无理数的概念,并将数从有理数的范围扩

充到实数的范围,从而总结出实数的分类,

2.通过实数与数轴上点的对应关系的探究,体验“数形结合”思想。

情感目标: 经历探索从有理数到实数的扩充过程,培养探究精神,激发求知热

情;通过实数的分类,培养分类思想,发展分类意识。

教学重点:无理数,实数的概念及实数的分类;

教学难点:无理数概念及实数与数轴上点的一一对应关系

【知识回顾,创设情境】

1、把下列各数按要求填在横线上:

2、有理数是怎样定义的? 有理数分类有哪两类标准?请与他人交流 。

【合作交流,探究新知】

有理数包括整数和分数,把下列有理数写成小数的形式,你有什么发现? 3= ,35 = ,478= ,911= ,119

= 59= 我们发现,上面的有理数

归纳:任何一个有理数都可以写成有限小数或无限循环小数的形式。 猜想:有限小数或无限循环小数都能转化为分数吗?

验证:下列有限小数能化为分数吗? 5、2.3、0.25、1.334

无限循环小数能转化为分数吗?

结论:有限小数或无限循环小数都能转化为分数

拓展:有限小数或无限循环小数就是有理数

问题:我们在求一个数的平方根或立方根时,发现有些数的平方根或立方

根是这样的小数,如=3.4

这些小数有什么共同点?它们是有理数吗?如果不是,它们是什么数呢?

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有理数、无理数之战 小毅的小脑袋瓜里,整天琢磨着数学问题。一天晚上,他正在一道又一道地演算数学题,忽然听到屋后“乒乒叭叭”响起枪声。 “深更半夜,哪来的枪声?”小毅爬上屋后的小山一看,啊呀,山那边摆开了战场,两军对垒打得正凶。一方的军旗上写着“有理数”,另一方的军旗上写着“无理数”。 小毅记得老师讲过,整数和分数合在一起,构成有理数。无理数则是 无限 不循环小数。 “奇怪,有理数和无理数怎么打起仗来了?” 小毅攀着小树和藤条,想下山看个究竟。突然,从草丛中跳出两个侦察兵,不容分说就把他抓起来。小毅一看,这两个侦察兵胸前都佩着胸章,一个上面写着“”,另一个上面写着“”。 噢,他们都是有理数。“你们为什么抓我?”小毅喊着。 “你是无理数,是个奸细!”侦察兵气势汹汹地说。 “我不是无理数,我是人!”小毅急忙解释。 侦察兵不听他的申辩,非要带小毅去见他们的司令不可。小毅问:“你们的司令是谁?” “大名鼎鼎的整数!”侦察兵骄傲地回答。 “那么多有理数,为什么偏偏让当司令呢?”小毅不明白。 侦察兵回答说:“在我们有理数当中,是最基本、最有能力的了。只要有了,别的有理数都可以由造出来。比如吧,2=1+1;我是,;再比如0,01-1。” 小毅被带进司令所在的一间大屋子里。这里有许多被捉的俘虏,屋子的一头,摆着一架光机模样的奇怪的机器。 “押上一个!”司令下命令。 两个士兵押着一个被俘的人走上机器。只见荧光屏“啪”的一闪,显示出“20502”。 “整数,我们的人。”司令说完,又叫押上另一个。荧光屏显示为“”。 “分数,也是有理数,是你们的人!”小毅憋不住地插嘴。司令满意地点点头。又押上一个,荧光屏上显示出“0.35278=”。 “有限小数;有理数,是你们的人!”小毅继续说。接着押上的一个在荧光屏上显示出是“0.787 878”. “也是你们的人。”小毅兴奋地说,“循环小数,可以化成分数的。” 这时,又有一个俘虏被两个士兵硬拉上机器,荧光屏“啪”的一闪,出现“1.414=”。不等小毅开口,司令厉声喝道:“奸细,拉下去!”这个无理数立刻被拖走了。接着荧光屏显示出一个数“0.101 001 000001”。 “这是循环小数吧?”小毅还没说完,那数猛地从机器上跳开想逃跑,却被士兵重新抓住。 “这是个无限不循环小数,是个无理数!”司令说道。小毅因为识别错了,脸都红了。这时,两个士兵请小毅站到机器上去,荧光屏立刻出现一个大字“人”。 “实在对不起!”司令抱歉地说,“到客厅坐坐吧。” 小毅问司令为什么要和无理数打仗。司令叹了口气说:“其实,这是迫不得已的。前几天,无理数送来一份照会,说他们的名字不好听,要求改名字。” “要改成什么名字?” “要把有理数改成比数,把无理数改成非比数。”司令说,“我想,千百年来人们都这么叫,已经习惯了,何必改呢?就没有答应。谁知他们蛮不讲理,就动起武来了。” 小毅试探地问:“我来为你们调停调停好吗?他们无理数的司令是谁呢?” “是”司令答道,“我们也愿意协商解决这个问题。” 小毅来到无理数的军营。他问司令为什么非要改名不可?司令说:“我们和有理数同样是数,为什么他们叫有理数,而我们叫无理数呢?我们究竟哪点无理?”说着,司令激动起来。 小毅问:“那当初,为什么给你们起这个名字呢?” “那是历史的误会。”司令说,“人类最先认识的是有理数。后来发现我们无理数时,对我们还不理解,觉得我们这些数的存在好像没有道理似的,因此取了无理数这么个难听的名 字。可是现在,人们已经充分认识我们了,应该给我们摘掉无理这顶帽子才对!” “那你们为什么要叫非比数呢?” “你知道有理数和无理数最根本的区别吗?”司令问小毅。不等小毅回答,他自己又接着说下去:“凡有理数,都可以化成两个整数之比;而无理数,无论如何也不能化成两个整数之比。” 小毅觉得司令说得有道理,就点了点头,又试探着问:“那么,能不能想办法和平解决呢?” 司令见他诚心诚意,就说:“有一个好办法,但需要你帮忙。” “我一定尽力!”小毅答道。司令高兴得一把拉住小毅的手:“你回家后,给数学学会写一封信,把我们的要求转达给国际数学组织,请他们发个通知,把有理数和无理数改为比数和非比数。只要人类承认了,有理数也不能不答应。” 小毅答应回去试一试。他一面往家走,一面在心里嘀咕:要是数学家们不同意可怎么办呢? 老师的话有理数是个翻译名词, rational number ,日本人把它翻译成“有理数”,我们又从日文中把它移植过来,实际上这是一个误解,正确的翻译应该是 “指可以被精确地表示为两个整数之比的数”,所以有理数实际上正确的翻译名称应该是“比数”才对,但是,有理数这个概念人们已经用了很多年了,习惯了这个叫法,不容易改过来,我们也就沿用原来的称呼,但是大家要明白,这个和语文中的“有理”、“无理”没有关系,根本不是一回事,下面我们来看看哪些数是有理数(或者说这些数怎样化成两个整数的比)1、整数化成自身比1=51 =261 1 = 1(8)2、分数全都是有理数(不论正负以及真分数、假分数)= 3643 =(5)2 = 2(5)3、有限小数化成分母是10、100、1000、10000的分数,再化成两个整数的比 4、无限循环小数化成分母是9、99、999、9999、99999(分母也可能是这些数的整10、整100、整1000、整10000倍)的分数,再化成两个整数的比比如:纯循环小数能化成分母是9、99、999等的分数0. = 0. = 6.3 = 6 + 0.35 = 如果是混循环小数(即不从小数点后第一位开始循环的小数)自己把带分数化成假分数,结果都有意不化简比如:循环节的长度为1位,能化成分母是9的整10、整100、整1000倍的分数0.0 = 0.00 = 13.000 = 0.0000 = 比如:循环节的长度为2位,能化成分母是99的整10、整100、整1000倍的分数0.0 = 0.00 = 7.000 = 0.0000 = 以此类推,当然了,用任意一个质数作最简分数的分母都能很容易地得到循环小数,并不是非用9等作分母才行,你有兴趣可以自己算算(= ) 、 ( )、( )从上面的分析我们可以看出,不论是分数、小数、还是整数(包括0)都可以化成两个整数的比,它们都是有理数;反之,不能化成两个整数比的数就是无理数,也就是无限不循环小数。 也许有同学发现了一个问题,那就是0.不能用这个方法来化成分数,那么0. 能化成分数吗?又怎么化呢?老师也回答不了这个问题,你有兴趣研究吗?加油吧!数学王国里还有很多很多这样的秘密等着你来探

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一只青蛙一张嘴,两只眼睛四条腿

两只青蛙两张嘴,四只眼睛八条腿

三只青蛙三张嘴,六只眼睛十二条腿

四只青蛙四张嘴,扑嗵扑嗵跳下水

2. 一个数除几位数儿歌

先看被除数最高位,高位不够多一位

除到被除数哪一位,商就写在哪一位

不够商1就写0,商中头尾算数位

余数要比除数小,这样运算才算对

计算小数加减法,关键对齐小数点

用0补齐末位,便可进行加减

(2)小数大小比较儿歌(自编)

小数大小比较很容易,先把他们都竖起

小数点,数位要对起,然后再把他们比

首先比较最高位,最高位相同下位比

至到最后分高低,哪个高来哪个大

(3)除法是小数的除法

除法是小数,移位要记住

移动小数点,使它变整数

除数移几位,被除数同样多

数位如不够,添0来补位

4. 四则混合运算儿歌

通览全题定方案,细看是否能简便

从左到右脱式算,先乘除来后加减

括号依次小中大,先算里面后外面

横式计算竖检验,一步一查是关键

题目读几遍,从中找关键

先看求什么,再去找条件

合理列算式,仔细来计算

一题求多解,单位莫遗忘

结果要验算,最后写答案

6. 长度、面积、体积、容积的认识

长度一条线,面积一大片

体积占空间,容积算里面

四舍五入方法好,近似数来有法找

取到哪位看下位,再同5字作比较

是5大5前进1,小于5的全舍掉

等号换成约等号,使人一看就明白

8. 鸡兔同笼问题的解法

鸡有两只脚,兔有四只脚

先数头和身。再按鸡分脚

打竹板,连天,各位同学听我言

今天不把别的表,四则运算聊一聊

混合试题要计算,明确顺序是关键

同级运算最好办,从左到右依次算

两级运算都出现,先算乘除后加减

遇到括号怎么办?小括号里算在先

中括号里后边算,次序千万不能乱

每算一步都检验,又对又快喜心间

退位减法要牢记,先从个位来减起

哪位不够前位退,本位加十莫忘记

如果隔位退了1,0变十来最好记

11. 连续退位的减法

看到0,向前走,看看哪一位上有

借走了往后走,0上有点看作9

12. 两步计算应用题

两步计算应用题,读题审题要仔细

解题一环扣一环,中间问题是关键

数量关系要找准,计算步骤要理清

抓住中间带两头,准确答题乐悠悠

读数要从高位起,哪位是几就读几

每级末尾如有零,不必读出记心里

其他数位连续零,只读一个记仔细

万级末尾加读“万”,亿级末尾加读“亿”

写数要从高位起,哪位是几就写几

哪一位上无单位,用“0”顶位要牢记

15. 多位数大小比较歌

位数不同比大小,位数多的大,位数少的小

位数相同比大小,高位比起就知道

万位后面“0”去掉,加上万字改完了

亿位后面“0”去掉,加个亿字就改好

17. 有关计划实际相比较应用题的顺口溜

计划实际比较应用题,仔细分析不用急

数量关系很重要,前后关系很微妙

先把关系写上面,解题思路它领先

计划实际在前面,上下对比一条线

具体数量要体现,不变数量是关键

按量天数看的准,最后再把问题填

根据等式列方程,算术方法也简单

18. 有关凑“十”法的

看到9想到1,看到8想到2

看到7想到3,看到6想到4

看到大数加小数,先把两数换位置

吹6升4 (6象哨子,4象小旗)

(让学生摇动双手,像把10分成5和5)

19. 乘法口诀求商歌:

一想乘法,算除法,口诀缺啥就商啥

二用乘法口诀求商,先把口诀仔细想

如果缺少哪个数,它就是求得的商

20. 认识时间的儿歌

时针走过数字几,表示时间几时多

要问多了多少分,请你仔细看分针

21. 对于某些减法的简便运算

结合律不算难,两数结合可先算

小朋友,张开手,五只手指人人有

手指之间几个空,请你仔细瞅一瞅

23. 商中间或末位有0的除法

我是0,本事大,除法运算显神通

不够商1我来补。有了空位我就坐

别人要想把我除,常胜将军总是我

到“除”,圈一圈,“除”字前面是除数

“除”字后面被除数,位置交换别忘了

括号括号抢第一,乘法、除法排第二

最后才算加减法,谁在前面先算谁

26. 连续退位的减法

看到0,向前走,看看哪一位上有

借走了往后走,0上有点看作9

我说一,一一一,一张纸来一只笔

学习数学做练习,都要用到纸和笔

我说二,二二二,身上长着多少二

左左右右数一数,眼睛、手脚和耳朵

我说三,三三三,鲜红领巾胸前戴

三个角,三条边,我们人人都喜爱

我说四,四四四,眼前一张长桌子

四个角,四条边,用它读书和写字

我说五,五五五,五角星,亮晶晶

国旗上有五颗星,我是那颗小星星

我说六,六六六,六一节啊真快乐

唱歌跳舞做游戏,祖国花朵真幸福

我说七,七七七,一个星期有七天

星期天,不上学,做个妈妈的好帮手

我说八,八八八,慰问军属老大妈

你扫地,我擦窗,大妈对我笑哈哈

我说九,九九九,九月十日教师节

尊敬老师有礼貌,人人夸我好宝宝

我说十,十十十,两只手上有手指

十个手指用处大,学习雷锋做好事

小小表盘圆又圆,时针分针跑圈圈

分针长,时针短,一个快来一个慢

分针跑完一满圈,时针刚跑一小段

小小珠算真神奇,读数写数最容易

四位一级是关键,读写都从高位起

级前中0读一个,级末有0不读起

亿级万级仿个级,读完后面加单位

一级一级往下写,珠不靠梁0占位

30. 多位数的大小比较

多位数大小看位数,位数多的数就大

位数相同看高位,高位数大数就大

一、三、五、七、八、十、腊,31天总是大

四、六、九、十一月,30天永不差

二月份,最特殊,二八、二九来变化

闰年它就二十九,平年它就二十八

4除年号有余平,整百年号划双0

记时方法有两种,二十四时和普通

时间单位排好队,最大单位是世纪

1世纪,100年;1年等于多少天?

1小时,60分,1分等于60秒

年、月、日,时、分、秒

32. 分数大小的比较

分数大小的比较,分子、分母要记好

分母相同看分子,分子大的分数大

分子相同看分母,分母大的分数小

33. 整数加、减法法则

整数加法有规律,相同数位要对齐

和不满十落原位,满十上位要进一

凑十余数落下来,加到哪位落哪位

进位加数加一起,结果不差半分厘

整数减法有规律,相同数位要对齐

大减小时落下差,小减大时去借位

借一来十减后加,加减结果落原位

连续借位要细心,借走剩几要牢记

整数乘法低位起,一位数乘法一次积

个位数乘得若干一,积的末位对个位

计算准确对好位,乘法口诀是根据

整数乘法低位起,两位数乘法两次积

个位数乘得若干一,积的末位对个位

十位数乘得若干十,积的末位对十位

计算准确对好位,两次乘积加一起

整数乘法低位起,几位数乘法几次积

个位数乘得若干一,积的末位对个位

十位数乘得若干十,积的末位对十位

百位数乘得若干百,积的末位对百位

计算准确对好位,几次乘积加一起

(4)因数末尾有0的乘法法则

因数末尾若有0,写在后面先不乘

乘完积补上0,有几个0写几个0

(1)除数是一位数的除法法则

整数除法高位起。除数一位看一位

一位不够看二位,除到哪位商哪位

余数要比除数小,不够商一零占位

(2)除数是两位数的除法法则

整数除法高位起。除数两位看两位

两位不够看三位,除到哪位商哪位

余数要比除数小,不够商一零占位

整数除法高位起。除数几位看几位

这位不够看下位,除到哪位商哪位

余数要比除数小,不够商一零占位

被除数、除数同时乘,乘的因数要相同

被除数、除数同除以,除以的数也相同

乘、除都把0除外,商不变的性质要记清

36. 小数四则运算法则

小数加减有规律,相同数位要对齐

个位对个位,十位对十位

十分位对着十分位,百分位对着百分位

总而言之一句话,小数点要对齐

计算结果是小数,末尾有0要划去

小数乘法低位起,先按整数算出积

数出几位点上点,末尾有0要划去

小数除法高位起,看着除数找规律

除数是整数直接除,除到哪位商哪位

不够商一零占位,商和被除数点对齐

除数是小数变整数,被除数小数点移同位

右边数位若不够,应该用零来补齐

37. 小数大小的比较

小数大小看高位,整数大时数就大

整数相同看十分位,十分位大时数就大

十分位相同看百分位,百分位大时数就大

38. 数的基本性质和四则运算法则

分子、分母同时乘,乘的因数要相同

分子、分母同除以,除以的数也相同

乘、除都把0除外,分数值的大小不变更

分数加减很简单,统一单位是关键

同分母分数相加减,只把分子相加减

异分母分数相加减,先通分来后计算

分数乘法更简单,分子、分母分别算

分子相乘作分子,分母相乘作分母

分子、分母不互质,先约分来后计算

分数除法最简便,转换乘法来计算

除号变成乘号后,除数的倒数要出现

39. 混合运算顺序歌

混合运算有顺序,同级计算左边起

加、减、乘、除混算题,先算乘、除要牢记

如果要是有括号,先算括号里面题

两、三步应用题分析歌谣

小小问号锁住题,抓住关键去分析

已知条件换成数,相关条件全找齐

术语连数读一读,正确列式没问题

字母表示数,关键要记住

省略乘号时,数要写在前,字母写在后

相同的因数变底数,因数的个数变指数

乘号可以简写成点,加、减、除号不能丢

41. 列方程解应用题

列方程解应用题,抓住关键去分析

已知条件换成数,未知条件换字母

找齐相关代数式,连接起来读一读

42. 计量单位对口歌

手拉手对单位,看谁说得快又对

人民币单位元、角、分,进率是10要牢记

1元得10角,1角得10分,1元等于100分

长度单位有哪些,相临进率都是几?

米加分米、厘米和毫米,最大单位是千米

1米=10分米,1分米=10厘米

米和千米也相临,进率1000是特例

质量单位有哪些,相临进率都是几?

吨与千克还有克,进率1000要牢记

相临100是面积,相临1000是体积

大单位,小单位,大小换算有规律

从大到小乘进率,小数点向右移

从小到大除以进率,小数点向左移

进率是10移一位,进率100移两位

43. 数的整除的意义

数的整除要记住,除式各项都要是整数

但是除数不等于0,商是整数无余

数b能够整除a,数a能被b整除

a是数b的倍数,b是数a的约数

如果要是求约数就去除以自然数

如果要是求倍数就去乘自然数

能被2、5、3整除的数

个位是0和5,一定能被5整除

个位是2、4、6、8、0,一定能被2整除

各个数位数字和,如果要是3倍数

分清质数与合数,关键就是看约数

1的约数只一个,不是质数也非合数

如果约数只两个,肯定无疑是质数

3个约数或更多,那就一定是合数

分解质因数,方法是短除

除数是质数,商也是质数

表示的形式很简单:合数=质数×质数

公约数、公倍数与互质数

公约数,公倍数,关键要把“公”记住

公约数中最大的,就叫最大公约数

如果公约数只有1,它们就叫互质数

公倍数中最小的,就叫最小公倍数

求法有区别,千万别失误

短除只把除数乘,是求最大公约数

除数和商要连乘,是求最小公倍数

46. 圆、圆柱、圆锥

圆的知识学习好,生产生活都需要

要画圆,找定点,圆心确定圆位置

同圆或等圆中,直径=2半径

圆的周长和面积,全都离不开圆周率

如果条件是半径,圆的周长2πr,πr2是面积

如果条件是直径,圆的周长是πd

圆周长乘圆柱高,是求圆柱侧面积

圆面积乘圆柱高,是求圆柱的体积

同底等高求圆锥,只需再乘三分之一

47. 百分数、分数应用题

百分数,百分率,又叫百分比

只表示一个数是另一数的百分之几

分母全部是100写法要牢记

百分数和小数,互化有规律

小数添上百分号小数点向右移

百分数去掉百分号小数点向左移

百分数和分率,应用同一理

读一读想一想谁和谁来比

百分数分数应用题,关键确定单位一

看着分量找分率,一一对应是规律

就求它的几分之几或几倍

单位一量若未知,就列方程去分析

已知条件换成数,未知条件换字母

找齐相关代数式,连接起来读一读

48. 比、除法和分数的区别与联系

比与除法和分数,联系和区别要记住

比的前项相当于分数的分子和被除数

比的后项相当于分数的分母和除数

比号相当于除号和分数线

比是两个量的关系除法是运算

分数只是一个数,它们的性质紧相连

(被除数、除数同时乘,乘的因数要相同)

前项和后项同时乘,乘的因数要相同

前项和后项同除以,除以的数也相同

乘、除都把零除外,比值的大小不变更

先把单位来统一,写出图距与实际距离比

再根据基本性质去约分,比的前项化为1

比例尺应用题,实际距离是单位一

单位一量若已知,就求它的几分之几或几倍

单位一量若未知,就列方程去分析

(3)比例的意义、性质和正、反比例

商不变时是正比例,积不变时是反比例

根据意义列方程,融会贯通最容易

有理数加减很简单,符号法则是关键

同号相加号不变,异号相减比比看

绝对值较大的数,符号写在结果前

两数相乘同号正,异号负

有理数除法最简便,转换乘法来计算

除号变成乘号后,除数的倒数要出现

大九九(19×19)乘法口诀表

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