中心对称和中心对称图形

　　把一个图形绕着某一点旋转 ，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称，这个点叫做对称中心，两个图形关于点对称也称中心对称，这两个图形中的对应点，叫做关于中心的对称点．

　　中心对称的两个图形具有如下性质：（1）关于中心对称的两个图形全等；（2）关于中心对称的两个图形，对称点的连线都过对称中心，并且被对称中心平分．

　　判断两个图形成中心对称的方法是：如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于这一点对称．

　　把一个图形绕某一点旋转 ，如果旋转后的图形能够和原来的图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心．

　　矩形、菱形、正方形、平行四边形都是中心对称图形，对角钱的交点就是它们的对称中心；圆是中心对称图形，圆心是对称中心；线段也是中心对称图形，线段中点就是它的对称中心．

　　本节课的重点是中心对称的概念、性质和作已知点关于某点的对称点.因为概念是推导三个性质的主要依据、性质是今后解决有关问题的理论依据；而作已知点关于某个点的对称点又是作中心对称图形的关键.

　　本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.从概念角度来说，中心对称图形和中心对称是两个不同而又紧密相联的概念.从学生角度来讲，在学习轴对称时，有相当一部分学生对轴对称和轴对称图形的概念理解上出现误点.因此本节课的难点是中心对称与中心对称图形之间的联系和区别.

　　本节内容和生活结合较多，新课导入可考虑以下方法：

　　（1）从相似概念引入：中心对称概念与轴对称概念比较相似，中心对称图形与轴对称图形比较相似，可从轴对称类比引入，

　　（2）从汉字引入：有许多汉字都是中心对称图形，如“田”、“日”、“曰”、“中”、“申”、“王”，等等，可从汉字引入，

　　（3）从生活实例引入：生活中有许多中心对称实例和中心对称图形，如飞机的螺旋桨，风车的风轮，纽结，雪花，等等，可从生活实例引入，

　　（4）从商标引入：各公司、企业的商标中有许多中心对称实例和中心对称图形，如联想，联合证券，湘财证券，中国工商银行，中国银行，等等，可从这些商标引入，

　　（5）从车标引入：各品牌汽车的车标中有许多都是中心对称图形，如奥迪，韩国现代，本田，富康，欧宝，宝马，等等，可从车标引入，

　　（6）从几何图形引入：学习过的许多图形都是中心对称图形，如圆，平行四边形，矩形，菱形，正方形，等等，可从几何图形引入，

　　（7）从艺术品引入：艺术品中有许多都是呈中心对称或是中心对称图形，如下图，可从艺术品引入。

　　1．知道中心对称的概念，能说出中心对称的定义和关于中心对称的两个图形的性质。

　　2．会根据关于中心对称图形的性质定理2的逆定理来判定两个图形关于一点对称；会画与已知图形关于一点成中心对称的图形。

　　此外，通过复习图形轴对称，并与中心对称比较，渗透类比的思想方法；用运动的观点观察和认识图形，渗透旋转变换的思想。

　　想一想：怎样的两个图形叫做关于某直线成轴对称？成轴对称的两个图形有什么性质？

　　（帮助学生复习轴对称的有关知识，为中心对称教学作准备）

　　画一画：如图4.7-1(1)，已知点P和直线L，画出点P关于直线L的对称点P′；如图4.7-1(2)，已知线段MN和直线a,画出线段MN关于直线a的对称线段M′N′。

　　(通过画图形进一步巩固和加深对轴对称的认识)

　　上述问题由学生回答，教师作必要的提示，并归纳总结成下表：

　　观察与思考：图4.7-2所示的图形关于某条直线成轴对称吗？如果是，画出对称轴，如果不是，说明理由。

　　（教师把图4.7－2的两个图形制成投影片或教具，学生仔细观察后，能发现这两个图形都不是轴对称。然后，教师适时提出问题：这两个图形能不能重合？怎样才能使这两个图形重合呢？让学生观察、探究、讨论，教师可以直观地演示中心对称变换的过程，让学生发现：把其中一个图形统一特殊点旋转180度后能与另一个图形重合。）

　　问题1：你能举出1～2个实例或实物，说明它们也具有上面所说的特性吗？

　　说明：学生自己举例有助于他们感性地认识中心对称的意义。然后，教师指出：具有这种特性的图形叫做中心对称图形，并介绍对称中心，对称点等概念。

　　问题2：你能给“中心对称”下一个定义吗？

　　说明与建议：学生下定义会有困难，教师应及时修正，并给出明确的定义，然后指出定义中的三个要点：（l）有一个对称中心――点；（2）图形绕中心旋转180度；（3）旋转后与另一图形重合。把这三要点填入引导性材料中的空表内，在顶空格内写上“中心对称”字样，以利于写“轴对称”进行比较。

　　练一练：在图4.7－3中，已知△ABC和△EFG关于点O成中心对称，分别找出图中的对称点和对称线段。

　　说明与建议：教师可演示△ABC绕点O旋转180度后与△EFG重合的过程，让学生说出点E和点A，点B和点F，点C和点G是对称点；线段AB和EF、线段AC和EG，线段BC和FG都是对称线段。教师还可向学生指出，图4.7－3中，点A、O、E在一条直线上，点C、O、G在一条直线上，点B、O、F在一条直线上，且AO=EO，BO=FO，CO＝GO。

　　问题3：从上面的练习及分析中，可以看出关于中心对称的两个图形具有哪些性质？

　　说明与建议：引导学生总结出关于中心对称的两个图形的性质：定理l---关于中心对称的两个图形是全等形；定理2――关于中心对称的两个图形，对称点连线都经过对称中心，并且被对称中心平分。

　　问题4：定理2的题设和结论各是什么？试说出它的逆命题。

　　说明与建议：学生解答此题有困难，教师要及时引导。特别是叙述命题时，学生常常照搬“对称点”、“对称中心”这些词语，教师应指出：由于没有“两个图形关于中心对称”的前提，所以不能使用“对称点”、“对称中心”这样的词语，而要改为“对应如”、“某一点”。最后，教师应完整地叙述这个逆命题---如果两个图形的对应点连线都经过某一点，并且被这一点平分，那么这两个图形关于点对称。

　　问题5：怎样证明这个逆命题是正确的.？

　　说明与建议：证明过程应在教师的引导下，师生共同完成。由已知条件――对应点的连线都经过某一点，并且被这一点平分，可以知道：若把其中一个图形绕着这点旋转180度，它必定于另一个图形重合，因此，根据定义可以判定这两个图形关于这一点对称。这个逆命题即为逆定理。根据这个逆定理，可以判定两个图形关于一点对称，也可以画出已知图形关于一点的对称图形。

　　练一练：访画出图4．7－4中，线段PQ关于点O的对称线段P′Q′。

　　（画法如下：（1）连结PO，延长PO到P′，使OP′＝OP，点P′就是点P关于点O的对称点，（2）连结QO，延长QO到Q′，使Q′Q=OQ，点Q′就是点Q的对称点，则PQ′就是线段PQ关于O点的对称线段。教师应指出：画一个图形关于某点的中心对称图形，关键是画“对称点”。比如，画一个三角形关于某点的中心对称三角形，只要画出三角形三个顶点的对称点，就可以画出所要求的三角形。）

　　说明：（l）教师应让学生读题分析，给每个学生印发一张印有图4.7-5的纸，让学生动手画图。（2）画好图后让学生总结：画多边形的中心对称图形只要画出多边形各顶点的对称点，即能画出所求的对称图形。

　　课本例后练习第1、2题。

　　（对第2题，应先画出图形，然后按照中心对称的定义或逆定理来说明理由。第2题的第（1）小题可用定义说明，第2题的第（2）小题可根据逆定理来说明。这里把平行四边形的对角顶点和平行四边形的对边分别看成两个图形：分别是两个点和两条线段。）

　　2．中心对称与轴对称有什么不同？

　　中心对称――图形绕点旋转180度。

　　轴对称――图形沿轴翻折180度。

　　2.课本习题4.4A组第3、4题。

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八年级数学上学期期末试题

　　一、填空题(每小题2分，共20分)

　　1.4的平方根是 ;若 ，则 。

　　2. 的相反数是 ;若 ，则 。

　　3.在实数：0， ， ，0.74， 中，无理数有 个。

　　4.点 关于 轴对称的点的坐标是 ;一次函数 的图象经过点( ，2)。

　　5. 、 两地距离为1.7963 (精确到0.01 ) ，这个近似数有效数字是 。

　　6.如图，在 中， ， ，线段 的垂直平分线交 于点 ，交 于点 ，连接 ，则 的周长等于 。

　　7.如图，在 中，点 、 、 分别是边 、 、 的中点，若 ， ， ，则 ， 的面积是 。

　　8.已知正方形 ， 、 分别在 、 的延长线上，四边形 为菱形，且菱形 的面积为 ，则 。

　　9.已知点 ， ，点 在 轴上，且 的面积为6，则点 的坐标是 。

　　10.正比例函数 的图象记为直线 ，将直线 沿 轴正方向向右平移得到直线 ，直线 经过点 ，则直线 所表达的函数的关系式是 。

　　二、选择题(本大题共6小题，每题3分，共18分。每题都给出代号为 、 、 、 的四个答案，其中有且只有一个答案是正确的，把正确答案的代号填在( )内。)

　　11.在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( )

　　. 等边三角形 . 平行四边形 . 等腰梯形 . 菱形

　　12.下列命题中，正确的是( )

　　.一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形

　　.对角线相等且互相垂直的四边形是矩形

　　.顺次连接平行四边形四边中点所得的四边形是菱形

　　.对角线互相平分且相等的四边形是正方形

　　13.一个正方形的面积是15，估计它的边长大小在( )

　　14.某公园对十一黄金周七天假期的游客人数进行了统计，如下表：

　　其中平均数和中位数分别是 ( )

　　15.已知一次函数 ( 、 为常数，且 )， 、 的部分对应值如下表：

　　当 时， 的取值范围是：( )

　　16.甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步500米，先到终点的人在原地休息。已知甲先出发2秒。在跑步过程中，甲、乙两人间的`距离 (米)与乙出发的时间 (秒)之间的关系如图所示，给出以下结论：① ;② ;③ 。其中正确的是( )

　　. ①②③ . 仅有①② . 仅有①③ . 仅有②③

　　三、解答题(本题共7小题，第17题4分，第18题5分，第19题7分，第20、21题每小题6分，第22、23题每小题8分，第24、25题每小题9分，共62分)

　　17.已知： ，求 的值。 18.计算： 。

　　19.某市衽中考改革，需要根据该市中学生体能的实际状况重新制定中考体育标准，为此抽取了50名九年级的女学生进行一分钟仰卧起坐次数测试，测试情况绘制成表格如下：

　　(1)这次抽样测试数据的平均数是 次/人，众数是 次和中位数是 次;

　　(2)在平均数、众数和中位数中，你认为用哪一个统计量作为该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格标准次数较为合适?简要说明理由;

　　(3)如果该市今年有3万名初中毕业女生参加体育中考，根据(2)中你认为合格的标准，试估计该市中考女生一分钟仰卧起坐项目测试的合格人数是多少?

　　20.如图，设一次函数 的图象记为直线 ， 三个顶点的坐标分别为 ， ， 。解决下列问题：

　　(1) 与 关于直线 成轴对称，其中点 、 、 分别为点 、 、 的对应点，则点 的坐标是 ;

　　(2) 绕点 逆时针方向旋转 得到 ，其中点 、 、 分别为点 、 、 的对应点，则点 的对应点 的坐标为 ;

　　(3)根据(1)、(2)，在所给的网格中画出 、 。

　　21.如图，在梯形 中， ， ，点 在 上， 且 平分 。 与 相等吗?为什么?

　　22.如图，在四边形 中， ， 交 于点 ， 平分 。

　　(1)说明：四边形 是菱形;

　　(2)若 是 的中点，判断 的形状，并说明理由。

　　23. 、 两家旅行社推出家庭旅游优惠活动，两家旅行社的标价均为一人90元，但优惠方法不同。 旅行社的优惠方法是：全家有一人购全票，其余的半价优惠; 旅行社的优惠方法是：每人均按 票价优惠。你将选择哪家旅行社?

　　24. 、 两地相距50 ，甲、乙两人在某日同时接到通知，都要从 到 地且行驶路线相同，甲骑自行车从 地出发驶往 地，乙也于同日骑摩托车从 地出发驶往 地，如图拆线 和线段 分别表示甲、乙两人所行驶的里程数 与接到通知后的时间 (时)之间的函数关系的图象。

　　(1)接到通知后，甲出发多少小时后，乙才出发?

　　(2)求乙行驶多少小时追上了甲，这时两人距 地还有多远?

　　(3)从图中分析，若甲按原方式运动，乙保持原来速度且乙接到通知后4小时出发，问甲、乙两人在途中是否相遇?为什么?

　　25.已知，如图， 为坐标原点，四边形 为矩形， ， ，点 是的 中点，点 在边 上以每秒1个单位长的速度由点 向点 运动。

　　(1)当 为何值时，四边形 是平行四边形?

　　(2)在线段 上是否存在一点 ，使得四边形 为菱形。若存在，求 的值;若不存在，请说明理由;

　　(3)当 为等腰三角形时，写出点 的坐标(不必写过程)。

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